Движение по окружности – простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.
Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.
∆l=R∆φ
Если угол поворота мал, то ∆l≈∆s.
Проиллюстрируем сказанное:
Угловая скорость
При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω, то есть скорости изменения угла поворота.
Угловая скорость в данной точке траектории – предел отношения углового перемещения ∆φ к промежутку времени ∆t, за которое оно произошло. ∆t→0.
ω=∆φ∆t, ∆t→0.
Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (радс).
Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:
ω=vR
Нормальное ускорение
При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.
При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.
an=∆v→∆t, ∆t→0
Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:
an=v2R=ω2R
Докажем эти соотношения.
Рассмотрим, как изменяется вектор v→ за малый промежуток времени ∆t. ∆v→=vB→-vA→.
В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.
По определению ускорения:
a→=∆v→∆t, ∆t→0
Взглянем на рисунок:
Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что OAAB=BCCD.
Если значение угла ∆φ мало, расстояние AB=∆s≈v·∆t. Принимая во внимание, что OA=R и CD=∆v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:
Rv∆t=v∆v или ∆v∆t=v2R
При ∆φ→0, направление вектора ∆v→=vB→-vA→ приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆t→0, получаем:
a→=an→=∆v→∆t; ∆t→0; an→=v2R.
При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.
Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:
an→=-ω2R→.
Здесь R→ – радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.
Тангенциальное ускорение
В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов – нормальное, и тангенциальное.
Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.
aτ=∆vτ∆t; ∆t→0
Здесь ∆vτ=v2-v1 – изменение модуля скорости за промежуток ∆t
Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.
Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие vx и vy.
Если движение равномерное, величины vx и vy а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T=2πRv=2πω
I. Механика
Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Вращение Земли
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Связь со вторым законом Ньютона
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.
Разница векторов есть . Так как , получим
Движение по циклоиде*
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Мгновенная скорость определяется по формуле
Равномерное движение тела по окружности
1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.
При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.
2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности ( T ) — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — ( [,T,] ) = 1 с.
Частота обращения ( (n) ) — число полных оборотов тела за одну секунду: ( n=N/t ) . Единица частоты обращения — ( [,n,] ) = 1 с -1 = 1 Гц (герц). Один герц — это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду.
Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: ( n=1/T ) .
Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время ( t ) переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол ( varphi ) .
Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.
Угловая скорость ( omega ) — физическая величина, равная отношению угла поворота ( varphi ) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: ( omega=varphi/t ) . Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. ( [,omega,] ) = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен ( 2pi ) . Поэтому ( omega=2pi/T ) .
Линейная скорость тела ( v ) — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.
Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: ( vec=l/t ) . За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности. Поэтому ( vec=2pi!R/T ) . Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой: ( v=omega R ) .
Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.
4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: ( vec=frac<Deltavec> ) и направлено так же, как вектор изменения скорости. Это ускорение называется центростремительным ускорением.
Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: ( a=frac ) . Так как ( v=omega R ) , то ( a=omega^2R ) .
При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Часть 1
1. При равномерном движении тела по окружности
1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости
2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии ( R_1 ) от центра вращающегося колеса, равна ( v_1 ) . Чему равна скорость ( v_2 ) точки 2, находящейся от центра на расстоянии ( R_2=4R_1 ) ?
1) ( v_2=v_1 )
2) ( v_2=2v_1 )
3) ( v_2=0,25v_1 )
4) ( v_2=4v_1 )
3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:
1) ( T=2pi!Rv )
2) ( T=2pi!R/v )
3) ( T=2pi v )
4) ( T=2pi/v )
4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:
1) ( omega=a^2R )
2) ( omega=vR^2 )
3) ( omega=vR )
4) ( omega=v/R )
5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?
1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась
6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?
1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза
7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?
1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза
8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?
1) 200 000 с
2) 3300 с
3) 3·10 -4 с
4) 5·10 -6 с
9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?
1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц
10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?
1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с
11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения
ФОРМУЛА
1) ( 1/T )
2) ( v^2/R )
3) ( v/R )
4) ( omega R )
5) ( 1/n )
12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение
ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась
Часть 2
13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?
Движение по окружности
Движение по окружности – простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.
Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.
Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .
Угловая скорость
При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.
Определение. Угловая скорость
Угловая скорость в данной точке траектории – предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду ( р а д с ).
Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:
Нормальное ускорение
При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.
При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.
a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:
a n = v 2 R = ω 2 R
Докажем эти соотношения.
Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → – v A → .
В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.
По определению ускорения:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Взглянем на рисунок:
Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .
Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:
R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R
При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → – v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .
При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.
Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:
Здесь R → – радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.
Тангенциальное ускорение
В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов – нормальное, и тангенциальное.
Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0
Здесь ∆ v τ = v 2 – v 1 – изменение модуля скорости за промежуток ∆ t
Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.
Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .
Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/kinematika/dvizhenie-po-okruzhnosti/
[/spoiler]
Движение по окружности, теория и онлайн калькуляторы
Движение по окружности
Значимым частным случаем перемещения материальной точки по заданной траектории служит движение по окружности. Местоположение точки на окружности можно задавать не при помощи расстояния от некоторой начальной точки (допустим A), а с помощью угла $varphi $, который образуют радиусы, которые провели из центра окружности (O) к рассматриваемой частице (точка M) и из О в точку начала отсчета (A) (рис.1).
Скорость при движении по окружности
При движении по окружности вместе со скоростью движения по траектории ($v$- линейная скорость) вводят угловую скорость ($omega $), которая характеризует быстроту изменения угла $varphi $:
[omega =frac{dvarphi }{dt}left(1right).]
Определим, какова связь между линейной и угловой скоростями. Длину дуги АМ ($s$) (рис.1) можно найти как:
[s=Rvarphi left(2right),]
тогда изменение длины дуги за время$ Delta t$ равно$ Delta s$:
[Delta s=RDelta varphi left(3right).]
Найдем отношение $frac{Delta s}{Delta t}$, разделив обе части выражения (3) на $Delta t$:
[frac{Delta s}{Delta t}=Rfrac{Delta varphi }{Delta t} left(4right).]
Перейдем к пределу в правой и левой частях равенства (4) при $Delta tto 0$, получим:
[{mathop{lim }_{Delta tto 0} frac{Delta s}{Delta t} }=R{mathop{lim }_{Delta tto 0} frac{Delta varphi }{Delta t} }to v=Romega left(5right).]
Ускорение материальной точки при движении по окружности
При движении по окружности (как при любом неравномерном криволинейном движении) ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение (${overline{a}}_{tau }$), которое направлено по касательной к траектории движения точки и характеризующее быстроту изменения модуля скорости $v$ и центростремительной ускорение (${overline{a}}_n$), направленное к центру кривизны траектории, определяющее быстроту изменения направления скорости.
Величина нормальной (центростремительной) компоненты ускорения вычисляется при помощи формулы:
[a_n=frac{v^2}{R}={omega }^2R left(6right).]
При равномерном перемещении по окружности величина центростремительного ускорения постоянна ($a_n=const). $Угловая скорость при равномерном движении по окружности является постоянной величиной, в этом случае ее называют циклической частотой.
Тангенциальное ускорение при движении по окружности вычисляют, как и при любом криволинейном движении:
[{overline{a}}_{tau }=frac{doverline{v}}{dt}left(7right).]
Период и частота – характеристики равномерного движения по окружности
Равномерное движение по окружности можно характеризовать при помощи такой физической величины как период обращения ($T$),
который определяют как время совершения материальной точкой полного оборота. Используют и частоту ($nu$)
обращения, которую определяют как величину обратную периоду, равную количеству оборотов за единицу времени:
[nu =frac{1}{T}left(8right).]
При равномерном движении по окружности угловая скорость, частота и период связаны как:
[omega =frac{2pi }{T}=2pi nu left(9right).]
Формула (9) дает возможность центростремительное ускорение определить как:
[a_n=frac{4{pi }^2}{T^2}R=4{pi }^2{nu }^2R left(10right).]
Отметим, что при неравномерном движении по окружности период ($T$) и частота ($nu$) свой смысл теряют, о них можно говорить только при равномерном движении по окружности.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Центростремительное ускорение материальной точки, перемещающейся по окружности, имеющей радиус R, задано уравнением: $a_n=A+Bt+Ct^2(frac{м}{с^2})$. Каково тангенциальное ускорение точки? Как направлены ускорения точки?
Решение. Сделаем рисунок.
Направления ускорений точки изображены на рис.2. ${overline{a}}_n$ направлено к центру окружности; ${overline{a}}_{tau }$ – совпадает с направлением скорости движения точки, по касательной к окружности, направление вектора полного ускорения ($overline{a}$) находим по правилу параллелограмма, так как:
[overline{a}={overline{a}}_n+{overline{a}}_{tau }left(1.1right).]
Нормальное ускорение материальной точки, движущейся по окружности можно найти как:
[a_n=frac{v^2}{R}left(1.2right).]
Следовательно, скорость точки:
[v=sqrt{a_nR}left(1.3right).]
Используя заданный в условии задачи закон изменения нормального ускорения $a_n=A+Bt+Ct^2(frac{м}{с^2})$, выражение (1.3) преобразуем к виду:
[v=sqrt{(A+Bt+Ct^2)R}left(1.4right).]
Величина тангенциального ускорения определена как:
[a_{tau }=frac{dv}{dt} left(1.5right).]
Подставим правую часть выражения (1.4) в уравнение (1.5), имеем:
[a_{tau }=frac{d}{dt}left(sqrt{left(A+Bt+Ct^2right)R}right)=sqrt{R}frac{B+2Ct}{2sqrt{A+Bt+Ct^2}}.]
Ответ. $a_{tau }=sqrt{R}frac{B+2Ct}{2sqrt{A+Bt+Ct^2}}$
Пример 2
Задание. Чему равен путь (s), который проходит точка в примере 1 за время $t_1$, если A= 1 $frac{м}{с^2}$, $B=6 frac{м}{с^3}$; $С=9frac{м}{с^4}$.
Решение. Путь, пройденный точкой можно найти как:
[s=intlimits^{t_1}_0{vdtleft(2.1right).}]
Используем выражение для величины скорости, которое мы получили в первом примере:
[v=sqrt{(A+Bt+Ct^2)R}left(2.2right).]
Подставим известные нам из условия задачи коэффициенты, преобразуем полученное выражение $v left(tright):$
[v=sqrt{(1+6t+9t^2)R}=sqrt{R {(1+3t)}^2}=left(1+3tright)sqrt{R}left(2.3right).]
Вычислим интеграл (2.1), принимая во внимание выражение (2.3):
[s=intlimits^{t_1}_0{left(1+3tright)sqrt{R}dt=sqrt{R}intlimits^{t_1}_0{left(1+3tright)dt=sqrt{R}}left(t_1+frac{3}{2}{t_1}^2right).}]
Ответ. $s=sqrt{R}left(t_1+frac{3}{2}{t_1}^2right)$
Читать дальше: жесткость пружины.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
1.Равномерное
движение по окружности
2.Угловая скорость
вращательного движения.
3.Период вращения.
4.Частота вращения.
5.Связь линейной
скорости с угловой.
6.Центростремительное
ускорение.
7.Равнопеременное
движение по окружности.
8.Угловое ускорение
в равнопеременном движении по окружности.
9.Тангенциальное
ускорение.
10.Закон равноускоренного
движения по окружности.
11. Средняя угловая
скорость в равноускоренном движении
по окружности.
12.Формулы,
устанавливающие связь между угловой
скоростью, угловым ускорением и углом
поворота в равноускоренном движении
по окружности.
1
.Равномерное
движение по окружности
– движение, при котором материальная
точка за равные интервалы времени
проходит равные отрезки дуги окружности,
т.е. точка движется по окружности с
постоянной по модулю скоростью. В этом
случае скорость равна отношению дуги
окружности, пройденной точкой ко времени
движения, т.е.
и называется
линейной скоростью движения по окружности.
Как и в криволинейном
движении вектор скорости направлен по
касательной к окружности в направлении
движения (Рис.25).
2. Угловая
скорость в равномерном движении по
окружности
– отношение угла поворота радиуса ко
времени поворота:
В равномерном
движении по окружности угловая скорость
постоянна. В системе СИ угловая скорость
измеряется в(рад/c).
Один радиан – рад это центральный угол,
стягивающий дугу окружности длиной
равной радиусу. Полный угол содержит
радиан, т.е. за один оборот радиус
поворачивается на угол
радиан.
3. Период
вращения –
интервал времени Т, в течении которого
материальная точка совершает один
полный оборот. В системе СИ период
измеряется в секундах.
4. Частота
вращения –
число оборотов
,
совершаемых за одну секунду. В системе
СИ частота измеряется в герцах ( 1Гц =
1
)
. Один герц – частота, при которой за
одну секунду совершается один оборот.
Легко сообразить, что
Если за время t
точка совершает n
оборотов по окружности то
.
Зная период и
частоту вращения, угловую скорость
можно вычислять по формуле:
или
5 Связь
линейной скорости с угловой.
Длина дуги окружности равна
где
центральный
угол, выраженный в радианах, стягивающий
дугу
радиус
окружности. Теперь линейную скорость
запишем в виде
,
где
.
Ч
асто
бывает удобно использовать формулы:
или
Угловую скорость часто называют
циклической частотой, а частоту
линейной
частотой.
6. Центростремительное
ускорение.
В равномерном движении по окружности
модуль скорости остаётся неизменным
,
а направление её непрерывно меняется
(Рис.26). Это значит, что тело, движущееся
равномерно по окружности, испытывает
ускорение, которое направлено к центру
и называется центростремительным
ускорением.
Пусть за промежуток
времени
прошло путь равный дуге окружности
.
Перенесём вектор
,
оставляя его параллельным самому себе,
так чтобы его начало совпало с началом
вектора
в точке В. Модуль изменения скорости
равен
,
а модуль центростремительного ускорения
равен
На Рис.26 треугольники
АОВ и ДВС равнобедренные и углы при
вершинах О и В равны, как углы с взаимно
перпендикулярными сторонами АО
и
ОВ
Это значит, что треугольники АОВ и ДВС
подобные. Следовательно
Если
то
есть интервал времени
принимает сколь угодно малые значения,
то дугу
можно
приближенно считать равной хорде АВ,
т.е.
.
Поэтому можем записать
Учитывая,
что ВД=
,
ОА=R
получим
Умножая обе части последнего равенства
на
,
получим
и далее выражение для модуля
центростремительного ускорения в
равномерном движении по окружности:
.
Учитывая,
что
получим две часто применяемые формулы:
,
.
Итак, в равномерном
движении по окружности центростремительное
ускорение постоянно по модулю.
Легко сообразить,
что в пределе при
,
угол
.
Это значит, что углы при основании ДС
треугольника ДВС стремятся значению
,
а вектор изменения скорости
становится
перпендикулярным к вектору скорости
,
т.е. направлен по радиусу к центру
окружности.
7. Равнопеременное
движение по окружности
– движение по окружности, при котором
за равные интервалы времени угловая
скорость изменяется на одну и ту же
величину.
8. Угловое
ускорение в равнопеременном движении
по окружности
– отношение изменения угловой скорости
к интервалу времени
,
в течении которого это изменение
произошло, т.е.
,
где
начальное
значение угловой скорости,
конечное
значение угловой скорости,
угловое ускорение, в системе СИ измеряется
в
.
Из последнего равенства получим формулы
для вычисления угловой скорости
и
,
если
.
Умножая обе части
этих равенств на
и учитывая, что
,
–
тангенциальное ускорение, т.е. ускорение,
направленное по касательной к окружности
, получим формулы для вычисления линейной
скорости:
и
,
если
.
9. Тангенциальное
ускорение
численно равно изменению скорости в
единицу времени и направлено вдоль
касательной к окружности. Если
>0,
>0,
то движение равноускоренное. Если
<0
и
<0
– движение.
10. Закон
равноускоренного движения по окружности.
Путь, пройденный по окружности за время
в равноускоренном движении, вычисляется
по формуле:
.
Подставляя сюда
,
,
сокращая на
,
получим закон равноускоренного движения
по окружности:
,
или
,
если
.
Если же движение равнозамедленное, т.е.
<0,
то
.
1
1.Полное
ускорение в равноускоренном движении
по окружности.
В равноускоренном движении по окружности
центростремительное ускорение с
течением времени возрастает, т.к.
благодаря тангенциальному ускорению
возрастает линейная скорость. Очень
часто центростремительное ускорение
называют нормальным и обозначают как
.
Так как
полное ускорение в данный момент
определяют по теореме Пифагора
(Рис.27).
12. Средняя
угловая скорость в равноускоренном
движении по окружности.
Средняя линейная скорость в равноускоренном
движении по окружности равна
.
Подставляя сюда
и
и сокращая на
получим
.
Если
,
то
.
12. Формулы,
устанавливающие связь между угловой
скоростью, угловым
ускорением
и углом поворота в равноускоренном
движении по окружности.
Подставляя в
формулу
величины
,
,
,
,
и сокращая на
,
получим
.
Если
,
то
и далее
,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Наряду с движением вдоль прямой в школьной физике рассматривают движение по окружности. Для него, по аналогии с прямолинейным движением, вводятся понятия пройденного пути, скорости движения и ускорения.
В физике выделяют несколько видов движения тел. Движение по окружности – это один из случаев движения вдоль кривой линии — криволинейного движения.
Сравним понятия пройденного пути, скорости и ускорения для прямолинейного движения и движения по окружности.
Угловой путь
Для начала, вспомним, что линейное перемещение – это разница между конечным и начальным положением точки на оси (рис. 1).
[ S = x – x_{0} ]
Рис. 1. Линейное перемещение равно разности между конечным и начальным положениями точки на оси
Рассмотрим теперь колесо (рис. 2). На горизонтальной линии, проходящей через диаметр колеса, справа отметим красную точку, от которой мы начнем отсчитывать углы. Условимся считать, что возле этой точки находится нулевой угол.
Рис. 2. Точка из положения 1 сместилась в положение 2, пройдя угловой путь
На ободе колеса выберем точку, например — ниппель. Сначала ниппель находился в точке 1. Точка 1 сдвинута на угол (gamma_{1}) относительно начала отсчета.
Будем вращать колесо в направлении, обозначенном синей стрелкой. Повернем колесо на некоторый угол, так, чтобы к концу движения ниппель переместился в точку, обозначенную цифрой 2 на рисунке. Эта точка смещена на угол (gamma_{2}) по отношению к началу отсчета.
По аналогии с поступательным движением, угловой путь, который прошел ниппель — это разница (разность) угловых положений точек 1 и 2.
[large boxed{ varphi = gamma_{2} — gamma_{1} }]
(varphi left( text{рад}right)) – угловой путь измеряется в радианах.
Угловой путь – это угол, на который повернулся ниппель, по отношению к его начальному положению.
Угловая скорость — куда она направлена
Если тело двигалось равномерно (с неизменной скоростью), то линейную скорость можно определить по формуле
[v = frac{S}{t} ]
(v left( frac{text{м}}{c} right)) — линейная скорость – это путь, деленный на время, поэтому она имеет размерность метров деленных на секунду.
Аналогично линейному случаю, если угловой путь поделить на время движения, получим угловую скорость.
[ large boxed{ omega = frac{varphi}{t} } ]
(omega left( frac{text{рад}}{c} right)) – угловая скорость – это угловой путь, деленный на время, поэтому она имеет размерность радиан деленных на секунду.
Угловая скорость ( omega ), так же, как и линейная скорость, является вектором. Но в отличии от линейной скорости его направление можно определить по правилу буравчика (правого винта).
Примечание: Направление вектора угловой скорости ( vec{omega} ) можно определить по правилу буравчика (правого винта)!
На рисунке 3 окружность располагается в горизонтальной плоскости, а вектор ( vec{omega }) направлен вдоль вертикальной оси вращения. Направление вращения указано синей стрелкой.
Рис. 3. Линейная и угловая скорости точки, вращающейся по окружности. Угловая скорость направлена по правилу правого винта вдоль оси вращения
При движении по окружности вектор линейной скорости (vec{v}) изменяет свое направление. Но в каждой точке окружности вектор (vec{v}) направлен по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно радиусу.
Примечание: Касательная и радиус перпендикулярны, это известно из геометрии.
Если точка начнет вращаться в противоположную сторону, то векторы линейной и угловой скорости развернутся противоположно направлениям, указанным на рисунке 3.
Связь между линейной и угловой скоростью
Угловая и линейная скорость связаны математически. Линейная скорость – это векторное произведение вектора угловой скорости и вектора радиуса окружности.
Примечание: Радиус окружности – это вектор, он направлен от центра окружности к ее внешней границе.
Векторный вид:
[large boxed{ left[vec{omega}, vec{R} right] = vec{v} }]
Скалярный вид записи связи скоростей:
[ large boxed{ omega cdot R = v }]
(omega left( frac{text{рад}}{c} right)) – угловая скорость;
(v left( frac{text{м}}{c} right)) — линейная скорость;
(R left( text{м}right)) – радиус окружности.
Частота и период
Вращательное движение описывают с помощью таких характеристик, как частота и период.
Период обращения – это время одного полного оборота. В системе СИ период измеряют в секундах.
( T left(c right)) – время, за которое тело совершило полный оборот – период. Время – это скалярная величина.
Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных оборотов совершило тело за одну секунду?».
( displaystyle nuleft( frac{1}{c} right)) – частота оборотов, скаляр.
Вместо записи ( displaystyle left( frac{1}{c} right)) иногда используют (displaystyle left( c^{-1} right)), или ( left( text{Гц} right)) – Герц. Это фамилия Генриха Герца, знаменитого физика.
[displaystyle 1 text{Гц} = frac{1}{c} = c^{-1} ]
Частота и период связаны обратной пропорциональностью:
[ large boxed{ T = frac{1}{nu} } ]
Количество оборотов
Двигаясь по окружности достаточное время, тело может пройти не один оборот. Зная угловой путь (varphi ) мы можем вычислить количество N оборотов.
[large boxed{ varphi = 2 pi cdot N }]
( N ) – количество оборотов, скаляр. Обороты считают поштучно.
Связь между угловой скоростью и частотой
Разделим обе части уравнения на время t, в течение которого тело вращалось
[ frac{varphi }{t} = 2 pi cdot frac{N}{t} ]
Левая часть уравнения – это угловая скорость.
[ large boxed{ frac{varphi }{t} = omega }]
А дробь в правой части – это частота
[ large boxed{ frac{N}{t} = nu }]
Таким образом, мы получили связь между угловой скоростью и частотой
[ large boxed{ left|vec{omega} right|= 2 pi cdot nu } ]
Примечание: Решая задачи на равноускоренное движение по окружности, удобно переходить от частоты к угловой скорости. Тогда можно будет применять аналогию с формулами для равноускоренного движения по прямой.
