Как найти прямую пересечения двух плоскостей векторы

В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.

Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.

По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.

Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве

Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β. Разместим их в прямоугольной системе координат Oхуz трехмерного пространства.

Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0. Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A1x+B1y+C1z+D1=0, а плоскости β уравнение A2x+B2y+C2z+D2=0. В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:

n1→≠λ·n2→⇔A1, B1, C1≠λ·A2, λ·B2, λ·C2 , λ∈R

Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.

Линию пересечения плоскостей обозначим буквой  a. Т.е. a=α∩β. Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β. Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Фактически, они являются частным решением системы уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

Общее решение системы линейных уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β. Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат Oxyz.

Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.

Прямая Ox – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости Oxy и Oxz. Зададим плоскость Oxy уравнением z=0, а плоскость Oxz уравнением у=0. Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая Ox определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y=0z=0.

Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости

Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oхуz. Линия, по которой пересекаются две плоскости a, задана системой уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0. Дана точка трехмерного пространства M0 x0, y0, z0.

Давайте определим, принадлежит ли  точка M0 x0, y0, z0 заданной прямой линии a.

Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A1x0+B1y0+C1z0+D1=0 и A2x0+B2y0+C2z0+D2=0, то точка М0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A1x0+B1y0+C1z0+D1=0 и A2x0+B2y0+C2z0+D2=0 окажется неверным, то точка М0 не принадлежит прямой линии.

Рассмотрим решение примера

Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.

Приведем пример.

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости

Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.

Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.

Плоскости α и β пересекаются по линии a. Направляющий вектор a→ прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n1→=(A1, B1, C1) плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и нормальному вектору n2→=(A2, B2, C2) плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n→1=(A1, B1, C1) и n2→=A2, B2, C2.

a→=n→1×n2→=i→j→k→A1B1C1A2B2C2

Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ·a→=λ·n1→×n2→, где λ – это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве

Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ. В этих уравнениях ax, ay, az – координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 – координаты некоторой точки прямой,  а λ – параметр, принимающий произвольные действительные значения.

От уравнения прямой вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассмотрим написанное выше на примере.

Данная задача имеет еще один способ решения.

Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ.

Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ, приравниваем правые части равенства.

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ⇔λ=x-x1axλ=y-y1ayλ=z-z1az⇔x-x1ax=y-y1ay=z-z1az

Применим данный способ к решению задачи.



5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Если плоскости   пересекаются, то система линейных уравнений  задаёт прямую в пространстве.

То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и

распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:

Задача 151

Записать канонические уравнения прямой

Решение: чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух

плоскостей….

1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? Методом подбора. В системе уравнений обнулим

какую-нибудь координату, например, . Тогда получается система двух линейных

уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим

решение системы:

Таким образом, точка  принадлежит данной прямой. Но принадлежит ли?

Выполним проверку – подставим её координаты в исходную систему уравнений:

Получены верные равенства, значит, действительно .

В процессе подбора обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в

системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует

проводить мысленно или на черновике.

2) Как найти направляющий вектор прямой? Существует готовая формула: если прямая задана пересечением двух

плоскостей , то вектор  является направляющим вектором данной прямой.
В нашей задаче:

Однако всех формул не упомнишь и поэтому очень важно понимать, откуда они взялись. Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей:  и , поэтому вектор «пэ» можно найти как векторное произведение векторов нормали: .
Из уравнений плоскостей  «снимаем» их векторы нормали:
 и находим направляющий вектор прямой:

Проверим результат с помощью скалярного произведения:
, ч.т.п.

И, наконец, завершающий этап:

3) Составим канонические уравнения прямой по точке  и

направляющему вектору :

Ответ:

Аналогичная задача для самостоятельного решения:

Задача 152

Записать канонические уравнения прямой

Будьте внимательны! Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения

и подставьте в моё уравнение (или наоборот).

Полное решение и ответ в конце книги.

И сейчас самое время перейти к простейшим задачам с пространственной прямой:

5.5.1. Взаимное расположение прямых

5.4.3. Параметрические уравнения прямой

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая
в пространстве может быть определена
как линия пересечения двух непараллельных
плоскостей
и,
то есть как множество точек, удовлетворяющих
системе двух линейных уравнений

(V.5)

Справедливо
и обратное утверждение: система двух
независимых линейных уравнений вида
(V.5)
определяет прямую как линию пересечения
плоскостей (если они не параллельны).
Уравнения системы (V.5)
называются общим
уравнением прямой
в пространстве
.

Пример
V.12.
Составить
каноническое уравнение прямой, заданной
общими уравнениями плоскостей

Решение.
Чтобы написать
каноническое уравнение прямой или, что
тоже самое, уравнение прямой, проходящей
через две данные точки, нужно найти
координаты каких-либо двух точек прямой.
Ими могут служить точки пересечения
прямой с какими-нибудь двумя координатными
плоскостями, например Oyz
и Oxz.

Точка
пересечения прямой с плоскостью Oyz
имеет абсциссу
.
Поэтому, полагая в данной системе
уравнений,
получим систему с двумя переменными:

Ее
решение
,вместе сопределяет точкуискомой прямой. Полагая в данной системе
уравнений,
получим систему

решение
которой
,вместе сопределяет точкупересечения прямой с плоскостьюOxz.

Теперь
запишем уравнения прямой, проходящей
через точки
и:или,
гдебудет направляющим векто-ром этой
прямой.

Пример
V.13.
Прямая задана
каноническим уравнением
.
Составить общее уравнение этой прямой.

Решение.
Каноническое
уравнение прямой можно записать в виде
системы двух независимых уравнений:



Получили
общее уравнение прямой, которая теперь
задана пересечением двух плоскостей,
одна из которых
параллельна осиOz
(),
а другая– осиОу
().

Данную
прямую можно представить в виде линии
пересечения двух других плоскостей,
записав ее каноническое уравнение в
виде другой пары независимых уравнений:



Замечание.
Одна и та же прямая может быть задана
различными системами двух линейных
уравнений (то есть пересечением различных
плоскостей, так как через одну прямую
можно провести бесчисленное множество
плоскостей), а также различными
каноническими уравнениями (в зависимости
от выбора точки на прямой и ее направляющего
вектора).

Ненулевой
вектор, параллельный прямой линии, будем
называть ее направляющим
вектором.

Пусть
в трехмерном пространстве

задана прямая l,
проходящая через точку
,
и ее направляющий вектор.

Любой
вектор
,
где,
лежащий на прямой, коллинеарен с вектором,
поэтому их координаты пропорциональны,
то есть

.
(V.6)

Это
уравнение называется каноническим
уравнением прямой. В частном случае,
когда ﻉ
есть
плоскость, получаем уравнение прямой
на плоскости

.
(V.7)

Пример
V.14.
Найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
,.

Будем
считать вектор
направляющим, тогда уравнение искомой
прямой имеет вид

,

где
,,.

Удобно
уравнение (V.6)
записать в параметрической форме. Так
как координаты направляющих векторов
параллельных прямых пропорциональны,
то, полагая

,

получим

где
t
– параметр,
.

Расстояние от точки до прямой

Рассмотри
двухмерное евклидовое пространство ﻉ

с
декартовой системой координат. Пусть
точка
ﻉ

и
lﻉ.
Найдем расстояние от этой точки до
прямой. Положим
_,
и прямая l
задается уравнением
(рис.V.8).

Расстояние

,
вектор
,
где

– нормальный вектор прямой l,

и

– коллинеарны, поэтому их координаты
пропорциональны, то есть
,
следовательно,

,

.

Рис.
V.8

Отсюда
или умножая эти уравнения
наA
и B
соответственно и складывая их, находим
,
отсюда

или

.

Формула

(V.8)

определяет
расстояние от точки
до прямой.

Пример
V.15.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно прямойl:
и найти расстояние отдо прямойl.

Из
рис. V.8
имеем
,
а нормальный вектор прямойl
.
Из условия перпендикулярности имеем

или

.

Так
как
,
то

.
(V.9)

Это
и есть уравнение прямой, проходящей
через точку
,перпендикулярно
прямой
.

Пусть
имеем уравнение прямой (V.9),
проходящей через точку
,
перпендикулярна прямойl:
.
Найдем расстояние от точкидо прямойl,
используя формулу (V.8).

Для
нахождения искомого расстояния достаточно
найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
и точку,
лежащую на прямой в основании
перпендикуляра. Пусть
,
тогда

.
(V.10)

Так
как
,
а вектор,
то

.
(V.11)

Поскольку
точка
лежит на прямойl,
то имеем еще одно равенство
или

Приведем систему
к виду, удобному для применения метода
Крамера

Ее решение имеет
вид

,

.
(V.12)

Подставляя
(V.12)
в (V.10),
получаем исходное расстояние.

Пример
V.16.
В двухмерном пространстве задана точка
и прямая.
Найти расстояние от точкидо прямой; записать уравнение прямой,
проходящей через точкуперпендикулярно заданной прямой и найти
расстояние от точкидо основания перпендикуляра к исходной
прямой.

По
формуле (V.8)
имеем

.

Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр, найдем
как прямую, проходящую через две точки
и,
воспользовавшись формулой (V.11).
Так как
,
то, с учетом того, что,
а,
имеем

.

Для
нахождения координат
имеем систему с учетом того, что точкалежит на исходной прямой

Следовательно,
,,
отсюда.

Рассмотрим
трехмерное евклидовое пространство ﻉ.
Пусть точка
ﻉ
и
плоскость ﻉ.
Найдем расстояние от этой точки
до плоскости,
заданной уравнением
(рис.V.9).

Рис.
V.9

Аналогично
двухмерному пространству имеем
и вектор,
а,
отсюда

.
(V.13)

Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр к
плоскости ,
запишем как уравнение прямой, проходящей
через две точки
и,
лежащую в плоскости:

.
(V.14)

Для
нахождения координат точки
к двум любым равенствам формулы (V.14)
добавим уравнение

.
(V.15)

Решая
систему трех уравнений (V.14),
(V.15),
найдем
,,– координаты точки.
Тогда уравнение перпендикуляра запишется
в виде

.

Для
нахождения расстояния от точки
до плоскости
вместо формулой (V.13)
воспользуемся

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку “Решить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

α1:  A1x+B1y+C1z+D1=0,

(1)

α2:  A2x+B2y+C2z+D2=0,

(2)

где n₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} − нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂, соответственно.

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

1. Нормальные векторы n₁ и n₂ плоскостей α₁ и α₂ коллинеарны (Рис.1).

Поскольку векторы n₁ и n₂ коллинеарны, то существует такое число λ≠0, что выполнено равенство n₁=λn₂, т.е. A₁=λA₂, B₁=λB₂, C₁=λC₂.

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

α2:  A1x+B1y+C1z+λD2=0,

(3)

Если выполненио равенство D₁=λD₂, то плоскости α₁ и α₂ совпадают, если же D₁≠λD₂то плоскости α₁ и α₂ параллельны, то есть не пересекаются.

2. Нормальные векторы n₁ и n₂ плоскостей α₁ и α₂ не коллинеарны (Рис.2).

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

где x₀, y₀, z₀, m, p, l действительные числа, а t − переменная.

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={1, 2, 1}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={2, 9, −5}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Получим решение:

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={1, 2, 7}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={2, 4, 14}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={5, −2, 3}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={15, −6, 9}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.

5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Если плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаёт прямую в пространстве.

То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:

Задача 151

Записать канонические уравнения прямой

Решение: чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей….

1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? Методом подбора. В системе уравнений обнулим какую-нибудь координату, например, . Тогда получается система двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим решение системы:

Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Но принадлежит ли? Выполним проверку – подставим её координаты в исходную систему уравнений:

Получены верные равенства, значит, действительно .

В процессе подбора обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует проводить мысленно или на черновике.

2) Как найти направляющий вектор прямой? Существует готовая формула: если прямая задана пересечением двух плоскостей , то вектор является направляющим вектором данной прямой.
В нашей задаче:

Однако всех формул не упомнишь и поэтому очень важно понимать, откуда они взялись. Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей: и , поэтому вектор «пэ» можно найти как векторное произведение векторов нормали: .
Из уравнений плоскостей «снимаем» их векторы нормали:
и находим направляющий вектор прямой:

Проверим результат с помощью скалярного произведения:
, ч.т.п.

И, наконец, завершающий этап:

3) Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Аналогичная задача для самостоятельного решения:

Задача 152

Записать канонические уравнения прямой

Будьте внимательны! Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения и подставьте в моё уравнение (или наоборот).

Полное решение и ответ в конце книги.

И сейчас самое время перейти к простейшим задачам с пространственной прямой:

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

α2: A1x+B1y+C1z+λD2=0,

(3)

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

(4)

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

,

(5)

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

.

(6)

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

.

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

.

(9)

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

.

(10)

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

.

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

.

.

(11)

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

.

(12)

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

(13)

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(14)

(15)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

(16)

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(17)

(18)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

(19)

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.

Нахождение уравнений прямой, заданной пересечением двух плоскостей

Этот онлайн калькулятор находит уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей в пространстве.

Этот онлайн калькулятор предназначен для проверки решений задач, которые можно сформулировать следующим образом:

Записать канонические уравнения прямой, заданной уравнениями двух плоскостей

Вы задаете коэффициенты уравнений плоскостей, калькулятор выдает уравнения прямой в канонической форме. Немного теории, как обычно, можно почерпнуть под калькулятором

Нахождение уравнений прямой, заданной пересечением двух плоскостей

Канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей

Если плоскости пересекаются, то система уравнений, приведенная в начале статьи, задает прямую в пространстве. Для записи уравнений этой прямой в каноническом виде, надо найти какую либо точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор.

Точка, принадлежащая прямой, также принадлежит и каждой из плоскостей, то есть является одним из решений системы уравнений выше. Для нахождения точки, принадлежащей прямой, переходят от системы из двух уравнений с тремя неизвестными к системе из двух уравнений с двумя неизвестными, произвольно принимая какую-либо координату точки за ноль. Как правило, при решении задач, выбирают ту координату, при занулении которой решение системы из двух уравнений с двумя неизвестными дает в ответе целые числа. Калькулятор учитывает этот факт и также пытается найти целочисленное решение, зануляя все координаты по очереди.

Направляющий вектор прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей, которые задаются коэффициентами A, B и С в общем уравнении плоскости . Таким образом его можно найти как результат векторного произведения нормальных векторов плоскостей .

Точка и вектор дают нам канонические уравнения прямой:

Существуют частные случаи, когда одна или две координаты направляющего вектора равны нулю.

В случае, если нулю равны две координаты, направляющий вектор коллинеарен одной из координатных осей. Соответственно, точки прямой могут принимать любое значение по этой оси, при этом значения по двум другим осям будут постоянны. Например, если двумя нулевыми координатами будут y и z, канонические уравнения прямой будут выглядеть так:

В случае. если нулю равна одна координата, направляющий вектор лежит в одной из координатных плоскостей (плоскостей, образованных парами координатных осей), значение координаты по третьей оси, ортогональной этой плоскости (как раз той, для которой координата направляющего вектора равна нулю), опять будет постоянным. Например, если нулевой координатой будет x, то канонические уравнения прямой будут выглядеть так:

Эти случаи также учитываются калькулятором.