Как найти пятый член разложения бинома

Рассмотрим последний член разложения.

С одной стороны, он равен [math](sqrt{2^{-1}})^{n}=(2^{-frac{1}{2}})^{n}=2^{-frac{n}{2}}[/math].

С другой стороны, он равен
[math]left(frac{1}{3sqrt[3]{9}}right)^{log_{3}{8}}=left(frac{1}{3sqrt[3]{3^{2}}}right)^{log_{3}{8}}=left(frac{1}{3^{frac{5}{3}}}right)^{log_{3}{8}}=left(3^{-frac{5}{3}}right)^{log_{3}{8}}=3^{-frac{5}{3}log_{3}{8}}=[/math]

[math]=3^{log_{3}{8^{-frac{5}{3}}}}=3^{log_{3}{2^{-5}}}=2^{-5}[/math]

Таким образом,
[math]2^{-frac{n}{2}}=2^{-5}[/math]

[math]-frac{n}{2}=-5[/math]

[math]frac{n}{2}=5[/math]

[math]n=10[/math]

Тогда задача принимает следующий вид: найти пятый член разложения [math](sqrt[3]{2}-sqrt{2^{-1}})^{10}[/math].

Пятый член данного разложения равен:
[math]C_{10}^{5}(sqrt[3]{2})^{5}(sqrt{2^{-1}})^{5}=frac{10!}{5!5!}(2^{frac{1}{3}})^{5}(2^{-frac{1}{2}})^{5}=[/math]

[math]=252*2^{frac{5}{3}}*2^{-frac{5}{2}}=252*2^{-frac{5}{6}}=126*2*2^{-frac{5}{6}}=126*2^{frac{1}{6}}=126sqrt[6]{2}[/math]

Свойство 3 является следствием формулы бинома Ньютона:

. (9.1)

Поэтому сочетания еще иногда называют биномиальными коэффициентами.

Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна 2n. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, и равно 2n–1.

Пример 9.1. Найти разложение степени бинома (2x–3)5.

Решение. Полагая a=2x, b=–3, получим

Пример 9.2. Пятый член разложения не зависит от x. Найти n.

Решение. Пятый член разложения T5 имеет следующий вид:

.

По условию T5 не зависит от x; это означает, что показатель степени при x равен нулю, т. е. (n–4)/3–4=0. Из последнего уравнения находим n=16.

Пример 9.3. Вычислить сумму

.

Решение. Согласно формуле бинома Ньютона, при любом x имеем равенство:

.

Полагая здесь x=1, получим

.

Итак, искомая сумма равна 35, т. е. 243.

Упражнения

9.1. Напишите разложение степени бинома

А) ; б) ; в) .

Ответ: а) ,

Б) ,

В) .

9.2. Найдите пятый член разложения .

Ответ: .

9.3. Найдите два средних члена разложения .

Ответ: и.

9.4. Найдите в биномиальном разложении член, не содержащий x.

Ответ: .

9.5. Найдите сумму .

Ответ: .

9.6. Сумма биномиальных коэффициентов разложения равна 64. Напишите член, не содержащий переменную x.

Ответ: n=6, .