Как найти пятизначные простые числа

Как найти пятизначные простые числа

Эта страница содержит список первых 500 простых чисел (от 2 до 3571), а также списки некоторых специальных типов простых чисел.

Первые простые числа[править | править код]

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223
1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373
1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657
1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811
1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987
1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129
2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287
2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617
2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741
2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079
3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257
3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571

(последовательность A000040 в OEIS).

Проект по проверке проблемы Гольдбаха сообщает, что были вычислены все простые числа до 10^{18}. Это составляет 24 739 954 287 740 860 простых чисел, но они не были сохранены. Существуют известные формулы, позволяющие вычислить количество простых чисел (до заданного значения) быстрее, чем вычисление самих простых чисел. Этот способ был использован, чтобы вычислить, что до 10^{{23}} находится 1 925 320 391 606 803 968 923 простых числа.

Простые числа Белла[править | править код]

Простые числа, которые являются числом разбиения множества с n элементами.

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Следующее число имеет 6539 цифр[1]. (последовательность A051131 в OEIS)

Кубические простые числа[править | править код]

Простые числа вида {frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317 (последовательность A002407 в OEIS).

а также {frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

(последовательность A002648 в OEIS).

Суперпростые числа[править | править код]

Простые числа, находящиеся на позициях последовательности простых чисел с простыми номерами, то есть 2-е, 3-е, 5-е и т. д.

Первые члены последовательности суперпростых чисел: 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, …
Последовательность OEIS:A006450

Простые, состоящие из единиц[править | править код]

Числа-репьюниты, состоящие из 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 единиц, являются простыми (последовательность A004023 в OEIS).

Простые, состоящие из единиц и нулей[править | править код]

Кроме простых чисел, состоящих только из единиц, можно отметить и простые числа, состоящие из единиц и нулей. В пределах первых десяти миллионов простыми являются следующие из таких чисел (последовательность A020449 в OEIS):

11, 101, 10111, 101111, 1011001, 1100101 и т. д.

Простые палиндромы[править | править код]

Палиндромами называются числа, которые справа налево и слева направо читаются одинаковым образом, например, 30103.
Среди таких чисел тоже встречаются простые. Ясно, что любой простой палиндром состоит из нечётного количества цифр (за исключением числа 11), так как любой палиндром с чётным количеством цифр всегда делится на 11.
Первыми простыми палиндромами являются такие числа:

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601

Простые числа Вильсона[править | править код]

Простые числа p, для которых (p-1)!+1 делится нацело на p^{2}.

Известные простые Вильсона: 5, 13, 563 (последовательность A007540 в OEIS).

Другие простые Вильсона неизвестны. Гарантированно не существует других простых Вильсона, меньших 2⋅1013[2].

Простые числа Вольстенхольма[править | править код]

Простые числа p, для которых биномиальный коэффициент {{2p-1} choose {p-1}}equiv 1{pmod {p^{4}}}.

Известны только эти числа до миллиарда: 16843, 2124679 (последовательность A088164 в OEIS)

Простые числа Кэрола[править | править код]

Простые числа вида (2^{n}-1)^{2}-2.

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087 (последовательность A091516 в OEIS).

Простые числа Каллена[править | править код]

Простые числа вида n2^{n}+1.

Все известные числа Каллена соответствуют n, равному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.

Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.

Простые числа Маркова[править | править код]

Простые числа p, для которых существуют целые x и y такие, что x^{2}+y^{2}+p^{2}=3xyp.

2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1597, 2897, 5741, 7561, 28657, 33461, 43261, 96557, 426389, 514229 (последовательность A178444 в OEIS)

Простые числа Мерсенна[править | править код]

Простые числа вида 2^{n}-1. Первые 12 чисел:

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727
(последовательность A000668 в OEIS).

Простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса[править | править код]

Простым числом Ньюмена — Шэнкса — Уильямса (NSW) называется простое число p, которое можно записать в виде:

S_{{2m+1}}={frac {left(1+{sqrt {2}}right)^{{2m+1}}+left(1-{sqrt {2}}right)^{{2m+1}}}{2}}.

Несколько первых NSW-простых: 7, 41, 239, 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599, 123426017006182806728593424683999798008235734137469123231828679 (последовательность A088165 в OEIS).

Простые числа Прота[править | править код]

Простые числа вида P=kcdot 2^{n}+1, причём k нечётно и 2^{n}>k (последовательность A080076 в OEIS).

Простые числа Софи Жермен[править | править код]

Простые числа p такие, что {displaystyle 2p+1} также простые.

2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953
(последовательность A005384 в OEIS).

Простые числа Ферма[править | править код]

Это простые числа вида 2^{{2^{n}}}+1.

Известные простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS).

Простые числа Фибоначчи[править | править код]

Простые числа в последовательности Фибоначчи F0 = 0, F1 = 1,
Fn = Fn−1 + Fn−2.

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917 (последовательность A005478 в OEIS)

Простые числа Чена[править | править код]

Такие простые числа p, что p+2 либо простое, либо полупростое:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409 (последовательность A109611 в OEIS).

Простые числа Пелля[править | править код]

В теории чисел числами Пелля называется бесконечная последовательность целых чисел, являющихся знаменателями подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается с 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, и 41/29, так что последовательность чисел Пелля начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Несколько первых простых чисел Пелля: 2, 5, 29, 5741, … (последовательность A086383 в OEIS).

Простые числа в форме {displaystyle n^{4}+1}[править | править код]

[3][4]

2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 45212177, 59969537, 65610001, 126247697, 193877777, 303595777, 384160001, 406586897, 562448657, 655360001 (последовательность A037896 в OEIS).

Сбалансированные простые числа[править | править код]

Простые числа, которые являются средним арифметическим предыдущего простого числа и следующего простого числа:

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 (последовательность A006562 в OEIS).

Уникальные простые числа[править | править код]

Простые числа p, длина периодической дроби которых от {frac {1}{p}} уникальна (ни одно другое простое число не даёт такое же):

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991
(последовательность A040017 в OEIS).

Факториальные простые[править | править код]

Это простые числа вида n!pm 1 для некоторого {displaystyle nin {mathbb {N} }}:

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 (последовательность A088054 в OEIS).

Праймориальные простые числа[править | править код]

Простые числа вида p# ± 1:

pn# − 1 является простым для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … последовательность A057704 в OEIS
pn# + 1 является простым для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … последовательность A014545 в OEIS

Центрированные квадратные простые числа[править | править код]

Числа вида n^{2}+(n+1)^{2}:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621, 15313, 16381, 19013, 19801, 20201, 21013, 21841, 23981, 24421, 26681 (последовательность A027862 в OEIS).

Центрированные треугольные простые числа[править | править код]

Числа вида (3n^{2}+3n+2)/2:

19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251, 25939, 27541, 29191, 29611, 31321, 34429, 36739, 40099, 40591, 42589 (последовательность A125602 в OEIS).

Центрированные десятиугольные простые числа[править | править код]

Простые числа, которые можно представить в виде 5(n^{2}-n)+1:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531, 20161, 22111, 24151, 24851, 25561, 27011, 27751 (последовательность A090562 в OEIS).

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 93074010508593618333…(6499 other digits)…83885253703080601131 Архивная копия от 6 февраля 2015 на Wayback Machine, The Largest Known Primes — primes.utm.edu
  2. ↑ A Search for Wilson primes. Дата обращения: 20 декабря 2012. Архивировано 7 апреля 2018 года.
  3. ↑ Lal, M. Primes of the Form n4 + 1 (англ.) // Mathematics of Computation  (англ.) (рус. : journal. — American Mathematical Society, 1967. — Vol. 21. — P. 245—247. — ISSN 1088-6842. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222007-9. Архивировано 13 января 2015 года.
  4. ↑ Bohman, J. New primes of the form n4 + 1 (англ.) // BIT Numerical Mathematics  (англ.) (рус. : journal. — Springer, 1973. — Vol. 13, no. 3. — P. 370—372. — ISSN 1572-9125. — doi:10.1007/BF01951947.

Литература[править | править код]

  • Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker’s Delight. — М.: Вильямс, 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4.

Ссылки[править | править код]

  • Списки простых и факторизованных составных чисел
Источник

Красивые аномалии встречаются в каждом предмете, но если есть одна область красоты, с которой согласится большинство математиков, то это простое число.

Эти числа занимают уникальный пьедестал в математике, особенно в области теории чисел. Великие умы потратили бесчисленные часы для расследования этой проблемы, в том числе такие великие умы, как Пол Эрдос, Г.Х. Харди и Сриниваса Рамануджан, и это лишь некоторые из них. Теперь, прежде чем мы углубимся в различные алгоритмы, чтобы найти простые числа, давайте сначала установим предварительное понимание простых чисел.

Что такое простые числа?

Самое техническое определение простых чисел состоит в том, что это натуральное число больше 1 и может быть получено только путем умножения 1 и самого себя. Если бы понимание натуральных чисел было более интуитивным, то можно было бы сказать, что это числа, которые мы используем для подсчета.

Чтобы понять это более точно, давайте выберем два числа – 5 и 6. Теперь 5 – это число, которое можно получить только умножением на 1 и 5 (само число). Однако, когда мы берем число 6, то замечаем, что его можно получить другим способом, кроме умножения 1 и 6 (само число). Его также можно получить умножением чисел 2 и 3, что означает, что это не простое число. Число, которое не является простым, известно как составное число.

Метод Марена Мерсенна

Метод простого числа Мерсенна – это специальный метод нахождения определенного вида простого числа, известный как простые числа Мерсенна. Название для этого метода происходит от французского монаха Марин Мерсенн, который первым определил его. Простые числа Мерсенна – это те, которые сводимы к виду 2n-1, где n-простое число. Первые несколько чисел в этом методе являются 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, и 89. Долгое время метод простых чисел Мерсенна представлял собой тяжёлую работу, так как при переходе к более высоким простым числам он был очень трудоемким.

Марен Мерсенн Французский математик

Однако, с появлением компьютеров, они теперь могли выполнять эти вычислительные вычисления, которые раньше делались людьми самым кропотливым и трудоемким образом. Мы определенно достигли более высоких простых чисел Мерсенна и простых чисел на общем уровне. Поиск простых чисел так же активен, как и другие численные поиски, выполняемые компьютерами. Другой числовой поиск, аналогичный движению простых чисел, заключается в добавлении десятичных разрядов к некоторым иррациональным числам, таким как пи (отношение длины окружности к диаметру). Однако непрерывный поиск следующего по величине простого числа существенно сложнее, чем поиск следующей цифры числа Пи.

Даже самые большие компьютеры (суперкомпьютеры) тратят значительное количество времени, чтобы проверить, является ли новое число (которое обычно ошеломляюще огромным) само по себе простым числом, и требуется еще больше времени, чтобы проверить, является ли число основным числом Мерсенна. По этой причине числа Мерсенна представляют большой интерес в области кибербезопасности и криптографии, особенно в отношении шифрования.

В августе 2008 года системный администратор UCLA Эдсон Смит нашел наиболее значимое простое число, известное на тот момент. Смит установил программное обеспечение для Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps), проекта распределенных вычислений на добровольной основе. Это число было простым числом Мерсенна длиной 12 978 189 цифр. Чтобы дать представление о том, насколько он велик, на его написание уйдет почти два с половиной месяца, а в случае печати он растянется на 50 км!

Метод простых чисел Ферма

Число Ферма, как и число Мерсенна, представляет собой особый вид простого числа. Название происходит от математика 17-го века и юриста Пьера де Ферма. Число Ферма похоже на число Мерсенна… с одной маленькой поправкой. Давайте возьмем число Ферма Fm, где мы можем определить Fm как 2m +1. Здесь m снова равно 2, возведенному в степень n или 2n.

Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 17 августа 1601 — 12 января 1665) — французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел.

Фермат был твердо убежден в том, что все числа вышеуказанной формы – это простые числа. В дальнейшем он сказал, что он будет производить простые числа для всех целочисленных значений m. Что делает эти числа уникальными и красивыми, но очень хитрыми, так это то, что простые числа становятся чрезвычайно большими очень быстро, даже в пределах первых четырех итераций. Чтобы доказать это, возьмем n в качестве следующих значений, n=0, 1, 2, 3 и 4.

Когда n = 0, m = 20 = 1; поэтому F0 = 2 1 + 1 = 2 + 1 = 3, что является простым. Когда n = 1, m = 21 = 2; поэтому F1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5, что является простым. Когда n = 2, m = 22 = 4; следовательно, F2 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17, что является простым. Когда n = 3, m = 23 = 8; следовательно, F3 = 28 + 1 = 256 + 1 = 257, что является простым. Когда n = 4, m = 24 = 16; следовательно, F4 = 216 + 1 = 65536 + 1 = 65537, что является простым числом. Теперь, как вы можете заметить, к тому времени, когда мы достигнем F5, значение достигает 4 294 967 297.

На сегодняшний день мы достигли только F11, даже со всеми лучшими компьютерами и параллельными вычислениями и большой точностью. В конце концов, однако, мы можем сказать, что поиск простых чисел всегда будет идти до бесконечности и дальше!

Источник

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4… (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
113 127 131 137 139 149

151

 157

163

 167

173

 179

181

 191

193

 197

199

 211

223

 227

229

 233

239

 241

251

 257

263

 269

271

 277

281

 283

293

 307

311

 313

317

 331

337

 347

349

 353

359

 367

373

 379

383

 389

397

 401

409

 419

421

 431

433

 439

443

 449

457

 461

463

 467

479

 487

491

 499

503

 509

521

 523

541

 547

557

 563

569

 571

577

 587

593

 599

601

 607

613

 617

619

 631

641

 643

647

 653

659

 661

673

 677

683

 691

701

 709

719

 727

733

 739

743

 751

757

 761

769

 773

787

 797

809

 811

821

 823

827

 829

839

 853

857

 859

863

 877

881

 883

887

 907

911

 919

929

 937

941

 947

953

 967

971

 977

983

 991 997

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

  1. Записать все числа от 1 до n (например, записываются все числа от 1 до 100, если нужны все простые числа между ними);
  2. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 2 (кроме 2);
  3. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 3 (кроме 3);
  4. И так далее по порядку со всеми невычеркнутыми числами до числа n (после 3 это 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.).

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

  • 14 (это 2 х 7) и 15 (это 3 х 5), единственный общий делитель — 1; если числа следуют одно за другим (как 13 и 12 либо 10 и 11), то они всегда будут взаимно простыми;
  • 7 (это 7 х 1) и 11 (это 11 х 1) — это два простых числа, а значит единственный общий делитель всегда будет только единица, простые числа всегда являются взаимно простыми;
  • или 30 и 48 не являются взаимно простыми, т. к. 6 х 5 = 30 и 6 х 8 = 48 и 6 — это наибольший общий делитель, т. е.: НОД (30; 48) = 6.

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

число Мерсенна формула, 2 в степени p минус 1

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе “Теория чисел” (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

(2 в степени 82,589,933) минус 1

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Узнайте про Рациональные числа и Натуральные числа.

Источник

REVERSE228

+20

Решено

7 лет назад

Информатика

5 – 9 классы

Сколько существует пятизначных простых чисел?

Смотреть ответ

1

Ответ

0
(0 оценок)

1

Ikuinen
7 лет назад

Светило науки – 16 ответов – 0 раз оказано помощи

8364 простых числа….
denisx.ru/tech/prime-number/prime-numbers/first
по ссылке таблица до 100000.
копируем от 10007 до конца и в ексель. 836 столбиков умножаем на 10 и плюс 3. 8363 ошибся на один

(0 оценок)

https://vashotvet.com/task/8485906

Источник

Содержание материала

  1. Что такое простые числа
  2. Видео
  3. Разложение на простые множители
  4. Алгоритм разложения на простые множители
  5. Решение
  6. Разные свойства простых чисел*
  7. Метод Марена Мерсенна
  8. Быстрое возведение в степень
  9. Скатерть Улама
  10. Решето Эратосфена
  11. Как определить простые числа
  12. Темы для размышлений

Что такое простые числа

Определение 1

Простые числа — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x.

Пример 1

Например, 11 — это простое число. Его можно разделить только на 1 и 11. Деление простого числа на другое приводит к тому, что остается остаток, что называют простым числом.

13 ÷ 4 = 3 (остаток 1).

Число, имеющее более двух множителей, называется составными числами. Наименьшее простое число равно 2, потому что оно делится само на себя и только на 1.

Пример 2

30 не является примером простого числа, потому что его можно разделить на 1,2,3,5,6,10,15,30. Таким образом, 30 является примером составного числа, поскольку оно имеет более двух факторов.

Ноль, единица и числа меньше единицы не считаются простыми числами.

Видео

Разложение на простые множители

Любое натуральное число можно разложить на произведение простых, и с такой записью очень легко работать при решении задач. Разложение на простые множители еще называют факторизацией.

[11 = 11 = 11^1] [100 = 2 times 2 times 5 times 5 = 2^2 times 5^2] [126 = 2 times 3 times 3 times 7 = 2^1 times 3^2 times 7^1]

Рассмотрим, например, такую задачу:

Условие: Нужно разбить (N) людей на группы равного размера. Нам интересно, какие размеры это могут быть.

Решение: По сути нас просят найти число делителей (N). Нужно посмотреть на разложение числа (N) на простые множители, в общем виде оно выглядит так:

[N= p_1^{a_1} times p_2^{a_2} times ldots times p_k^{a_k}]

Теперь подумаем над этим выражением с точки зрения комбинаторики. Чтобы «сгенерировать» какой-нибудь делитель, нужно подставить в степень (i)-го простого число от 0 до (a_i) (то есть (a_i+1) различное значение), и так для каждого. То есть делитель (N) выглядит ровно так: [M= p_1^{b_1} times p_2^{b_2} times ldots times p_k^{b_k}, 0 leq b_i leq a_i] Значит, ответом будет произведение ((a_1+1) times (a_2+1) times ldots times (a_k + 1)).

Алгоритм разложения на простые множители

Применяя алгоритм проверки числа на простоту, мы умеем легко находить минимальный простой делитель числа N. Ясно, что как только мы нашли простой делитель числа (N), мы можем число (N) на него поделить и продолжить искать новый минимальный простой делитель.

Будем перебирать простой делитель от (2) до корня из (N) (как и раньше), но в случае, если (N) делится на этот делитель, будем просто на него делить. Причем, возможно, нам понадобится делить несколько раз ((N) может делиться на большую степень этого простого делителя). Так мы будем набирать простые делители и остановимся в тот момент, когда (N) стало либо (1), либо простым (и мы остановились, так как дошли до корня из него). Во втором случае надо еще само (N) добавить в ответ.

Напишем алгоритм факторизации:

Решение

За те же самые (O(sqrt{N})). Итераций цикла while с перебором делителя будет не больше, чем (sqrt{N}). Причем ровно (sqrt{N}) операций будет только в том случае, если (N) — простое.

А итераций деления (N) на делители будет столько, сколько всего простых чисел в факторизации числа (N). Понятно, что это не больше, чем (O(log{N})).

Разные свойства простых чисел*

Вообще, про простые числа известно много свойств, но почти все из них очень трудно доказать. Вот еще некоторые из них:

  • Простых чисел, меньших (N), примерно (frac{N}{ln N}).
  • N-ое простое число равно примерно (Nln N).
  • Простые числа распределены более-менее равномерно. Например, если вам нужно найти какое-то простое число в промежутке, то можно их просто перебрать и проверить — через несколько сотен какое-нибудь найдется.
  • Для любого (N ge 2) на интервале ((N, 2N)) всегда найдется простое число (Постулат Бертрана)
  • Впрочем, существуют сколь угодно длинные отрезки, на которых простых чисел нет. Самый простой способ такой построить — это начать с (N! + 2).
  • Есть алгоритмы, проверяющие число на простоту намного быстрее, чем за корень.
  • Максимальное число делителей равно примерно (O(sqrt[3]{n})). Это не математический результат, а чисто эмпирический — не пишите его в асимптотиках.
  • Максимальное число делителей у числа на отрезке ([1, 10^5]) — 128
  • Максимальное число делителей у числа на отрекзке ([1, 10^9]) — 1344
  • Максимальное число делителей у числа на отрезке ([1, 10^{18}]) — 103680
  • Наука умеет факторизовать числа за (O(sqrt[4]{n})), но об этом как-нибудь в другой раз.
  • Любое число больше трёх можно представить в виде суммы двух простых (гипотеза Гольдбаха), но это не доказано.

Метод Марена Мерсенна

Метод простого числа Мерсенна — это специальный метод нахождения определенного вида простого числа, известный как простые числа Мерсенна. Название для этого метода происходит от французского монаха Марин Мерсенн, который первым определил его. Простые числа Мерсенна — это те, которые сводимы к виду 2n-1, где n-простое число. Первые несколько чисел в этом методе являются 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, и 89. Долгое время метод простых чисел Мерсенна представлял собой тяжёлую работу, так как при переходе к более высоким простым числам он был очень трудоемким.

Марен Мерсенн Французский математик

Марен Мерсенн Французский математик

Однако, с появлением компьютеров, они теперь могли выполнять эти вычислительные вычисления, которые раньше делались людьми самым кропотливым и трудоемким образом. Мы определенно достигли более высоких простых чисел Мерсенна и простых чисел на общем уровне. Поиск простых чисел так же активен, как и другие численные поиски, выполняемые компьютерами. Другой числовой поиск, аналогичный движению простых чисел, заключается в добавлении десятичных разрядов к некоторым иррациональным числам, таким как пи (отношение длины окружности к диаметру). Однако непрерывный поиск следующего по величине простого числа существенно сложнее, чем поиск следующей цифры числа Пи.

Даже самые большие компьютеры (суперкомпьютеры) тратят значительное количество времени, чтобы проверить, является ли новое число (которое обычно ошеломляюще огромным) само по себе простым числом, и требуется еще больше времени, чтобы проверить, является ли число основным числом Мерсенна. По этой причине числа Мерсенна представляют большой интерес в области кибербезопасности и криптографии, особенно в отношении шифрования.

В августе 2008 года системный администратор UCLA Эдсон Смит нашел наиболее значимое простое число, известное на тот момент. Смит установил программное обеспечение для Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps), проекта распределенных вычислений на добровольной основе. Это число было простым числом Мерсенна длиной 12 978 189 цифр. Чтобы дать представление о том, насколько он велик, на его написание уйдет почти два с половиной месяца, а в случае печати он растянется на 50 км!

Быстрое возведение в степень

Задача: > Даны натуральные числа (a, b, c < 10^9). Найдите (a^b) (mod (c)).

Мы хотим научиться возводить число в большую степень быстро, не просто умножая (a) на себя (b) раз. Требование на модуль здесь дано только для того, чтобы иметь возможность проверить правильность алгоритма для чисел, которые не влезают в int и long long.

Сам алгоритм довольно простой и рекурсивный, постарайтесь его придумать, решая вот такие примеры (прямо решать необязательно, но можно придумать, как посчитать значение этих чисел очень быстро):

  • (3^2)
  • (3^4)
  • (3^8)
  • (3^{16})
  • (3^{32})
  • (3^{33})
  • (3^{66})
  • (3^{132})
  • (3^{133})
  • (3^{266})
  • (3^{532})
  • (3^{533})
  • (3^{1066})

Да, здесь специально приведена такая последовательность, в которой каждое следующее число легко считается через предыдущее: его либо нужно умножить на (a=3), либо возвести в квадрат. Так и получается рекурсивный алгоритм:

  • (a^0 = 1)
  • (a^{2k}=(a^{k})^2)
  • (a^{2k+1}=a^{2k}times a)

Нужно только после каждой операции делать mod: * (a^0 pmod c = 1) * (a^{2k} pmod c = (a^{k} pmod c)^2 pmod c) * (a^{2k+1} pmod c = ((a^{2k}pmod c) times a) pmod c)

Этот алгоритм называется быстрое возведение в степень. Он имеет много применений: * в криптографии очень часто надо возводить число в большую степень по модулю * используется для деления по простому модулю (см. далее) * можно быстро перемножать не только числа, но еще и матрицы (используется для динамики, например)

Асимптотика этого алгоритма, очевидно, (O(log c)) — за каждые две итерации число уменьшается хотя бы в 2 раза.

Скатерть Улама

Формулы (8) и (9) содержат возведение в степень. А нельзя ли для задания бесконечно многих простых чисел обойтись лишь сложением, вычитанием и умножением? Поищем ответ на этот вопрос.

Начнём с рассмотрения многочленов от одной переменной с натуральными коэффициентами; посмотрим, какие многочлены будут своими значениями иметь простые числа и в каком количестве.

Возьмём вначале многочлены первой степени (то есть линейные многочлены). Очевидно, что тривиальный многочлен x задаёт бесконечно много простых чисел, более того, все простые числа, но это неинтересный случай. А что можно сказать о многочлене ax+b (где a, b и x — натуральные числа)? Ясно, что если a и b имеют общий делитель, отличный от 1, то значение многочлена ax+b — число составное, кратное этому делителю. Случай же, когда a и b взаимно просты, гораздо менее очевиден.

Французский математик Лежандр (живший в XVIII веке) высказал гипотезу, что если a и b взаимно просты, то в арифметической прогрессии с первым членом b и разностью a встречается бесконечно много простых чисел. Эта гипотеза была доказана лишь в XIX столетии немецким математиком Леженом Дирихле.

Перейдём теперь к квадратным многочленам. Среди них есть «рекордсмены», например, многочлен x2 + x + 41 — его изучал ещё Леонард Эйлер. Этот многочлен принимает простые значения при x = 1, 2, …, 40. При x = 41 его значение — составное.

Доказано, что никакой многочлен (отличный, разумеется, от константы) не может иметь в качестве значений только простые числа, но до сих пор не известно, существует ли многочлен (кроме линейного), среди значений которого встречается бесконечно много простых чисел.

Интерес к представлению простых чисел в виде значений квадратных многочленов недавно возродился в связи с неожиданным наблюдением С. М. Улама 5. Начав на спирали из всех натуральных чисел (рис. 1) отмечать простые числа, Улам с удивлением обнаружил, что простые числа выстраиваются по диагоналям, образуя довольно длинные цепочки. (Докажите, что числа, расположенные вдоль какой-либо диагонали в пределах, ограниченных на рис. 1 красными линиями — это значения некоторого квадратного многочлена с целыми коэффициентами).

197 196 195 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 184 183
198 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133 182
199 146 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 132 181
200 147 102 65 64 63 62 61 60 59 58 57 90 131 180
201 148 103 66 37 36 35 34 33 32 31 56 89 130 179
202 149 104 67 38 17 16 15 14 13 30 55 88 129 178
203 150 105 68 39 18 5 4 3 12 29 54 87 128 177
204 151 106 69 40 19 6 1 2 11 28 53 86 127 176
205 152 107 70 41 20 7 8 9 10 27 52 85 126 175
206 153 108 71 42 21 22 23 24 25 26 51 84 125 174
207 154 109 72 43 44 45 46 47 48 49 50 83 124 173
208 155 110 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 123 172
209 156 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 171
210 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

Рис. 1.

Ещё более удивительным оказалось то, что закономерность эта наблюдалась и тогда, когда спираль была продолжена (с помощью компьютера) до больших чисел — на рис. 2 светлыми точками отмечены простые числа на спирали из первых 10 000 чисел. Узор, изображённый на рис. 2, получил название «скатерть Улама».

Рис. 2.

Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицы. Например, значения многочлена x2 + x + 41 выстраиваются по диагоналям у спирали, начинающейся с числа 41 (рис. 3).

57 56 55 54 53
58 45 44 43 52
59 46 41 42 51
60 47 48 49 50
61 62 63 64 65

Рис. 3.

Возможно, что читатели «Кванта», проявив изобретательность и должное терпение, смогут найти новые красивые «геометрические» закономерности расположения простых чисел среди множества всех чисел.

Феномен со стремлением простых чисел располагаться в цепочки вдоль диагоналей был обнаружен сравнительно недавно и ещё не получил какого-либо математического объяснения.

О представлении простых чисел с помощью многочленов от многих переменных мы скажем в конце статьи.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

  1. Записать все числа от 1 до n (например, записываются все числа от 1 до 100, если нужны все простые числа между ними);
  2. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 2 (кроме 2);
  3. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 3 (кроме 3);
  4. И так далее по порядку со всеми невычеркнутыми числами до числа n (после 3 это 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.).

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Как определить простые числа

Сначала попробуйте разделить его на 2 и посмотреть, получится ли целое число. Если да, то оно не может быть простым числом. Если вы не получите целое число, затем попробуйте разделить его на простые числа: 3, 5, 7, 11 (9 делится на 3) и так далее, всегда делясь на простое число.

8 простых чисел до 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.

Первые 10 простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Таблица простых чисел до 1000:

2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227
229 233 239 241 251 257 263 269 271 277
281 283 293 307 311 313 317 331 337 347
349 353 359 367 373 379 383 389 397 401
409 419 421 431 433 439 443 449 457 461
463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599
601 607 613 617 619 631 641 643 647 653
659 661 673 677 683 691 701 709 719 727
733 739 743 751 757 761 769 773 787 797
809 811 821 823 827 829 839 853 857 859
863 877 881 883 887 907 911 919 929 937
941 947 953 967 971 977 983 991 997

2 — наименьшее простое число. Это также единственное четное простое число — все остальные четные числа могут быть разделены сами по себе на 1 и 2, что означает, что у них будет, по крайней мере, 3 фактора.

Примечание 

Один из самых известных математиков классической эпохи, Евклид, записал доказательство того, что не существует самого большого простого числа. Самое большое известное простое число (по состоянию на ноябрь 2020 года) составляет 282 589 933-1, число, которое имеет 24 862 048 цифр при записи в базе 10. До этого самым большим известным простым числом было 277 232 917-1, состоящее из 23 249 425 цифр.

За исключением 2 и 3, все остальные простые числа могут быть выражены в общей форме как 6n + 1 или 6n — 1, где n — натуральное число.

Чтобы определить, является ли число простым или составным, нужно решить пример на делимость в следующем порядке (от простого к сложному): 2, 5, 3, 11, 7, и 13. Если вы обнаружите, что число делится на одно из них, и вы знаете, что оно составное, не нужно выполнять остальные тесты.

Если число меньше 121 не делится на 2, 3, 5 или 7, оно простое; в противном случае оно составное.

Если число меньше 289 не делится на 2, 3, 5, 7, 11, или 13, это простое число; в противном случае оно составное.

Темы для размышлений

1.

Докажите, что в арифметических прогрессиях 3, 7, 11, … и 5, 11, 17, … бесконечно много простых чисел.
2.

Каково множество тех многочленов, значения которых лежат вдоль диагонали, если спираль (см. рис. 1)

• начата с 1?

• начата с некоторого числа u?

• начата с некоторого числа u, и по спирали стоят члены арифметической прогрессии u, u + v, u + 2v, …?
3.

Теорема Вильсона утверждает, что если p — простое число, то (p–1)! + 1 делится на p. Как можно использовать этот результат, чтобы уменьшить число неизвестных в экспоненциальном многочлене R, задающем простые числа?
4.

Постройте экспоненциальный многочлен S(x, …, xk ), который задаёт множество полусумм простых чисел-близнецов, т.е. такой многочлен, что если S(x, …, xk ) > 0, то оба числа S(x, …, xk ) – 1 и S(x, …, xk ) + 1 являются простыми, и наоборот, если s – 1 и s + 1 — простые числа, то S(x, …, xk ) = s при некоторых x, …, xk .
5.

Постройте экспоненциальный многочлен T(q, x, …, xm ), такой, что

• если q — простое число, то существуют числа x, …, xm  такие, что T(q, x, …, xm ) > 0;

• если q — простое число и T(q, x, …, xm ) > 0, то T(q, x, …, xm ) — простое число, следующее за q;

• если q не является простым числом, то всегда T(q, x, …, xm ) ≤ 0.

Этот экспоненциальный многочлен даёт «формулу для следующего простого числа».

Теги

Источник

Добавить комментарий