Как найти проверку примера

Математика, 2 класс. Урок №27

Проверка сложения. Проверка вычитания.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– Что такое обратные математические действия?

– Как проверить сложение?

– Как проверить вычитание?

Глоссарий по теме:

Сложение – это объединение объектов в одно целое. Результатом сложения чисел является число, называемое суммой чисел (слагаемых).

Вычитание – это такое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. Большее число называется уменьшаемым, меньшее – вычитаемым, результат вычитания – разностью.

Обратные действия – действия, приводящие к прежнему, исходному состоянию.

Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):

1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.84-86.
2. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М. А. Бантова – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – с.60.
3. Математика: переходим в 3-й класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. А. В. Светин – М.: Просвещение: Уч. Лит, 2017. – с.40.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Используя числа 7, 5, 12 составим все возможные равенства.

7 + 5 = 12 12 – 5 = 7

12 – 7 = 5 5 + 7 = 12

Назовём компоненты и результат действия сложения.

7 + 5 = 12

Слагаемое + слагаемое = сумма

Назовём компоненты и результат действия вычитания.

12 – 7 = 5

Уменьшаемое – вычитаемое = разность

Действия сложение и вычитание связаны друг с другом, являются взаимно обратными действиями.

СЛОЖЕНИЕ ВЫЧИТАНИЕ

Как проверить, верно ли выполнено сложение. Воспользуемся знанием того, как связаны слагаемые и сумма. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое. Это позволяет сложение проверить вычитанием.

Например, надо проверить, верно ли вычислили сумму чисел 28 и 5. Для этого из суммы 33 вычтем одно из слагаемых. Например, 5. Должно получиться другое слагаемое. Получилось 28. Значит, сумма чисел 28 и 5 найдена правильно. Можно вычесть из суммы другое слагаемое.

28 + 5 = 33

33 – 5 = 28

33 – 28 = 5

Сумма чисел 36 и 9 найдена неверно, т.к. после вычитания из суммы 47 слагаемого 9, другое слагаемое, 36 не получается.

36 + 9 = 47

47 – 9 = 38

38 = 36

Вычислим ещё раз сумму чисел 36 и 9 и проверим результат.

36 + 9 = 45

45 – 9 = 36

36 = 36

36 – первое слагаемое

Сформулируем правило проверки сложения: «Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно».

Как проверить вычитание? Воспользуемся знанием того, как связаны между собой уменьшаемое, вычитаемое, разность. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое. Значит, вычитание можно проверить сложением.

Вычислим разность чисел 48 и 30. Она равна 18. Проверим вычитание сложением. К разности 18 прибавим вычитаемое 30, получим 48. Это уменьшаемое.

48 – 30 = 18

18 + 30 = 48

48 = 48

48 – уменьшаемое

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Значит, вычитание можно проверить и вычитанием. Рассмотрим это на примере.

Из уменьшаемого 48 вычтем разность 18, получим 30, т.е. вычитаемое. Значит, разность чисел 48 и 30 вычислена верно.

48 – 30 = 18

48 – 18 = 30

30 = 30

30 – вычитаемое

Сформулируем правила проверки вычитания: «Для проверки вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно», или «Для проверки вычитания, надо из уменьшаемого вычесть разность. Если в результате получается вычитаемое, значит, вычитание выполнено верно».

Вывод: Сложение и вычитание – это обратные действия. Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно. Для того, чтобы выполнить проверку вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно.

Тренировочные задания.

1. Найдите значение первого выражения в каждой рамке, а затем выполни проверку полученного результата двумя способами.

42 + 30 = …..	54 + 6 = …..	65 – 12 = …..	78 – 50 = …..
– 30 = ……. – 30 = …….	– 6 = ……. – 30 = …….	+ 12 =……. – 30 = …….	+ 50 =……. – 30 = …….

Правильные ответы:

42 + 30 = 72.	54 + 6 = 60..	65 – 12 = 53..	78 – 50 = 28.
72 – 30 = 42. 72 – 42 = 30.	60 – 6 = …54. 60 – 54 = …6.	53 + 12 = 65 65 – 53 = 12.	28 + 50 =78. 78 – 28 = 50

2. Распределите все записи с вычислениями и проверкой на верные и неверные.

Правильные ответы:

Как проверить правильность вычислений? Неужели для этого придётся заново перерешивать всё задание или пошагово проверять все выкладки? Это отнимает слишком много времени, а оно на экзамене бесценно. Если мы в целом стараемся максимально эффективно решать задачи, то и для проверки результатов мы тоже должны найти наиболее удобный способ.

Давайте разберём некоторые из таких способов. Все они не гарантируют, что полученный ответ будет на 100% правильным. Иначе этот способ мы бы просто использовали в качестве решения. Но каждая такая положительная проверка увеличивает вероятность того, что вы получили правильный ответ.

Итак, мгновенные проверки вычислений:

🗝️ Проверка по последней цифре

Если у вас есть какие-то длинные математические вычисления, вы всегда можете посмотреть, как себя будет вести последняя цифра. От каждого числа оставьте лишь последнюю цифру и проведите все те же самые расчёты. Полученная последняя цифра этих дополнительных вычислений должна будет совпадать с последней цифрой первоначального результата.

Пример: вычислили 185 · 97 + 381 · 13 и получили 22689

185 · 97 + 381 · 13 → 5 · 7 + 1 · 3 = 38. Последняя цифра должна быть 8, а у нас получилась 9. То есть где-то в вычислениях мы ошиблись.

Частный случай использования такого подхода можно рассмотреть на примере точных квадратов. Квадрат любого числа может оканчиваться только цифрой 0, 1, 4, 5, 6, 9 (потому что на эти цифры заканчиваются квадраты однозначных чисел). Если при возведении во второю степень вы получили на конце другую цифру, то у вас точно ошибка.

Но для точных квадратов можно провести более интересную мгновенную проверку. Если смотреть на две последних цифры точных квадратов, то можно обнаружить следующие закономерности:

• Если последняя цифра квадрата равна 5, то предпоследняя всегда равна 2.
• Если последняя цифра квадрата равна 0, то предпоследняя всегда тоже равна 0.
• Если последняя цифра квадрата равна 1, 4 или 9, то предпоследняя цифра всегда чётная.
• Если последняя цифра квадрата равна 6, то предпоследняя цифра всегда нечётная.

То есть, если после возведения в квадрат, вы получили число, оканчивающееся на 35, 60, 71 или 26, то у вас точно где-то ошибка.

Метод проверки по последней цифре довольно легко использовать на практике, но и ученики не так часто допускают такую оплошность.

🗝️ Приближённые вычисления

Смысл такой проверки состоит в том, что вы проводите те же самые вычисления не с самими числами, а с удобными и близкими к ним. Обычно это числа, округлённые до сотен или десятков. Такая предварительная оценка поможет избежать ошибок, если первоначальный результат получился на порядок больше или меньше. Но даже если расхождение с ответом получились в несколько раз, то это повод задуматься.

Пример: вычислили 78 · 564 и получили в результате 12942.

Округлим: 78 ≈ 80, а 564 ≈ 550. Получаем 78 · 564 ≈ 80 · 550 = 44000. Слишком большое расхождение с полученным изначально результатом. Значит, у нас ошибка.

Кстати, в данном примере точный ответ 43992. То есть мы почти в него попали приближёнными вычислениями. Но это скорее удачное совпадение. Обычно расхождение всё-таки чуть больше и в среднем может составить до 20%. Точно сказать нельзя, т.к. это зависит от того, в какую сторону вы округляли и насколько сильно.

Приблизительные вычисления хорошо работают, когда вы случайно написали где-то лишнюю цифру или, наоборот, забыли её. Кстати, в быту это самый полезный способ подсчёта, т. к. позволяет прикинуть примерный результат. Это также позволяет его легко натренировать в повседневности.

🗝️ Использование свойств делимости

Эта проверка особенно хорошо подходит для умножения. Основана она на том, что если один из сомножителей делится на какое-либо число, то и результат тоже будет делится на это число. Чаще всего проверяют делимость на 9. Она удобна тем, что относительно проста в использовании (признак делимости числа на 9: делимость на 9 суммы всех цифр этого числа).

Пример: вычислили 45 · 728 и получили в результате 32860. 45 делится на 9, а 32860 нет (т.к. 3 + 2 + 8 + 6 + 0 = 19 не делится на 9).

Для продвинутых вычислителей можно применить более сильный метод и поработать с остатками от деления на 9. Смысл такой тонкой проверки состоит в том, что вы проводите вычисления не с самими числами, а с их остатками от деления на 9. В итоге остаток от деления на 9 нового результата должен совпадать с остатком от деления на 9 проверяемого результата.

Пример: вычислили 785 · 67 + 381 и получили 51976

Остатки от деления на 9: 785 → 2, 67 → 4, 381 → 3

Поэтому остаток от деления на 9 выражения 785 · 67 + 381 → 2 · 4 + 3 = 11 → 2

Остаток для числа 51976 → 1

Остатки 2 ≠ 1, поэтому ответ неверный.

Кстати, проверка по последней цифре — это тоже использование остатков от деления, только не на 9, а на 10. В принципе, так можно проверять для любого делителя. Например, для разнообразия можно попробовать тот же самый подход для числа 11, если вы хорошо помните его признак делимости и умеете его применять.

Из всех типов проверки использование свойств делимости на 9 выглядит очень громоздким, поэтому его всегда недооценивают. Однако этот метод весьма действенный. Дело в том, что остаток от деления числа на 9 можно быстро найти, если использовать одну особенность. О ней поговорим в следующей статье.

Проверка арифметических действий

Чтобы убедиться, что какое-нибудь арифметическое действие сделано без ошибки, его проверяют.

Проверкой называют совокупность арифметических приемов с целью убедиться, что данное арифметическое действие исполнено верно. Проверка также состоит из арифметических действий, выполненных в другом порядке.

Самый простой способ убедиться, что действие выполнено верно, состоит, конечно, в том, чтобы повторить его снова. Однако, замечено, что уверенность наша увеличивается, если мы убедимся другим путем в верности какого-нибудь результата, поэтому проверяют арифметические действия иначе.

Проверка основана на главных свойствах самих арифметических действий и на зависимости, существующей между данными и искомыми числами.

Основываясь на главных свойствах самих действий, мы можем каждое действие проверять тем же действием, только выполненным в другом порядке. Таким образом, сложение проверяется сложением, вычитание — вычитанием и т. д.

Проверка арифметических действий теми же действиями

Проверка сложения

Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых, следовательно, чтобы проверить сложение, нужно сложить слагаемые в другом порядке; если получится та же самая сумма, сложение сделано верно.

Обычно при проверке складываются слагаемые в обратном порядке, то есть снизу вверх.

Проверка вычитания

Вычитаемое равно уменьшаемому без разности, следовательно, чтобы проверить вычитание, нужно из уменьшаемого вычесть разность; если в остатке получится вычитаемое, вычитание сделано верно.

Проверка умножения

Произведение не изменяется от перемены порядка множителей, следовательно, чтобы проверить умножение, нужно переменить порядок множителей и снова выполнить умножение; если получим то же произведение, умножение выполнено верно.

Проверка деления

При делении нацело делитель равен делимому, разделенному на частное, следовательно, чтобы проверить деление, в случае деления нацело, нужно делимое разделить на частное; если в частном получится делитель, деление сделано верно.

Урок 28. Решение задач. Проверка решения задачи

Задача – это упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления.

Выражение – формула, выражающая какие–либо математические отношения.

Обратные задачи – это задачи, в которых число и результат меняются местами (известное становится неизвестным, а неизвестное известным).

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с88, 89.
2. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/М. И. Моро, М.А.Бантова – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – с.62.
3. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. М. И. Моро, С. И. Волкова – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – с.23, 24.
4. Математика. Тетрадь учебных достижений. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. С. И. Волкова – М.: Просвещение, 2017. – с.34, 35.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Действия сложение и вычитание связаны друг с другом, являются взаимно обратными действиями.

Вы помните, что в математике существуют обратные задачи. Они нам помогут при проверке решения. Обратные задачи должны обладать следующими признаками: сходный сюжет задач, число и результат меняются местами (известное становится неизвестным, а неизвестное известным).

Вы уже умеете выполнять проверку сложения и вычитания двумя способами. Вспомним эти правила.

Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно

Для проверки вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно.

Для проверки вычитания, надо из уменьшаемого вычесть разность. Если в результате получается вычитаемое, значит, вычитание выполнено верно.

Решим задачу и на её примере выполним проверку решения.

Папа поймал на рыбалке 6 окуней и 8 лещей. Сколько всего рыб поймал папа?

Чтобы узнать, сколько всего рыбы поймал папа, сложим количество окуней и лещей.

8 + 6 = 14 (р.) всего поймал папа.

Выполним проверку обратным действием.

Проверка: 14 – 6 = 8 (р.)

8 – это количество лещей, которых поймал папа. Значит, задачу решили верно.

Это действие является решением обратной задачи:

Папа поймал на рыбалке 14 окуней и лещей. Окуней было 6. Сколько лещей поймал папа?

Значит, чтобы проверить решение задачи, можно решить обратную задачу.

Теперь рассмотрим, как представить текст задачи в таблице. Прочитайте задачу.

Выделим главные слова в этой задаче, которые показывают действия, совершаемые с карандашами. Это слова: было, взяли, положили, стало.

Начертим таблицу из четырёх столбиков и двух строк. Запишем главные слова и вставим данные и вопрос.

Как сделать проверку примера столбиком?

Три весёлых поросёнка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф приглашают нас с вами, ребята, в гости. Посмотрите, какие дома они построили!

Как вы думаете, можно ли вставить в окошки карточки с цифрами? Почему?

В домике Ниф-Нифа в открытом окошке может быть карточка с цифрой 5? Какое выражение можно записать?

А какое выражение запишем, если в доме Нуф-Нуфа в окошке будет цифра 2?

Можно ли в окошке Наф-Нафа увидеть цифру 1? А цифру 3?

С цифрой 1 запишем выражение: 1 – 1.

А вот цифра 3 не подходит, потому что из 1 нельзя вычесть 3.

Запишите получившиеся выражения и найдите их значения.

Мы записали числовые выражения, ведь они содержат только числа.

Ребята, как вы думаете, можно ли в окошко вставить карточку с буквой?

В математике принято использовать латинские буквы. Может быть, вы уже знаете некоторые из них? Давайте, правильно назовем латинские буквы.

В окошки домиков поросят подставим карточки с буквами: x, y, d.

Запишем выражения: x + 4, 6 + y, 1 – d.

У нас получились буквенные выражения.

Найдём значение следующих буквенных выражений: 8 + а, d – 6, x + 5, y – 1.

Буквенные выражения

Три весёлых поросёнка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф приглашают нас с вами, ребята, в гости. Посмотрите, какие дома они построили!

 

Как вы думаете, можно ли вставить в окошки карточки с цифрами? Почему?

В домике Ниф-Нифа в открытом окошке может быть карточка с цифрой 5? Какое выражение можно записать?

5 + 4

А какое выражение запишем, если в доме Нуф-Нуфа в окошке будет цифра 2?

6 + 2

Можно ли в окошке Наф-Нафа увидеть цифру 1? А цифру 3?

С цифрой 1 запишем выражение: 1 – 1.

А вот цифра 3 не подходит, потому что из 1 нельзя вычесть 3.

Запишите получившиеся выражения и найдите их значения.

Проверь себя.

5 + 4= 9

6 + 2= 8

1 – 1= 0

Мы записали числовые выражения, ведь они содержат только числа.

Ребята, как вы думаете, можно ли в окошко вставить карточку с буквой?

В математике принято использовать латинские буквы. Может быть, вы уже знаете некоторые из них? Давайте, правильно назовем латинские буквы.

 

В окошки домиков поросят подставим карточки с буквами: x, y, d.

Запишем выражения: x + 4, 6 + y, 1 – d.

У нас получились буквенные выражения.

Найдём значение следующих буквенных выражений: 8 + а, d – 6, x + 5, y – 1.

Для этого вместо буквы подставим число: а = 12, d = 9, x = 14, y = 20.

8 + a d – 6 x + 5 y – 1

8 + 12 = 20 9 – 6 = 3 14 + 5 = 19 20 – 1 = 19

Найдите значение выражения: k + 20, если k = 3, k = 5, k = 9.

Проверь себя.

3 + 20 = 23

5 + 20 = 25

9 + 20 = 29

Видео

Деление дробей в столбик

Разделим 5220 на 36

—	5	2	2	3	6
3	6	1	4	5	36 × 1 = 36
—	1	6	2	52 — 36 = 16
1	4	4	36 × 4 = 144
—	1	8	162 — 144 = 18
1	8	36 × 5 = 180
180 — 180 = 0

Выделим первое полное делимое 52 Делим 52 на 36. Получится 1 с остатком Под чертой в ответе пишем цифру 1. Проверяем умножением 36х1=36. Вычитаем и сравниваем, разница должна быть меньше делителя. 52-36=16, 16<36 Сносим 2 Делим 162 на 36 Получится 4 с остатком Под чертой в ответе пишем цифру 4. Проверяем умножением 36х4=144. Вычитаем и сравниваем, разница должна быть меньше делителя. 162-144=18, 18<36 Сносим 0 Делим 180 на 36 Получится 5 без остатка Под чертой в ответе пишем цифру 5. Проверяем умножением 36х5=180. Вычитаем и сравниваем 180-180=0 Сносить больше нечего Расчёт окончен.

Проверка сложения и вычитания

Ребята, по примеру на сложение составьте два примера на вычитание по образцу:

2 + 3 = 56 + 1 = 79 + 7 = 16

5 – 2 = 3                                     ………..                                           …………

5 – 3 = 2                                     ………..                                           …………

Проверь себя:

Молодцы! Вспомните, как называются числа при сложении!

Это правило пригодится нам для проверки правильности вычислений.

Например, 2 + 1 = 3

Проверку выполним вычитанием: 3 – 1 = 2 или 3 – 2 = 1.

Выполните самостоятельно сложение и сделайте проверку вычитанием:

17 + 3                                     76 + 4                                    20 + 19

Проверь себя.

17 + 3 = 20 20 – 3 = 17

76+ 4 = 80 80 – 4 = 76

20 + 19 = 39 39 – 20 = 19

Задание от Нуф-Нуфа. Ребята, вспомните, как называются числа при вычитании?

Ребята, выполните вычитание и сделайте проверку сложением:

30 – 9         100 – 40

Проверь себя.

30 – 9 = 21

21 + 9 = 30

100 – 40 = 60

60 + 40 = 100

Выполните вычитание и сделайте проверку, пользуясь правилом:

72–30               60–20

Проверь себя.

72 – 30 = 42

72 – 42 = 30

60 – 20 = 40

60 – 40 = 20

Различные способы проверки сложения

После того, как пример на сложение решён, его решение можно проверить разными способами. Сложение можно проверить тремя способами: сложением и вычитанием.

• Если слагаемые поменяем местами и получим тот же результат, то пример на сложение решён правильно.
• Сложение можно проверить вычитанием.
• Если из суммы вычтем первое слагаемое и получим второе слагаемое, то пример решён правильно.
• Если же при выполнении проверки не получим второе слагаемое, то пример снова надо решить и снова проверить.
• Если из суммы вычтем второе слагаемое и получим первое слагаемое, то сумму нашли верно.
• Если же, выполняя проверку, получим число, которое не равно первому слагаемому, то пример надо перерешать и вновь проверить.

Теги