Как найти работу газа при уменьшении объема

Циклический тепловой процесс состоит из изохоры, изобары, снова изохоры и ещё одной изобары (см. рис. $$ 22$$). (Считать известными величины, указанные на рисунке)

1) На каких участках процесса газ получает теплоту, а на каких отдаёт?

2) Чему равно изменение внутренней энергии в конце цикла?

3) Какую работу совершает газ за цикл?

1) Для ответа на первый вопрос задачи необходимо определить знак количества теплоты для каждого участка цикла.

Процесс $$ 1–2$$ – изохорный процесс, идущий с увеличением давления. В этом процессе внутренняя энергия газа увеличивается:

$$ $$ $$ Delta {U}_{1-2}={displaystyle frac{i}{2}}{V}_{12}({p}_{23}-{p}_{14})>0$$ $$ $$

(здесь и далее двойной индекс означает равенство данной величины в двух состояниях (двух точках на диаграмме) $$ {V}_{12}={V}_{1}={V}_{2}$$ или $$ {p}_{23}={p}_{2}={p}_{3}$$), а работа газа равна нулю: $$ {A}_{1-2}=0$$, т. к. объём газа не изменяется. Следовательно, на изохоре $$ 1–2$$ газ получает теплоту: $$ Delta {Q}_{1-2}=(Delta {U}_{1-2}+{A}_{1-2})>0$$.

Процесс $$ 2–3$$ изобарный, идущий с увеличением объёма. В этом процессе внутренняя энергия газа увеличивается: $$ Delta {U}_{1-2}={displaystyle frac{i}{2}}{p}_{2-3}({V}_{34}-{V}_{12})>0$$, а работа газа при увеличении объёма положительна: $$ {A}_{2-3}={p}_{23}({V}_{34}-{V}_{12})>0$$. Следовательно, на изобаре $$ 2–3$$ газ получает теплоту:  

$$ Delta {Q}_{2-3}=(Delta {U}_{2-3}+{A}_{2-3})>0$$.

Процесс $$ 3–4$$ – изохорный процесс, идущий с уменьшением давления.

В этом процессе внутренняя энергия газа уменьшается:

`DeltaU_(1-2)=i/2 V_(34)(p_(14)-p_(23))<0`, а работа газа равна нулю: $$ {A}_{3-4}=0$$, т. к. объём газа не изменяется. Следовательно, на изохоре $$ 3–4$$ газ отдаёт теплоту: $$ΔQ_{3-4} < 0$$.

Процесс $$ 4–1$$ изобарный, идущий с уменьшением объёма. В этом процессе внутренняя энергия газа уменьшается: `DeltaU_(1-2)=i/2 p_(14)(V_(12)-V_(34)<0`, а работа газа при уменьшении объёма отрицательна: $$ {A}_{4-1}={p}_{14}({V}_{12}-{V}_{34})$$. Следовательно, на изобаре $$ 4–1$$ газ отдаёт теплоту: $$ΔQ_{4-1} = (ΔU_{4-1} + A_{4-1}) < 0 $$.

2) Второй вопрос требует от нас анализа итогового изменения внутренней энергии. Так как цикл замкнутый, то термодинамическая система возвращается в исходное состояние, следовательно, внутренняя энергия не изменяется (внутренняя энергия, являясь функцией состояния, определяется только температурой. Температура же после совершения замкнутого цикла примет первоначальное значение). Следовательно,

$$ Delta {U}_{1-2-3-4-1}=0$$.

3) Работа за цикл равна сумме работ в отдельных процессах:

$$ {A}_{1-2-3-4-1}={A}_{1-2}+{A}_{2-3}+{A}_{3-4}+{A}_{4-1}={A}_{2-3}+{A}_{4-1}=$$

$$ ={p}_{23}({V}_{34}-{V}_{12})+{p}_{14}({V}_{12}-{V}_{34})=({p}_{23}-{p}_{14})({V}_{34}-{V}_{12})$$.

На $$ pV$$-диаграмме это есть площадь фигуры, ограниченной графиками процессов, составляющих цикл.

Для нахождения работы за цикл можно складывать не работы, а количества теплоты, потраченные в отдельных процессах цикла. Докажем это:

$$ {A}_{1-2-3-4-1}= Delta {Q}_{1-2}+ Delta {Q}_{2-3}+ Delta {Q}_{3-4}+ Delta {Q}_{4-1}=$$

$$ =(Delta {U}_{1-2}+{A}_{1-2})+(Delta {U}_{2-3}+{A}_{2-3})+ (Delta {U}_{3-4}+{A}_{3-4})+ (Delta {U}_{4-1}+{A}_{4-1}=$$

$$ =(Delta {U}_{1-2}+ Delta {U}_{2-3}+ Delta {U}_{3-4}+ Delta {U}_{4-1})+({A}_{1-2}+{A}_{2-3}+{A}_{3-4}+{A}_{4-1})=$$

$$ ={A}_{1-2}+{A}_{2-3}+{A}_{3-4}+{A}_{4-1}$$. 

Здесь использован тот факт, что для цикла изменение внутренней энергии системы равно нулю:

$$ Delta {U}_{1-2}+ Delta {U}_{2-3}+ Delta {U}_{3-4}+ Delta {U}_{4-1}=  Delta {U}_{1-2-3-4-1}=0$$ .

Если процесс не круговой (система не возвращается в исходное состояние), то $$ sum {U}_{i-k} ne 0$$ и такой способ расчёта работы не применим.

Для получения коэффициента полезного действия необходимо найти:

1) количество теплоты, потраченное (оно же получено рабочим телом) на проведение цикла, и

2) полезную работу, совершенную за цикл.

Тогда КПД находим по известной формуле:

$$ eta ={displaystyle frac{{A}_{mathrm{цикл}}}{{Q}_{mathrm{подв}}}}$$

Затраты количества теплоты происходили на первом изохорном процессе:

$$  Delta {Q}_{1-2}= Delta {U}_{1-2}+{A}_{1-2}= Delta {U}_{1-2}={displaystyle frac{i}{2}}{V}_{12}({p}_{23}-{p}_{14})>0$$ и 

на втором процессе – изобарном расширении:

$$  Delta {Q}_{2-3}= Delta {U}_{2-3}+{A}_{2-3}={displaystyle frac{i}{2}}{p}_{2-3}({V}_{34}-{V}_{12})+{p}_{23}({V}_{34}-{V}_{12})>0$$.$$ $$

Всего затрачено (а рабочим телом получено)

$$ Delta {Q}_{1-3}=Delta {U}_{1-3}+{A}_{1-3}={displaystyle frac{i}{2}}({p}_{23}{V}_{34}-{p}_{14}{V}_{12})+{p}_{23}({V}_{34}-{V}_{12})=$$

$$ ={displaystyle frac{i}{2}}nu R({T}_{3}-{T}_{1})+nu R({T}_{3}-{T}_{2})$$. 

Т. к. тепло подводится на участках $$ 1–2$$ и $$ 2–3$$ (т. е. на участке $$ 1–2$$), то

$$ eta ={displaystyle frac{{A}_{1-2-3-4-1}}{Delta {Q}_{1-3}}}$$.

2) Работа за цикл находится уже рассмотренным в предыдущем примере 

$$ {A}_{1-2-3-4-1}={A}_{1-2}+ {A}_{2-3}+ {A}_{3-4}+ {A}_{4-1}={A}_{2-3}+ {A}_{4-1}=$$

При получении окончательной формулы использовано уравнение состояния идеального газа.

Найдём КПД:

$$ eta ={displaystyle frac{{A}_{1-2-3-4-1}}{ Delta {Q}_{1-3}}}={displaystyle frac{nu R({T}_{3}-{T}_{2}-{T}_{4}+{T}_{1})}{{displaystyle frac{i}{2}}nu R({T}_{3}-{T}_{1})+nu R({T}_{3}-{T}_{2})}}={displaystyle frac{{T}_{3}-{T}_{2}-{T}_{4}+{T}_{1}}{{displaystyle frac{i}{2}}({T}_{3}-{T}_{1})+({T}_{3}-{T}_{2})}}$$

или

$$  eta ={displaystyle frac{{A}_{1-2-3-4-1}}{ Delta {Q}_{1-3}}} ={displaystyle frac{({p}_{23}-{p}_{14})({V}_{34}-{V}_{12})}{ frac{i}{2}({p}_{23}{V}_{34}-{p}_{14}{V}_{12})+{p}_{23}left)right({V}_{34}-{V}_{12})}} =$$

$$ ={displaystyle frac{({p}_{23}-{p}_{14})({V}_{34}-{V}_{12})}{frac{i}{2}{V}_{12}({p}_{23}-{p}_{14})+(frac{i}{2}+1){p}_{23}({V}_{34}-{V}_{12})}}$$.

Пусть $$ {p}_{23}=2{p}_{14}$$, $$ i=3$$, $$ {V}_{34}=3{V}_{12}$$. Тогда для такого случая получаем:

$$ eta ={displaystyle frac{2{p}_{14}{V}_{12}}{mathrm{1,5}{p}_{14}{V}_{12}+10{p}_{14}{V}_{12}}}={displaystyle frac{2}{mathrm{11,5}}}={displaystyle frac{4}{23}} approx mathrm{0,17}$$.

Для ответа на первый вопрос воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона: $$ pV=frac{m}{M}RT$$, откуда $$ m=frac{pVM}{RT}$$. С учётом того, что
процесс расширения воздуха изобарный, то

$$  Delta m={displaystyle frac{{p}_{0}VM}{R}}(frac{1}{{T}_{2}}-frac{1}{{T}_{1}})$$.

$$  Delta m={displaystyle frac{1}{R}}{p}_{0}VM({displaystyle frac{1}{{T}_{2}}}-{displaystyle frac{1}{{T}_{1}}}) approx -mathrm{15,3} mathrm{кг}$$. 

Минус указывает на убыль массы воздуха в комнате.

Для изменения внутренней энергии запишем: $$  Delta U= {displaystyle frac{i}{2}}({p}_{2}{V}_{2}-{p}_{1}{V}_{1})$$. Заметим, что $$ {p}_{2}={p}_{1}={p}_{0}$$, также $$ {V}_{2}={V}_{1}=V$$. Эти факты указывают на то, что внутренняя энергия воздуха не изменяется: $$ Delta U={displaystyle frac{i}{2}}({p}_{2}{V}_{2}-{p}_{1}{V}_{1})=0$$.

Из результата можно понять, что убыль внутренней энергии за счёт уменьшения массы равна приросту внутренней энергии за счёт увеличения температуры.

Тогда возникает вопрос целесообразности отопления зданий, ведь внутреннюю энергию при этом мы не увеличиваем. Ответ на вопрос лежит совсем в другой области: увеличение температуры воздуха помогает нашему организму терять меньше энергии (закон Фурье) и тем самым поддерживать скорость химических реакций обмена веществ в организме (метаболизм) на необходимом комфортном уровне.

1) Определим сначала, как давление в этом процессе зависит от объёма при изображении процесса на $$ рV$$-диаграмме. Для этого воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона: $$ pV=nu RT=nu R·alpha {V}^{2}$$.

Тогда получим, сокращая объём, что: $$ p=nu R·alpha V=beta ·V$$, где $$ nu R·alpha  =beta $$. Видим, что давление изменяется прямо пропорционально объёму, и графиком процесса на $$ pV$$-диаграмме будет отрезок $$ 1–2$$, лежащий на прямой, проходящей через начало координат (см. рис. $$ 23$$).  

Работа численно равна площади фигуры под графиком процесса на данной диаграмме. Площадь можно найти геометрически, как площадь трапеции:

$$ {A}^{text{‘}}={displaystyle frac{({p}_{1}+{p}_{2})}{2}}({V}_{2}-{V}_{1})={displaystyle frac{1}{2}}(beta {V}_{1}+beta {V}_{2})({V}_{2}-{V}_{1})=$$

$$ ={displaystyle frac{beta }{2}}({V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2})={displaystyle frac{nu Ralpha }{2}}({V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2})$$.

2) Так как объём газа увеличивается, и давление тоже растёт, то:

а) Работа газа положительнa $$ {A}^{text{‘}}>0$$.

б) Температура и, как следствие, внутренняя энергия увеличиваются $$  Delta U>0$$. 

Следовательно, в этом процессе газ получает теплоту $$  Delta Q= Delta U+{A}^{text{‘}}>0$$.

3) Молярная теплоёмкость процесса определяется отношением:

$$ {c}_{mathrm{моль}}={displaystyle frac{Delta Q}{nu ·Delta T}}={displaystyle frac{ Delta U+{A}^{text{‘}}}{nu ·Delta T}}={displaystyle frac{frac{i}{2}({p}_{2}{V}_{2}-{p}_{1}{V}_{1})+frac{({p}_{1}+{p}_{2})}{2}({V}_{2}-{V}_{1})}{nu ·alpha ({V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2})}}=$$

$$ ={displaystyle frac{frac{i}{2}beta ({V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2})+frac{beta }{2}({V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2})}{nu ·alpha ({V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2})}}$$.

$$ {c}_{mathrm{моль}}={displaystyle frac{frac{i}{2}beta +frac{beta }{2}}{nu ·alpha }}={displaystyle frac{frac{nu Ralpha }{2}(i+1)}{nu ·alpha }}={displaystyle frac{(i+1)R}{2}}$$.

Для одноатомного газа `(i=3)` получаем

$$ {c}_{mathrm{моль}}={displaystyle frac{(3+1)mathrm{8,31}mathrm{Дж}/(mathrm{моль}·mathrm{К})}{2}}=mathrm{16,62} mathrm{Дж}/mathrm{моль}·mathrm{К}$$

Из текста задачи следует, что процесс нагрева газа идёт изобарно (находится в цилиндре под поршнем). Молярная теплоёмкость в таком процессе равна $$ {c}_{p}=({displaystyle frac{i}{2}}+1)R={displaystyle frac{7}{2}}R$$.

Количество теплоты, потраченное (полученное газом) в процессе,

$$  Delta Q={c}_{p}·nu ·Delta T={displaystyle frac{{c}_{p}}{R}}·nu R Delta T={displaystyle frac{{c}_{p}}{R}}·pDelta V$$.

Неизвестное давление $$ р$$ выразим из уравнения Менделеева – Клапейрона: $$ pV= {displaystyle frac{m}{M}}RT$$, откуда $$ p={displaystyle frac{m}{MV}}RT={displaystyle frac{nu RT}{V}}$$. Подставляя это выражение в предыдущее, получим:

$$  Delta Q={displaystyle frac{{c}_{p}}{R}}·PDelta V={displaystyle frac{{c}_{p}}{R}}·{displaystyle frac{nu RT}{V}}·({V}_{1}-V)={c}_{p}nu T({displaystyle frac{{V}_{1}}{V}}-1)$$, откуда для искомой величины находим

$$ {displaystyle frac{{V}_{1}}{V}}={displaystyle frac{Delta Q}{{c}_{p}nu T}}+1$$, $$ {displaystyle frac{{V}_{1}}{V}}={displaystyle frac{mathrm{13,2}mathrm{кДж}}{mathrm{29,085}frac{mathrm{Дж}}{mathrm{моль} mathrm{К}}· mathrm{0,5} mathrm{моль}·300 mathrm{К}}}+1=4$$.

Моль гелия расширяется в изотермическом процессе $$ 1–2$$, совершая работу величиной $$ {A}_{12}$$. Затем газ охлаждается в изобарическом процессе $$ 2–3$$ и, наконец, в адиабатическом процессе $$ 3–1$$ возвращается в исходное состояние (рис. $$ 24$$). Какую работу совершил газ в замкнутом цикле, если разность максимальной и минимальной температур газа в нём составила величину $$ Delta Т$$ градусов? 

Вспомним, что работа за цикл (замкнутый процесс) равна сумме количеств теплоты, потраченных (переданных газу) в каждом из процессов:

$$ {A}_{1-2-3-1}= Delta {Q}_{1-2}+ Delta {Q}_{2-3}+ Delta {Q}_{3-1}$$.

Теперь запишем первый закон термодинамики для каждого процесса в отдельности:

1) В первом процессе температура не изменяется, вся энергия идёт на совершение работы $$  Delta {Q}_{1-2}= Delta {U}_{12}+{A}_{12}=0+{A}_{12}={A}_{12}$$.

2) На втором процессе температура падает от $$ {Т}_{2}$$ до $$ {Т}_{3}$$, и данная величина составляет заданную в условии задачи разность температур $$ Delta Т$$ (т. к. $$ {Т}_{3}$$ – минимальная температура, а $$ {Т}_{1}={Т}_{2}$$, тогда $$ ({T}_{1}-{T}_{3})=({T}_{2}-{T}_{3})= Delta T$$.
$$  Delta {Q}_{2-3}= Delta {U}_{23}+{A}_{23}^{text{‘}}=-{displaystyle frac{i}{2}}nu RDelta T=-({displaystyle frac{i}{2}}+1)nu RDelta T$$.

3) Для адиабатного процесса $$ 3-1$$ имеем (по определению адиабатного процесса): $$  Delta {Q}_{3-1}=0$$.

Сложим полученные результаты и получим ответ:

$$ {A}_{1-2-3-1}= Delta {Q}_{1-2}+ Delta {Q}_{2-3}+ Delta {Q}_{3-1}={A}_{12}-({displaystyle frac{i}{2}}+1)nu R Delta T+0$$.

Или окончательно для гелия:

$$ {A}_{1-2-3-1}={A}_{12}-{displaystyle frac{5}{2}}nu RDelta T$$. 

В проточном калорифере исследуемый газ пропускают по трубопроводу и нагревают электронагревателем (см. рис. $$ 25$$). При этом измеряют количество газа, пропускаемого через трубопровод в единицу времени, и температуру газа перед и за нагревателем. При продувании воздуха в калориметре температура за нагревателем оказалось на величину $$ Delta Т=5$$ К выше, чем перед нагревателем. Массовый расход воздуха $$ {m}_{tau }=720$$ кг/ч. Определить мощность нагревателя $$ N$$. Считать, что вся теплота, выделяемая нагревателем, отдаётся газу.

Рассмотрим часть газа, находящегося в трубе в той части, где расположен нагреватель (между сечениями $$ 1$$ и $$ 2$$) (рис. $$ 26$$). Первый термометр $$ left({Т}_{1}right)$$ находится перед рассматриваемой областью, а второй $$ left({Т}_{2}right)$$ за ней.

Запишем первый закон термодинамики для выделенной части газа: 

$$  Delta Q= Delta U+{A}^{text{‘}}$$.

Теперь рассмотрим подробнее каждое слагаемое в этом уравнении.

Количество теплоты, получаемое газом от нагревателя за время $$ Delta t$$, можно записать так:

$$ Delta Q=N Delta t$$.

Изменение внутренней энергии для $$ Delta nu $$ молей воздуха, прошедших через выделенную область за время $$ Delta t$$, определяется выражением

$$  Delta U={displaystyle frac{i}{2}}nu R({T}_{2}-{T}_{1})$$.

Работа $$ {A}^{text{‘}}$$ газа над окружающими телами складывается из работы $$ {A}_{1}^{text{‘}}$$ газа при перемещении его левой границы (сечение $$ 1$$, перемещение $$ 1–{1}^{text{‘}}text{‘}$$) и работы $$ {A}_{2}^{text{‘}}$$ газа при перемещении его правой границы (сечение $$ 2$$, перемещение $$ 2–{2}^{text{‘}}text{‘}$$):

$$ {A}^{text{‘}}={A}_{1}^{text{‘}}+{A}_{2}^{text{‘}}$$.

Заметим, что `A_1^'<0` (газ в этой области сжимается), а $$ {A}_{2}^{text{‘}}>0$$ (газ в области расширяется).

Процесс совершения работы слева идёт при постоянной температуре $$ {Т}_{1}$$ и постоянном внешнем давлении `p_1`. Совершение этой работы приводит к введению в рассматриваемую область дополнительно $$  Delta {nu }_{1}$$ моль газа (показан как закрашенный участок справа от сечения $$ 1$$), занимающих объём $$ Delta {V}_{1}$$. Для $$ {A}_{1}^{text{‘}}$$ получаем:

$$ {A}_{1}^{text{‘}}=-{p}_{1} Delta {V}_{1}=-Delta {nu }_{1·}R·{T}_{1}$$.

Процесс совершения работы справа идёт при постоянной температуре $$ {Т}_{2}$$ и постоянном внешнем давлении `p_1`. Совершение этой работы приводит к выведению из рассматриваемой области объёма газа $$  Delta {nu }_{2}$$ моль газа (показан на рисунке выделенным объёмом справа от сечения $$ 2$$), занимающих объём $$  Delta {V}_{2}$$. Для $$ {A}_{2}^{text{‘}}$$ получаем:

$$ {A}_{2}^{text{‘}}={p}_{2} Delta {V}_{2}= Delta {nu }_{2}·R·{T}_{2}$$.

При стационарном процессе нагрева воздуха количество вошедшего воздуха равно количеству вышедшего: $$  Delta {nu }_{1}= Delta {nu }_{2}= Delta nu $$. Тогда работа $$ {A}^{text{‘}}$$ равна

$$ {A}^{text{‘}}={A}_{1}^{text{‘}}+{A}_{2}^{text{‘}}=-Delta nu R{T}_{1}+ Delta nu R{T}_{2}= Delta nu R({T}_{2}-{T}_{1})$$,

С учётом вышеизложенного перепишем первой закон термодинамики для рассматриваемой ситуации:

$$ N Delta T={displaystyle frac{i}{2}} Delta nu R({T}_{2}-{T}_{1})+Delta nu R({T}_{2}-{T}_{1})=({displaystyle frac{i}{2}}+1) Delta nu R({T}_{2}-{T}_{1})$$.

Любопытно заметить, что процесс нагрева воздуха проходит так, что его описание совпадает с процессом изобарного нагрева.

Теперь подробнее остановимся на массовом расходе воздуха $$ {m}_{tau }$$.

$$ {m}_{tau }={displaystyle frac{Delta m}{ Delta t}}={displaystyle frac{Delta nu M}{ Delta t}}$$, тогда $$ Delta nu ={m}_{tau }{displaystyle frac{Delta t}{M}}$$,

$$ N·Delta t=({displaystyle frac{i}{2}}+1) Delta nu R({T}_{2}-{T}_{1})=({displaystyle frac{i}{2}}+1){m}_{tau }{displaystyle frac{Delta t}{M}}R({T}_{2}-{T}_{1})$$.

Откуда получаем ответ:

$$ N=({displaystyle frac{i}{2}}+1){displaystyle frac{{m}_{tau }}{M}}R({T}_{2}-{T}_{1})=$$

$$ =left(mathrm{3,5}right){displaystyle frac{720mathrm{кг}}{360с mathrm{0,029}frac{mathrm{кг}}{mathrm{моль}}}}mathrm{8,31}{displaystyle frac{mathrm{Дж}}{mathrm{моль}·mathrm{К}}}5 mathrm{K} approx 1000 mathrm{Вт}$$.

С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс $$ 1–2–3–1$$, состоящий из адиабатического расширения $$ 1–2$$, расширения в процессе $$ 2–3$$, в котором теплоёмкость газа оставалась постоянной, и сжатия в процессе $$ 3–1$$ с линейной зависимостью давления от объёма (см. рис. $$ 27$$). Известно, что связь между температурами и объёмами в промежуточных состояниях $$ 1$$, $$ 2$$ и $$ 3$$ выражается соотношениями: $$ {T}_{1}=2{T}_{2}={T}_{3}$$, $$ {V}_{3}=4{V}_{1}$$.  Найдите молярную теплоёмкость газа в процессе $$ 2–3$$, если работа, совершённая над газом в цикле, составляет $$ 7/15$$ от работы, совершённой над газом в процессе $$ 3–1$$.

Первый закон термодинамики для процесса $$ 1–2$$ можем записать так:

$$ Delta {Q}_{12}=0$$ (адиабатическое расширение).

Для процесса $$ 2–3$$ первый закон термодинамики можно записать так:

$$  Delta {Q}_{23}={c}_{23}·nu ({T}_{3}-{T}_{2})$$.

И, наконец, для процесса $$ 3–1$$ имеем:

$$  Delta {Q}_{31}= Delta {U}_{31}+{A}_{31}^{text{‘}}=0+left({displaystyle frac{{p}_{1}+{p}_{3}}{2}}right)({V}_{1}-{V}_{3})=-{displaystyle frac{1}{2}}·{displaystyle frac{15}{4}}{p}_{3}{V}_{3} =-{displaystyle frac{15}{8}}nu R{T}_{1}$$.

Работа газа за весь цикл равна сумме количеств теплоты:

$$ {A}_{1-2-3-1}=  Delta {Q}_{1-2}+Delta {Q}_{2-3}+Delta {Q}_{3-1}=0+{c}_{23}nu ({T}_{3}-{T}_{2})-{displaystyle frac{15}{8}}nu R{T}_{1}$$.

$$ {A}_{1-2-3-1}={displaystyle frac{7}{15}}{A}_{31}=-{displaystyle frac{7}{15}}·{displaystyle frac{15}{8}}nu R{T}_{1}$$.

Приравняем:

$$ -{displaystyle frac{7}{15}}·{displaystyle frac{15}{8}}nu R{T}_{1}={c}_{23}nu ({T}_{3}-{T}_{2})-{displaystyle frac{15}{8}}nu R{T}_{1}$$.

Откуда, с учётом соотношений температур $$ {T}_{1}=2{T}_{2}={T}_{3}$$, искомая теплоёмкость будет равна $$ {c}_{23}=2R$$.