Физическую задачу в кинематике можно решить несколькими способами:
- аналитический — решение задачи основано на формулах (физических законах), которые связывают искомую величину и данные в условии задачи;
- графический — решение задачи осуществляется с помощью графика.
Основные закономерности графического способа решения задач по кинематике
1.1. График зависимости модуля скорости (v(t)) равномерного движения от времени — прямая линия, параллельная оси (OX) (рис. (1)).
Рис. (1). График модуля скорости равномерного движения
Если изображается зависимость проекции скорости от времени (v_x(t)), то возможны следующие варианты интерпретации:
а) график расположен над осью времени — тело движется в положительном направлении оси (OX);
б) график расположен под осью времени — тело движется в отрицательном направлении оси (OX).
1.2. Модуль перемещения (или пройденный путь при одномерном прямолинейном движении) на графике (v(t)) в момент времени (t_1) будет равен площади фигуры (прямоугольника) под графиком модуля скорости (рис. (2)).
Рис. (2). Определение модуля перемещения по графику скорости
2.1. График модуля перемещения (s(t)) для равномерного движения (рис. (3)) — прямая под углом ({alpha}) к оси времени:
Рис. (3). График модуля перемещения
Если изображается зависимость проекции перемещения от времени (s_x(t)), то возможны следующие варианты интерпретации:
а) график расположен над осью времени — тело движется в положительном направлении оси (OX);
б) график расположен под осью времени — тело движется в отрицательном направлении оси (OX).
2.2. Модуль скорости равномерного движения на графике модуля перемещения (s(t)) равен тангенсу угла (tgalpha) наклона прямой на графике (рис. (4)).
Рис. (4). Определение модуля скорости по графику модуля перемещения
Решение задачи аналитическим и графическим способами
Два катера, между которыми расстояние (30) м, равномерно движутся навстречу друг другу со значениями модулей скоростей υ1 (=) (2) м/с и υ2 (=) (4) м/c. Определи время встречи катеров. Какой путь успеет пройти первый катер до встречи?
Дано:
начальная координата первого катера —
x01
(=) (0) м, а второго —
x02
(=) (30) м.
Вектор скорости первого катера (vec{v_1}) сонаправлен оси (OX), его проекция будет положительна ({v_1}_x > 0), а вектор скорости второго катера (vec{v_2}) направлен противоположно оси (OX), поэтому его проекция будет отрицательна: ({v_2}_x < 0) (рис. (5)).
Рис. (5). Задача
Аналитический способ решения
1. Запишем уравнения движения тел, исходя из формулы (x(t) = x_0 + v_x(t – t_0)).
2. В момент встречи (t_{встр}) тела будут иметь одинаковую координату (x_1 = x_2):
— расчёт времени встречи катеров.
3. Для ответа на второй вопрос воспользуемся следующей формулой:
— расчёт пути, пройденного первым катером до момента встречи (t_{встр}).
Графический способ решения
1. Запишем для первого катера уравнение движения:
x1=0+2t=2t
.
2. Заполним таблицу значений (x(t)) для построения графика движения первого катера.
| (x), м | (0) | (2) | (4) |
| (t), с | (0) | (1) | (2) |
3. Запишем для второго катера уравнение движения:
x2=30−4t
.
4. Заполним таблицу значений (x(t)) для построения графика движения второго катера.
| (x), м | (30) | (26) | (22) |
| (t), с | (0) | (1) | (2) |
5. Построим графики движений двух катеров.
Рис. (6). График движения катеров
6. Находим по графику (рис. (6)):
а) время встречи (точка пересечения)
tвстр
(=) (5) c;
б) путь, пройденный первым катером, равен изменению координаты (L) (=) (x(t_{встр})) —
x01
(=) (10) м.
Ответ: (5) с; (10) м.
Источники:
Рис. 1. График модуля скорости равномерного движения. © ЯКласс.
Рис. 2. Определение модуля перемещения по графику скорости. © ЯКласс.
Рис. 3. График модуля перемещения. © ЯКласс.
Рис. 4. Определение модуля скорости по графику модуля перемещения. © ЯКласс.
Рис. 5. Задача. © ЯКласс.
Рис. 6. График движения катеров. © ЯКласс.
Задачи на движение навстречу друг другу (встречное движение) — один из трех основных видов задач на движение.
Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:
Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:
![[{v_c} = {v_1} + {v_2}]](https://www.for6cl.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5db465b67cf7a4f44b117ff2f53015a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.
Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой пути:
![[s = v cdot t]](https://www.for6cl.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-115885a6d144cc69d9c8e04b83841a1c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Рассмотрим некоторые задачи на встречное движение.
Задача 1
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?
Решение:
Условие задач на движение удобно оформлять в виде таблицы:
|
v, км/ч |
t, ч |
s, км |
|
|
I велосипедист |
12 |
3 |
? |
|
II велосипедист |
10 |
3 |
? |
1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов
2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.
Ответ: 66 км.
Задача 2
Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого — 60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
|
v, км/ч |
t, ч |
s, км |
|
|
I поезд |
60 |
? |
? |
|
II поезд |
50 |
? |
? |
1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов
2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.
Ответ: через 4 ч.
Задача 3.
Два пешехода находились на расстоянии 20 км друг от друга. Они вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Скорость одного пешехода 6 км/ч. Найти скорость другого пешехода.
|
v, км/ч |
t, ч |
s, км |
|
|
I пешеход |
6 |
2 |
? |
|
II пешеход |
? |
2 |
? |
1) 20:2=10 (км/ч) скорость сближения пешеходов
2) 10-6=4 (км/ч) скорость другого пешехода.
Ответ: 4 км/ч.
 |
Графики каких движений показаны на рисунке? Как отличаются скорости движения этих тел? В какой момент времени тела встретились? Какие пути тела прошли до встречи? |
Решение
Так как изменение координаты тела происходит прямо пропорционально времени, то можно утверждать, что движение равномерное и прямолинейное. По отношению к точке отсчета (0; 0) у первого тела координата убывает, а у второго наоборот — возрастает. Первое тело движется против оси
х
, второе — по направлению оси координат.
а) Чтобы ответить на вопрос об отличии скоростей, определим их из уравнения координаты:
| v1x | = | 3 − 6 | м/с = −0.75 м/с. |
| 4 |
| v2x | = | 3 − 0 | м/с = 0.75 м/с. |
| 4 |
Скорости тел равны по абсолютному значению, но противоположны по направлению.
б) Зная также, что
v=tg α
(геометрический смысл скорости) и сравнивая углы наклонов графиков движения тел к оси
t
, приходим к выводу, что углы одинаковы, следовательно, скорости равны.
в) Точка пересечения двух прямых означает, что тела встретились в одно и то же время в одной и той же точке, т. е. время встречи
t
= 4 c, а координата
x
= 3 м.
г) Так как движение равномерное и прямолинейное, то
S = x − xo
. Находим пути, пройденные телами до встречи:
S1= | x1 − xo1 | = | (3−6) м | = 3 м
,
S2= | x2 − xo2 | = | (3−0) м | = 3 м
.
Оба тела, двигаясь с одинаковыми скоростями, за одно и тоже время прошли равное расстояние.
Далее: уравнение движения точки и уравнение траектории [тема: задачи на равномерное прямолинейное движение]
Теперь решим задачу из предыдущего параграфа другим способом – аналитическим. Посмотрим на рис. 20 и вспомним, что было сделано за первые три шага решения этой задачи.
Шаг 1. Мы ввели систему отсчета: 1) выбрали началом отсчета дерево, от которого начинал свое движение пешеход; 2) направили координатную ось вдоль дороги в направлении движения пешехода; 3) включили часы (секундомер) в момент начала движения тел.
Шаг 2. Были определены начальные координаты пешехода (xп0 = 0) и велосипедиста (xв0= 20 м).
Шаг 3. Используя введенную систему отсчета, мы определили значения скоростей движения пешехода (vп = 1 м/с) и велосипедиста (vв = -3 м/с).
Таким образом, первые три шага решения задачи не зависят от того, каким способом (графическим или аналитическим) мы собираемся ее решать. Но уже следующий шаг будет отличаться от того, что мы делали при графическом способе решения.
Шаг 4 (аналитический). Запишем в аналитическом виде законы движения тел, учитывая известные данные. Поскольку в задаче движутся два тела (пешеход и велосипедист), то мы получаем два закона движения:
xп = 0 + 1 · t, xв = 20 – 3 · t.
Шаг 5 (аналитический). Представим в виде уравнения условие задачи – встречу велосипедиста и пешехода. Встреча двух тел означает, что положения тел в пространстве совпадут в некоторый момент времени t = tвстр, т. е. в этот момент времени совпадут их координаты. Поэтому условие встречи будет иметь вид:
xп = xв.
Шаг 6 (аналитический). Запишем вместе полученные в шагах 4 и 5 выражения, присвоив каждому из них свои номер и название.
xп = 0 + 1 · t, (1) (закон движения пешехода)
xв = 20 – 3 · t, (2) (закон движения велосипедиста)
xп = xв. (3) (условие встречи пешехода и велосипедиста)
Шаг 7 (аналитический). Решение уравнений.
Для того чтобы найти значение времени t в интересующий нас момент встречи, воспользуемся условием встречи пешехода и велосипедиста – уравнением (3). Оно предполагает равенство координат двух тел. Подставим в него выражения для xп и xв из уравнений (1) и (2):
0 + 1 · t = 20 – 3 · t
Приведем подобные слагаемые и решим уравнение:
(1+3) · t = 20, t = 20/4 = 5 (с).
Таким образом, мы установили, что встреча пешехода и велосипедиста состоится через 5 с после начала движения.
Теперь определим координату точки, в которой состоится встреча. Для этого подставим полученное значение момента встречи tвстр = 5 с в закон движения пешехода – уравнение (1):
xп = 0 + 1 · tвстр = 0 + 1 · 5 = 5 (м).
Это означает, что в момент встречи координата пешехода будет равна xп = 5. Следовательно, встреча произойдет в 5 м от начала отсчета – дерева, от которого начал движение пешеход.
Ясно, что координату места встречи можно было определить, подставив время tвстр = 5 с и в закон движения велосипедиста – уравнение (2):
xв = 20 – 3 · tвстр = 20 – 3 · 5 = 5 (м).
Естественно, мы получили то же самое значение хвстр, так как координаты пешехода и велосипедиста в момент встречи совпадают.
Итоги
При аналитическом способе решения задачи «встреча» момент встречи и координата места встречи определяются из равенства координат в законах движения тел, записанных в аналитическом виде.
Упражнения
1. Определите аналитическим способом время и место встречи пешехода и велосипедиста (начните с шага 3) в выбранной нами ранее системе отсчета, связанной с деревом, если:
а) значение скорости пешехода осталось прежним vп = 1 м/с, а велосипедист едет ему навстречу со скоростью |vв| = 4 м/с;
б) значение скорости пешехода vп = 3 м/с, а велосипедист едет со скоростью, значение которой vв = -7 м/с.
2. Выполните предыдущее упражнение, решая задачу графическим способом.
3. Определите аналитическим способом время и координату встречи пешехода и велосипедиста, которые движутся навстречу друг другу со скоростями |vп| = 2 м/с и |vв| = 8 м/с, если начальное расстояние между ними l = 160 м и они начинают движение одновременно. (Начните решение с шага 1.)
4. Сформулируйте условие и решите задачу о встрече велосипедиста и мотоциклиста, изображенных в момент времени t = 0 на рис. 24.
Как найти место встречи двух тел, если дано начальное расстояние между ними и их скорости?
Знаток
(384),
закрыт
12 лет назад
Styx
Гений
(83658)
12 лет назад
в физике такие задачи решают так начало отсчета-это самое главное !!!выбираете в начальном положении 1 машины
1) записываете ур движения 1 машины x1=100t
2) записываете координату второй машины- x2= 100-80(t-1/4)
3)в момент встречи у них x1=x2 решаете уравнение находите t? подставляете в любое x находите координату
графически строите графики x1(t) x2(t)/ в математике это y=kx +b- вся беда в ом, что математика у вас отдельно, а мухи отдельно!! ! время, при котором графики пересекаются и есть время встречи!! ! ВСЕ!!
