Путь при неравномерном движении.
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Сейчас мы будем рассматривать неравномерное движение – то есть движение, при котором абсолютная величина скорости меняется со временем. Оказывается, существует простая геометрическая интерпретация пути, пройденного телом при произвольном движении.
Начнём с равномерного движения. Пусть скорость тела постоянна и равна 
. Возьмём два момента времени: начальный момент 
и конечный момент 
. Длительность рассматриваемого промежутка времени равна 
.
Очевидно, что за промежуток времени ![[t_{displaystyle 1},t_{displaystyle 2}]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Bt_%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%2Ct_%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[t_{displaystyle 1},t_{displaystyle 2}]")
тело проходит путь:
(1)
Давайте построим график зависимости скорости от времени. В данном случае это будет прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 1).
 |
| Рис. 1. Путь при равномерном движении |
Нетрудно видеть, что пройденный путь равен площади прямоугольника, расположенного под графиком скорости. В самом деле, первый множитель в формуле (1) есть вертикальная сторона этого прямоугольника, а второй множитель 
– его горизонтальная сторона.
Теперь нам предстоит обобщить эту геометрическую интерпретацию на случай неравномерного движения.
Пусть скорость тела зависит от времени, и на рассматриваемом промежутке график скорости выглядит, например, так (рис. 2):
 |
| Рис. 2. Неравномерное движение |
Дальше мы рассуждаем следующим образом.
1. Разобьём наш промежуток времени на небольшие отрезки величиной .
2. Предположим, что на каждом таком отрезке ![[t_{displaystyle i},t_{displaystyle i}+Delta t]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Bt_%7B%5Cdisplaystyle%20i%7D%2Ct_%7B%5Cdisplaystyle%20i%7D%2B%5CDelta%20t%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[t_{displaystyle i},t_{displaystyle i}+Delta t]")
тело движется с постоянной скоростью 
. То есть, плавное изменение скорости заменим ступенчатой аппроксимацией*: в течение каждого небольшого отрезка времени тело движется равномерно, а затем скорость тела мгновенно и cкачком меняется.
На рис. 3 показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом.
 |
| Рис. 3. Ступенчатая аппроксимация |
Путь, пройденный за время равномерного движения – это площадь прямоугольника, расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого “ступенчатого” движения – это сумма площадей всех прямоугольников на графике.
3. Теперь устремляем к нулю. Ясно, что в пределе наша ступенчатая аппроксимация перейдёт в исходный график скорости на рис. 2. Сумма площадей прямоугольников перейдёт в площадь под графиком скорости; следовательно, эта площадь и есть путь, пройденный телом за время от до . (рис. 4
 |
| Рис. 4. Путь при неравномерном движении |
В итоге мы приходим к нужному нам обобщению геометрической интерпретации пути, полученной выше для случая равномерного движения.
| Аппроксимация – это приближённая замена достаточно сложного объекта более простой моделью, которую удобнее изучать. |
Геометрическая интерпретация пути.Путь, пройденный телом при любом движении, равен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.
Посмотрим, как работает эта геометрическая интерпретация в важном частном случае равноускоренного движения.
Задача. Тело, имеющее скорость 
в начальный момент 
, разгоняется с постоянным ускорением 
. Найти путь, пройденный телом к моменту времени 
.
Решение. Зависимость скорости от времени в данном случае имеет вид:
(2)
График скорости – прямая, изображённая на рис. 5. Искомый путь есть площадь трапеции, расположенной под графиком скорости.
 |
| Рис. 5. Путь при равноускоренном движении |
Меньшее основание трапеции равно . Большее основание равно 
. Высота трапеции равна . Поскольку площадь трапеции есть произведение полусуммы оснований на высоту, имеем:
Эту формулу можно переписать в более привычном виде:
Она, разумеется, вам хорошо известна из темы “Равноускоренное движение”.
Задача. График скорости тела является полуокружностью диаметра 
(рис. 6). Максимальная скорость тела равна . Найти путь, пройденный телом за время .
Решение. Как вы знаете, площадь круга радиуса 
равна 
. Но в данной задаче необходимо учесть, что радиусы полуокружности имеют разные размерности: горизонтальный радиус есть время 
, а вертикальный радиус есть скорость .
Поэтому пройденный путь, вычисляемый как площадь полукруга, равен половине произведения 
на горизонтальный радиус и на вертикальный радиус:
 |
| Рис. 6. К задаче |
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Путь при неравномерном движении.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.05.2023
На прошлых уроках мы познакомились с определением механического движения, узнали, каким бывает движение, изучили его свойства и характеристики. Теперь нам известны формулы для расчета скорости при равномерном движении ($upsilon = frac{S}{t}$) и средней скорости при неравномерном ($upsilon_{ср} = frac{S}{t}$).
На данном уроке мы посмотрим на эти формулы с другой стороны — научимся использовать их для расчета пути и времени движения, а также рассмотрим графики скорости и пути для равномерного движения.
Формулы для расчета пути и времени движения при равномерном движении тела
Скорость тела при равномерном движении вычисляется по формуле $upsilon = frac{S}{t}$. Отсюда, если мы знаем скорость и время, то можем найти пройденный путь:
$S = upsilon t$.
Чтобы определить путь, пройденный телом при равномерном движении, нужно скорость тела умножить на время его движения.
Выразим время:
$t = frac{S}{upsilon}$.
Чтобы рассчитать время при равномерном движении, нужно путь, пройденный телом, разделить на скорость его движения.
Формулы для расчета пути и времени движения при неравномерном движении тела
При неравномерном движении мы используем определение средней скорости, которую можем найти по формуле:
$upsilon_{ср} = frac{S}{t}$.
Чтобы определить путь при неравномерном движении, нужно среднюю скорость движения умножить на время:
$large S = upsilon_{ср} t$.
Также мы можем рассчитать время, разделив путь, пройденный телом, на среднюю скорость его движения:
$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$.
График скорости равномерного движения
Так как скорость – это векторная величина, она характеризуется и модулем, и направлением. В зависимости от выбранного направления скорость по знаку может быть как положительной, так и отрицательной.
На рисунке 1 изображен динозавр, автомобиль и дом. Зададим ось координат $x$.
Если динозавр начнет двигаться к дому, то его скорость будет положительной, так как направление движения совпадает с направлением оси $x$. Если же динозавр направится к автомобилю, то его скорость будет отрицательной, так как направление движения противоположно направлению оси $x$.
Итак, график скорости равномерного движения имеет вид, представленный на рисунке 2.
Из графика видно, что скорости с течением времени не изменяется – они постоянны в любой выбранный момент времени. Если мы посмотрим на график положительной скорости, то увидим, что $upsilon = 6 frac{м}{с}$, на график отрицательной — $upsilon = -4 frac{м}{с}$.
Зная скорость и время, мы можем рассчитать пройденный путь за определенный промежуток времени. Рассчитаем какой путь пройдет тело с положительной скоростью за $4 space с$.
$S = upsilon t = 6 frac{м}{с} cdot space 4 c = 24 space м$.
График пути равномерного движения
Пример графика зависимости пути равномерного движения представлен на рисунке 3.
Здесь $S$ — ось пройденных путей, $t$ — ось времени. По этому графику мы можем найти путь, пройденный телом за определенный промежуток времени. Например, за 1 с тело проходит путь длиной 2 м, за 2 с – 4 м, за 3 с – 6 м.
Зная путь и время, мы можем рассчитать скорость. Для удобства расчета возьмем самый первый отрезок пути: $t = 1 space с$, $S = 2 space м$. Тогда,
$upsilon = frac{S}{t} = frac{2 space м}{1 space с} = 2 frac{м}{с}$.
Задачи
Задача №1
Самым быстрым животным на Земле считается гепард. Он способен развивать скорость до $120 frac{км}{ч}$, но сохранять ее способен в течение короткого промежутка времени. Если за несколько секунд он не настигнет добычу, то, вероятнее всего, уже не сможет ее догнать. Найдите путь, который пробежит гепард на максимальной скорости за $3$ секунды.
Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.
$120 frac{км}{ч} = 120 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} approx 33 frac{м}{с}$.
Дано:
$upsilon = 120 frac{км}{ч}$
$t = 3 space c$
СИ:
$upsilon = 33 frac{м}{с}$
$S — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Гепард двигается равномерно в течение 3 с.
Путь, который он проходит за это время:
$S = upsilon t$,
$S = 33 frac{м}{с} cdot 3 с approx 100 space м$
Ответ: $S = 100 space м$.
Задача №2
Колибри – самые маленькие птицы на нашей планете. При полете они совершают около 4000 взмахов в минуту. Тем не менее, они способны пролетать очень большие расстояния. Например, некоторые виды данной птицы перелетают Мексиканский залив длиной $900 км$ со средней скоростью $40 frac{км}{ч}$. Сколько времени у них занимает такой полет?
Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.
$40 frac{км}{ч} = 40 cdot frac{1000 м}{3600 с} approx 11 frac{м}{с}$,
$900 space км = 900 space 000 м$.
Дано:
$upsilon_{ср} = 40 frac{км}{ч}$
$S = 900 space км$
CИ:
$upsilon_{ср} = 11 frac{м}{с}$
$S = 900 space 000 space м$
$t-?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Полет колибри будет примером неравномерного движения. Зная среднюю скорость и путь, рассчитаем время перелета:
$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$,
$t = frac{900 space 000 space м}{11 frac{м}{с}} approx 82 space 000 space с$.
Переведем время в часы:
$1 space ч = 60 space мин = 60 cdot 60 space c = 3600 space c$.
Тогда:
$t = frac{82 space 000 space c}{3600 space c} approx 23 space ч$.
Ответ: $t = 23 space ч$.
Больше задач на расчет пути и времени движения с подробными решениями смотрите в отдельном уроке.
Упражнения
Упражнение №1
Пользуясь таблицей 1 из прошлого урока, найдите скорости страуса, автомобиля, искусственного спутника Земли. Определите пути, пройденные ими за $5 space с$.
Дано:
$upsilon_1 = 22 frac{м}{с}$
$upsilon_2 = 20 frac{м}{с}$
$upsilon_3 = 8000 frac{м}{с}$
$t = 5 space с$
$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
$S_3 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Путь, пройденный страусом:
$S_1 = upsilon_1 t$,
$S_1 = 22 frac{м}{с} cdot 5 space с = 110 space м$.
Путь, пройденный автомобилем:
$S_2 = upsilon_2 t$,
$S_2 = 20 frac{м}{с} cdot 5 space с = 100 space м$.
Путь, пройденный искусственным спутником Земли:
$S_3 = upsilon_3 t$,
$S_3 = 8000 frac{м}{с} cdot 5 space с = 40 space 000 space м = 40 space км$.
Ответ: $S_1 = 110 space м$, $S_2 = 100 space м$, $S_3 = 40 space км$.
Упражнение №2
На велосипеде можно без особого напряжения ехать со скоростью $3 frac{м}{с}$. На какое расстояние можно уехать за $1.5 space ч$?
Дано:
$t = 1.5 space ч$
$upsilon = 3 frac{м}{с}$
СИ:
$t = 5400 space с$
$S — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем путь, который можно проехать на велосипеде с указанной скоростью:
$S = upsilon t$,
$S = 3 frac{м}{с} cdot 5400 space с = 16 space 200 space м = 16.2 space км$.
Ответ: $S = 16.2 space км$.
Упражнение №3
На рисунке 4 показан график зависимости пути равномерного движения тела от времени ($S$ — ось пройденного пути, $t$ — ось времени). По этому графику найдите, чему равен путь, пройденный телом за $2 space ч$. Затем рассчитайте скорость тела.
Определим из графика путь, пройденный телом за $2 space ч$. Этому времени на графике соответствует значение пути, равное $200 space км$. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$S = 200 space км$
$t = 2 space ч$
$upsilon — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Скорость равномерного движения рассчитываем по формуле:
$upsilon = frac{S}{t}$.
$upsilon = frac{200 space км}{2 space ч} = 100 frac{км}{ч}$.
Ответ: $upsilon = 100 frac{км}{ч}$.
Упражнение №4
График зависимости скорости равномерного движения тела от времени представлен на рисунке 5. По этому графику определите скорость движения тела. Рассчитайте путь, который пройдет тело за $2 space ч$, $4 space ч$.
Из графика видно, что скорость тела равна $8 frac{м}{с}$. Этот график представляет собой прямую, параллельную оси времени, потому что движение равномерное, и скорость тела не изменяется с течением времени. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$t_1 = 2 space ч$
$t_2 = 4 space ч$
$upsilon = 8 frac{м}{с}$
СИ:
$t_1 = 7200 space с$
$t_2 = 14 space 400 space с$
$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Путь рассчитаем по формуле: $S = upsilon t$.
За $2 space ч$ тело пройдет путь:
$S_1 = upsilon t_1$,
$S_1 = 8 frac{м}{с} cdot 7200 space с = 57 space 600 space м = 57.6 space км$.
За $4 space ч$ тело пройдет путь:
$S_2 = upsilon t_2$,
$S_2 = 8 frac{м}{с} cdot 14 space 400 space с = 115 space 200 space м = 115.2 space км$.
Ответ: $S_1 = 57.6 space км$, $S_2 = 115.2 space км$.
Упражнения №5
По графикам зависимости путей от времени (рисунок 6) двух тел, движущихся равномерно, определите скорости этих тел. Скорость какого тела больше?
Для того, чтобы рассчитать скорость тела, нам нужно знать путь и время, за которое этот путь был пройден. Возьмем эти значения для двух тел из их графиков. Первое тело (I) проходит путь, равный $4 space м$, за $2 space с$. Второе тело (II) проходит путь, равный $4 space м$, за $4 space с$. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$S = 4 space м$
$t_1 = 2 space с$
$t_2 = 4 space с$
$upsilon_1 — ?$
$upsilon_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем скорость первого тела:
$upsilon_1 = frac{S}{t_1}$,
$upsilon_1 = frac{4 space м}{2 space с} = 2 frac{м}{с}$.
Рассчитаем скорость второго тела:
$upsilon_2 = frac{S}{t_2}$,
$upsilon_2 = frac{4 space м}{4 space с} = 1 frac{м}{с}$.
Получается, что скорость первого тела больше скорости второго.
Ответ: $upsilon_1 = 2 frac{м}{с}$, $upsilon_2 = 1 frac{м}{с}$, $upsilon_1 > upsilon_2$.
Неравномерное прямолинейное движение. Средняя скорость
- График скорости при неравномерном прямолинейном движении
- Как найти путь и перемещение по графику скорости?
- Средняя скорость и средняя путевая скорость
- Задачи
- Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела
п.1. График скорости при неравномерном прямолинейном движении
Прямолинейное и равномерное движение возможно лишь на участке пути.
Любое тело со временем меняет свою скорость, как по величине, так и по направлению.
Движение с переменной скоростью называют неравномерным.
Для описания неравномерного движения его можно разбить на участки, на которых скорость постоянна, и свести задачу к уже известному нам равномерному прямолинейному движению.
Например, пусть велосипедист добрался из города A в город B за 1 час. Первые полчаса он ехал со скоростью 9 км/ч, а потом проколол шину, и вторые полчаса шел пешком со скоростью 3 км/ч.
Направим ось ОХ также от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9 text{км/ч}, v_{x2}=3 text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:
Графиком скорости (v_x=v_x(t)) при неравномерном прямолинейном движении, которое можно разбить на участки с постоянной скоростью, является ломаная линия.
п.2. Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Мы уже знаем, что путь равен площади прямоугольника, который образуется между отрезком графика скорости и отрезком (triangle t) на оси (t) (см. §8 данного справочника).
В таком случае, путь велосипедиста в нашем примере:
begin{gather*} s=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2\ s=9cdot 0,5+3cdot 0,5=4,5+1,5=6 text{(км)} end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км.
Общий путь велосипедиста равен 6 км. Расстояние между городами 6 км. 
Если принять город A за начало отсчета с (x_0=0), то координата велосипедиста в конце пути: $$ x_{к}=x_0+s=0+6=6 text{(км)} $$ Перемещение по оси ОХ: (triangle x=x_{к}-x_0=6 text{(км)}).
Теперь рассмотрим другую ситуацию. Пусть велосипедист выехал из A в B и двигался со скоростью 9 км/ч в течение получаса. Но, после того как проколол шину, он развернулся и пошел пешком назад в A. Где будет находиться велосипедист через полчаса после разворота?
Снова направим ось ОХ от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9 text{км/ч}, v_{x2}=-3 text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:
Путь велосипедиста по-прежнему будет равен сумме площадей прямоугольников, которые образует ломаная (v_x(t)) с осью (t): begin{gather*} x=v_{x1}cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdottriangle t_2\ s=9cdot 0,5+3cdot 0,5=4,5+1,5=6 text{(км)} end{gather*} 
Если мы учтем знак (v_{x2}) и уберем модуль, то получим величину перемещения по оси ОХ: begin{gather*} triangle x=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2\ triangle x=9cdot 0,5-3cdot 0,5=4,5-1,5=3 text{(км)} end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км в обратном направлении.
Конечная координата: $$ x_{к}=x_0+triangle x=0+3=3 text{(км)} $$ 
Ответ на вопрос задачи найден. Через полчаса после разворота велосипедист будет находиться в точке D в 3 км от города A.
Пусть неравномерное прямолинейное движение разбито на (n) участков с постоянными скоростями. Каждому такому участку соответствует промежуток времени (triangle t_i) и постоянная скорость (v_{xi}, i=overline{1,n}).
Тогда:
Весь пройденный путь равен сумме площадей прямоугольников на графике скорости: $$ s=|v_{x1}|cdottriangle t_1+|v_{x2}|cdottriangle t_2+…+|v_{xn}|cdottriangle t_n $$ Величина перемещения по оси ОХ равна сумме площадей прямоугольников с учетом знака: $$ triangle x=v_{x1}cdottriangle t_1+v_{x2}cdottriangle t_2+…+v_{xn}cdottriangle t_n $$ Конечная координата равна: (x_{к}=x_0+triangle x).
п.3. Средняя скорость и средняя путевая скорость
Средняя скорость на нескольких участках движения равна отношению общего перемещения к общему времени, затраченному на это перемещение: $$ overrightarrow{v_{cp}}=frac{overrightarrow{r_1}+overrightarrow{r_2}+…+overrightarrow{r_n}}{t_1+t_2+…+t_n}=frac{overrightarrow{r}}{t} $$
Средняя путевая скорость на нескольких участках движения равна отношению общего пути к общему времени, затраченному на этот путь: $$ v_{cp.п}=frac{s_1+s_2+…+s_n}{t_1+t_2+…+t_n}=frac{s}{t} $$
Если тело все время движется в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости, т.к. на каждом участке путь совпадает с модулем перемещения.
Если тело меняет направление движения, величина средней скорости меньше средней путевой скорости.
В нашем примере с велосипедистом, который все время двигался в одну сторону и дошел до города B, получаем: begin{gather*} |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{|overrightarrow{r}|}{t}=frac{triangle x}{t}=frac 61=6 text{(км/ч)}\ v_{cp.п}=frac st=frac 61=6 text{(км/ч)} end{gather*} Величина средней скорости равна средней путевой скорости.
А вот для случая, когда велосипедист развернулся и пошел обратно: begin{gather*} |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{|overrightarrow{r}|}{t}=frac{triangle x}{t}=frac 31=3 text{(км/ч)}\ v_{cp.п}=frac st=frac 61=6 text{(км/ч)} end{gather*} Величина средней скорости меньше средней путевой скорости.
п.4. Задачи
Задача 1. По графику скоростей найдите среднюю скорость и среднюю путевую скорость движения.
a)
Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
begin{gather*} triangle t_1=3-0=3 c, v_{x1}=5 text{м/с}\ triangle t_2=5-3=2 c, v_{x2}=1 text{м/с}\ triangle t_3=7-5=2 c, v_{x3}=2 text{м/с}\ end{gather*} Общий путь: begin{gather*} s=|v_{x1}|cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdot triangle t_2+|v_{x3}|cdot triangle t_3\ s=5cdot 3+1cdot 2+2cdot 2=21 text{(м)} end{gather*} Все проекции скоростей положительны, тело двигалось в одном направлении, общее перемещение равно общему пути: (triangle x=s=21) (м)
Общее время: (t=triangle t_1+triangle t_2+triangle t_3=3+2+2=7) (с)
Величина средней скорости равна средней путевой скорости: $$ |overrightarrow{v_{cp}}|=v_{cp.п}=frac st=frac{21}{7}=3 text{(м/с)} $$ Ответ: (|overrightarrow{v_{cp}}|=v_{cp.п}=3 text{(м/с)})
б) 
Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
begin{gather*} triangle t_1=3-0=3 c, v_{x1}=5 text{м/с}\ triangle t_2=5-3=2 c, v_{x2}=-2 text{м/с}\ triangle t_3=7-5=2 c, v_{x3}=1 text{м/с}\ end{gather*} Общий путь: begin{gather*} s=|v_{x1}|cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdot triangle t_2+|v_{x3}|cdot triangle t_3\ s=5cdot 3+2cdot 2+1cdot 2=21 text{(м)} end{gather*} Проекции скоростей имеют разные знаки, тело двигалось вперед и назад.
Общее перемещение будет меньше общего пути: begin{gather*} triangle x=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2+v_{x3}cdot triangle t_3\ triangle x=5cdot 3-2cdot 2+1cdot 2=13 text{(м)} end{gather*} Общее время: (t=triangle t_1+triangle t_2+triangle t_3=3+2+2=7) (c)
Величина средней скорости: $$ |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{triangle x}{t}=frac{13}{7}approx 1,86 text{(м/с)} $$ Средняя путевая скорость: $$ v_{cp.п}=frac st=frac{21}{7}=3 text{(м/с)} $$ Ответ: (|overrightarrow{v_{cp}}|approx 1,86 text{(м/с)}; v_{cp.п}=3 text{(м/с)})
Задача 2. Мотоциклист проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью 40 км/ч. Потом увеличил скорость до 80 км/ч и проехал расстояние в два раза меньше. Найдите среднюю скорость мотоциклиста за все время движения.
Мотоциклист двигался все время в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости: (v_{cp}=frac st), где (s) – весь путь, (t) – все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | 40 | (frac{2d}{40}=frac{d}{20}) | (2d) |
| 2й участок | 80 | (frac{d}{80}) | (d) |
| Сумма | – | (t=frac{d}{20}+frac{d}{80}) | (s=2d+d=3d) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{d}{20}+frac{d}{80}=frac{4d+d}{80}=frac{5d}{80}=frac{d}{16} $$ Получаем: $$ v_{cp}=frac st=frac{3d}{d/16}=3cdot 16=48 text{(км/ч)} $$
Ответ: 48 км/ч
Задача 3. Автомобиль проехал первую половину пути по шоссе со скоростью 90 км/ч, а вторую половину – по грунтовой дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.
Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
(v_{cp}=frac st), где (s) – весь путь, (t) – все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | 90 | (frac{s}{2cdot 90}=frac{s}{180}) | (frac s2) |
| 2й участок | 30 | (frac{s}{2cdot 30}=frac{s}{60}) | (frac s2) |
| Сумма | – | (t=frac{s}{180}+frac{s}{60}) | (s) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{s}{180}+frac{s}{60}=frac{s+3s}{180}=frac{4s}{180}=frac{s}{45} $$ Получаем: $$ v_{cp}=frac st=frac{s}{s/45}=45 text{(км/ч)} $$
Ответ: 45 км/ч
Задача 4*. Туристы прошли по маршруту со средней скоростью 32 км/ч. Маршрут был разделен на три участка, первый участок преодолевался пешком, второй – на автобусе, третий – на катере. Найдите скорость на каждом участке, если длины этих участков относятся как 1:4:45, а соответствующие интервалы времени как 4:1:20.
Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
(v_{cp}=frac st), где (s) – весь путь, (t) – все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | (frac{d}{4t}) | (4t) | (d) |
| 2й участок | (frac{4d}{t}) | (t) | (4d) |
| 3й участок | (frac{45d}{20t}) | (20t) | (45d) |
| Сумма | – | (25t) | (50d) |
По условию средняя скорость: $$ v_{cp}=frac st=frac{50d}{25t}=2cdot frac dt=32Rightarrow frac dt=16 $$ Получаем: begin{gather*} v_1=frac{d}{4t}=frac{16}{4}=4 text{(км/ч)}\ v_2=frac{4d}{t}=4cdot 16=64 text{(км/ч)}\ v_3=frac{9d}{4t}=frac{9}{4}cdot 16=36 text{(км/ч)} end{gather*}
Ответ: 4 км/ч, 64 км/ч и 36 км/ч
Задача 5*. Первую половину маршрута турист проехал на попутном автомобиле в 10 раз быстрее по сравнению с ходьбой пешком, а вторую половину – на попутном возу в 2 раза медленней. Сэкономил ли турист время на всем маршруте по сравнению с ходьбой пешком?
Пусть (v) – скорость туриста при ходьбе пешком.
Найдем среднюю путевую скорость (v_{cp}) и сравним ее со скоростью (v).
Если (v_{cp}gt v), то турист выиграл время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | (10v) | (frac{s}{2cdot 10v}=frac{s}{20v}) | (frac s2) |
| 2й участок | (frac{v}{2}) | (frac{s}{2cdot v/2}=frac sv) | (frac s2) |
| Сумма | – | (t=frac{s}{20v}+frac sv) | (s) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{s}{20v}+frac sv=frac svleft(frac{1}{20}+1right)=frac{21}{20}cdot frac sv $$ Средняя скорость: $$ v_{cp}=frac{s}{frac{21}{20}cdotfrac sv}=frac{20}{21}vgt v $$Средняя скорость поездки оказалась меньше пешей скорости туриста.
Значит, он не выиграл по времени.
Ответ: нет
п.5. Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела
Цель работы
Научиться определять среднюю скорость движения тела по данным измерений на разных участках. Научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности при подстановке данных измерений в формулы.
Теоретические сведения
В лабораторной работе изучается движение тела (шарика) по двум участкам (желобам) с различной скоростью.
Величина средней скорости при движении на двух участках определяется как средняя путевая скорость: $$ v_{cp}=frac{s_1+s_2}{t_1+t_2} $$ где (s_1) и (s_2) – длина первого и второго участка; (t_1) и (t_2) – время движения по каждому из участков.
Длина участков измеряется с помощью мерной ленты с ценой деления (triangle=1) см,
инструментальная погрешность равна: (d=frac{triangle}{2}=0,5) см
Абсолютная погрешность измерений при работе с мерной лентой равна инструментальной погрешности, поэтому: (triangle s_1=triangle s_2=d=0,5) см
Погрешность суммы двух длин: (triangle(s_1+s_2)= triangle s_1+triangle s_2=2d=1) см
Измерение времени на каждом участке проводится в сериях их 5 измерений по методике, описанной в Лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
Погрешность суммы двух измерений: (triangle(t_1+t_2)=triangle t_1+triangle t_2)
Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $$ delta_{v_{cp}}=delta_{s_1+s_2}+delta_{t_1+t_2} $$ Абсолютная погрешность определения средней скорости: $$ triangle v_{cp}=v_{cp}cdot delta_{v_{cp}} $$
Приборы и материалы
Два желоба (не менее 1 м каждый), шарик, мерная лента, секундомер.
Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Соберите установку, как показано на рисунке. Установите один желоб под углом, другой – горизонтально, закрепите, поставьте в конце горизонтального участка упор. Подберите длину желобов и наклон так, чтобы движение по каждому участку было не менее 1 с. 
3. Измерьте фактическую длину каждого участка движения в готовой установке с помощью мерной ленты.
4. Найдите относительную погрешность суммы двух длин (delta_{s_1+s_2}=frac{triangle(s_1+s_2)}{s_1+s_2})
5. Проведите серии по 5 экспериментов для определения (t_1) и (t_2) с помощью секундомера.
6. Найдите (triangle t_1, triangle t_2, triangle(t_1+t_2), delta_{t_1+t_2})
7. По результатам измерений и вычислений найдите (v_{cp}, delta_{v_{cp}}) и (triangle v_{cp}).
8. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
1) Измерение длин
Цена деления мерной ленты (triangle =1) см
Инструментальная погрешность мерной ленты (d=frac{triangle}{2}=0,5) см
Результаты измерений:
(s_1=112) cм
(s_2=208) cм
Сумма длин участков: (s_1+s_2=112+208=320) (см)
Абсолютная погрешность суммы: (triangle (s_1+s_2)=triangle s_1+triangle s_2=2d=1) см
Относительная погрешность суммы: $$ delta_{s_1+s_2}=frac{triangle (s_1+s_2)}{s_1+s_2}=frac{1}{320}=0,3125% $$
2) Измерение времени
Цена деления секундомера (triangle =0,2) с
Инструментальная погрешность секундомера (d=frac{triangle}{2}=0,1) с
Время движения по наклонному желобу
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| (t_1) c | 1,5 | 1,6 | 1,5 | 1,4 | 1,4 | 7,4 |
| (triangle) c | 0,02 | 0,12 | 0,02 | 0,08 | 0,08 | 0,32 |
Найдем среднее время спуска с наклонного желоба: $$ t_1=frac{1,5+1,6+1,5+1,4+1,4}{5}=frac{7,4}{5}=1,48 (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_1): $$ triangle_1=|1,5-1,48|=0,02; triangle_2=|1,6-1,48|=1,02 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0,02+0,12+0,02+0,08+0,08}{5}=frac{0,32}{5}=0,064 text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t_1=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,064right}=0,1 text{c} $$ Округляем полученное значение времени до десятых. begin{gather*} t_1=(1,5pm 0,1) text{c}\ delta_{t_1}=frac{0,1}{1,5}=frac{1}{15}approx 6,7text{%} end{gather*} Время движения по горизонтальному желобу
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| (t_2) c | 2,3 | 2,4 | 2,2 | 2,2 | 2,4 | 11,5 |
| (triangle) c | 0 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,4 |
Найдем среднее время движения по горизонтали: $$ t_2=frac{2,3+2,4+2,2+2,2+2,4}{5}=frac{11,5}{5}=2,3 (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_2): $$ triangle_1=|2,3-2,3|=0; triangle_2=|2,4-2,3|=0,1 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0+0,1+0,1+0,1+0,1}{5}=frac{0,4}{5}=0,08 text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t_2=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,08right}=0,1 text{c} $$ Получаем: begin{gather*} t_2=(2,3pm 0,1) text{c}\ delta_{t_2}=frac{0,1}{2,3}=frac{1}{23}approx 4,4text{%} end{gather*}
3) Расчет погрешности суммы интервалов времени
Сумма интервалов времени: $$ t_1+t_2=1,5+2,3=3,8 text{(c)} $$ Абсолютная погрешность суммы: $$ triangle(t_1+t_2)=triangle t_1+triangle t_2=0,1+0,1=0,2 text{(c)} $$ Относительная погрешность суммы: $$ delta_{t_1+t_2}=frac{triangle (t_1+t_2)}{t_1+t_2}=frac{0,2}{3,8}=frac{1}{19}approx 5,3text{%} $$
4) Расчет средней скорости $$ v_{cp}=frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=frac{320}{3,8}approx 84,2 left(frac{text{см}}{text{c}}right) $$ Относительная ошибка частного: $$ delta_{v_{cp}}=delta_{s_1+s_2}+delta_{t_1+t_2}=frac{1}{320}+frac{1}{19}approx 0,003125+0,0526approx 0,0557approx 0,056=5,6text{%} $$ (оставляем две значащие цифры).
Абсолютная ошибка: $$ v_{cp}=v_{cp}cdotdelta_{v_{cp}}=84,2cdot 0,056approx 4,7 left(frac{text{см}}{text{c}}right) $$ Получаем: begin{gather*} v_{cp}=(84,2pm 4,7) text{см/с}\ delta_{v_{cp}}=5,6text{%} end{gather*}
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Измерения длин проводились с помощью мерной ленты. Ошибка измерений равна инструментальной ошибке 0,5 см.
Измерения времени проводились с помощью секундомера. По результатам серий экспериментов ошибка была принята равной инструментальной 0,1 с.
Получена величина средней скорости: begin{gather*} v_{cp}=(84,2pm 4,7) text{см/с}\ delta_{v_{cp}}=5,6text{%} end{gather*}
Основные понятия
Наука, изучающая механическое движение без учёта причин, его вызвавших, называется кинематикой. При перемещении в физике принимается, что любой объект состоит из множества одинаково движущихся материальных точек. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать тело в целом, изучается только поведение одной точки.
Любое движение описывается рядом параметров. К основным из них относят:
- Траекторию — линию, по которой происходит перемещение в пространстве.
- Пройденное расстояние — путь, ограниченный начальными и конечными координатами.
- Координаты — изменение положения точки в пространстве относительно принятого начала.
- Скорость — быстрота изменения положения.
- Ускорение — нарастание скорости во времени.
Под перемещением понимают движение за некий промежуток времени, описываемый вектором: ∆r = r — r0. Направление вектора принимается от положения материальной точки в начальный момент, к изменению её расположения в установленный. Скорость же представляет вектор, определяющий направление перемещения и быстроту изменения движения относительно начальных координат, то есть какого-либо тела отсчёта.
Движение принято разделять на два вида: прямолинейное и криволинейное. В качестве примера для первого вида можно привести езду поезда на ровном участке железной дороги, бег спринтера на короткие дистанции, перемещение воды в прямой трубе. В реальности же чаще приходится сталкиваться с криволинейным перемещением, таким как падение тела, полёт футбольного мяча после удара.
Какой бы ни была траектория движения, под перемещением понимают минимальное расстояние, которое находится между отправной и конечной координатой. Фактически это — отрезок, соединяющий две точки. Но движение кроме траектории описывается и скоростью, то есть быстротой прохождения заданных участков.
Неравномерность перемещения обозначает изменение быстроты движения. Физическая величина, определяемая как отношение пройденного пути ко времени, затраченному на движение, называется средней скоростью. Этот параметр специально ввели для описания неравномерного движения в физике.
Суть и определение
Суть неравномерного движения изучают в седьмом классе средней школы на уроках физики. В школьном учебнике приводится определение, что неравномерным считается такое изменение материальной точки в пространстве, при котором меняется скорость. При этом отмечается, что она может изменяться и по направлению.
Исходя из этого, можно сделать заключение, что движение, сопровождающее изменением скорости или траектории, является неравномерным. Например, вращение шара по окружности, выстрел из лука. При этом перемещение может быть равноускоренным, то есть состоять из чередования различных неравномерных движений. Как пример можно привести переключение скоростей в передвигающемся автомобиле.
Средняя скорость — это относительный параметр. Определяется он отношением пройденного пути к затраченному для этого времени. Предполагать, что для его нахождения можно просто сложить известные мгновенные скорости и разделить результат на их количество, в корне неверно. Под мгновенной характеристикой понимается скорость, существующая в определённой точке на данный момент.
Например, спидометр, установленный в машине, регистрирует ежесекундно именно мгновенную скорость. Поэтому для нахождения среднего показателя используется следующая формула: V = s / t, где:
- V — искомая средняя скорость;
- s — пройденный путь;
- t — затраченное на прохождение время.
В качестве единицы измерения используется отношение метров на секунды в соответствии с Международной системой измерений (СИ). Следует отметить, что когда траектория пути не является прямолинейной, то пройденное материальной точкой расстояние будет больше, чем её перемещение. Для описания такого случая вводится понятие средней путевой скорости, являющейся скалярной величиной. При этом её значение будет отличаться от средней скорости перемещения.
Случается так, что движение точки через один и тот же промежуток времени изменяется на одинаковую величину. В этом случае движение называют равнопеременным. Оно может быть как равнозамедленным, так и равноускоренным. Ускорение или замедление не зависит от изменения скорости за единицу времени. Но, зная поведение тела и его начальную скорость, можно вычислить, с какой скоростью оно будет двигаться в любой промежуток времени. Для этого используют выражение: v = v0 + a * Δt.
График движения
Существует простая геометрическая интерпретация траектории движения, по которой двигалась материальная точка. Когда тело перемещается с одной и той же скоростью, равняющейся v, то длительность пройденного отрезка будет определяться выражением: ∆t = t2 − t1, где t1 и t2 — начальный и конечный момент времени. Вполне логично предположить, что за указанный промежуток времени тело переместится на расстояние, равное: s = v * (t 2 — t 1) = v * ∆t.
В этом случае график пути в декартовой системе координат будет выглядеть как прямая. При этом пройденное расстояние, по сути, будет определяться площадью прямоугольника, построенного вниз от линии пути до оси времени. Скорость будет соответствовать вертикальной стороне фигуры, а изменение времени — горизонтальной.
Теперь можно рассмотреть, как будет выглядеть график неравномерного движения. Средняя скорость тела зависит от времени на конкретно взятом промежутке, ограниченном моментами t1 и t2. Пусть рассматриваемый отрезок будет разбит на промежутки, равные ∆t. Можно предположить, что в каждом таком отрезке скорость движения остаётся неизменной. Плавное её изменение можно заменить аппроксимацией ступенчатого вида. Иными словами, в каждом таком промежутке увеличение v (t) будет определяться выражением: v (t) ] = [ti, ti + ∆t].
Тогда ∆t будет совпадать с площадью прямоугольника, находящегося под ступенькой. Таким образом, путь будет определяться суммой всех площадей на графике. Когда ∆t направлена в сторону нуля, то сумма площадей этих прямоугольников будет располагаться под скоростью. То есть фактически — обозначать путь, пройденный телом с начальной точки до конечной.
Исходя из сказанного, можно утверждать, что расстояние, которая проходит точка при неравномерном движении, определяется площадью, находящейся под графиком скорости на установленном промежутке времени. Это определение является общим для любого типа перемещений.
Математическое описание
Движение характеризуется различными параметрами, которые можно описать формулами и уравнениями. С точки зрения математики под термином понимается изометрия пространства в себя. При решении задач, связанных с неравномерным движением, используются следующие формулы:
- Вектор средней скорости. Определяется как отношение вектора изменения ко времени, за которое произошло перемещение: vср = Δs / Δt.
- Средняя путевая скорость. Для её вычисления используется отношение пройденного пути к отрезку времени, за которое преодолено это расстояние: v ¯ = l / Δt. Более общим выражением, описывающим этот параметр, будет отношение изменения координаты объекта к промежутку времени: v = Δx / Δt.
- Мгновенная скорость. Определяется формулой: v = lim Δs / Δt = lim Δr / Δt. При этом предел времени стремится к нулю. То есть характеристика численно равняется отношению изменения координаты ко времени, за которое оно произошло. Направление вектора параметра совпадает с траекторией движения. Следует отметить, что для прямолинейного движения скорость изменяется только по значению, а направление остаётся неизменным.
- Равнопеременное движение. Если вектор обозначить как Δv, то изменение скорости можно обозначить как Δv = v — v0. В случае когда Δt 1 = Δt 2 = … = Δtn, тогда Δv1 = Δv2 = … = Δvn. Отсюда Δv1 / Δt1 = Δv2 / Δt2 = … = Δv3 / Δt3 = cost. Другими словами, это характеристика движения, при которой a = (v — v 0) / t.
- Ускорение. Показывает зависимость изменения скорости от вектора к промежутку времени. Для неравномерного перемещения используется формула: a ср = Δv / Δt. Из неё следует, что мгновенное ускорение будет равняться: a = lim Δv / Δt = v’. Ускорение — это параметр, который определяется не только изменением модуля, но и вектором. Смысл заключается в том, что любое движение по окружности будет являться ускоренным из-за изменения направления в течение времени.
- Равнопеременное перемещение. График движения описывается уравнением: v = v0 + a * t.
Нужно отметить, что при равноускоренном движении расстояние изменяется в соответствии с квадратной зависимостью: s = v0 * t + at2 / 2. В координатных прямых зависимость будет иметь вид: x = x0 + vo * t + a * t / 2. При этом график будет иметь вид параболы.
При расчётах довольно часто применяется закон сложения скоростей. Он позволяет определить параметр относительно зафиксированной системы отсчёта. Согласно этому способу: v2 = v1 + v. Понять справедливость утверждения можно, представив муху, ползущую по поверхности пластинки. Её скорость будет определяться относительно проигрывателя суммой движения и тем параметром, который имеет точка пластинки по отношению к площади, на которой находится в рассматриваемый момент тело.
Примеры решения задач
С помощью формулы неравномерного движения в физике решаются различные задания на расчёт ускорения и вычисление параметров перемещения в реальных условиях. Одной из типовых задач, предлагающихся для самостоятельного решения ученикам в школе, является следующая.
Пусть имеется автомобиль, который ехал по прямому шоссе со скоростью 90 км/час одну минуту. Затем он заехал на подъём, который преодолевал две минуты. Его движение замедлилось до 60 км/ч. Для съезда с него машина затратила 0,5 минут, спидометр при этом показывал 120 км/ч. Нужно вычислить среднюю скорость.
При использовании теоретических знаний и закона сложения формула, позволяющая найти ответ, будет выглядеть следующим образом: V = s / t = (s1 + s2 + s3) / (t1 + t2 + t3). По условию задачи, движение можно разделить на три части: прямое (шоссе), замедленное (подъём), ускоренное (спуск). Для каждого из участков нужно определить пройденное автомобилем расстояние. Так, s1 = v1 * t1 = 90 * 1/60 = 1,5 км; s2 = v2 * t2 = 60 * 2/60 = 2 км; s3 = v3 * t3 = 120 * 0,5/60 = 1 км. Подставив полученные значения, можно вычислить ответ: v = (1,5 + 2 + 1) / (3,5 / 60) = 77 км /ч. Число шестьдесят используется в формуле для перевода времени в систему СИ.
Вот ещё одна из типичных задач. Пусть велосипедист проехал за первый час десять километров. За последующие три часа он преодолел тридцать километров. Нужно найти среднюю скорость. Для решения задачи нужно обозначить всё расстояние, что проехал велосипедист, буквой r, а время, которое он затратил для его преодоления — t. Тогда V = r /t = (r1 + r2) / (t1 + t2) = (10 +30) / (1+3) = 40 / 4 = 10 км/ч.
Приведённые задачи относятся к заданиям среднего уровня. Из примеров более сложного типа можно привести следующий. Имеется шарик. Нужно так его направить на желобе, чтобы он скатывался с ускорением за три-четыре секунды. Замерить затраченное время секундомером.
Вначале следует определить длину жёлоба: l = v * t. Скорость будет определяться как (Vнач + Vкон) / 2, так как Vкон = Vнач + a * t. Учитывая, что Vнач = 0, то Vкон = 2 + Vср, а Vкон = a * t. Следовательно: a = (2 * Vср) / t. Из опыта было установлено — время равняется четырём секундам, а необходимое расстояние жёлоба — 120 см. Отсюда v = 120 / 4 = 30 см/с. Исходя из этого, Vк = 60 см/с, а ускорение будет: a = 2V /t = 60 /4 = 15 см/с2. Задача решена.
-
Неравномерное
прямолинейное движение. -
Путь,
пройденный в неравномерном прямолинейном
движении. -
Ускорение.
-
Равнопеременное
движение. -
Равноускоренное
прямолинейное движение. -
Равнозамедленное
прямолинейное движение. -
Перемещение
в равноускоренном прямолинейном
движении. -
Перемещение
в равнозамедленном прямолинейном
движении. -
Средняя
скорость в равноускоренном движении. -
Формулы,
устанавливающие связь между скоростью,
ускорением и пройденным путём в
равноускоренном движении. -
График
зависимости координаты (перемещения)
от времени в равноускоренном прямолинейном
движении. -
Свободное
падение тел. -
Движение
тела, брошенного под углом к горизонту,
высота и дальность полёта.
1
.Неравномерное
прямолинейное движение
– это движение, при котором тело,
перемещаясь вдоль прямой линии, за
равные промежутки времени проходит
разные перемещения, т.е. скорость меняется
по величине с течением времени и является
функцией времени V
(t).
График зависимости величины скорости
от времени, т. е. график функции V
(t)
представлен на Рис.17
2
.
Путь, пройденный
в неравномерном прямолинейном движении.
Разобьём
всё время движения на очень малые
интервалы
,
в течение которых скорость можно считать
приближенно постоянной и равной средней
скорости
движения в течение времени
.
Тогда путь
, пройденный за время
с постоянной скоростью
вычислим по формуле:
=
.
На Рис.17 этот путь равен площади
заштрихованной фигуры, которую ввиду
малости
можно считать прямоугольником со
сторонами
и
.
Складывая отрезки пути
получим площадь фигуры, образованной
графиком скорости осью времени.
И
так,
путь, пройденный телом при неравномерном
прямолинейном движении численно равен
площади графиком зависимости скорости
движения тела от времени.
3. Ускорение. При произвольном
движении точки модуль и направление
скорости непрерывно меняются Рис.18.
Совместим начала векторов
и
,
тогда вектор
=
–
есть изменение скорости точки и пусть
интервал времени,в течение которого
это изменение произошло Рис.19.
Средним ускорением
называют отношение изменение скорости
к интервалу времени, в течение которого
это изменение произошло:
=
.
В системе СИ
ускорение измеряется в (
),
ускорение векторная величина.
Мгновенное
ускорение – среднее ускорение за
бесконечно малый интервал времени:
=
.
4. Равнопеременное
движение –
движение с постоянным по модулю
направлению ускорением
=
.
В этом случае скорость точки за равные
интервалы времени изменяется на одну
и ту же величину, а ускорение вычисляется
по формуле:
=
=
t
где
=
изменение скорости за время t,
– начальная скорость точки в момент
времени t=0,
–
конечная скорость точки в момент t,
т.е.
.
Теперь можно записать:
=
t
и далее
=
+
t
.
Если ускоренное
началось из состояния покоя, т.е.
= 0, то
=
t
.
5. Равноускоренное прямолинейное
движение – движение, при котором
траектория есть прямая линия , ускорение
постоянная величина и направлено вдоль
прямой причём направления скорости и
ускорения совпадают, т.е.
. В этом случае модуль скорости возрастает
со временем. Прямолинейность траектории
позволяет все вычисления с модулями
скорости и ускорения по формулам:
+
аt
и
,
если
=0.
Таким образом, в
прямолинейном равноускоренном движении
модуль скорости возрастает пропорционально
времени. График зависимости скорости
от времени представлен Рис. 20.
6. Равнозамедленное
прямолинейное движение
– прямолинейное движение с постоянным
по модулю и направлению ускорением, при
этом векторы скорости и ускорения
противонаправлены, т. е. антипараллельны
.
В этом случае все вычисления также
можно проводить с модулями скорости и
ускорения, учитывая , что ускорение
отрицательно
.
И
так,
скорость в прямолинейном равнозамедленном
движении линейно убывает с течением
времени. Зависимость скорости от времени
в равнозамедленном прямолинейном
движении представлена графиком на
Рис.21.
7. Перемещение
в равноускоренном прямолинейном
движении.
Уравнение
прямолинейного равноускоренного
движения.
Пусть материальная точка движется по
оси
х
и пусть в начальный момент времени
t=0
она имела начальную скорость
.
Перемещение, пройденное точкой за время
t
численно равно площади под графиком
зависимости скорости от времени, т.е.
площади трапеции с основаниями
и
+аt
и высотой t
Рис.20
=
+
,
если
,
то
.
Учитывая, что
получим закон равноускоренного
прямолинейного движения:
.
Совмещая начальное положение тела с
началом отсчёта на оси х, т.е.
полагая
получим:
.
Если же движение началось из состояния
покоя, т.е.
,
закон равноускоренного прямолинейного
запишем в виде:
.
8. Перемещение
в равнозамедленном прямолинейном
движении.
Для равнозамедленного движения ускорение
отрицательно а< 0 и перемещение
вычисляется по формуле:
,
а закон движения записывается в
виде:
,
если
,
то
.
Если
,
то координата х
численно равна пройденному пути.
Поэтому путь, пройденный в равноускоренном
движении, вычисляется по формуле:
и
при
Для равнозамедленного
движения а < 0 и
9.Средняя скорость
в равноускоренном движении получается
делением пройденного пути на время
движения
Учитывая, что
получим
.
Таким образом средняя скорость в
равноускоренном движении (равнопеременном)
равна среднему арифметическому начальной
и конечной скоростей. Если
,
то
.
10. Формулы,
устанавливающие связь между ускорением,
скоростью и пройденным путём в
равноускоренном (равнопеременном)
движении. Пусть тело, имея начальную
скорость
и двигаясь с ускорением а, за время t
достигло скорости
и
прошло путь S.
Тогда S=
.
Подставляя сюда
,
t=
получим
S=
.
Если
,
то
и далее получим
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
