После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью
формулы для корней
можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.
Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в
определении коэффициентов
«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях.
Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.
Когда можно применить теорему Виета
Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему.
Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.
Запомните!
Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший
коэффициент «a = 1».
В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:
x2 + px + q = 0
Обратите внимание, что разница с обычным общим видом
квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0» в том, что в
приведённом уравнении «x2 + px + q = 0» коэффициент
«а = 1».
Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x2 + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного
уравнения «ax2 + bx + c = 0», то становится видно,
что
«p = b», а «q = c».
Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.
| Уравнение | Коэффициенты | Вывод |
|---|---|---|
| x2 − 7x + 1 = 0 |
|
Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета. |
|
3x2 − 1 + x = 0
Приведем уравнение к общему виду: 3x2 + x − 1 = 0 |
|
Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета. |
|
−x2 = −3 + 2x
Приведем уравнение к общему виду: −x2 + 3 − 2x = 0 |
|
Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета. |
Как использовать теорему Виета
Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.
Запомните!
Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит
что справедливо следующее:
, где «x1» и «x2» — корни этого уравнения.
Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» —
значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».
Рассмотрим пример.
x2 + 4x − 5 = 0
Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение
считается приведённым, значит, можно
использовать метод Виета.
Выпишем коэффициенты «p» и «q».
- p = 4
- q = −5
Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.
| x1 + x2 = −4 | |
| x1 · x2 = −5 |
Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения
«x1 = −5» и «x2 = 1». Запишем ответ.
Ответ: x1 = −5; x2 = 1
Рассмотрим другой пример.
x2 + x − 6 = 0
Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.
| x1 + x2 = −1 | |
| x1 · x2 = −6 |
Методом подбора получим, что корни уравнения
«x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.
Ответ: x1 = −3; x2 = 2
Важно!
Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь.
Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя
формулу для нахождения корней.
Деление уравнение на первый коэффициент
Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.
2x2 − 16x − 18 = 0
Сейчас в уравнении «a = 2»,
поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».
Для этого достаточно разделить все уравнение на «2».
Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.
2x2 − 16x − 18 = 0 | (:2)
2x2(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x2 − 8x − 9 = 0
Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.
| x1 + x2 = −(−8) | |
| x1 · x2 = −9 |
Методом подбора получим, что корни уравнения
«x1 = 9» и «x2 = −1». Запишем ответ.
Ответ: x1 = 9; x2 = −1
Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.
Корни «x1» и
«x2» квадратного уравнения
«x2 + px + 3 = 0» удовлетворяют
условию «x2 = 3x1».
Найти «p», «x1»,
«x2».
Запишем теорему Виета для этого уравнения.
По условию дано, что
«x2 = 3x1».
Подставим это выражение в систему вместо «x2».
| x1 + 3x1 = −p | |
| x1 · 3x1 = 3 |
Решим полученное квадратное уравнение «x12 = 1»
методом подбора и найдем «x1».
x12 = 1
- (Первый корень) x1 = 1
- (Второй корень) x1 = −1
Мы получили два значения «x1».
Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.
(Первый корень) x1 = 1
Найдем
«x2»
x1 · x2 = 3
1 · x2 = 3
x2 = 3
Найдем «p»
x1 + x2 = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;
(Второй корень) x1 = −1
Найдем «x2»
x1 · x2 = 3
−1 · x2 = 3
−x2 = 3 | ·(−1)
x2 = −3
Найдем «p»
x1 + x2 = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4
Ответ: (x1 = 1; x2 = 3; p = −4) и
(x1 = −1; x2 = −3; p = 4)
Теорема Виета в общем виде
В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений,
где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.
В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:
Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.
3x2 + 3x − 18 = 0
Используем для него теорему Виета в общем виде.
| x1 + x2 = −1 | |
| x1 · x2 = −6 |
Методом подбора получим, что корни уравнения
«x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.
Ответ: x1 = −3; x2 = 2
В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.
Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в
которых «a = 1».
Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.
В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.
Формулировка и доказательство теоремы Виета
Формула корней квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0 вида x1=-b+D2·a, x2=-b-D2·a, где D=b2−4·a·c, устанавливает соотношения x1+x2=-ba, x1·x2=ca. Это подтверждает и теорема Виета.
В квадратном уравнении a·x2+b·x+c=0, где x1 и x2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a, которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a, т. е. x1+x2=-ba, x1·x2=ca.
Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны -ba и ca соответственно.
Составим сумму корней x1+x2=-b+D2·a+-b-D2·a. Приведем дроби к общему знаменателю -b+D2·a+-b-D2·a=-b+D+-b-D2·a. Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: -b+D+-b-D2·a=-b+D-b-D2·a=-2·b2·a. Сократим дробь на: 2-ba=-ba.
Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.
Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.
Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x1·x2=-b+D2·a·-b-D2·a.
Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: -b+D·-b-D4·a2.
Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: -b+D·-b-D4·a2=-b2-D24·a2.
Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: -b2-D24·a2=b2-D4·a2. Формула D=b2−4·a·c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b2−4·a·c:
b2-D4·a2=b2-(b2-4·a·c)4·a2
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4·a·c4·a2. Если сократить ее на 4·a, то остается ca. Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.
Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:
x1+x2=-b+D2·a+-b-D2·a=-b+D+-b-D2·a=-2·b2·a=-ba,x1·x2=-b+D2·a·-b-D2·a=-b+D·-b-D4·a2=-b2-D24·a2=b2-D4·a2==D=b2-4·a·c=b2-b2-4·a·c4·a2=4·a·c4·a2=ca.
При дискриминанте квадратного уравнения равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен: -b2·a, тогда x1+x2=-b2·a+-b2·a=-b+(-b)2·a=-2·b2·a=-ba и x1·x2=-b2·a·-b2·a=-b·-b4·a2=b24·a2, а так как D=0, то есть, b2-4·a·c=0, откуда b2=4·a·c, то b24·a2=4·a·c4·a2=ca.
Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x2+p·x+q=0, где старший коэффициент a равен 1. В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a, отличное от нуля.
Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.
Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x2+p·x+q=0 будет равна коэффициенту при x, который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x1+x2=−p, x1·x2=q.
Теорема, обратная теореме Виета
Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x1 и x2 приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 будут справедливы соотношения x1+x2=−p, x1·x2=q. Из этих соотношений x1+x2=−p, x1·x2=q следует, что x1 и x2 – это корни квадратного уравнения x2+p·x+q=0. Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.
Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.
Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=−p и x1·x2=q, то x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0.
Замена коэффициентов p и q на их выражение через x1 и x2 позволяет преобразовать уравнение x2+p·x+q=0 в равносильное ему x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0.
Если в полученное уравнение подставить число x1 вместо x, то мы получим равенство x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=0. Это равенство при любых x1 и x2 превращается в верное числовое равенство 0=0, так как x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=x12−x12−x2·x1+x1·x2=0. Это значит, что x1 – корень уравнения x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, и что x1 также является корнем равносильного ему уравнения x2+p·x+q=0.
Подстановка в уравнение x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0 числа x2 вместо x позволяет получить равенство x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=0. Это равенство можно считать верным, так как x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=x22−x1·x2−x22+x1·x2=0. Получается, что x2 является корнем уравнения x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, а значит, и уравнения x2+p·x+q=0.
Теорема, обратная теореме Виета, доказана.
Примеры использования теоремы Виета
Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x1+x2=-ba, x1·x2=ac.
Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.
Какая из пар чисел 1) x1=−5, x2=3, или 2) x1=1-3, x2=3+3, или 3) x1=2+72, x2=2-72 является парой корней квадратного уравнения 4·x2−16·x+9=0?
Решение
Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4·x2−16·x+9=0. Это a=4, b=−16, c=9. В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна -ba, то есть, 164=4, а произведение корней должно быть равно ca, то есть, 94.
Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.
В первом случае x1+x2=−5+3=−2. Это значение отлично от 4, следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.
Во втором случае x1+x2=1-3+3+3=4. Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x1·x2=1-3·3+3=3+3-3·3-3=-2·3. Значение, которое мы получили, отлично от 94. Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.
Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x1+x2=2+72+2-72=4 и x1·x2=2+72·2-72=22-722=4-74=164-74=94. Выполняются оба условия, а это значит, что x1 и x2 являются корнями заданного квадратного уравнения.
Ответ: x1=2+72, x2=2-72
Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.
Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.
В качестве примера используем квадратное уравнение x2−5·x+6=0. Числа x1 и x2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x1+x2=5 и x1·x2=6. Подберем такие числа. Это числа 2 и 3, так как 2+3=5 и 2·3=6. Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.
Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x1+x2=-ba, x1·x2=ca.
Рассмотрим квадратное уравнение 512·x2−509·x−3=0. Необходимо найти корни данного уравнения.
Решение
Первым корнем уравнения является 1, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x1=1.
Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение x1·x2=ca. Получается, что 1·x2=−3512, откуда x2=-3512.
Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и -3512.
Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.
Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x1 и x2. Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.
Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа −11 и 23.
Решение
Примем, что x1=−11 и x2=23. Сумма и произведение данных чисел будут равны: x1+x2=12 и x1·x2=−253. Это значит, что второй коэффициент -12, свободный член −253.
Составляем уравнение: x2−12·x−253=0.
Ответ: x2−12·x−253=0.
Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 следующим образом:
- если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак «+» или «-»;
- если квадратное уравнение имеет корни и если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет «+», а второй «-».
Оба этих утверждения являются следствием формулы x1·x2=q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.
Являются ли корни квадратного уравнения x2−64·x−21=0 положительными?
Решение
По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x1·x2=−21. Это невозможно при положительных x1 и x2.
Ответ: Нет
При каких значениях параметра r квадратное уравнение x2+(r+2)·x+r−1=0 будет иметь два действительных корня с разными знаками.
Решение
Начнем с того, что найдем значения каких r, при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D=(r+2)2−4·1·(r−1)=r2+4·r+4−4·r+4=r2+8. Значение выражения r2+8 положительно при любых действительных r, следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r. Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r.
Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r, при которых свободный член r−1 отрицателен. Решим линейное неравенство r−1<0, получаем r<1.
Ответ: при r<1.
Формулы Виета
Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.
Для алгебраического уравнения степени n вида a0·xn+a1·xn-1+…+an-1·x+an=0 считается, что уравнение имеет n действительных корней x1, x2, …, xn , среди которых могут быть совпадающие:
x1+x2+x3+…+xn=-a1a0,x1·x2+x1·x3+…+xn-1·xn=a2a0,x1·x2·x3+x1·x2·x4+…+xn-2·xn-1·xn=-a3a0,…x1·x2·x3·…·xn=(-1)n·ana0
Получить формулы Виета нам помогают:
- теорема о разложении многочлена на линейные множители;
- определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.
Так, многочлен a0·xn+a1·xn-1+…+an-1·x+an и его разложение на линейные множители вида a0·(x-x1)·(x-x2)·…·(x-xn) равны.
Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n=2, мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x1+x2=-a1a0, x1·x2=a2a0.
Формула Виета для кубического уравнения:
x1+x2+x3=-a1a0,x1·x2+x1·x3+x2·x3=a2a0,x1·x2·x3=-a3a0
Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.
8.2.3. Теорема Виета
I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.
Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0), второй коэффициент p=-1, а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.
Находим дискриминант D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .
Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а произведение равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:
x1+x2=1; x1∙x2=-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30, а сумма – единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.
Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D1 является полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно q=8. Это числа -4 и -2.
На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.
Пример 3) x 2 +2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:
Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x1=-7, x2=4.
Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0, причем, на основании теоремы Виета –p=x1+x2=-7+4=-3 → p=3; q=x1∙x2=-7∙4=-28. Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.
Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:
II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:
Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0.
Решение.
Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.
Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.
Решение.
Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент (8) является четным числом. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x1∙x2=c:a=-21:3=-7.
Теорема Виета для квадратного уравнения
О чем эта статья:
Основные понятия
Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Существует три вида квадратных уравнений:
- не имеют корней;
- имеют один корень;
- имеют два различных корня.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:
- если D 0, есть два различных корня.
В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .
В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.
Формула Виета
Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:
Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.
Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.
Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=”215″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE” width=”393″>
Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG” width=”125″>
Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo” width=”112″>
Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.
Доказательство теоремы Виета
Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что следующие равенства верны
- x₁ + x₂ = −b,
- x₁ * x₂ = c.
Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.
-
Объединим числитель и знаменатель в правой части.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:
Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.
Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.
-
Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
Перемножаем числители и знаменатели между собой:
Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:
Далее произведем трансформации в числителе:
Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.
Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим:
Мы доказали: x₁ * x₂ = c.
Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:
Обратная теорема Виета
Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.
Докажем теорему, обратную теореме Виета
Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
-
Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:
При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.
- Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.
Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.
Примеры
Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.
Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.
Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=”59″ src=”https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv” width=”99″>
Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=”57″ src=”https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=”64″>
Неприведенное квадратное уравнение
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:
ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.
Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .
- Получилось следующее приведенное уравнение:
-
Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:
Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.
Уравнение имеет корни как найти q
Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени ? Оказы вается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.
Решите уравнение: `x^3 +4x^2 – 2x-3=0`.
Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:
`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`
Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравне ния? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.
Если несократимая дробь `p//q` (`p` – целое, `q` – натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами , то сво бодный член делится на `p` , а старший коэффициент делится на `q`.
Пусть несократимая дробь `p//q` – корень многочлена (8). Это означает, что
`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ . “+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.
Умножим обе части на `q^n`, получаем:
`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + . + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.
Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:
Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.
Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.
Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.
а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)
б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)
а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` – корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:
Поэтому `p` может принимать значения:
Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:
Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:
1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.
2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.
б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in<+-1;+-2;+-5;+-10>`; `qin<1;2;3;6>`.Возможные варианты для `x_0`:
Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем
Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` – корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:
Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.
К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.
Разложите на множители:
а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`
Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:
в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:
Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:
В итоге получаем:
Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).
г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению
Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.
Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть
Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:
Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:
Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.
Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:
2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:
Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.
Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому
Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.
Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-vieta-formula
http://zftsh.online/articles/5013
[/spoiler]
Теорема Виета
- Обратная теорема
- Решение примеров
Теорема Виета:
Сумма корней приведённого квадратного уравнения
x2 + px + q = 0
равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену
x1 + x2 = -p, x1 · x2 = q.
Доказательство:
Если приведённое квадратное уравнение имеет вид
x2 + px + q = 0,
то его корни равны:
,
где D = p2 – 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:
,
а теперь найдём их произведение:
Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:
x1 + x2 = –p,
x1 · x2 = q
называются формулами Виета.
Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.
Обратная теорема
Теорема:
Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:
x2 + px + q = 0.
Доказательство:
Пусть дано x1 + x2 = –p, значит, x2 = –p – x1. Подставим это выражение в равенство x1 · x2 = q, получим:
x1(-p – x1) = q;
–px1 – x12 = q;
x12 + px1 + q = 0.
Это доказывает, что число x1 является корнем уравнения x2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x2 является корнем для этого уравнения.
Решение примеров
Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.
Пример 1. Найти корни уравнения:
x2 – 3x + 2 = 0.
Решение: Так как
x1 + x2 = -(-3) = 3;
x1 · x2 = 2;
очевидно, что корни равны 1 и 2:
1 + 2 = 3;
1 · 2 = 2.
Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:
12 – 3 · 1 + 2 = 0
и
22 – 3 · 2 + 2 = 0.
Ответ: 1, 2.
Пример 2. Найти корни уравнения:
x2 + 8x + 15 = 0.
Решение:
x1 + x2 = -8;
x1 · x2 = 15.
Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:
-3 + -5 = -8;
-3 · -5 = 15.
Ответ: -3, -5.
С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.
Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:
x1 = -3, x2 = 6.
Решение: Так как x1 = -3, x2 = 6 корни уравнения x2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:
p = -(x1 + x2) = -(-3 + 6) = -3;
q = x1 · x2 = -3 · 6 = -18.
Следовательно, искомое уравнение:
x2 – 3x – 18 = 0.
Ответ: x2 – 3x – 18 = 0.
Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:
x1 = 2, x2 = 3.
Решение:
p = -(x1 + x2) = -(2 + 3) = -5;
q = x1 · x2 = 2 · 3 = 6.
Ответ: x2 – 5x + 6 = 0.
Содержание:
- Теорема Виета для квадратного трехчлена
- Обратная теорема Виета
- Общая формулировка теоремы Виета
Теорема Виета для квадратного трехчлена
Теорема
Сумма корней приведенного квадратного трехчлена $x^{2}+p x+q=0$ равна его второму коэффициенту $p$ с
противоположным знаком, а произведение – свободному члену $q$.
$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$
В случае неприведенного квадратного уравнения $a x^{2}+b x+c=0$ формулы
Виета имеют вид:
$x_{1}+x_{2}=-frac{b}{a}, x_{1} x_{2}=frac{c}{a}$
Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и
произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных
$x_{1}+x_{2}$ и
$x_{1} x_{2}$ . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни
квадратного трехчлена.
Пример
Задание. Используя теорему Виета, найти корни уравнения
$x^{2}-5 x+6=0$
Решение. Согласно теореме Виета, имеем, что
$$x_{1}+x_{2}=5$$
$$x_{1} x_{2}=6$$
Подбираем значения $x_{1}$ и $x_{2}$, которые удовлетворяют этим равенствам.
Легко видеть, что им удовлетворяют значения
$x_{1}=2 $ и $ x_{2}=3$
Ответ. Корни уравнения $x_{1}=2, x_{2}=3$
Обратная теорема Виета
Теорема
Если числа $x_{1}$ и $x_{2}$ удовлетворяют соотношениям
$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$, то они удовлетворяют квадратному уравнению
$x^{2}+p x+q=0$, то есть являются его корнями.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Зная, что числа $x_{1}=3$ и $x_{2}=-1$ – корни некоторого квадратного уравнения,
составить само это уравнение.
Решение. Пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:
$$x^{2}+p x+q=0$$
Тогда, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:
$$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$$
Тогда
$$p=-left(x_{1}+x_{2}right)=-(3+(-1))=-2$$
$$q=x_{1} x_{2}=3 cdot(-1)=-3$$
То есть искомое уравнение
$$x^{2}-2 x-3=0$$
Ответ. $x^{2}-2 x-3=0$
Общая формулировка теоремы Виета
Теорема
Если $c_{1}, c_{2}, ldots, c_{n}$ – корни многочлена
$x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+ldots+a_{n}$ (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз),
то коэффициенты $a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n}$ выражаются в виде
симметрических многочленов от корней, а именно:
$$a_{1}=-left(c_{1}+c_{2}+ldots+c_{n}right)$$
$$a_{2}=c_{1} c_{2}+c_{1} c_{3}+ldots+c_{1} c_{n}+c_{2} c_{3}+ldots+c_{n-1} c_{n}$$
$$a_{3}=-left(c_{1} c_{2} c_{3}+c_{1} c_{2} c_{4}+ldots+c_{n-2} c_{n-1} c_{n}right)$$
$$ldots$$
$$a_{n-1}=(-1)^{n-1}left(c_{1} c_{2} ldots c_{n-1}+c_{1} c_{2} ldots c_{n-2} c_{n}+ldots+c_{2} c_{3} ldotsright.$$
$$a_{n}=(-1)^{n} c_{1} c_{2} ldots c_{n}$$
Иначе говоря, произведение $(-1)^{k} a_{k}$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.
Формулы Виета – формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 – 1603).
Если старший коэффициент многочлена $a_{0} neq 1$, то есть многочлен
не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_{0}$ (это не влияет на значение корней многочлена).
В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует,
что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для
составления многочлена по заданным корням.
