Как найти прямую перпендикулярную данной прямой

Как найти прямую перпендикулярную данной прямой



2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

В отличие от предыдущих задач п. 2.5, рассмотренные ниже схемы работают лишь в декартовой системе

координат (но не в общем аффинном случае):

Задача 79

Прямая задана уравнением  в декартовой системе координат. Составить

уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение: по условию известна точка  ( – значок принадлежности), и нам неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Так как прямые перпендикулярны, то фокус прост:  из уравнения  «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой  составим по точке  и направляющему вектору :

Ответ:

Развернём геометрический этюд:
И аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений ,   вытаскиваем направляющие векторы  и с помощью скалярного произведения приходим к выводу, что прямые действительно

перпендикулярны:
.
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка  полученному уравнению
Оба пункта легко выполнить устно!

Самостоятельно:

Задача 80

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение  в декартовой системе координат  и точка .

В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

И наше увлекательное путешествие продолжается:

2.5.5. Как вычислить расстояние от точки до прямой?

2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y=k1x+b1 — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид

    [y = - frac{1}{{k_1 }}x + b_2 .]

Если эта прямая проходит через точку M(xo; yo), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение xo и yo, мы найдем b.

Примеры.

1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.

Решение:

Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то

    [k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{5} = - 0,2.]

Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид

    [y = - 0,2x + b.]

Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

    [3 = - 0,2 cdot ( - 10) + b,]

откуда b=1.

Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)

    [y = - 0,2x + 1.]

Ответ: y= -0,2x+1.

2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).

Решение:

Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.

Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.

Ответ: y=9.

3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).

Решение:

Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.

Ответ: x=7.

Источник

В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Определение 1

Если плоскость α проходит через заданную точку М1 перпендикулярно к заданной прямой b, то прямые, лежащие  в этой плоскости, в том числе и проходящая через М1 являются перпендикулярными заданной прямой b.

Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат Охуz имеем прямую b, то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M1(x1, y1), а необходимо составить уравнение прямой a, которая проходит через точку М1 , причем перпендикулярно прямой b.

По условию имеем координаты точки М1. Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a, или координаты нормального вектора прямой a, или угловой коэффициент прямой a.

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b. По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a. Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как kb и ka. Они связаны при помощи соотношения kb·ka=-1.

Получили, что направляющий вектор  прямой b имеет вид b→=(bx, by), отсюда нормальный вектор – na→=(A2, B2), где значения A2=bx, B2=by. Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M1(x1, y1), имеющее нормальный вектор na→=(A2, B2), имеющее вид A2·(x-x1)+B2·(y-y1)=0.

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид nb→=(A1, B1), тогда направляющий вектор прямой a является вектором a→=(ax, ay), где значения ax=A1, ay=B1. Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a, проходящее через точку с координатами M1(x1, y1) с направляющим вектором a→=(ax, ay), имеющее вид x-x1ax=y-y1ay или x=x1+ax·λy=y1+ay·λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента kb прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a. Он будет равен -1kb. Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a, проходящей через M1(x1, y1) с угловым коэффициентом -1kb в виде y-y1=-1kb·(x-x1).

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Пример 1

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M1 (7, -9) и перпендикулярна прямой b, которое задано каноническим уравнением прямой x-23=y+41.

Решение

Из условия имеем, что b→=(3, 1) является направляющим вектором прямой x-23=y+41. Координаты вектора b→=3, 1 являются координатами нормального вектора прямой a, так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем na→=(3, 1). Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M1(7, -9), имеющее нормальный вектор с координатами na→=(3, 1).

Получим уравнение вида: 3·(x-7)+1·(y-(-9))=0 ⇔3x+y-12=0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3x+y-12=0.

Пример 2

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат Охуz, перпендикулярно прямой 2x-y+1=0.

Решение

Имеем, что nb→=(2, -1) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a→=(2, -1) – координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a→=(2, -1). Получим, что x-02=y+0-1⇔x2=y-1.  Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2x-y+1=0.

Ответ: x2=y-1.

Пример 3

Записать уравнение прямой, проходящей через точку  с координатами M1(5, -3) перпендикулярно прямой y=-52x+6.

Решение

Из уравнения y=-52x+6 угловой коэффициент имеет значение -52. Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение -1-52=25. Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M1(5, -3) перпендикулярно прямой y=-52x+6, равна y-(-3)=25·x-5⇔y=25x-5.

Ответ:  y=25x-5.

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

  1. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 1

    1

    Simplify the equation of the line. If you are given the equation of a line and one common point and asked to find a line that runs perpendicular to it, it is important that you first convert the equation into the y=mx+b format. To do this, you want to get the y by itself.[3]

  2. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 2

    2

    Calculate the opposite reciprocal of the slope. When a line is perpendicular to another line, the slope will be the negative opposite of the original line. This is called the opposite reciprocal. The lines cross each other at a right angle, so the slopes must be opposite. Two perpendicular slopes multiplied together will always equal -1.[4]

    Advertisement

  3. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 3

    3

    Plug the point into the slope equation to find the y-intercept. Now that you have the slope of the perpendicular line, you can plug the value of the slope and the point you were given into a slope equation. This will give you the value of the y-intercept. Using the y-intercept, you can move on to complete the slope equation.[5]

  4. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 4

    4

    Solve the equation for the y-intercept. Once you have your values entered into the slope equation, it is time to isolate b, or the y-intercept. To isolate b, you must move all other numbers from one side of the equation. After you solve for the y-intercept, you will know all of the numbers needed to write the equation of the perpendicular line.[6]

  5. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 5

    5

    6. Advertisement

  1. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 6

    1

    Understand the coordinates you were given. If you are given three coordinates from two perpendicular lines, they cannot all be used for the same equations. The first two coordinates will be used for one line, and the third will be used once you begin calculating the equation of the perpendicular line. The goal is finding two perpendicular y=mx+b equations.[8]

  2. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 7

    2

  3. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 8

    3

  4. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 9

    4

    Simplify the equation to solve for y. Once you have your chosen point and slope plugged into the equation, it is time to simplify. This will give you the equation of one line. After you know the equation of this line, you will be able to figure out the equation of the line that runs perpendicular to it.[11]

  5. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 10

    5

    Find the slope of the perpendicular line using the opposite reciprocal. A line perpendicular to another line will always have an opposite slope. If the slope of the original line is a positive whole number, then the slope of the perpendicular line will be a negative fraction. Two perpendicular slopes multiplied together will always equal -1.[12]

  6. Image titled Find the Equation of a Perpendicular Line Step 11

    6

    7. Advertisement

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 69,752 times.

Did this article help you?

Источник

Прямая перпендикулярная прямой

Решение функций

Расположенные на плоскости прямые (а) и (b), называются перпендикулярными, если при пересечении образуют четыре одинаковых угла, равных 90 градусам.

1. Прямую, проходящую через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярную к прямой у = kx + b можно представить уравнением: у — у1 = -1 / k (x — х1).

2. Прямую, проходящую через точку М1 (х1 , у1) и перпендикулярную к прямой Ax + By + C = 0, можно представить в виде уравнения A (y-y1) — B (x-x1) = 0.

3. Пусть дана прямая y = k1x + b1, тогда уравнение перпендикулярной ей прямой (при условии перпендикулярности) будет иметь вид у = -1 / k1 x + b2.

Если прямая проходит через точку M (x0 ; y0), ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты x0 ; y0, мы найдем b.
у0 = -1 / k1 x0 + b2, отсюда b2 = у0 + 1 / k1 x0

Рассчитать формулу для перпендикулярной прямой вам поможет онлайн калькулятор. Для этого следует ввести исходные параметры (х1 ; y1) (x2 ; y2) и нажать кнопку Вычислить.

Источник

Добавить комментарий