Противоположные числа
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 559.
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 559.
Тема «Противоположные числа» изучается в курсе 6 класса математики. У противоположных чисел есть ряд интересных свойств, которые выделяют их из множества действительных чисел. Рассмотрим основные понятия этой темы.
Определение противоположных чисел
Противоположными называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.
Обозначим некоторое число буквой a. Тогда противоположным ему будет число -a.
Примеры
Приведем несколько примеров пар противоположных чисел:
7 и -7,
2 и -2,
1,5 и -1,5,
5/7 и -5/7.
Противоположные числа на координатной оси
Проведем координатную ось – прямую линию, на которой отмечено начало координат, задан масштаб и стрелкой указано положительное направление.
Изобразим на координатной оси два противоположных числа a и -a.
Из рис. 1 видно, что противоположные числа расположены на одинаковом расстоянии, но в противоположных направлениях от начала координатной оси. Поэтому такие числа и называются противоположными.
Как найти число, противоположное данному
Сформулируем правило, по которому мы можем написать два противоположных числа.
Пусть дано число a. Чтобы найти противоположное ему число, нужно к числу a приписать знак « – ».
Есть только одно число, которое является противоположным самому себе. Это число 0 (нуль).
В городе Будапеште, который является столицей Венгрии, установлен памятник нулю. Высота памятника составляет 3 м.
В России тоже есть несколько мест, которые называют памятниками нулю. Например, памятный знак нулевого километра у Воскресенских ворот в Москве.
Многие считают, что если кинуть монетку так, чтобы попасть на бронзовый памятный знак, и загадать желание, оно обязательно сбудется. А если это высокие памятники, как памятник в Будапеште, то существует следующая легенда: нужно пролезть внутрь нуля – тогда к зарплате прибавится несколько нулей.
Основные свойства противоположных чисел
Перечислим основные свойства противоположных чисел. Справедливость этих свойств подтверждает рис. 1.
- Для каждого числа существует только одно число, которое ему противоположно.
Это объясняется тем, что для каждой точки координатной оси существует только одна точка, симметричная ей относительно нуля.
- Два противоположных числа имеют разные знаки: одно из них является положительным, а второе отрицательным.
Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля, они имеют разные знаки.
Исключение: число 0.
Таким образом, если исходное число является положительным, то противоположное ему будет отрицательным. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.
- Сумма противоположных чисел всегда равна 0.
Это объясняется тем, что они одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.
Пример
Рассмотрим число 4.
Припишем ему знак « – ». Получим противоположное число -4.
Найдем сумму этих чисел:
-4 + 4 = 0.
Что мы узнали?
Из темы по алгебре, которая изучается в 6 классе, мы узнали, что противоположные числа образуют пару чисел, из которых одно является положительным, а второе – отрицательным. Единственным исключением является число 0, которое противоположно самому себе. На числовой (координатной) оси противоположные числа находятся на одинаковых расстояниях, но в противоположных направлениях от начала координат.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Катя Федосюк
5/5
-
Никита Поцелуев
5/5
-
Валентина Табачкова
5/5
-
Кирилл Бернацкий
5/5
-
Денис Гроздов
5/5
-
Евгений Романюк
5/5
-
Аделя Аксакова
5/5
-
Александр Тен
5/5
-
Tanya Reid
5/5
-
Анастасия Демидова
5/5
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 559.
А какая ваша оценка?
Противоположные числа появились с введением в математику целых чисел. Так как целые числа делятся на положительные и отрицательные числа.
Подробно рассмотрим тему на примере.
У нас есть число 7. Если мы поставим знак “+” перед числом 7 получим +7, смысл и значения числа не поменялись. То есть знак “+” не меняет значение числа. А если мы перед числом 7 поставим знак “–” получим число -7, смысл и значение числа поменяется. Например, число 7 (получить 7 конфет) или число -7 (отдать 7 конфет). Говорят, число 7 или +7 противоположно числу -7.
Определение:
Противоположные числа – это числа, отличающиеся только знаком.
Нуль считается противоположен самому себе: 0=+0=-0.
Число, противоположное числу b, обозначается –b.
Вопросы по теме:
Назовите число противоположное числу: а) 2 б) 0 в) 3 г) -6 д) 5 е) -7 з) 4 и) 8 к)9 ?
Ответ:
а) противоположное числу 2 это число -2;
б) нуль противоположен сам себе, то есть противоположное числу 0 число 0;
в) 3 противоположно числу -3;
г) 6 это противоположное число числу -6;
д) противоположное числу 5 это число -5;
е) противоположное числу -7 это число 7;
з) 4 противоположно числу -4;
и) противоположное число 8 числу -8;
к) число противоположное 9 это число -9.
Числа противоположные натуральным?
Ответ:
Вспомним, что натуральные числа – это все положительные целые числа, следовательно, противоположные числа натуральным будут все целые отрицательные числа.
Натуральные числа или целые положительные числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Целые отрицательные числа:
-1, -2, -3, -4, -5, -6, …
Как найти противоположные числа?
Ответ: у числа поменять знак на противоположный. Например, +2 противоположное ему число -2.
Чему равна сумма противоположных чисел?
Ответ: нулю.
Пример:
Найдите числа противоположные данным: а) 10002 б) -34522
Решение:
а) 10002 противоположное число -10002;
б) -34522 противоположное число 34522.
Содержание:
- § 1 Понятие положительного числа
- § 2 Свойства противоположных чисел
§ 1 Понятие положительного числа
В этом уроке Вы узнаете, какие числа называются противоположными, как найти противоположное число, а еще, что такое целые и рациональные числа.
Начнем с практической работы. На координатной прямой отметим точки А(2) и В(-2). Они симметричны и центром симметрии данных точек является начало координат О(0), так как расстояние ОА=ОВ.
Мы видим, что координаты точек, симметричных относительно начала координат – это числа, которые отличаются только знаком. Такие числа называют противоположными.
Есть еще одно определение противоположных чисел. Чему равны модули чисел 2 и -2? Равны 2. Следовательно, противоположные числа – это числа, имеющие одинаковые модули, но отличающиеся знаком.
Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a, записывается как −a. Например, числу 0,24 противоположно число −0,24, числу -25 противоположно число −(−25), но числу -25 на координатной прямой противоположно 25, значит -(-25) = 25. Из этого следует, что –(-а) = а и а =–(-а).
§ 2 Свойства противоположных чисел
Выделим некоторые свойства противоположных чисел.
Число, противоположное положительному числу, отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, положительно. Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала отсчета.
Если число a противоположно числу b, то b противоположно a – это следует из свойства симметричности точек на координатной прямой.
Обратимся к координатной прямой. Сколько точек можно отметить на координатной прямой, симметричных данной относительно начала координат? Только одну. Значит, для каждого числа есть только одно противоположное число.
Лишь одно число противоположно самому себе – это число 0, поскольку 0=-0 (поэтому -0 писать не принято).
Числа с общим признаком образуют множество (или группу), каждое множество имеет свое название.
Вспомним, числа, которые мы используем при счете, называются натуральными, они образуют множество натуральных чисел.
Каждому натуральному числу можно найти противоположное число. Натуральные числа, числа им противоположные, и число 0 называют целыми числами.
Положительными или отрицательными могут быть и дробные числа. Все целые числа и все дроби называют рациональными числами. Говорят также, что все вместе они образуют множество рациональных чисел.
Выделим еще две группы чисел. Возьмем координатную прямую. Если убрать часть прямой, на которой находятся отрицательные числа, останется луч с положительными числами и началом отсчета числом 0. Оставшиеся числа называют неотрицательными, то есть числа, которые больше или равны 0. Следовательно, неположительные числа – это все отрицательные числа и число 0, то есть числа, которые меньше или равны 0.
Сегодня мы узнали, что такое противоположные, целые, рациональные, неотрицательные, неположительные числа, научились находить число, противоположное данному.
Список использованной литературы:
- Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013 г.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013 г.
- Справочник по математике – http://lyudmilanik.com.ua
- Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru
На прошлом уроке мы познакомились с координатной
прямой, познакомились с положительными и отрицательным числами.
Координата точки
показывает, на каком расстоянии от начала отсчёта расположена точка. Так точка
с координатой 4 расположена правее нуля на
расстоянии четырёх единичных отрезков. А точка с координатой -4 расположена левее нуля на расстоянии четырёх
единичных отрезков.
Обратите внимание, чтобы попасть из начала отсчёта в
эти точки, надо преодолеть одинаковые расстояния, но в ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
направлениях.
Числа 4 и -4 называются противоположными числами.
4 противоположно
-4, а -4 противоположно
4.
Числа -5 и 5 тоже будут противоположными.
Определение
Два числа, отличающиеся друг от друга только
знаками, называют противоположными числами.
Для числа а число -а
называют противоположным.
Например
Число -5
противоположно 5.
Запись «-(-5)»
означает число, противоположное числу -5. А
так как числу -5 противоположно число 5, то
Выражение -(-5) можно
читать «минус минус 5» или «число, противоположное числу -5».
Для каждого числа есть противоположное
ему число.
Но как же быть с числом 0?
Оказывается, число 0 противоположно
самому себе.
Натуральные числа, противоположные
им числа и нуль называют целыми числами.
Например
А вот 1,5 нецелое
число. Число -1,5 тоже не будет являться
целым.
Задание
Определим, сколько целых чисел расположено на
координатной прямой между числами -4,5 и 6,5.
Задание
Решить уравнения:
Итоги
Два числа, отличающиеся друг от друга только
знаками, называют противоположными числами.
Числа -5 и 5 будут противоположными.
Для каждого числа есть противоположное ему число.
Число 0 противоположно самому себе.
Натуральные числа, противоположные им числа и нуль
называют целыми числами.
Мир вокруг нас разнообразен и противоречив. В раннем детстве родители учили нас, что хорошо, а что плохо, читали нам сказки, где было добро и зло.
Очень часто в жизни мы используем противоположные понятия, может быть даже не замечая того.
Например, большой и маленький, высокий и низкий, правда и ложь, левый и правый, верх и низ и т.п.
Все перечисленные примеры, попарно имеют прямо противоположные лексические значения. В русском языке их называют антонимами.
Давайте разберёмся, что означает слово «противоположный».
Значение слова противоположный в толковом словаре Ожегова означает «расположенный напротив».
В толковом словаре русского языка Ефремовой есть еще одно интересное толкование этого слова: «противоположный» – значит, направленный в обратную сторону.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В различных науках можно встретить огромное множество противоположностей (противоположных понятий, явлений, процессов).
Например, в химии – положительно заряженный ион (катион) и отрицательно заряженный ион (анион).
В физике – конденсация и испарение, отрицательно заряженная частица и положительно заряженная частица, в истории – война и мир, в географи и- север и юг, горы и впадины, в биологии – левая часть тела и правая часть тела и многое другое.
Является ли математика исключением? Конечно же, нет.
В математике существует не мало противоположностей: деление и умножение, четное число и нечетное число, больше и меньше, кривая и прямая, отрицательное число и положительное число.
Сегодня на уроке мы попробуем разобраться, какие числа называют противоположными, как обозначают противоположные числа, как изображают их на координатной прямой.
Выделим некоторые свойства и правила, характерные для противоположных чисел.
Вам уже известно, что положительными называют числа, которые обозначаются со знаком «+» или вообще без знака.
Отрицательными называют числа, которые обозначают со знаком «–».
На координатной прямой положительные числа обозначаются справа от точки начала отсчета – точки О, а отрицательные- слева от неё (если координатная прямая расположена горизонтально и направление слева направо).
Если же координатная прямая расположена вертикально и снизу вверх, то положительные значения откладываются выше точки О, а отрицательные – ниже.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Давайте разберемся на примере, какие числа называют противоположными.
Пример:
Две маленькие инерционные машинки запустили с одинаковой скоростью по одной прямой.
Обе машинки за равный промежуток времени откатились на 3 м по прямой, но первая машинка откатилась вправо от места запуска, а вторая машинка влево от места запуска.
Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух машинок.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка О – это место запуска машинок, точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 делению – 1 метру.
Вправо откладываем координату первой машинки А (+3)
Влево откладываем координату второй машинки А1 (-3)
Мы можем заметить, что обе машинки проехали равный путь, так как координаты А (+3) и А1 (-3) удалены от точки отсчета на одинаковые расстояния, но по разные стороны от точки О.
Следовательно, числа +3 и –3 будут противоположными.
Два числа называются противоположными, если соответствующие им точки на координатной прямой расположены по разные стороны от точки начала отсчета и на одинаковом расстоянии от нее.
Таким образом, можно сказать, что:
Два числа, отличные друг от друга только знаками, называются противоположными числами.
Как вы успели заметить, чтобы обозначить число, противоположное данному, нужно это число записать со знаком минус «-».
В буквенном выражении это выглядит так: «–a – это число противоположное числу a».
Приведем примеры:
+3,5 и -3,5 являются противоположными
(mathbf{+frac{3}{4} и -frac{3}{4}}) являются противоположными
(mathbf{1frac{8}{13} и -1frac{8}{13}}) являются противоположными
-2 и 2 являются противоположными
-0,5 и 0,5 являются противоположными
-2 и +5 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению).
6,3 и -6 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
1. Число, противоположное положительному, – отрицательное, а число, противоположное отрицательному, – положительное.
Таким образом, знак минус «–» показывает противоположность числа.
Чтобы обозначить число, противоположное а, достаточно поставить перед ним знак минус «–», получим –а.
Число, противоположное числу –а, есть само число а. В буквенном выражении записывают так:
-(-а) = а
Первый минус, читая запись, заменяют словами «Число, противоположное числу -а…».
Приведем пример:
-(-b) = b
-(-6,1) = 6,1
-(-4/5) = 4/5
2. Число ноль противоположно самому себе.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
3. Для каждого действительного числа есть единственное противоположное число.
Так как для конкретной точки координатной прямой соответствует единственное действительное число.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
4. Противоположные числа имеют свойство симметричности, то есть если число а противоположно числу b, то и число b противоположно числу а.
Приведем пример:
-7 противоположно числу 7
И верно, что 7 противоположно -7
5. Числа, которые используют для счета предметов, называют натуральными числами, множество натуральных чисел обозначают N = {1, 2, 3, 4, … 100, …}
Для чисел противоположных натуральным не стали придумывать определенного названия, но если рассматривать в совокупности все натуральные числа и все противоположные натуральным числа и ноль, то такие числа называют целые числа.
Множество целых чисел обозначается: Z = {…, -100 …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … 100, …}
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
