Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.
При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:
Формула перемещения
Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.
Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:
Извлекаем из графика необходимые данные:
- Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
- Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).
Подставляем известные данные в формулу:
Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.
Варианты записи формулы перемещения
Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:
v = v0 ± at
В итоге получается формула:
Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».
Если начальная скорость равна 0 (v0 = 0), эта формула принимает вид:
Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:
Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.
Перемещение при разгоне и торможении тела
Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:
Этап торможения
Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:
t1 = t – t2
Когда тело тормозит, через некоторое время t1 оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t1 равна 0:
0 = v01 – at1
При торможении перемещение s1 равно:
Этап разгона
Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:
t2 = t – t1
Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t2 равна:
v = at2
При разгоне перемещение s2 равно:
При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:
s = |s1 – s2|
Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:
l = s1 + s2
Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с2. Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.
В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:
Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:
v02 = v01 + a1t1 = a1t1 (так как v01 = 0)
Подставляем выраженные величины в формулу:
Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения
Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:
За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:
За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:
За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:
Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:
Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:
Формула перемещения за n-ную секунду
Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с2. Найти его перемещение за 6 секунду.
Подставляем известные данные в формулу и получаем:
Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:
где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.
Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с2. Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.
Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.
Подставляем известные данные в формулу:
Проекция и график перемещения
Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:
График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:
Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:
- Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
- Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.
Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.
Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:
Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:
График пути
График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.
В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:
- 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
- 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.
Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.
Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.
При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:
Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:
Задание EF18553
Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t2(все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.
2.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.
3.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.
4.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.
5.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.
Решение
Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.
Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:
x(t)=x0+v0t+at22
Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:
• a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).
Перемещение тела определяется формулой:
s=v0t+at22
Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:
x(t)=v0t+at22=5t−3t2
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
Ek=mv22
Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:
v=v0+at=5−6t
Поэтому кинетическая энергия тела равна:
Ek=m(5−6t)22=0,22(5−6t)2=0,1(5−6t)2
Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.
Ответ: 34
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18774
На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.
Алгоритм решения
- Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
- Определить величины, которые характеризуют такое движение.
- Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
- Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.
Решение
График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:
- перемещение и путь;
- скорость;
- ускорение.
Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.
График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.
Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.
График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».
График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».
Ответ: 24
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18831
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1=20 с до t2=50 с.
Алгоритм решения
- Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
- Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
- Записать исходные данные.
- Записать формулу определения искомой величины.
- Произвести вычисления.
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
- От t1 = 0 c до t2 = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
- От t1 = 10 c до t2 = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
- От t1 = 20 c до t2 = 30 с — с равномерным движением.
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с — с равнозамедленным движением.
Исходные данные:
- Для первого участка. Начальный момент времени t1 = 20 c. Конечный момент времени t2 = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
- Для второго участка. Начальный момент времени t1 = 30 c. Конечный момент времени t2 = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.
Записываем формулу искомой величины:
s = s1 + s2
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1 и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1 и s2, а затем сложим их:
s1 + s2 = 100 + 100 = 200 (м)
Ответ: 200
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 25.4k
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
По графику зависимости модуля скорости тела от времени, представленного на рисунке, определите путь, пройденный телом от момента времени 0 с до момента времени 2 с. (Ответ дайте в метрах.)
2
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости автомобиля от времени. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале от момента времени 0 с до момента времени 5 с после начала отсчета времени. (Ответ дайте в метрах.)
3
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Какой путь пройден телом за вторую секунду? (Ответ дайте в метрах.)
4
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени.
Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента времени 5 с. (Ответ дайте в метрах.)
5
На рисунке представлен график зависимости пути от времени. Определите по графику скорость движения велосипедиста в интервале от момента времени 1 с до момента времени 3 с после начала движения. (Ответ дайте в метрах в секунду.)
Пройти тестирование по этим заданиям
На прошлых уроках мы познакомились с определением механического движения, узнали, каким бывает движение, изучили его свойства и характеристики. Теперь нам известны формулы для расчета скорости при равномерном движении ($upsilon = frac{S}{t}$) и средней скорости при неравномерном ($upsilon_{ср} = frac{S}{t}$).
На данном уроке мы посмотрим на эти формулы с другой стороны — научимся использовать их для расчета пути и времени движения, а также рассмотрим графики скорости и пути для равномерного движения.
Формулы для расчета пути и времени движения при равномерном движении тела
Скорость тела при равномерном движении вычисляется по формуле $upsilon = frac{S}{t}$. Отсюда, если мы знаем скорость и время, то можем найти пройденный путь:
$S = upsilon t$.
Чтобы определить путь, пройденный телом при равномерном движении, нужно скорость тела умножить на время его движения.
Выразим время:
$t = frac{S}{upsilon}$.
Чтобы рассчитать время при равномерном движении, нужно путь, пройденный телом, разделить на скорость его движения.
Формулы для расчета пути и времени движения при неравномерном движении тела
При неравномерном движении мы используем определение средней скорости, которую можем найти по формуле:
$upsilon_{ср} = frac{S}{t}$.
Чтобы определить путь при неравномерном движении, нужно среднюю скорость движения умножить на время:
$large S = upsilon_{ср} t$.
Также мы можем рассчитать время, разделив путь, пройденный телом, на среднюю скорость его движения:
$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$.
График скорости равномерного движения
Так как скорость – это векторная величина, она характеризуется и модулем, и направлением. В зависимости от выбранного направления скорость по знаку может быть как положительной, так и отрицательной.
На рисунке 1 изображен динозавр, автомобиль и дом. Зададим ось координат $x$.
Если динозавр начнет двигаться к дому, то его скорость будет положительной, так как направление движения совпадает с направлением оси $x$. Если же динозавр направится к автомобилю, то его скорость будет отрицательной, так как направление движения противоположно направлению оси $x$.
Итак, график скорости равномерного движения имеет вид, представленный на рисунке 2.
Из графика видно, что скорости с течением времени не изменяется – они постоянны в любой выбранный момент времени. Если мы посмотрим на график положительной скорости, то увидим, что $upsilon = 6 frac{м}{с}$, на график отрицательной — $upsilon = -4 frac{м}{с}$.
Зная скорость и время, мы можем рассчитать пройденный путь за определенный промежуток времени. Рассчитаем какой путь пройдет тело с положительной скоростью за $4 space с$.
$S = upsilon t = 6 frac{м}{с} cdot space 4 c = 24 space м$.
График пути равномерного движения
Пример графика зависимости пути равномерного движения представлен на рисунке 3.
Здесь $S$ — ось пройденных путей, $t$ — ось времени. По этому графику мы можем найти путь, пройденный телом за определенный промежуток времени. Например, за 1 с тело проходит путь длиной 2 м, за 2 с – 4 м, за 3 с – 6 м.
Зная путь и время, мы можем рассчитать скорость. Для удобства расчета возьмем самый первый отрезок пути: $t = 1 space с$, $S = 2 space м$. Тогда,
$upsilon = frac{S}{t} = frac{2 space м}{1 space с} = 2 frac{м}{с}$.
Задачи
Задача №1
Самым быстрым животным на Земле считается гепард. Он способен развивать скорость до $120 frac{км}{ч}$, но сохранять ее способен в течение короткого промежутка времени. Если за несколько секунд он не настигнет добычу, то, вероятнее всего, уже не сможет ее догнать. Найдите путь, который пробежит гепард на максимальной скорости за $3$ секунды.
Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.
$120 frac{км}{ч} = 120 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} approx 33 frac{м}{с}$.
Дано:
$upsilon = 120 frac{км}{ч}$
$t = 3 space c$
СИ:
$upsilon = 33 frac{м}{с}$
$S — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Гепард двигается равномерно в течение 3 с.
Путь, который он проходит за это время:
$S = upsilon t$,
$S = 33 frac{м}{с} cdot 3 с approx 100 space м$
Ответ: $S = 100 space м$.
Задача №2
Колибри – самые маленькие птицы на нашей планете. При полете они совершают около 4000 взмахов в минуту. Тем не менее, они способны пролетать очень большие расстояния. Например, некоторые виды данной птицы перелетают Мексиканский залив длиной $900 км$ со средней скоростью $40 frac{км}{ч}$. Сколько времени у них занимает такой полет?
Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.
$40 frac{км}{ч} = 40 cdot frac{1000 м}{3600 с} approx 11 frac{м}{с}$,
$900 space км = 900 space 000 м$.
Дано:
$upsilon_{ср} = 40 frac{км}{ч}$
$S = 900 space км$
CИ:
$upsilon_{ср} = 11 frac{м}{с}$
$S = 900 space 000 space м$
$t-?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Полет колибри будет примером неравномерного движения. Зная среднюю скорость и путь, рассчитаем время перелета:
$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$,
$t = frac{900 space 000 space м}{11 frac{м}{с}} approx 82 space 000 space с$.
Переведем время в часы:
$1 space ч = 60 space мин = 60 cdot 60 space c = 3600 space c$.
Тогда:
$t = frac{82 space 000 space c}{3600 space c} approx 23 space ч$.
Ответ: $t = 23 space ч$.
Больше задач на расчет пути и времени движения с подробными решениями смотрите в отдельном уроке.
Упражнения
Упражнение №1
Пользуясь таблицей 1 из прошлого урока, найдите скорости страуса, автомобиля, искусственного спутника Земли. Определите пути, пройденные ими за $5 space с$.
Дано:
$upsilon_1 = 22 frac{м}{с}$
$upsilon_2 = 20 frac{м}{с}$
$upsilon_3 = 8000 frac{м}{с}$
$t = 5 space с$
$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
$S_3 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Путь, пройденный страусом:
$S_1 = upsilon_1 t$,
$S_1 = 22 frac{м}{с} cdot 5 space с = 110 space м$.
Путь, пройденный автомобилем:
$S_2 = upsilon_2 t$,
$S_2 = 20 frac{м}{с} cdot 5 space с = 100 space м$.
Путь, пройденный искусственным спутником Земли:
$S_3 = upsilon_3 t$,
$S_3 = 8000 frac{м}{с} cdot 5 space с = 40 space 000 space м = 40 space км$.
Ответ: $S_1 = 110 space м$, $S_2 = 100 space м$, $S_3 = 40 space км$.
Упражнение №2
На велосипеде можно без особого напряжения ехать со скоростью $3 frac{м}{с}$. На какое расстояние можно уехать за $1.5 space ч$?
Дано:
$t = 1.5 space ч$
$upsilon = 3 frac{м}{с}$
СИ:
$t = 5400 space с$
$S — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем путь, который можно проехать на велосипеде с указанной скоростью:
$S = upsilon t$,
$S = 3 frac{м}{с} cdot 5400 space с = 16 space 200 space м = 16.2 space км$.
Ответ: $S = 16.2 space км$.
Упражнение №3
На рисунке 4 показан график зависимости пути равномерного движения тела от времени ($S$ — ось пройденного пути, $t$ — ось времени). По этому графику найдите, чему равен путь, пройденный телом за $2 space ч$. Затем рассчитайте скорость тела.
Определим из графика путь, пройденный телом за $2 space ч$. Этому времени на графике соответствует значение пути, равное $200 space км$. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$S = 200 space км$
$t = 2 space ч$
$upsilon — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Скорость равномерного движения рассчитываем по формуле:
$upsilon = frac{S}{t}$.
$upsilon = frac{200 space км}{2 space ч} = 100 frac{км}{ч}$.
Ответ: $upsilon = 100 frac{км}{ч}$.
Упражнение №4
График зависимости скорости равномерного движения тела от времени представлен на рисунке 5. По этому графику определите скорость движения тела. Рассчитайте путь, который пройдет тело за $2 space ч$, $4 space ч$.
Из графика видно, что скорость тела равна $8 frac{м}{с}$. Этот график представляет собой прямую, параллельную оси времени, потому что движение равномерное, и скорость тела не изменяется с течением времени. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$t_1 = 2 space ч$
$t_2 = 4 space ч$
$upsilon = 8 frac{м}{с}$
СИ:
$t_1 = 7200 space с$
$t_2 = 14 space 400 space с$
$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Путь рассчитаем по формуле: $S = upsilon t$.
За $2 space ч$ тело пройдет путь:
$S_1 = upsilon t_1$,
$S_1 = 8 frac{м}{с} cdot 7200 space с = 57 space 600 space м = 57.6 space км$.
За $4 space ч$ тело пройдет путь:
$S_2 = upsilon t_2$,
$S_2 = 8 frac{м}{с} cdot 14 space 400 space с = 115 space 200 space м = 115.2 space км$.
Ответ: $S_1 = 57.6 space км$, $S_2 = 115.2 space км$.
Упражнения №5
По графикам зависимости путей от времени (рисунок 6) двух тел, движущихся равномерно, определите скорости этих тел. Скорость какого тела больше?
Для того, чтобы рассчитать скорость тела, нам нужно знать путь и время, за которое этот путь был пройден. Возьмем эти значения для двух тел из их графиков. Первое тело (I) проходит путь, равный $4 space м$, за $2 space с$. Второе тело (II) проходит путь, равный $4 space м$, за $4 space с$. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$S = 4 space м$
$t_1 = 2 space с$
$t_2 = 4 space с$
$upsilon_1 — ?$
$upsilon_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем скорость первого тела:
$upsilon_1 = frac{S}{t_1}$,
$upsilon_1 = frac{4 space м}{2 space с} = 2 frac{м}{с}$.
Рассчитаем скорость второго тела:
$upsilon_2 = frac{S}{t_2}$,
$upsilon_2 = frac{4 space м}{4 space с} = 1 frac{м}{с}$.
Получается, что скорость первого тела больше скорости второго.
Ответ: $upsilon_1 = 2 frac{м}{с}$, $upsilon_2 = 1 frac{м}{с}$, $upsilon_1 > upsilon_2$.
По графику скорости от времени v(t) можно найти перемещение тела. Для этого нужно уметь рассчитывать площади плоских фигур.
По-английски «Square» – значит «площадь». Первая буква этого слова – буква «S». Перемещение обозначают буквой S потому, что S – это площадь фигуры, заключенной между линией скорости и горизонтальной осью времени.
Как вычислить площади плоских фигур
Рис.1. Чтобы рассчитать перемещение по графику v(t) нужно уметь вычислять площади трех плоских фигур
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника (рис. 1а) можно найти, перемножив две его перпендикулярные стороны:
[ large boxed{ S_{text{прямоуг}} = a cdot b }]
Площадь трапеции
Примечание: Трапеция – это четырехугольник, две его стороны параллельные, а две другие – не параллельные. Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Умножив полусумму оснований трапеции на ее высоту, получим площадь (рис. 1б) трапеции:
[ large boxed{ S_{text{трапец}} = frac{1}{2} (a + b) cdot h }]
Площадь прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника (рис. 1в) площадь можно вычислить, перемножив два его катета и взяв половину от получившегося произведения:
[ large boxed{ S_{text{треуг}} = frac{1}{2} cdot a cdot b }]
Скорость не меняется
Пусть тело движется по прямой и при этом его скорость не изменяется (остается одной и той же). На языке математики «скорость не изменяется» можно записать так:
[v=const]
На графике для скорости v(t) такая скорость обозначается горизонтальной линией. На рисунке 2 эта линия обозначена синим цветом.
Рис.2. Площадь прямоугольника на графике v(t), если скорость тела не изменяется, будет численно равна перемещению тела
Примечание: Движение с постоянной (т. е. с одной и той же) скоростью называют равномерным движением.
Если скорость направлена по оси движения – линия лежит выше оси t времени (рис. 2а).
А когда скорость направлена против оси движения – линия скорости располагается ниже оси t времени (рис. 2б). Математики в таком случае говорят: «Скорость имеет отрицательную проекцию на ось».
Какую бы проекцию не имела скорость – положительную, или отрицательную, длина вектора скорости остается положительной. Поэтому, когда мы вычисляем площадь фигуры, то не учитываем знак «минус» для скорости (рис. 2б).
В обоих случаях перемещение тела можно вычислить по формуле:
[ large S = v_{0} cdot (t_{2} — t_{1}) ]
Примечание: Перемещение тела – это всегда либо нулевая, либо положительная величина S. Математики словосочетание «либо нулевая, либо положительная» заменят одним словом «не отрицательная».
Скорость увеличивается
Когда скорость тела увеличивается, то линия скорости на графике v(t) всегда располагается так, чтобы с ростом времени удаляться от оси времени. Чем больше времени пройдет, тем дальше от горизонтали располагаются точки, лежащие на линии скорости (рис. 3).
Рис.3. Так выглядит зависимость скорости от времени v(t), когда тело увеличивает свою скорость, двигаясь по оси – рис а) и против оси – рис. б)
Примечание: Движение с возрастающей скоростью называют равноускоренным движением.
Когда тело движется по направлению оси, линия скорости расположена выше горизонтальной оси времени (рис 3а).
А если тело движется против оси, линия скорости располагается ниже горизонтальной оси времени (рис. 3б).
Вычислим перемещение тела, движущегося в положительном направлении оси Ox. Для тела, движущегося противоположно оси, перемещение рассчитывается аналогично.
Выбор интервала времени влияет на то, будем ли мы вычислять площадь трапеции (рис. 4а), или прямоугольного треугольника (рис. 4б).
Рис.4. График v(t) — тело движется в положительном направлении оси и увеличивает свою скорость. От того, какой интервал времени мы выберем, зависит, будем ли мы вычислять путь, пройденный телом, с помощью площади трапеции – рис. а), или прямоугольного треугольника — рис. б)
На графике скорости v(t) для рисунка 4а перемещение с помощью трапеции вычисляется так:
[ large S = frac{1}{2} cdot (v_{1} + v_{2}) cdot (t_{2} — t_{1}) ]
А для рисунка 4б перемещение тела найдем с помощью площади треугольника:
[ large S = frac{1}{2} cdot v_{2} cdot (t_{2} — 0) ]
Скорость уменьшается
Когда тело замедляется и его скорость уменьшается, с ростом времени линия скорости приближается к горизонтальной оси t
- сверху – если тело движется по оси (рис. 5а),
- или снизу – когда тело движется против оси (рис. 5б).
Рис.5. Так выглядит зависимость скорости от времени v(t), когда тело уменьшает свою скорость, двигаясь по оси – рис а) и против оси – рис. б)
Примечание: Движение с уменьшающейся по модулю скоростью называют равнозамедленным движением.
Будем вычислять перемещение тела, движущегося в положительном направлении оси Ox. Аналогичным способом рассчитывается перемещение тела, движущегося противоположно оси.
От того, какой интервал времени нас интересует, зависит, будем ли мы вычислять площадь трапеции (рис. 6а), или треугольника (рис. 6б).
Рис.6. График v(t) — тело движется в положительном направлении оси и уменьшает свою скорость. Выбор интервала времени определяет, будем ли мы вычислять путь, пройденный телом, с помощью трапеции – рис. а), или треугольника — рис. б)
Найдем на графике v(t) перемещение с помощью площади трапеции для рисунка 6а:
[ large S = frac{1}{2} cdot (v_{1} + v_{2}) cdot (t_{2} — t_{1}) ]
А для рисунка 6б перемещение тела найдем с помощью площади треугольника:
[ large S = frac{1}{2} cdot v_{1} cdot (t_{2} — t_{1}) ]
Выводы
На графике v(t) перемещение – это:
- площадь прямоугольника, когда скорость не изменяется;
- площадь треугольника, или трапеции, когда скорость изменяется — падает, или растет.
Вычисление пройденного пути
Если
известен график зависимости проекции
скорости от времени, то можно найти
путь, пройденный точкой за время движения.
Выделим на графике (рис. 1.6) бесконечно
малый интервал времени
,
такой, чтобы проекцию скорости
на этом интервале можно было считать
постоянной.
Рис.
1.6
–мгновенная
скорость.
Тогда
путь, пройденный точкой за время
,
равен
.
Путь,
пройденный точкой за время движения
,
равен сумме
,
или путь
равен интегралу от скорости по времени
.
Физический
смысл интеграла– бесконечно большая
сумма бесконечно малых слагаемых.
Геометрический
смысл интеграла– площадь под кривой,
ограниченная двумя перпендикулярами
и осью абсцисс.
1.5. Ускорение
В
случае неравномерного движения для
описания изменения скорости с течением
времени вводят физическую величину –
ускорение.
Ускорение
характеризует быстроту изменения
скорости по величине и направлению.
Рассмотрим
общий случай, когда скорость меняется
по величине и направлению.
Пусть
материальная точка в положении Аимела скорость
(рис. 1.7). Через промежуток
времени
точка перешла в положениеВ, где ее
скорость оказалась равной
:
или
.
Рис. 1.7
Средним
ускорением в интервале от
до
называется векторная величина, равная
отношению вектора изменения скорости
к интервалу времени
:
. (1.15)
Мгновенным
ускорением называется величина
. (1.16)
Таким
образом, ускорение
есть векторная величина, равная первой
производной скорости по времени.
Ускорениематериальной точки – это первая
производная от вектора скорости по
времени или вторая производная от
радиус-вектора по времени.
(1.17)
где
– проекции вектора ускорения на
координатные оси.
(1.18)
1.6. Понятие о кривизне траектории
Если
материальная точка движется по
криволинейной траектории, то отличие
этой траектории от прямолинейной
траектории характеризуется радиусом
кривизны или кривизной траектории.
|
Рис. 1.8 |
Δφ– угол между касательными в точках, Кривизна
|
(1.19)Кривизна
траектории характеризует скорость
поворота касательной при движении или
степень искривленности кривой.
Радиус
кривизны траектории в данной точке есть
величина обратная кривизне:
(1.20)
Радиус
кривизны траектории в данной точке –
это радиус окружности, которая сливается
на бесконечно малом участке в данном
месте с кривой (рис. 1.8).
1.7. Нормальное и тангенциальное ускорение при криволинейном движении
Пусть
материальная точка движется по
криволинейной траектории. Рассмотрим
общий случай, когда скорость движения
меняется по величине и направлению.
Пусть
материальная точка в положении А
имела скорость
(рис. 1.9).Через промежуток времени
точка перешла в положениеВ, где ее
скорость оказалась равной
.
П
Рис. 1.9
еренесем вектор
параллельно самому себе в точкуА(вектор
)
и найдем
равный
.
Так
как в общем случае скорость может
меняться по величине и направлению,
то удобно разложить ускорение на две
составляющие. Для этого разложим на две
составляющие вектор
.
Из
точки Апо направлению скорости
отложим вектор
,
по модулю равный вектору
.
Очевидно, что вектор
,
равный
,
характеризует изменение скорости по
величине. Вектор
характеризует изменение скорости по
направлению
. (1.19)
Полное
ускорение
(1.21)
Составляющая
ускорение
называетсятангенциальным ускорением.Оно характеризует быстроту изменения
скорости по величине.Его численное
значение равно первой производной по
времени от модуля скорости:
. (1.22)
Определим
направление вектора
.
При
направление вектора
стремится к направлению вектора
в точкеА траектории. Значит, вектор
направлен по касательной к траектории
(рис. 1.10).
|
Рис. |
|
;
;
↑↑
;
↑↑
.Составляющая
ускорения
называетсянормальным ускорением.Оно характеризует быстроту изменения
скорости по направлению. Нормальное
ускорение направлено по радиусу к центру
кривизны траектории.
Найдем
выражение для
.
Восстановим в точкахАиВперпендикуляры к касательным. Они
пересекутся в точкеО. При
дугуАВ можно рассматривать как
дугу окружности радиусаR.
Из подобия треугольниковCAEиAOB
; (1.24)
. (1.25)
Итак,
нормальное ускорение
, (1.26)
где
R
– радиус кривизны траектории.
Радиус
кривизныпредставляет собой радиус
окружности, которая сливается в данном
месте с кривой на бесконечно малом ее
участке. Если траектория – окружность,
тоR– радиус этой
окружности.
Определим
направление вектора
.
При
,
угол
и
в пределе перпендикулярен
,
следовательно,
.
Полное ускорение равно по модулю:
Рис.
1.11
. (1.27)
Пусть
и
– векторы единичной длины, один направлен
вдоль скорости, а другой – перпендикулярно
ему (рис. 1.11), при этом
.
Тогда
в векторном виде
;
;
. (1.28)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
