Как найти противоположные углы параллелограмма

Решение задач на углы параллелограмма опирается на свойства параллелограмма.

Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равны 180º (так как они являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противолежащих сторонах параллелограмма) и секущей (пересекающей их стороне).

Противоположные углы параллелограмма равны.

Поэтому, если в задаче дана сумма углов параллелограмма (не 180º ), то речь идет  о его противолежащих углах.

Если сказано, что один из углов параллелограмма больше или меньше другого на некоторое количество градусов (или в несколько раз, или углы относятся в некотором отношении), то речь идет об углах, прилежащих к одной стороне параллелограмма.

Если в задаче требуется найти все углы параллелограмма, в начале изучения темы ищут все четыре угла.

В дальнейшем обычно находят только два из них (прилежащие к одной стороне), поскольку другие два им равны.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение углов параллелограмма.

Задача 1.

Найти углы параллелограмма, если один из его углов на 40º больше другого.

uglyi parallelogramma

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠B на 40º  больше ∠A.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

Пусть ∠A=хº, тогда ∠B=х+40º.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Имеем уравнение:

х+х+40=180

2х=180-40

2х=140

х=70

Значит, ∠A=70º, тогда ∠B=70+40=110º.

∠C=∠A=70º, ∠D=∠B=110º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 70º, 70º, 110º, 110º.

Задача 2.

Найти углы параллелограмма, если два из них относятся как 2:3.

uglyi parallelogramma

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠A:∠B=2:3.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠A=2kº, ∠B=3kº.

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Составим уравнение и решим его:

2k+3k=180

5k=180

k=36

Значит, ∠A=2∙36=72º, ∠B=3∙36=108º.

∠C=∠A=72º, ∠D=∠B=108º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 72º, 72º, 108º, 108º.

Задача 3.

Найти углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 150º.

uglyi parallelogramma

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠A+∠C=150º.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

∠A=∠C=150:2=75º (как противолежащие углы параллелограмма).

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Следовательно, ∠B=180º-∠A=180-75=105º.

∠D=∠B=105º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 75º, 75º, 105º, 105º.

24
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

2013-07-24
2015-09-16

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно  параллельны.

вш

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Свойства параллелограмма

свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма  попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

свойства параллелограмма

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

свойства параллелограмма5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

sd

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

khj

7. Диагонали  d_1,;d_2 параллелограмма и стороны
a,;b связаны следующим соотношением: d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)

щд

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: AB=CD,;BC=AD

2. Противоположные углы попарно равны: angle A=angle C,;angle B=angle D

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: AB=CD,;AB||CD

5. AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства  применяются в задачах:

7Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Автор: egeMax |

комментариев 7

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства параллелограмма:

(blacktriangleright) Противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ).

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

(blacktriangleright) если противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) если две стороны равны и параллельны;

(blacktriangleright) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) если противоположные углы попарно равны.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.


Задание
1

#1783

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (100), его большая сторона равна (32). Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна (100 : 2 = 50), значит, меньшая сторона параллелограмма равна (50 – 32 = 18).

Ответ: 18


Задание
2

#1784

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (15). При этом одна сторона этого параллелограмма на (5) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть (BC = AB +
5)
, тогда периметр параллелограмма (ABCD) равен (AB + BC + CD + AD =
AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4cdot AB + 10 = 15)
, откуда находим (AB
= 1,25)
. Тогда меньшая сторона параллелограмма равна (1,25).

Ответ: 1,25


Задание
3

#273

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (BE) – высота, (BE = ED = 5). Площадь параллелограмма (ABCD) равна 35. Найдите длину (AE).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда (35 = BE cdot AD = 5cdot(5 + AE)), откуда находим (AE = 2).

Ответ: 2


Задание
4

#1785

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки (C) параллелограмма (ABCD) опустили перпендикуляр на продолжение стороны (AD) за точку (D). Этот перпендикуляр пересёк прямую (AD) в точке (E), причём (CE = DE). Найдите (angle B) параллелограмма (ABCD). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle EDC = angle DCE). Так как (angle DEC = 90^{circ}), а сумма углов треугольника равна (180^{circ}), то (angle EDC =
45^{circ})
, тогда (angle ADC = 180^{circ} – 45^{circ} =
135^{circ})
. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle B = angle ADC = 135^{circ}).

Ответ: 135


Задание
5

#1686

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагональ (BD) параллелограмма (ABCD) перпендикулярна стороне (DC) и равна (4). Найдите площадь параллелограмма (ABCD), если (AD=5).

По теореме Пифагора находим: (AB^2=AD^2 – BD^2 = 25 – 16 = 9) (Rightarrow) (AB = 3). (S_{ABCD} = 4cdot3 = 12).

Ответ: 12


Задание
6

#1685

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (P_{triangle AOB} = 8), (P_{triangle AOD} = 9), а сумма смежных сторон равна (7). Найдите произведение этих сторон параллелограмма (ABCD).

(P_{triangle AOB} = AO + OB + AB), (P_{triangle AOD} = AO + OD + AD), (BO = OD) (Rightarrow) (P_{triangle AOD} – P_{triangle AOB} = AD – AB = 1), но (AD + AB = 7) (Rightarrow) (AD = 4), (AB = 3) (Rightarrow) (ADcdot AB = 12).

Ответ: 12


Задание
7

#3617

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Стороны параллелограмма равны (9) и (15). Высота, опущенная на первую сторону, равна (10). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь (S=9cdot 10), с другой стороны, (S=15cdot h), где (h) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, [9cdot 10=15cdot hquadLeftrightarrowquad h=6]

Ответ: 6

Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.

УСТАЛ? Просто отдохни

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

При этом параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольника.  Поэтому запоминать надо свойства, которые характерны для параллелограмма.

Определения:

Высота параллелограмма (h) — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Частными случаями параллелограмма являются ромб, прямоугольник и квадрат.

Свойства углов и сторон параллелограмма

  • Сумма углов параллелограмма  равна 360°
  • Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°. 
    На рисунке: ∠A+∠B=180∘,∠A+∠D=180∘,∠C+∠B=180∘,∠C+∠D=180∘.
  • У параллелограмма противоположные  углы равны.
    На рисунке: ∠A=∠C,∠B=∠D.
  • У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны.
    На рисунке: AB||CD и BC||AD; AB=CD,BC=AD.

Диагонали параллелограмма

Признаки параллелограмма

  1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AB=CD,BC=AD.
  2. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: ∠A=∠C,∠B=∠D.
  3. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AB=CD,AB||CD.
  4. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AO=CO,BO=DO.

Параллелограмм и окружность

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Таким образом, если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Таким образом, параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник. Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением:

Периметр параллелограмма:

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

2. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Комментарий:

  • a, b — длины сторон,
  • d1, d2 –диагонали,
  • P-периметр,
  • S-площадь,
    h-высота, проведенная к противоположной стороне
  • α — угол между сторонами параллелограмма,
  • γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).

Рис. (1). Параллелограмм

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

(AB = DC),  (BC = AD).

параллелограмм 7.png

Рис. (2). Первое свойство параллелограмма

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

 (A =)

 (C),  

 (B =)

 (D).

параллелограмм 2.png

Рис. (3). Второе свойство параллелограмма

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

(BO = OD),  (AO = OC).

параллелограмм 3.png

Рис. (4). Третье свойство параллелограмма

4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники (ABC) и (CDA) равны.

параллелограмм 4.png

Рис. (5). Четвёртое свойство параллелограмма

5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна (180) градусам:

 (A) (+)

 (D = 180)

°

.

параллелограмм 5.png

Рис. (6). Пятое свойство параллелограмма

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

 (BAC =)

 (ACD),

 (BCA =)

 (CAD).

параллелограмм 6.png

Рис. (7). Шестое свойство параллелограмма

Добавить комментарий