Функция вида у = х2 называется квадратичной, графиком функции является парабола с вершиной в точке (0; 0), ветви параболы направлены вверх, график симметричен относительно оси ординат.
Построим график функции y = x2. Составим таблицу соответственных значений x и y:
|
х |
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
у |
16 |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
Свойства функции y = x2
- График функции неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси y.
- Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат.
- Если x ≠ 0, то y > 0. Так как квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен, то все точки графика кроме (0; 0), расположены выше оси x.
- Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (–x)2 = x2 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y.
- Функция убывает на промежутке (–(infty); 0] и возрастает на промежутке [0; +(infty)).
- Минимального значения квадратичная функция достигает в своей вершине: Ymin при x = 0. Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
Функция вида у = х3 называется кубической, графиком функции является кубическая парабола с вершиной в точке (0; 0), график симметричен относительно начала координат.
Построим график функции y = x3. Составим таблицу соответственных значений x и y, округляя значения y до сотых:
|
х |
–2 |
–1,5 |
–1 |
–0,5 |
0 |
1 |
0,5 |
1,5 |
2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
у |
–8 |
–3,38 |
–1 |
–0,13 |
0 |
1 |
0,13 |
3,38 |
8 |
.svg)
Свойства функции y = x3
- График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.
- Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат.
- Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0, так как куб положительного числа – положительное число, а куб отрицательного числа – отрицательное число. Значит график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
- Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y. Это следует из того, что (–x)3 = –x3 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.
- У кубической функции не существует ни максимального, ни минимального значения.
- Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (–(infty); +(infty)).
-
Для функции (f(x)=frac{5+x}{x^2}) найдите значение (f(-3)).
-
Найдите область определения функции.
(y=frac{2x-2}{x+4x^2})
-
Даны точки (A (-0,3; -0,9), B(1frac12; 2frac14), C(-3frac13; 6frac19)). Какая из них принадлежит графику функции (y = x^2)?
-
Точка (A(a; b)) принадлежит графику функции (y = x^3). Какая из точек (B(–a;b), C(a; -b) и D (– a; –b)) также принадлежит этому графику функции?
-
противоположные числа – числа, сумма которых равна 0
сложим дроби и приравняем к 0:
(x^2+5x) / (x^2-9) + (-24) / (x^2-9) = 0
после упрощения получим:
(x-3) (x+8) / (x-3) (x+3) = 0
(x+8) / (x+3) = 0
x+8=0
x=-8
Ответ: при x=-8
- Комментировать
- Жалоба
- Ссылка
Найди верный ответ на вопрос ✅ «При каких значениях х значения дробей (x^2+5x) / (x^2-9) и (-24) / (x^2-9) являются противоположными числами? …» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Главная » Алгебра » При каких значениях х значения дробей (x^2+5x) / (x^2-9) и (-24) / (x^2-9) являются противоположными числами?
Лидеры категории
Лена-пена
Искусственный Интеллект
М.И.
Искусственный Интеллект
Y.Nine
Искусственный Интеллект
•••
Решите уравнения в ответе укажите число противоположное корню уравнения : а) y : 3 / 4 = 4 / 25 : 4 / 5 б) ( 11 / 15a + 7 / 12) : 7 1 / 4 = 1 / 3?
Математика | 5 — 9 классы
Решите уравнения в ответе укажите число противоположное корню уравнения : а) y : 3 / 4 = 4 / 25 : 4 / 5 б) ( 11 / 15a + 7 / 12) : 7 1 / 4 = 1 / 3.
Ответ ответ ответ ответ ответ ответ.
А) y * 4 / 3 = 4 / 25 * 5 / 4 = 1 / 5
y = 1 / 5 : 4 / 3 = 1 / 5 * 3 / 4 = 3 / 20
Противоположное : — 3 / 20
б) (11a / 15 + 7 / 12) : 29 / 4 = 1 / 3
44a / 60 + 35 / 60 = 1 / 3 * 29 / 4 = 29 / 12 = 145 / 60
a = 110 / 44 = 10 / 4 = 5 / 2 = 2, 5
Противоположное : — 2, 5.
Решите уравнение — 72 — 17x в корне = — x?
Решите уравнение — 72 — 17x в корне = — x.
Если уравнение имеет более одного корня то в ответе укажите меньший из них.
Решите уравнение х + 1 — 30 / х = 0?
Решите уравнение х + 1 — 30 / х = 0.
В ответе укажите сумму корней.
Решите уравнение, (см рисунок)?
Решите уравнение, (см рисунок).
В ответ укажите сумму корней!
Помогите решить задачу : дано уравнение ax = — 8 укажите значения а, при котором 1)уравнение не имеет корней 2)укажите все целые значения а, при которых корнем уравнения является натуральное число?
Помогите решить задачу : дано уравнение ax = — 8 укажите значения а, при котором 1)уравнение не имеет корней 2)укажите все целые значения а, при которых корнем уравнения является натуральное число.
Решите уравнение : 4х ^ 2 — 11x + 6 = 0В качестве ответа укажите сумму корней уравнения?
Решите уравнение : 4х ^ 2 — 11x + 6 = 0
В качестве ответа укажите сумму корней уравнения.
Решите уравнение : Найдите значение параметра А , при котором корнями уравнения являются противоположные числа ?
Решите уравнение : Найдите значение параметра А , при котором корнями уравнения являются противоположные числа .
|х + А — 3| = 4 Ответ напишите вот так — Ответ : А = .
Если получиться напишите как вы решали это уравнение , чтобы мне было понятно как решать самому подобные уравнения .
Говорю сразу Сасибо за помощь !
Решите уравнение log x + 4 4 = 2?
Решите уравнение log x + 4 4 = 2.
Если уравнение имеет больше однго корня, в ответе укажите меньший из них.
Решите уравнение х ^ 2 = минус х?
Решите уравнение х ^ 2 = минус х.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ укажите меньший из них.
Решите уравнение 2x ^ 2 — 7x — 8 = 0 в ответе укажите сумму корней?
Решите уравнение 2x ^ 2 — 7x — 8 = 0 в ответе укажите сумму корней.
Укажите уравнения имеющие корнем число 0?
Укажите уравнения имеющие корнем число 0.
Вы зашли на страницу вопроса Решите уравнения в ответе укажите число противоположное корню уравнения : а) y : 3 / 4 = 4 / 25 : 4 / 5 б) ( 11 / 15a + 7 / 12) : 7 1 / 4 = 1 / 3?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.
37, 68 см — 0, 4 х см — 1 х = 37, 68 / 0, 4 х = 94, 2 см — длина окружности D = 94, 2 / 3, 14 = 30 см — диаметр окружности.
Рассмотрите предложенный вариант, оформление не соблюдалось. Второе задание выполнено «как понято», так как не было ответа на вопрос.
37. 68 / 0. 4 = 94. 2 cm — длина окружности. Также равна Pi * D. Отсюда D = 94. 2 / 3. 14 = 30 см.
20 % от 140 = 28 140 + 28 = 168 25% от 168 = 42 168 — 42 = 126 по пропорции считаете 140 — 100% 126 — х%.
1) 140 * 0, 2 = 28 2) 140 + 28 = 168 3) 168 * 0, 25 = 42 4) 168 — 42 = 126.
Пусть х ширинаа прямоугольника, тогда ширина равна 8х 8х = х — 42 8х — х = 42 7х = 42 х = 6 см 1) 42 + 6 = 48 см — длина.
Х — ширина 8х — длина 8х — х = 42 7х = 42 Х = 42 / 7 = 6см ширина 8 * 6 = 48 см длина Ответ длина 48 см.
4 целых + 5 целых 1 / 4 = 9 целых 1 / 4.
Х ^ 2 + 5х = — 6 х ^ 2 + 5х + 6 = 0 D = B ^ 2 — 4ac ; D = 25 — 4 * 1 * 6 = 25 — 24 = 1 x1, 2 = — b + — / 2 x1, 2 = — 5 + — 1 / 2 x1 = 6 : 2 = 3 x2 = — 4 : 2 = — 2 Ответ : x1 = 3 ; x2 = — 2.
1) 3 2) 0 3) — 5 напевно так але це не точно.
Найдите число противоположное корню уравнения
Вопрос по математике:
Найдите число противоположное корню уравнения -(x-6,9)+4,8=-3,4
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 2
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
Теорема Виета для квадратного уравнения
О чем эта статья:
Основные понятия
Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Существует три вида квадратных уравнений:
- не имеют корней;
- имеют один корень;
- имеют два различных корня.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:
- если D 0, есть два различных корня.
В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .
В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.
Формула Виета
Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:
Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.
Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.
Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>
Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>
Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>
Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.
Доказательство теоремы Виета
Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что следующие равенства верны
- x₁ + x₂ = −b,
- x₁ * x₂ = c.
Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.
- Объединим числитель и знаменатель в правой части.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:
Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.
Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.
- Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
Перемножаем числители и знаменатели между собой:
Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:
Далее произведем трансформации в числителе:
Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.
Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим:
Мы доказали: x₁ * x₂ = c.
Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:
Обратная теорема Виета
Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.
Докажем теорему, обратную теореме Виета
Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
- Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:
При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.
- Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.
Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.
Примеры
Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.
Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.
Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>
Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>
Неприведенное квадратное уравнение
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:
ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.
Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .
- Получилось следующее приведенное уравнение:
- Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:
Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.
источники:
http://online-otvet.ru/matematika/5ceaa79196f4e19a296843e5
http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-vieta-formula
