Найти обратную матрицу онлайн
На данной странице калькулятор поможет найти обратную матрицу онлайн с подробным решением. Обратную матрицу можно найти с помощью алгебраических дополнений или элементарных преобразований. Для расчета задайте целые или десятичные числа.
Обратная матрица
Размерность матрицы:
Метод:
A
Другой материал по теме
Калькулятор
Матрица BB является обратной матрицей к квадратной матрице AA, если AB=BA=EAB = BA = E.
Из определения можно понять, что обратная матрица BB будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица AA (иначе какое-либо из произведений ABAB или BABA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы AA определяется так: A−1A^{-1}. Можно утверждать, что если A−1A^{-1} существует, то AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1} A= E.
Также легко видеть, что (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A.
Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.
Онлайн-калькулятор
Квадратную матрицу AA можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы AA равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.
В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.
Формула для вычисления обратной матрицы
Обратную матрицу A−1A^{-1} к матрице AA можно найти по формуле:
A−1=1detA⋅A∗A^{-1}=frac{1}{det A}cdot A^*
detAdet A — определитель матрицы A,A,
A∗A^* — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.A.
Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:
A=(1−20 342 −131)A = begin{pmatrix}
1& -2 & 0\
3 & 4 & 2\
-1& 3& 1 \
end{pmatrix}
Решение
Вычислим детерминант:
detA=∣1−20342−131∣=1∣4231∣−(−2)∣32−11∣+0∣34−13∣=8det A = begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \
3 & 4 & 2 \
-1 & 3 & 1 \
end{vmatrix} = 1 begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} – (-2) begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} +0 begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 8
Так как detA≠0det A neq 0, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.
Посчитаем алгебраические дополнение:
A11=(−1)1+1∣4231∣=−2,A_{11} = (-1)^{1+1} begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = -2,
A12=(−1)1+2∣32−11∣=−5,A_{12} = (-1)^{1+2} begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = -5,
A13=(−1)1+3∣34−13∣=13A_{13} = (-1)^{1+3} begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 13,
A21=(−1)2+1∣−2031∣=2A_{21} = (-1)^{2+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = 2,
A22=(−1)2+2∣10−11∣=1A_{22} = (-1)^{2+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = 1,
A23=(−1)2+3∣1−2−13∣=−1A_{23} = (-1)^{2+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = -1,
A31=(−1)3+1∣−2042∣=−4A_{31} = (-1)^{3+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
4 & 2 \
end{vmatrix} = -4,
A32=(−1)3+2∣1032∣=−2A_{32} = (-1)^{3+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
3 & 2 \
end{vmatrix} = -2,
A33=(−1)3+3∣1−234∣=10.A_{33} = (-1)^{3+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & 4 \
end{vmatrix} = 10.
Обратная матрица:
A−1=18(−22−4−51−213−110)A^{-1} = frac{1}{8} begin{pmatrix}
-2 & 2 & -4 \
-5 & 1 & -2 \
13 & -1 & 10 \
end{pmatrix}
Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.
Найдите обратную матрицу для матрицы:
A=(13−25)A = begin{pmatrix}
1 & 3\
-2 & 5 \
end{pmatrix}
Решение
detA=11≠0→A−1det A= 11 neq 0 rightarrow A^{-1} – существует.
A11=(−1)1+1⋅5=5A_{11} = (-1)^ {1+1} cdot 5 = 5,
A12=(−1)1+2⋅(−2)=2A_{12} = (-1)^ {1+2} cdot (-2) = 2,
A21=(−1)2+1⋅3=−3A_{21} = (-1)^ {2+1} cdot 3 = -3,
A22=(−1)2+2⋅1=1.A_{22} = (-1)^ {2+2} cdot 1 = 1.
Ответ:
A−1=111(5−321)A^{-1} = frac{1}{11} begin{pmatrix}
5 & -3 \
2 & 1 \
end{pmatrix}
Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.
Метод элементарных преобразований
Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:
- перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
- умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
- прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований
- Из исходной матрицы AA и единичной матрицы EE того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E)begin{pmatrix}A|Eend{pmatrix}.
- С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A−1)begin{pmatrix}E|A^{-1}end{pmatrix}.
- Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.
Найти матрицу K−1K^{-1}, если K=(1301)K=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}.
Из матрицы KK второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:
(1301∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.
Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:
(1301∣1001)∼(1001∣1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-3\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Слева получили единичную матрицу.
Выпишем обратную матрицу:
K−1=(1−301)K^{-1}=begin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}.
Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.
K⋅K−1=(1301)⋅(1−301)=(1⋅1+3⋅01⋅(−3)+3⋅10⋅1+1⋅00⋅(−3)+1⋅1)=(1001)Kcdot K^{-1}=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1cdot1+3cdot0&1cdot(-3)+3cdot1\0cdot1+1cdot0&0cdot(-3)+1cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}.
Значит, обратная матрица найдена правильно.
Найти матрицу F−1F^{-1}, если F=(110010033)F=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}.
Из матрицы FF третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:
(110010033∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:
(110010033∣100010001)∼(100010033∣1−10010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:
(100010033∣1−10010001)∼(100010003∣1−100100−31)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №3 на 13frac{1}{3}:
(100010003∣1−100100−31)∼(100010001∣1−100100−113)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{matrix}end{pmatrix}.
Слева получили единичную матрицу.
Выпишем обратную матрицу:
F−1=(1−100100−113)F^{-1}=begin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}.
Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.
F⋅F−1=(110010033)⋅(1−100100−113)=(100010001)Fcdot F^{-1}=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}.
Значит, обратная матрица найдена правильно.
Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!
Обратную матрицу можно найти только для квадратной матрицы, но не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Если матрица A-1 является обратной к исходной матрице A, то должно выполняться условие: A-1 * A = A * A-1 = E.
Объяснить нахождение Вашей обратной матрицы – основная цель создания данного калькулятора.
Калькулятор использует алгебраические дополнения для нахождения обратной матрицы.
Пожалуйста, введите целые числа. Например: 5, -3, 8.
2022 All rights reserved
matematika1974@yandex.ru
site partners
Обратная матрица онлайн
В нашем калькуляторе вы сможете бесплатно найти обратную матрицу онлайн с подробным решением и даже с комплексными числами. Для нахождения ответа мы пользуемся методом преобразований Гаусса.
Подробнее о том, как пользоваться нашим онлайн калькулятором, вы можете прочитать в инструкции.
О методе
Нахождение обратной матрицы выполняется следующим образом.
- Записываем матрицу (обязательно квадратную) и дополняем (расширяем) ее справа единичной того же размера.
- Приводим левую матрицу к специальному ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования над всей расширенной (включая правую).
- В результате справа получим искомую матрицу.
- Eсли определитель исходной равен нулю, то обратная не существует.
Чтобы лучше всего понять как найти обратную матрицу, введите любой пример, выберите “очень подробное решение” и изучите полученный ответ.
Онлайн калькулятор. Обратная матрицы
Онлайн калькулятор матриц позволяет производить различные операции с матрицами и отображает пошаговый результат решения.
Обратная матрица может быть найдена с помощью метода Гаусса – Жордана или метода алгебраических дополнений (присоединенной союзной матрицы).
Матричная операция:
Метод нахождения определителя:
Метод нахождения обр. матрицы:
Вводить можно числа (5, -7, -4.2 и пр.) и дроби (1/3, -8/25 и пр.)
Примеры нахождения обратной матрицы
$$left(begin{array}{cc}2 & 5 & 7 \[0.5em] 6 & 3 & 4 \[0.5em] 5 & -2 & -3end{array}right)$$ (вычислить обратную матрицу)
$$left(begin{array}{cc}3 & 4 & 2 \[0.5em] 2 & -1 & -3 \[0.5em] 1 & 5 & 1end{array}right)$$ (вычислить обратную матрицу)
$$left(begin{array}{cc}2 & 3 & 2 & 2 \[0.5em] -1 & -1 & 0 & -1 \[0.5em] -2 & -2 & -2 & -1 \[0.5em] 3 & 2 & 2 & 2end{array}right)$$ (найти обратную матрицу)
$$left(begin{array}{cc}0 & 3 & -1 & 2 \[0.5em] 2 & 1 & 0 & 0 \[0.5em] -2 & -1 & 0 & 2 \[0.5em] -5 & 7 & 1 & 1end{array}right)$$ (вычислить обратную матрицу)
