Как найти работу конденсаторов

Для школьников.

Основной характеристикой конденсатора является его электрическая ёмкость С.

Под ёмкостью конденсатора понимается его способность накопить на своих обкладках и удержать на них электрический заряд.

Чем больший электрический заряд соберёт на себе конденсатор, тем больший заряд при разряде он отдаст во внешнюю электрическую цепь.

Ёмкость плоского конденсатора тем больше, чем больше площадь его пластин, чем меньше расстояние между ними и чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика между его обкладками (объяснение дано в Занятии 53):

На практике конденсатор заряжают, присоединив его обкладки к полюсам источника постоянного напряжения.

Как происходит процесс зарядки конденсатора?

До зарядки каждая обкладка конденсатора имела одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов, то есть не была заряжена.

Чтобы зарядить конденсатор надо, чтобы какое-то количество свободных электронов перешло с одной обкладки на другую. Поэтому обкладки и получают одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды.

Вдумаемся в смысл слов:

• чтобы зарядить конденсатор, надо разъединить заряды;
• чтобы разрядить конденсатор, надо соединить разъединённые заряды.

Проведём мысленный эксперимент.

Имеются две металлические пластинки. Каждая из них не заряжена. Это значит, что в них содержится одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов.

Перемещаться в металле могут только свободные (оторвавшиеся от атомов валентные) электроны.

Представим, что эти пластинки привели в очень тесное соприкосновение, при котором часть свободных электронов перешла, например, с верхней пластинки на нижнюю.

Тогда на поверхности верхней пластинки появится положительный заряд (там будет недостаток электронов). Поверхность же нижней пластинки зарядится отрицательно (на ней избыток электронов).

Пластинки, имеющие противоположные знаки, притягиваются друг к другу. Чтобы их разъединить, надо совершить механическую работу против силы притяжения.

После перемещения пластинок на некоторое расстояние друг от друга (после совершения механической работы), они окажутся заряженными разноимёнными равными по модулю зарядами. (Это можно представить только теоретически практически же при попытке разделить две таких пластинки из проводника зарядить не удастся, так как электроны в местах контакта успеют вернуться обратно из-за их большой подвижности в металле. Но если одна из пластинок будет диэлектриком, то они зарядятся).

Совершив работу, мы разделили заряды и зарядили пластинки. Совершённая механическая работа перешла в энергию электрического поля, образовавшегося между пластинками, которые можно считать обкладками плоского конденсатора.

Рассуждая так, мы представили процесс зарядки конденсатора.

Теперь представим процесс разрядки конденсатора.

Чтобы разрядить конденсатор, надо соединить разъединённые заряды, то есть вернуть электроны, перешедшие с верхней пластинки на нижнюю, на верхнюю пластинку. Тогда обе пластинки опять окажутся незаряженными.

Для этого надо заряженные пластинки соединить проводом. Тогда свободные электроны с отрицательно заряженной пластинки, отталкиваясь от неё, станут перемещаться в ближайший к пластинке участок провода. В результате заряд отрицательно заряженной пластинки уменьшается.

Количество электронов в этом участке провода (прилегающего к отрицательно заряженной пластинке) увеличится. Эти электроны передадут движение (энергию) электронам соседнего участка провода и так далее.

Одновременно с другого конца провода, соединённого с положительно заряженной пластинкой, свободные электроны переходят на пластинку, уменьшая её положительный заряд. Направленное движение электронов и здесь передаётся от участка к участку провода.

Перераспределение электронов от участка к участку в проводе (электрический ток) происходит до тех пор, пока количество положительных и отрицательных зарядов в каждой пластинке не станет одинаковым (пока разъединённые при зарядке пластин заряды не соединятся).

Процесс разрядки конденсатора – это процесс соединения разъединённых зарядов.

Так можно представить процессы зарядки и разрядки конденсатора.

Теперь рассмотрим качественно процесс зарядки конденсатора от источника постоянного тока.

На рисунке изображена электрическая цепь, состоящая из источника постоянного тока, конденсатора и сопротивления.

При замыкании ключа свободные электроны придут в движение, в цепи возникнет ток и конденсатор начнёт заряжаться. При этом напряжение на конденсаторе будет увеличиваться, а ток в цепи будет убывать.

Процесс зарядки конденсатора будет продолжаться до тех пор, пока напряжение на конденсаторе не станет равным напряжению источника. Это напряжение на конденсаторе называется установившимся.

Когда на пластинах накопится заряд, равный произведению ёмкости конденсатора на установившееся напряжение

тока в цепи не станет (конденсатор полностью зарядится).

Длительность процесса зарядки определяется ёмкостью конденсатора и сопротивлением цепи

Конденсатор станет разряжаться, если его обкладки замкнуть через сопротивление.

Процесс разрядки конденсатора описан выше.

Как происходит процесс перемещения (перераспределения) электронов в проводе сказано ещё в статье “Работа тока ….”

По мере разрядки конденсатора ток в цепи уменьшается.

Прохождение тока через сопротивление сопровождается выделением тепла – энергия электрического поля переходит в тепло.

Покажем ещё цепь постоянного тока, состоящую из источника постоянного тока, двух конденсаторов и двух сопротивлений.

Найдём напряжение на каждом конденсаторе (имеется ввиду установившееся напряжение).

Конденсаторы соединены последовательно, значит общее напряжение на конденсаторах равно напряжению источника:

Заряды конденсаторов, равные произведением их ёмкостей на напряжения, равны между собой:

Совместное решение этих уравнений позволяет найти напряжение на каждом конденсаторе:

То есть пока источник постоянного тока подключен, конденсаторы заряжены, так как заряд конденсатора пропорционален напряжению:

Чем больше напряжение на конденсаторе (на участке цепи, содержащей конденсатор), тем больше заряд на его обкладках.

Если источник напряжения отключить, то через сопротивления пройдёт разрядный ток, положительные и отрицательные заряды соединятся и конденсаторы разрядятся.

Комментарий подвиг меня к написанию статьи: “Ещё о зарядке тел и конденсаторов”. Прочтите её.

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Для школьников предлагаются подборки материала по темам:

!. Механика. Кинематика. Равномерное прямолинейное движение.

2. Равнопеременное прямолинейное движение.

Предыдущая запись: Полезная мощность. Полная мощность. КПД электрической цепи.

Следующая запись: Решение задач на нахождение мощности и КПД в цепи постоянного тока.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1.

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45.

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.

1. Конденсаторы.

Емкостью обладают
не только отдельные проводники, но и
системы проводников. Система, состоящая
из двух проводников, разделенных слоем
диэлектрика, называется конденсатором.
Проводники в этом случае называются
обкладками конденсатора. Заряды на
обкладках имеют противоположные знаки,
но по модулю – одинаковы. Практически
все поле конденсатора сосредоточено
между обкладками и.

Емкостью конденсатора
называется величина

С=
,

(1)

где q
– абсолютная величина заряда одной из
обкладок, U
– разность потенциалов (напряжение)
между обкладками.

В зависимости от
формы обкладок, конденсаторы бывают
плоскими, сферическими, цилиндрическими.

Найдем емкость
плоского конденсатора, обкладки которого
имеют площадь S,
расположены на расстоянии d,
а пространство между обкладками заполнено
диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью ε.

Если поверхностная
плотность заряда на обкладках равна σ
(σ=
),
то напряженность поля конденсатора
(поле считается однородным) равна:

Е=

=

Разность потенциалов
между обкладками связана с напряженностью
поля: Е =
, откуда получим U=Ed
=

=

Используя формулу
( 1 ), получим для емкости плоского
конденсатора выражение:

С
=
(2)

1. Соединение конденсаторов.

Используются два
основных вида соединения: последовательное
и параллельное.

При параллельном
соединении (рис 1), общая емкость батареи
равна сумме емкостей всех конденсаторов:

С_общ.=
С₁
+С₂+С₃+…=ΣС_i
. (3)

При последовательном
соединении (рис.2) величина, обратная
общей емкости, равна сумме величин,
обратных емкостям всех конденсаторов:

.
(4)

Если последовательно
соединены n
конденсаторов с одинаковой емкостью
С, то общая емкость: С_общ.=

Рис. 1.Параллельное
соединение. Рис. 2.Последовательное
соединение

1. Энергия конденсатора.

Если процесс
зарядки конденсатора является медленным
(квазистационарным), то можно считать,
что в каждый момент времени потенциал
любой из обкладок конденсатора во всех
точках одинаков. При увеличении заряда
на величину dq
совершается работа
,
где u
– мгновенное значение напряжения между
обкладками конденсатора. Учитывая, что
,
получаем:
.
Если емкость не зависит от напряжения,
то эта работа идет на увеличение энергии
конденсатора. Интегрируя данное
выражение, получим:

,

где W
– энергия конденсатора, U
– напряжение между обкладками заряженного
конденсатора.

Используя связь
между зарядом, емкостью конденсатора
и напряжением, можно представить
выражение для энергии заряженного
конденсатора в других видах:

.

(5)

1. Квазистационарные токи. Процессы зарядки и разрядки конденсатора.

При зарядке или
разрядке конденсатора в цепи конденсатора
течет ток. Если изменения тока происходят
очень медленно, то есть за время
установления электрического равновесия
в цепи изменения токов и э.д.с. малы, то
для определения их мгновенных значений
можно использовать законы постоянного
тока. Такие медленно меняющиеся токи
называют квазистационарными.

Так как скорость
установления электрического равновесия
велика, под понятие квазистационарных
токов подпадают и довольно быстрые в
обычном понимании процессы: переменный
ток, многие электрические колебания,
используемые в радиотехнике.
Квазистационарными являются и токи
зарядки или разрядки конденсатора.

Рассмотрим
электрическую цепь, общее сопротивление
которой обозначим R.
Цепь содержит конденсатор емкостью C,
подключенный к источнику питания с
э.д.с. ε (рис. 3).

Рис. 3. Процессы
зарядки и разрядки конденсатора.

Зарядка
конденсатора.
Применяя к контуру εRC1ε
второе правило Кирхгофа, получим:

,

где I,
U
– мгновенные значения силы тока и
напряжения на конденсаторе (направление
обхода контура указано стрелкой).

Учитывая, что
,
,
можно привести уравнение к одной
переменной:

.

Введем новую
переменную:
.
Тогда уравнение запишется:

.

Разделив переменные
и проинтегрировав, получим:
.

Для определения
постоянной А используем начальные
условия:

t=0,
U=0,
u=
– ε.
Тогда получим: А= – ε.
Возвращаясь к переменной
,
получим окончательно для напряжения
на конденсаторе выражение:

.

(6)

С течением времени
напряжение на конденсаторе растет,
асимптотически приближаясь к э.д.с.
источника (рис.4, I.).

Разрядка
конденсатора. Для
контура CR2C
по второму правилу Кирхгофа: RI=U.
Используем также:

,
и

(ток течет в обратном направлении).

Приведя к переменной
U,
получим:

.
Интегрируя, получим:
.

Постоянную
интегрирования B
определим из начальных условий: t=0,
U=ε.
Тогда получим: В=ε.

Для напряжения на
конденсаторе получим окончательно:

.

(7)

С течением времени
напряжение падает, приближаясь к 0 (рис.
4, II).

Рис. 4. Графики
зарядки (I)
и разрядки (II)
конденсатора.

1. Постоянная
   времени.
   Характер протекания процессов зарядки
   и разрядки конденсатора (установление
   электрического равновесия) зависит от
   величины:

,

(8)

которая имеет
размерность времени и называется
постоянной времени электрической цепи.
Постоянная времени показывает, через
какое время после начала разрядки
конденсатора напряжение уменьшается
в e
раз (е=2,71).

Теория метода

Прологарифмируем
выражение (7):

(учли,
что RC=τ).

График зависимости
lnU
от t
(линейная зависимость) выражается прямой
линией (рис.5), пересекающей ось y
(lnU)
в точке с координатами (0; lnε).
Угловой коэффициент К этого графика и
будет определять постоянную времени
цепи:
,
откуда:

.

(9)

Рис. 5. Зависимость
натурального логарифма напряжения от
времени при разрядке конденсатора

Используя формулы:


и
,
можно
получить, что для одного и того же
интервала времени
:

.

Отсюда:
.

(10)

Экспериментальная
установка

Установка состоит
из основного блока – измерительного
модуля, имеющего клеммы для подключения
дополнительных элементов, источника
питания, цифрового мультиметра и набора
минимодулей с различными значениями
сопротивления и емкости.

Для выполнения
работы собирается электрическая цепь
в соответствии со схемой, изображенной
на верхней панели модуля. В гнезда «R₁»
подключается минимодуль с номиналом
1Мом, в гнезда «R₂»
– минимодуль
с номиналом 100Ом. Параметры исследуемого
конденсатора, подключаемого в гнезда
«С», задаются преподавателем. В гнезда
подключения амперметра устанавливается
перемычка. В гнезда вольтметра подключается
цифровой мультиметр в режиме вольтметра.

Следует отметить,
что сопротивления резисторов заряда-разряда
(минимодулей) R
и цифрового вольтметра R_V
образуют делитель напряжения, что
приводит к тому, что фактически
максимальное напряжение на конденсаторе
будет равно не ε, а
,

где r₀–
сопротивление источника питания.
Соответствующие поправки необходимо
будет вносить и при вычислении постоянной
времени. Однако, если входное сопротивление
вольтметра (10⁷Ом)
значительно превышает сопротивление
резисторов, и сопротивление источника
мало, то данными поправками можно
пренебречь.

Порядок выполнения
работы

1. Собрать электрическую
   цепь с заданным преподавателем значением
   емкости. Тумблер (переключатель
   заряда-разряда) установить в среднее
   положение (стоп). Переключатель предела
   измерения цифрового мультиметра
   установить в положение «20В» (режим
   измерения постоянного напряжения).

2. Подключить модуль
   к сети переменного тока (клавиша
   включения на задней панели модуля) и
   установить выходное напряжение
   ,
   заданное преподавателем (6,5В-15В). Включить
   цифровой мультиметр. Нажатием кнопки
   «Сброс» подготовить модуль к началу
   измерений.

3. Тумблер перевести
   в положение «Заряд». При этом запускается
   секундомер, и начинает меняться
   напряжение на конденсаторе (показания
   вольтметра). Довести напряжение на
   конденсаторе до значения примерно
   0,8ε.

4. Сбросить показания
   секундомера нажатием кнопки «Сброс».
   Перевести тумблер в положение «Разряд»
   и измерять напряжения на конденсаторе
   при его разрядке с интервалом времени
   5с. Занести данные в таблицу 1.

5. Подключить в цепь
   конденсатор с неизвестным значением
   емкости и повторить измерения по п. 4.
   Данные занести в таблицу 2.

6. Подключить в цепь
   конденсатор и резистор с другим известным
   значением емкости. Повторить измерения
   по п. 4. Данные занести в таблицу 3.

7. Нажать кнопку
   «Сброс». Выключить источник питания и
   мультиметр. Отключить от сети измерительный
   модуль и отсоединить от него дополнительные
   элементы.

Таблица
1

ε= В, R1= Ом, , С1= Ф
Разрядка	t (с)
U (В)
lnU
τ1±Δτ1 (с)

Таблица
2

ε= В, R1= Ом, Сх=? Ф
Разрядка	t (с)
U (В)
lnU
τх±Δτх (с)
Сх±ΔСх (Ф)

Таблица
3

ε= В, R2= Ом, С2 = Ф
Разрядка	t (с)
U (В)
lnU
τ2±Δτ2 (с)

Обработка
результатов измерения

По результатам
измерений студенты выполняют одно из
следующих заданий (по указанию
преподавателя).

Задание 1.
Построение кривых разрядки конденсаторов
и экспериментальное подтверждение
закона, описывающего данный процесс.

1. Используя данные,
   взятые из таблиц 1 и 3, постройте графики
   зависимости напряжения от времени при
   разрядке конденсаторов С₁и
   С₂.
   Проанализируйте их, сравните с
   теоретическими (рис. 4).

2. Постройте графики
   разрядки конденсаторов С₁и
   С₂
   в осях (lnU,
   t).
   Проанализируйте их, сравните с
   теоретическими (рис. 5).

3. Определите по
   графикам угловые коэффициенты К₁и
   К_2.
   Среднее значение углового коэффициента
   находится как отношение, определяющее
   тангенс угла наклона прямой:

.

1. Случайные
   погрешности графическим методом можно
   оценить по отклонению опытных точек
   относительно проведенной прямой.
   Относительная погрешность углового
   коэффициента может быть найдена согласно
   формуле:

,

где δ(lnU)
– отклонение (в проекции на ось lnU)
от прямой линии наиболее удаленной
опытной точки,

– интервал, на котором сделаны измерения.

1. По значениям
   угловых коэффициентов определите
   постоянные времени τ₁
   и τ₂,
   используя формулу (9). Сравните полученные
   значения со значениями постоянной
   времени, рассчитанными по формуле (8).

2. Посчитайте
   относительные и абсолютные погрешности
   для постоянной времени:
   
   ,
   .

3. Сделайте выводы
   о соответствии экспериментальных
   графиков экспоненциальному виду
   зависимости напряжения от времени, и
   о влиянии постоянной времени на
   протекание процессов зарядки и разрядки
   конденсатора.

Задание 2.
Определение неизвестной емкости
конденсатора.

1. Используя данные,
   взятые из таблиц 1 и 2, постройте графики
   зависимости напряжения от времени при
   разрядке конденсаторов С₁
   и С_х.
   Проанализируйте их, сравните с
   теоретическими (рис. 4).

2. Постройте графики
   разрядки конденсаторов С₁
   и С_х
   в осях (lnU,
   t).
   Сравните их и сделайте вывод о соотношении
   постоянных времени (см. рис.5).

3. Определите по
   формуле (10) неизвестную емкость, используя
   графики и данные таблиц 1 и 2.

4. Найдите относительные
   погрешности угловых коэффициентов ε_К1
   и ε_кх
   (см. п.4
   задания 1).

5. Определите
   относительную и абсолютную погрешности
   емкости:

,
.

1. Сравните полученное
   значение С_х
   со значением,
   измеренным при помощи цифрового
   мультиметра в режиме измерения емкости.
   Сделайте вывод.

Дополнительное
задание.

Рассчитайте энергию
заряженного конденсатора, используя
формулу (5).

Контрольные
вопросы

1. Что представляет
   собой конденсатор? Что называется
   емкостью конденсатора?

2. Докажите, что
   электрическое поле плоского конденсатора
   сосредоточено между его обкладками.

2. Сколько надо
взять конденсаторов емкостью 2мкФ и как
их соединить,

чтобы получить
общую емкость 5 мкФ?

1. Как можно найти
   энергию заряженного конденсатора?

2. Какие токи
   называются квазистационарными? Почему
   токи зарядки и разрядки конденсатора
   можно отнести к квазистационарным?

3. По какому закону
   изменяется напряжение на конденсаторе
   в процессах а) зарядки и б) разрядки?

4. Что показывает
   постоянная времени цепи? От чего она
   зависит?

5. Зачем в данной
   работе строится график зависимости
   lnU
   от t?

6. Как в данной работе
   определяется постоянная времени
   электрической цепи?

ЛИТЕРАТУРА

1.Трофимова Т.И.
Курс физики. / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая
школа, 2006-2009 г. г. – 544с.

2 Савельев И.В. Курс
физики. В 3-х томах. Том 2. Электричество.
Колебания и волны. Волновая оптика. Изд.
3-е, стереотип. / И.В. Савельев – М.: Лань,
2007. – 480 с.

3. Грабовский Р. И.
Курс физики / Р.И. Грабовский – СПб:
издательство «Лань», 2012. – 608с.

4 Зисман Г. А., Тодес
О. М. Курс общей физики. В 3-х томах. Том
2. Электричество и магнетизм / Г.А. Зисман,
О.М. Тодес – СПб: «Лань», 2007. – 352 c.

Концевой
титул

Учебное
издание

Составитель:

Плотникова
Ольга
Васильевна

Соседние файлы в папке 12-02-2015_08-16-01

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Основные положения и соотношения

1. Общее выражение емкости конденсатора

C= Q U .

2. Емкость плоского конденсатора

C= ε a ⋅S d = ε r ⋅ ε 0 ⋅S d ,

здесь

S — поверхность каждой пластины конденсатора;

d — расстояние между ними;

ε_a = ε_r·ε₀ — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

ε_r — диэлектрическая проницаемость среды (относительная диэлектрическая проницаемость);

ε 0 = 1 4π⋅ с 2 ⋅ 10 −7 ≈8,85418782⋅ 10 −12    Ф м  – электрическая постоянная.

3. При параллельном соединении конденсаторов С₁, С₂, …, С_n эквивалентная емкость равна

C= C 1 + C 2 +…+ C n = ∑ k=1 n C k .

4. При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость определяется из формулы

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Для двух последовательно соединенных конденсаторов эквивалентная емкость составляет:

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 ,

а напряжения между отдельными конденсаторами распределяются обратно пропорционально их емкостям:

U 1 =U⋅ C 2 C 1 + C 2 ;    U 2 =U⋅ C 1 C 1 + C 2 .

5. Преобразование звезды емкостей в эквивалентный треугольник емкостей или обратно (рис. а и б)

Рис. 0

осуществляется по формулам:

Y→Δ { C 12 = C 1 ⋅ C 2 ΣC ;   C 13 = C 1 ⋅ C 3 ΣC ;   C 23 = C 2 ⋅ C 3 ΣC , где          ΣC= C 1 + C 2 + C 3 , Δ→Y { C 1 = C 12 + C 13 + C 12 ⋅ C 13 C 23 ; C 2 = C 12 + C 23 + C 12 ⋅ C 23 C 13 ; C 3 = C 13 + C 23 + C 13 ⋅ C 23 C 12 .

6. Энергия электростатического поля конденсатора:

W= C⋅ U 2 2 = Q⋅U 2 = Q 2 2C .

7. Расчет распределения зарядов в сложных цепях, содержащих источники э.д.с. и конденсаторы, производится путем составления уравнений по двум законам:

1) По закону сохранения электричества (закон сохранения электрического заряда): алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения:

ΣQ=Σ Q ′ .

2) По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраической сумме напряжений на участках контура, в том числе на входящих в него конденсаторах:

∑ k=1 n E k = ∑ k=1 n U C k = ∑ k=1 n Q k C k .

Приступая к решению задачи, надо задаться полярностью зарядов на обкладках конденсаторов.

Решение задач на расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Задача. Доказать формулу эквивалентной емкости при последовательном соединении конденсаторов (рис. 1).

Рис. 1

Решение

На рис. 1 представлено последовательное соединение трех конденсаторов. Если батарею конденсаторов подключить к источнику напряжения U₁₂, то на левую пластину конденсатора С₁ перейдет заряд +q, на правую пластину конденсатора С₃ заряд –q.

Вследствие электризации через влияние правая пластина конденсатора С₁ будет иметь заряд –q, а так как пластины конденсаторов С₁ и С₂ соединены и были электронейтральны, то вследствие закона сохранения заряда заряд левой пластины конденсатора C₂ будет равен +q, и т. д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по величине заряд.

Найти эквивалентную емкость — это значит найти конденсатор такой емкости, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд q, что и батарея конденсаторов.

Разность потенциалов U₁₂ = φ₁ — φ₂ складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов

U 12 = φ 1 − φ 2 =( φ 1 − φ A )+( φ A − φ B )+( φ B − φ 2 )= U 1A + U AB + U B2 .

Воспользовавшись формулой напряжения на конденсаторе

U= q C ,

запишем

q C = q C 1 + q C 2 + q C 3 .

Откуда эквивалентная емкость батареи из трех последовательно включенных конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 .

В общем случае эквивалентная емкость при последовательном соединении конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Задача 1. Определить заряд и энергию каждого конденсатора на рис. 2, если система подключена в сеть с напряжением U = 240 В.

Рис. 2

Емкости конденсаторов: C₁ =50 мкФ; C₂ =150 мкФ; C₃ =300 мкФ.

Решение

Эквивалентная емкость конденсаторов C₁ и C₂, соединенных параллельно

C₁₂ = C₁ + C₂ = 200 мкФ,

эквивалентная емкость всей цепи равна

C= C 12 ⋅ C 3 C 12 + C 3 = 200⋅300 500 =120  мкФ.

Заряд на эквивалентной емкости

Q = C·U = 120·10^–6·240 = 288·10^–4 Кл.

Той же величине равен заряд Q₃ на конденсаторе C₃, т.е. Q₃ = Q = 288·10^–4 Кл; напряжение на этом конденсаторе

U 3 = Q 3 C 3 = 288⋅ 10 −4 300⋅ 10 −6 =96  В.

Напряжение на конденсаторах C₁ и C₂ равно

U₁ = U₂ = U — U₃ = 240 — 96 = 144 В.

их заряды имеют следующие значения

Q₁ = C₁·U₁ = 50·10^–6·144 = 72·10^–4 Кл;

Q₂ = C₂·U₂ = 150·10^–6·144 = 216·10^–4 Кл.

Энергии электростатического поля конденсаторов равны

W 1 = Q 1 ⋅ U 1 2 = 72⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈0,52  Дж; W 2 = Q 2 ⋅ U 2 2 = 216⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈1,56  Дж; W 3 = Q 3 ⋅ U 3 2 = 288⋅ 10 −4 ⋅96 2 ≈1,38  Дж.

Задача 2. Плоский слоистый конденсатор (рис. 3), поверхность каждой пластины которого S = 12 см², имеет диэлектрик, состоящий из слюды (ε_r1 = 6) толщиною d₁ = 0,3 мм и стекла (ε_r2 = 7) толщиною d₂ =0,4 мм.

Пробивные напряженности слюды и стекла соответственно равны E₁ = 77 кВ/мм, E₂ = 36 кВ/мм.

Рис. 3

Вычислить емкость конденсатора и предельное напряжение, на которое его можно включать, принимая для более слабого слоя двойной запас электрической прочности.

Решение

Эквивалентная емкость слоистого конденсатора определится как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 = ε a1 ⋅S d 1 ⋅ ε a2 ⋅S d 2 ε a1 ⋅S d 1 + ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ ε a2 ⋅S ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 .

Подставляя сюда числовые значения, предварительно заменив ε_a1 = ε_r1·ε₀ и ε_a2 = ε_r2·ε₀, получим

C= ε 0 ⋅ ε r1 ⋅ ε r2 ⋅S ε r1 ⋅ d 2 + ε r2 ⋅ d 1 =8,85⋅ 10 −12 ⋅ 6⋅7⋅12⋅ 10 −4 6⋅0,4⋅ 10 −3 +7⋅0,3⋅ 10 −3 =99⋅ 10 −12   Ф.

Обозначим общее напряжение, подключаемое к слоистому конденсатору, через U_пр, при этом заряд конденсатора будет равен

Q = C·U_пр.

Напряжения на каждом слое будут равны

U 1 = Q C 1 = C⋅ U пр ε a1 ⋅S d 1 = ε a2 ⋅ d 1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр ; U 2 = Q C 2 = C⋅ U пр ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ d 2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр .

Напряженности электростатического поля в каждом слое

E 1 = U 1 d 1 = ε a2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ′ пр ; E 2 = U 2 d 2 = ε a1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ″ пр .

Здесь U’_np — общее напряжение, подключаемое к конденсатору, при котором пробивается первый слой, a U”_np — общее напряжение, при котором происходит пробой второго слоя.

Из последнего выражения находим

U ′ пр = E 1 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a2 =49,5  кВ; U ″ пр = E 2 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a1 =27,0  кВ.

Таким образом, более слабым слоем является второй; согласно условию, принимая для него двойной запас прочности, находим, что конденсатор может быть включен на напряжение, равное

27,0 кВ / 2 = 13,5 кВ.

Задача 3. Обкладки плоского конденсатора с воздушным диэлектриком расположены на расстоянии d₁ = 1 см друг от друга. Площадь обкладок S = 50 см². Конденсатор заряжается до напряжения U = 120 В и затем отсоединяется от источника электрической энергии.

Определить, какую надо совершить работу, если увеличить расстояние между пластинами до d₂ = 10 см. Краевым эффектом можно пренебречь; другими словами, емкость конденсатора можно считать обратно пропорциональной расстоянию между обкладками.

Решение

Энергия заряженного плоского конденсатора равна

W 1 = C 1 ⋅ U 2 2 = ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 ,

где С₁ — емкость до раздвижения обкладок.

Так как конденсатор отключен от источника, то при изменении расстояния между обкладками его заряд остается постоянным. Поэтому из~ соотношения

Q = C₂·U₂,

где C₂ — емкость конденсатора после раздвижения обкладок, следует, что, так как C₂ = ε₀·S/d₂ стало меньше в 10 раз (d₂ увеличилось в 10 раз), то напряжение на конденсаторе U₂ увеличилось в 10 раз, т. е. U₂ = 10U.

Таким образом, энергия конденсатора после отключения и раздвижения обкладок на расстояние d₂ будет больше первоначальной

W 2 = ε 0 ⋅S d 2 ⋅ U 2 2 2 = ε 0 ⋅S 10 d 1 ⋅ ( 10U ) 2 2 =10⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =10⋅ W 1 .

Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, затраченной на раздвижение обкладок.

Таким образом, надо совершить работу, равную

W 2 − W 1 =9⋅ W 1 =9⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =2,86⋅ 10 −7   Дж.

Задача 4. Для схемы (рис. 4) определить напряжение каждого конденсатора в двух случаях: при замкнутом и разомкнутом ключе К.

Даны: C₁ = 30 мкФ; C₂ = 20 мкФ; r₁ = 100 Ом. r₂ = 400 Ом. r₃ = 600 Ом, U = 20 В.

Решение

Ключ К разомкнут. Конденсаторы соединены между собой последовательно; их ветвь находится под полным напряжением источника; напряжение распределяется между ними обратно пропорционально емкостям

U 1 = C 2 C 1 + C 2 ⋅U= 20⋅ 10 −6 30⋅ 10 −6 +20⋅ 10 −6 ⋅20=8  В; U 2 =U− U 1 =20−8=12  В.

Рис. 4

Ключ К замкнут. Через сопротивления r₁ и r₂ протекает ток

I= U r 1 + r 2 = 20 500 =0,04  А,

а через сопротивление r₃ ток не протекает.

Поэтому точки c и d равнопотенциальны (φ_c = φ_d). Следовательно, напряжение между точками a и c (U_ac = φ_a — φ_c) равно напряжению между точками a и d (U_ad = φ_a — φ_d).

Таким образом, напряжение на первом конденсаторе равно падению напряжения на сопротивлении r₁

U_C1 = I·r₁ = 0,04·100 = 4 В.

Аналогично напряжение на втором конденсаторе равно

U_C2 = I·r₂ = 0,04·400 = 16 В.

Задача 5. Определить напряжение на зажимах конденсаторов и их энергию после перевода рубильника из положения 1 в положение 2, показанное пунктиром на рис. 5, если U = 25 В; C₁ = 5 мкФ; C₂ = 120 мкФ. Конденсатор C₂ предварительно не был заряжен.

Рис. 5

Решение

Когда рубильник находится в положении 1, то конденсатор C₁ заряжен до напряжения U и его заряд равен

Q = C₁·U = 5·10^–6·25 = 125·10^–6 Кл.

После перевода рубильника в положение 2, заряд Q распределяется между конденсаторами C₁ и C₂ (рис. 5). Обозначим эти заряды через Q’₁ и Q’₂.

На основании закона сохранения электричества имеем

Q = Q’₁ + Q’₂ = 125 10^–6 Кл. (1)

По второму закону Кирхгофа имеем

0= U C1 − U C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 2 ,

или

Q ′ 1 5⋅ 10 −6 − Q ′ 2 120⋅ 10 −6 =0.   (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем

Q’₁ = 5 10^–6 Кл; Q’₂ = 120 10^–6 Кл.

Доставка свежих и аппетитных японских суши в Новороссийске – ям ям..

Напряжение на зажимах конденсаторов станет равным

U C1 = Q ′ 1 C 1 = U C2 = Q ′ 2 C 2 = 5⋅ 10 −6 5⋅ 10 −6 =1  В.

Энергия обоих конденсаторов будет равна

W= C 1 ⋅ U C1 2 2 + C 2 ⋅ U C2 2 2 =62,5⋅ 10 −6   Дж.

Подсчитаем энергию, которая была запасена в конденсаторе С₁, при его подключении к источнику электрической энергии

W нач = C 1 ⋅U 2 = 5⋅ 10 −6 ⋅ 25 2 2 =1562,5⋅ 10 −6   Дж.

Как видим, имеет место большая разница в запасе энергии до и после переключения. Энергия, равная 1562,5·10^–6 — 62,5·10^–6 = 1500·10^–6 Дж, израсходовалась на искру при переключении рубильника из положения 1 в положение 2 и на нагревание соединительных проводов при перетекании зарядов из конденсатора C₁ в конденсатор C₂ после перевода рубильника в положение 2.

Задача 6. Вычислить напряжение, которое окажется на каждом из конденсаторов схемы (рис. 6) после перевода рубильника К из положения 1 в положение 2.

Емкости конденсаторов равны: C₁ = 10 мкФ; C₂ = 30 мкФ; C₃ = 60 мкФ; напряжение U = 30 В, а э. д. с. E = 50 В.

Рис. 6

Решение

Рубильник находится в положении 1. Заряд конденсатора C₁ равен

Q₁ = C₁·U = 10·10^–6·30 = 0,3·10^–3 Кл.

В указанном положении рубильника конденсаторы C₂ и C₃ соединены последовательно друг с другом, поэтому их заряды равны: Q₂ = Q₃. Знаки зарядов показаны на рис. 6 отметками без кружков. По второму закону Кирхгофа имеем

E= U C2 + U C3 = Q 2 C 2 + Q 3 C 3 = Q 2 ⋅ C 2 + C 3 C 2 ⋅ C 3 ,

откуда

Q 2 = Q 3 = C 2 ⋅ C 3 C 2 + C 3 ⋅E= 30⋅ 10 −6 ⋅60⋅ 10 −6 90⋅ 10 −6 ⋅50=1⋅ 10 −3   Кл.

При переводе рубильника в положение 2 произойдет перераспределение зарядов. Произвольно задаемся новой полярностью зарядов на электродах (показана в кружках; предположена совпадающей с ранее имевшей место полярностью); соответствующие положительные направления напряжений на конденсаторах обозначены стрелками. Обозначим эти заряды через Q’₁, Q’₂ и Q’₃. Для их определения составим уравнения на основании закона сохранения электрических зарядов и второго закона Кирхгофа.

Для узла a

Q’₁ + Q’₂ — Q’₃ = Q₁ + Q₂ — Q₃. (1)

Для контура 2ebda2

0= U ′ C1 − U ′ C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 1 .

Для контура bcadb

E= U ′ C2 − U ′ C3 = Q ′ 2 C 2 + Q ′ 3 C 3 .

Уравнения (1) — (3), после подстановки числовых значений величин, примут вид

Q’₁ + Q’₂ — Q’₃ = 0,3·10^–3; (4)

3Q’₁ — Q’₂ = 0; (5)

2Q’₂ + Q’₃ = 3·10^–3. (6)

Решая совместно уравнения (4) — (6), получим

Q’₁ = 0,33·10^–3 Кл; Q’₂ = 0,99·10^–3 Кл; Q’₃ = 1,02·10^–3 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность обкладок соответствует предварительно выбранной.

Напряжения на конденсаторах после перевода рубильника будут равны

U C1 = Q ′ 1 C 1 = 0,33⋅ 10 −3 10⋅ 10 6 =33  В; U C2 = Q ′ 2 C 2 = 0,99⋅ 10 −3 30⋅ 10 6 =33  В; U C3 = Q ′ 3 C 3 = 1,02⋅ 10 −3 60⋅ 10 6 =17  В.

Задача 7. Определить заряд и напряжение конденсаторов, соединенных по схеме рис. 7, если C₁ = 5 мкФ; C₂ = 4 мкФ; C₃ = 3 мкФ; э. д. с. источников E₁ = 20 В и E₂ = 5 В.

Рис. 7

Решение

Составим систему уравнений на основании закона сохранения электричества и второго закона Кирхгофа, предварительно задавшись полярностью обкладок конденсаторов, показанной в кружках

− Q 1 + Q 2 − Q 3 =0; E 1 = U C1 − U C3 = Q 1 C 1 − Q 3 C 3 ; E 2 =− U C2 − U C3 =− Q 2 C 2 − Q 3 C 3 .

Подставляя сюда числовые значения и решая эту систему уравнений, получим, что Q₁ = 50 мкКл; Q₂ = 20 мкКл; Q₃ = –30 мкКл.

Таким образом, истинная полярность зарядов на обкладках конденсаторов C₁ и C₂ соответствует выбранной, а у конденсатора C₃ — противоположна выбранной.

Задача 8. Пять конденсаторов соединены по схеме рис. 3-22, а, емкости которых C₁ = 2 мкФ; C₂ = 3 мкФ; C₃ = 5 мкФ; C₄ = 1 мкФ; C₅ = 2,4 мкФ.

Рис. 8

Индивидуалка Дана (34 лет) т.8 926 650-82-63 Москва, метро Сокол.

Определить эквивалентную емкость системы и напряжение на каждом из конденсаторов, если приложенное напряжение U = 10 В.

Решение

1-й способ. Звезду емкостей C₁, C₂ и C₃ (рис. 8, а) преобразуем в эквивалентный треугольник емкостей (рис. 8, б)

C 12 = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 + C 3 =0,6  мкФ; C 13 = C 1 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,0  мкФ; C 23 = C 2 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,5  мкФ.

Емкости C₁₂ и C₅ оказываются соединенными параллельно друг другу и подключенными к точкам 1 и 2; их эквивалентная емкость

C₆ = C₁₂ + C₅ = 3 мкФ.

Аналогично

C₇ = C₁₃ + C₄ = 2 мкФ.

Схема принимает вид изображенный на рис. 8, в. Емкость схемы между точками а и b равняется

C ab = C 23 + C 6 ⋅ C 7 C 6 + C 7 =2,7  мкФ.

Вычислим напряжение на каждом из конденсаторов.

На конденсаторе C₇ напряжение равно

U 7 = C 6 C 6 + C 7 ⋅U=6  В.

Таково же напряжение и на конденсаторах C₄ и C₁₃

U₄ = U₃₁ = 6 В.

Напряжение на конденсаторе C₆ равно

U₆ = U — U₇ = 4 В;

U₅ = U₁₂ = 4 В.

Вычислим заряды

Q₄ = C₄·U₄ = 6·10^–6 Кл;

Q₅ = C₅·U₅ = 9,6·10^–6 Кл;

Q₁₂ = C₁₂·U₁₂ = 6·10^–6 Кл;

Q₁₃ = C₁₃·U₃₁ = 2,4·10^–6 Кл.

По закону сохранения электричества для узла 1 схем 8, а и б имеем

–Q₄ — Q₁ + Q₅ = –Q₄ — Q₁₃ + Q₁₂ + Q₅,

отсюда

Q₁ = Q₁₃ — Q₁₂ = 3,6·10^–6 Кл,

а напряжение на конденсаторе, емкостью C₁ составляет

U 1 = Q 1 C 1 =1,8  В.

Далее находим напряжения и заряды на остальных конденсаторах

U₃₁ = U₁ + U₃,

отсюда

U₃ = U₃₁ — U₁ = 4,2 В;

Q₃ = C₃·U₃ = 21·10^–6 Кл,

также

U₁₂ = U₂ — U₁ = 4,2 В,

откуда

U₂ = U₁₂ + U₁ = 5,8 В;

Q₂ = C₂·U₂ = 17,4·10^–6 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность зарядов на обкладках совпадает с предварительно выбранной.

2-й способ. Выбрав положительные направления напряжений на конденсаторах (а тем самым и знаки зарядов на каждом из них) по формуле закона сохранения электричества (закона сохранения заряда) составляем два уравнения и по второму закону Кирхгофа три уравнения (рис. 8, а)

для узла 1

Q₅ — Q₁ — Q₄ = 0; (1)

для узла О

Q₁ + Q₂ — Q₃ = 0; (2)

для контура О13О

Q 1 C 1 − Q 4 C 4 + Q 3 C 3 =0;  (3)

для контура О12О

Q 1 C 1 + Q 5 C 5 − Q 2 C 2 =0;  (4)

для контура a3О2b

Q 3 C 3 + Q 2 C 2 =U.  (5)

Система уравнений (1) — (5) — содержит пять неизвестных: Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ и Q₅. Решив уравнения, найдем искомые заряды, а затем и напряжения на конденсаторах. При втором способе решения эквивалентную емкость схемы С_ab можно найти из отношения

C ab = Q U ,

где Q = Q₃ + Q₄, или Q = Q₂ + Q₅.

Задача 9. В схеме рис. 9 найти распределение зарядов, если E₁ = 20 В; E₂ = 7 В; C₁ = 7 мкФ; C₂ = 1 мкФ; C₃ = 3 мкФ; C₄ = 4 мкФ; C₅ = C₆ = 5 мкФ.

Рис. 9

Решение

При выбранном распределении зарядов (в кружках), как показано на схеме, система уравнений будет иметь вид:

для узла а

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0;

для узла b

–Q₃ — Q₄ — Q₅ = 0;

для узла c

–Q₁ + Q₄ + Q₆ = 0;

для контура afcba

E 1 = U C1 + U C4 − U C3 = Q 1 C 1 + Q 4 C 4 − Q 3 C 3 ;

ля контура gdbag

E 2 = U C5 − U C3 + U C2 = Q 5 C 5 − Q 3 C 3 + Q 2 C 2 ;

для контура cbdc

0= U C4 − U C5 − U C6 = Q 4 C 4 − Q 5 C 5 − Q 6 C 6 .

Подставляя сюда числовые значения и решая полученную систему шести уравнений, найдем искомые заряды

Q₁ = 35 мкКл; Q₂ = –5 мкКл; Q₃ = –30 мкКл;

Q₄ = 20 мкКл; Q₅ = 10 мкКл; Q₆ = 15 мкКл.

Таким образом, истинные знаки зарядов Q₁, Q₄, Q₅ и Q₆ соответствуют выбранным, а знаки Q₂ и Q₃ противоположны выбранным.

Фактическое расположение знаков зарядов на конденсаторах дано не в кружках.

Задача 10. Определить заряд и энергию каждого конденсатора в схеме (рис. 10). Данные схемы: C₁ = 6 мкФ; C₂ = 2 мкФ; C₃ = 3 мкФ; r₁ = 500 Ом; r₂ = 400 Ом; U = 45 В.

Рис. 10

Решение

Через сопротивления протекает ток

I= U r 1 + r 2 =0,05  А.

Задавшись полярностью зарядов на обкладках конденсаторов, составим систему уравнений:

− Q 1 + Q 2 + Q 3 =0; U= U C1 + U C2 = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 ; I⋅ r 1 = U C1 + U C3 = Q 1 C 1 + Q 3 C 3 ,

или

Q 1 = Q 2 + Q 3 ; 45= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 2 2⋅ 10 −6 ; 25= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 3 3⋅ 10 −6 .

Решив эту систему уравнений, найдем, что

Q₁ = 90 мкКл; Q₂ = 60 мкКл; Q₃ = 30 мкКл.

---

последовательное соединение конденсаторов,
параллельное соединение конденсаторов,
Расчет цепи конденсаторов,
Конденсатор в цепи постоянного тока,
Цепи с конденсаторами

Комментарии

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора – это работа, потраченная на его зарядку.

Из истории

Первым конденсатором считается лейденская банка. Её разработали независимо сразу двое учёных:

1. Эвальд Георг фон Клейст (11 октября 1745 года).
2. Питер ван Мушенбрук (1745 – 1746 годы).

Двумя десятилетиями позже на свет появился электрофорус (1762 год), рассматриваемый как первый плоский конденсатор. Тогда не существовало терминов, вопросы накопления заряда мало интересовали.

Учёные пока что развлекались получением статического заряда.

К примеру, ван Мушенбрук испытывал лейденскую банку на слишком смелых студентах, когда сам оказался однажды полупарализован электрическим зарядом.

Наука не шла вперёд, хотя светила, включая Бенджамина Франклина, вовсю толкали паровоз. Современный этап развития физики начался с Алессандро Вольта. Учёный оказался привлечён конструкцией электрофоруса и заинтригован.

Узрев, что электрофорус способен запасать заряд, учёный решил посчитать и количество.

Концепция Вольты

Как свидетельствуют записки учёного, уже в 1778 году он получил представление о разнице потенциалов, которые называл tension – напряжение.

С 1775 года Вольта придерживается концепции электрической ёмкости – capacita, выдвинутой его учителем Беккарией.

Вольта уже знает, что электрофорус способен накопить заряд, называет прибор конденсатором, и решает подтвердить теорию практикой. Иначе — найти взаимосвязь напряжения, ёмкости и объёмом (quantita) заряда.

Вольта начал с лейденской банки. Он заряжал её от статического генератора и пробовал определить энергию конденсатора тремя путями:

1. Наблюдал получаемую искру электрической дуги от различной конструкции лейденских банок, заряженных одинаковым напряжением.
2. Измерял количество произведённой электростатическими генераторами трения работу, пока показания электрометра не росли до определённого уровня.
3. Разряжал лейденские банки на открытом воздухе и пытался сравнить производимый ими электрический шок по истечении времени.

Все перечисленное привело исследователя к странным выводам, что высокие лейденские банки более вместительные (при одинаковых площадях обкладок и прочих равных условиях). Вероятно, это связано со скоростью разряда их дуги на воздухе вследствие различий в кривизне поверхностей.

Силу разряда Вольта увязывал с электрическим током: чем быстрее течёт флюид, тем более жаркий (по ощущениям) эффект. В результате, Вольта счёл, что разница потенциалов единственная определяет процесс возникновения удара.

  Он решил, что напряжение допустимо измерить двумя путями:

1. Через количество оборотов генератора статического заряда.
2. Сравнивая силу электрического удара при разряде лейденской банки.

Вольта нашёл, что заряжая пустую лейденскую банку от полной, шок получается вдвое слабее. Постепенно (1782 год) Вольта пришёл к выводу, что вышеуказанные величины соотносятся между собой: tension x capacity ~ load, в современном мире выглядит как U C = q или C = q / U.

Вольта заключил, что ёмкость больше там, где при меньшем напряжении вмещается больше заряда.

Последовало заключение, что количество накопленного флюида прямо пропорционально площади обкладок плоского конденсатора. Что согласуется с современными формулами.

С ~ S / d.

Что фактически стало выражением ёмкости плоского конденсатора. Вольта объяснил зависимость наличием некоего сопротивления (resistance) между обкладками, подразумевая воздух. Изменяя дистанцию, удаётся варьировать этот параметр в обе стороны. Это слегка не согласуется с современными концепциями, но Вольта помог Георгу Ому 40 лет спустя вывести зависимость между током и напряжением.

Фактически измерения проделывались на основе работы поля, проявлявшейся лишь вследствие заряда конденсатора. Очевидно, что указанная величина равна энергии – одной из первых физических характеристики, использованных для вывода аналитических выражений.

Единицы измерения

Энергию и работу принято измерять в джоулях, электрическое напряжение и потенциал – в вольтах.

Вольтом называется разница потенциалов, при перемещении единичного положительного заряда между которыми совершается работа в 1 джоуль.

Ёмкость конденсатора

Выше показано, как выразил ёмкость конденсатора Вольта. Формула понадобится при вычислении энергии.

Направление силовых линий определено Кулоном, согласно показаниям крутильных весов, что позволило физикам со временем вывести собственные формулы.

Вольта оказался близок к внедрению понятия электрического потенциала, нельзя обделить упоминанием его наставников: Беккария и Кавендиша. Благодаря упомянутым людям физика стала пристально присматриваться к магнетизму и электричеству.

Работа электрического поля

Электрическое поле называется потенциальным. Это значит, что работа его сил не зависит от траектории движения заряда, исключительно от энергии начального и конечного положения. Напомним, согласно определению:

Электрическое поле – это материя, посредством которой взаимодействуют электрические заряды.

Электрическое поле воздействует исключительно на электрические заряды. Создаётся двумя путями:

1. Электрическими зарядами. Силовые линии начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
2. Изменяющимся магнитным полем. При этом образуется электромагнитная волна, что используется в генераторах.

Когда говорят, что излучение приборов действует на человека, подразумеваются и магнитная, и электрическая составляющие. Особенно опасна первая, которая с большим трудом экранируется. Электрическое поле, рассматриваемое в физике школьного курса, считается стационарным, а линии напряжённости его параллельны. Приводятся два примера:

1. Допустим, заряд перемещается вдоль линий поля на некоторое расстояние l. Тогда работа находится по упрощённой формуле A = Fl, где F – сила, действующая на заряд.
2. Теперь предположим, что заряд переместился из прежней точки по косой линии. Так, что проекция пути lb на силовые линии снова равна l. Участок прямолинейный, угол отклонения – В. Работа вычисляется по формуле с учётом геометрических соотношений как A = FlbcosB = Fl.

Этот простой случай, легко распространяется на любую форму линий напряжённости. Сие означает, что в электрическом поле работа не зависит от траектории, а значит, равна разнице потенциалов поля: А = П1 – П2.

Формула применима для любого поля. Чтобы адаптировать выражение, вводят понятие электрического потенциала как энергию единичного положительного заряда – ф = П / q1. Тогда формула для работы принимает иной вид.

Электрическим напряжением между двумя точками называется разница потенциалов между ними. Умножая указанное значение на величину заряда, поскольку величина удельная, получаем: А = (ф1 – ф2) q = U q. Потенциал через величины поля находится:

где q – величина заряда, создающего поля; ε – диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха и вакуума равна единице); Пи = 3,14; r – расстояние до исследуемой точки от упомянутого заряда. Формула годится далеко не для любых случаев, приведена для примера. Допустимо применять для заряда, распределённого по поверхности шара, и точек, лежащих вне указанной поверхности.

Напряжённость поля плоского конденсатора

В физике рассмотрение всегда ведётся на примере плоского конденсатора, это простейший случай. Поле плоского конденсатора в точности соответствует описанному выше.

Пусть на обкладках присутствует некий заряд. Очевидно, что объем его одинаков, а знаки различны. Работа по перемещению заряда между обкладками равна A = F d, где под d понимается ширина зазора. Формула прямиком приводит к связи с напряжённостью: А = Е q d = U q (см. выше). Следовательно, запишем, что Е = U / d.

Напряжённость поля показывает силу, с которой действует на единичный точечный заряд.

Но в рассматриваемом случае первый заряд положительный и находится на одной обкладке, а второй отрицательный и расположился напротив.

Следовательно, по мере движения в направлении силовой линии отмечается такая картина:

1. Потенциал положительного заряда падает.
2. Потенциала отрицательного заряда растёт.

Причём скорость изменения их одинакова. Следовательно, между обкладками плоского конденсатора потенциал поля не меняется. Теперь вспомним, от чего он зависит.

В изучаемом случае величины постоянны, кроме заряда, накопленного на обкладках после подачи напряжения.

Значит, потенциал постепенно растёт и линейно зависит от заряда, причём уже не важен график собственно процесса. Получается прямая линия.

Это значит, что в начальный момент времени потенциал равен нулю, потом растёт до определённого предела. Графиком зависимости потенциала от количества зарядов станет прямая линия (по времени выходит экспонента). Теперь поясним, зачем производились умозаключения:

1. Известно, что энергия выражается затраченной работой.
2. Значит, допустимо записать формулу W = U q. Выглядит просто, ведь заряд связан с ёмкостью, но чему равно напряжение? Следует напомнить, что на конденсаторе оно растёт по экспоненте в процессе заряда. Брать интеграл по времени? Физики уже решили задачу.
3. Потенциал (напряжение) линейно зависит от заряда, заключаем, что общая работа находится усреднением, что при прямой линии сводится к операции деления на 2.

В итоге: W = U q / 2. Теперь подставим сюда выражение, полученное Алессандро Вольта, и выйдет: W = C U2 / 2. Полученным выражением и пользуются при расчётах.

Мера энергии заряженного конденсатора

При расчёте фильтров цепей питания и прочих электрических фильтров встаёт задача определения номиналов. Кажется, достаточно взять формулу частоты резонансного контура, но простота обманчива. Легко убедиться, что одинаковому ответу соответствует множество значений. Которое выбрать?

Чем больше мощность источника, питания прибора, тем большая энергия здесь проходит в единицу времени. Для конденсатора она зависит от квадрата напряжения и ёмкости, для дросселя – от величины электрического тока и индуктивности. Узнав период единственного колебания, эту цифру легко привязать к мощности, как выполняемой работе в единицу времени.

В результате инженер сумеет сказать приблизительно, какого размера ёмкость требуется в конкретном случае. Расчёт ведётся изначально по энергии заряженного конденсатора.

Аналогичное происходит в любой цепи. Конденсаторы служат для фильтрации и гальванической развязки, обязаны легко пропускать нужную частоту и оставаться ёмкими, чтобы не стать бутылочным горлышком в системе.

Источник: http://www.capitalwm.ru/bytovaya-texnika/energiya-zaryazhennogo-kondensatora/

Энергия заряженного конденсатора. Применение конденсаторов

Любая система заряженных тел (в частности конденсатор) обладает определенной энергией.

В одном из прошлых уроков мы рассматривали пример, в котором конденсатор сначала накопил заряд, заряжаясь от источника тока, а потом — разрядился, когда к нему подключили лампочку.

Поскольку лампочка излучала тепло и свет, конденсатор обладал некоторой энергией. Давайте вычислим энергию конденсатора.

 Как мы помним, одна из пластин конденсатора заряжена отрицательно, а другая — положительно. Это значит, что напряженности, создаваемые обеими пластинами сонаправлены. По принципу суперпозиции, напряженность поля внутри конденсатора складывается из напряженностей, создаваемых каждой пластиной:

Применим теперь формулу, по которой вычисляется потенциальная энергия заряженного тела в однородном поле:

Как мы знаем, произведение напряженности и расстояния между пластинами равно напряжению между пластинами конденсатора.

По закону сохранения энергии, именно эта энергия была затрачена на разделение положительных и отрицательных зарядов в процессе зарядки конденсатора.

Заметим, что мы можем выразить энергию конденсатора через его электроемкость. Вместо заряда мы можем подставить произведение напряжения и электроемкости:

Аналогично, мы можем вместо напряжения подставить отношение заряда к электроемкости:

Данные формулы справедливы для любого конденсатора.

Как мы уже говорили ранее, конденсаторы широко используются в радиотехнике. Конденсатор с переменной электроемкостью имеет подвижную часть (то есть ротор).

Вращая ротор можно изменять площадь перекрытия пластин конденсатора, а это приводит к изменению электроемкости. Таким образом, с помощью конденсаторов с переменной емкостью, можно настраиваться на определенные частоты радиоволн. Еще один пример использования конденсаторов с переменной емкостью — это клавиатура. Пластины конденсатора располагаются на тыльной стороне клавиши и на плате.

Надо сказать, что энергия конденсатора довольно мала, да и сохраняется она не очень хорошо из-за утечки заряда. Поэтому, конечно, конденсаторы не могут заменить аккумуляторы.

Тем не менее, и у конденсаторов с постоянной емкостью есть одно очень полезное свойство: они могут долго накапливать энергию, но отдают ее практически мгновенно. Лампа-вспышка, которая используется в некоторых типах фотоаппаратов, питается энергией конденсатора.

Часто используется ксеноновая лампа-вспышка, которая представляет собой запаянную трубку из кварцевого стекла.

Он может представлять собой проволоку, намотанную вокруг трубки лампы или металлизированную дорожку вдоль стенки лампы.

На этот электрод подается импульс высокого напряжения, который приводит к ионизации газа внутри газоразрядной трубки.

В результате, конденсатор быстро разряжается, то есть его электрическая энергия преобразуется в световую. В свою очередь, газоразрядная трубка возбуждает лазеры, которые и осуществляют фотосъемку. Конечно, нужно понимать, что это весьма упрощенное объяснение работы фотоаппарата.

Пример решения задачи.

Задача. Изначально напряжение между обкладками конденсатора с емкостью 100 нФ составляет 300 В. Если к нему подключить лампочку, рассчитанную на ток в 30 мА, то она прогорит 2 с. Каково сопротивление данной лампочки? Потерями энергии в цепи можно пренебречь.

Источник: https://videouroki.net/video/68-enierghiia-zariazhiennogho-kondiensatora-primienieniie-kondiensatorov.html

Энергия заряженного конденсатора

Электрическая энергия, как и любой другой вид энергии, зависит исключительно от состояния системы, и не зависит от способа, которым данная система пришла в такое состояние.

Электрическая энергия заряженного конденсатора зависит от заряда (q), который находится на его обкладках или напряжением между ними (U).

Каким образом конденсатор был заряжен, не влияет на энергию, запасенную в нем. Допустим, что изначально конденсатор не заряжен. Это значит, что на каждой из его обкладок есть и положительный заряд и отрицательный, они одинаковы, и в результате суммарный заряд проводников равен нулю.

Станем заряжать конденсатор небольшими порциями dq, перенося порции заряда с отрицательной обкладки на положительную. На практике это осуществляется с помощью соединения обкладок конденсатора проводом, в котором включён источник ЭДС. Источник ЭДС перекачивает заряд до тех пор пока разность потенциалов обкладок не достигнет заданной величины.

[delta A^{vnesh}=({varphi }_1-{varphi }_2)dq left(1
ight),]

где ${varphi }_1-{varphi }_2=U$ — разность потенциалов между обкладками. Работа сил поля ($delta A$) самого конденсатора при этом равна:

[delta A=-delta A^{vnesh}=-({varphi }_1-{varphi }_2)dqleft(2
ight).]

Зарядка конденсатора

Зарядка конденсатора может сопровождаться выделением или поглощением тепла, изменением плотности диэлектрика. В данном случае будем считать эти эффекты не существенными.

Это значит, что мы будем считать, что диэлектрическая проницаемость постоянна ($varepsilon =const). $В таком случае вся работа внешних сил пойдет на увеличение электрической энергии конденсатора (W).

В таком случае мы можем записать:/p> [dW=({varphi }_1-{varphi }_2)dq=frac{qdq}{C} left(3
ight).]

Мы уже сказали, что в процессе зарядки конденсатора $varepsilon =const$, следовательно, не изменится емкость конденсатора. Проинтегрируем уравнение (3), получим, что:

[W=frac{q^2}{2C} left(4
ight).]

Или зная связь заряда, емкости и потенциала проводника:

[C=frac{q}{{varphi }_1-{varphi }_2}=frac{q}{U}(5)]

выражение (4) можно записать как:

[W=frac{qU}{2C}=frac{1}{2}CU^2 left(6
ight).]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Задание: Два конденсатора имеют емкости $C_1 и C_2$. Они заряжены до напряжений $U_1 и U_2$ соответственно. Конденсаторы соединили параллельно. Определите, какое количество тепла выделится при таком соединении?

Рис. 1

Решение:

Потенциалы обкладок, которые соединили стали одинаковыми. По закону сохранения сумма заряда на обкладках конденсаторов сохранилась.

Значит можно записать следующее:

[q_1+q_2=widetilde{q_1}+widetilde{q_2}left(1.1
ight),]

где $q_1; q_2$ заряды конденсаторов до того как их соединили, соответственно $widetilde{q_1};;widetilde{q_2}$ — заряды конденсаторов после их соединения. Причем:

[q_1=C_1U_1,] [q_2=C_2U_2 left(1.2
ight).]

Количество тепла, которое выделится при соединении конденсаторов равно:

[Q=W_1-W_2left(1.3
ight),]

где $W_1$ — суммарная энергия конденсаторов до соединения, $W_2$ — сумма энергий полей конденсаторов после соединения. Причем:

[W_1=frac{1}{2}left(C_1{U_1}^2+C_2{U_2}^2
ight)left(1.4
ight).] [W_2=frac{С U^2}{2} left(1.5
ight).]

Подставим (1.5) и (1.4) в уравнение (1.3), получим:

[Q=frac{1}{2}left(C_1{U_1}^2+C_2{U_2}^2
ight)-frac{СU^2}{2} left(1.6
ight).]

Емкость параллельного соединения конденсаторов (С) найдем как:

[С=C_1+C_2left(1.7
ight).]

[C_1U_1+C_2U_2=C_1U+C_2U left(1.8
ight).]

Выразим из (1.8) разность потенциалов на конденсаторах после их соединения:

[frac{C_1U_1+C_2U_2}{C_1+C_2}=U left(1.9
ight).]

Подставим (1.9) в (1.6) найдем искомую теплоту:

[Q=frac{C_1C_2{left(U_1-U_2
ight)}^2}{2{(C}_1+C_2)}.]

Ответ: $Q=frac{C_1C_2{left(U_1-U_2
ight)}^2}{2{(C}_1+C_2)}.$

Пример 2

Задание: Площадь обкладок плоского воздушного конденсатора равна $S$. Какую работу следует совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками конденсатора от $d_1$ до $d_2$. Если при этом постоянным поддерживается разность потенциалов (U) на конденсаторе. Процесс проводится медленно.

Решение:

Процесс проводится медленно, будем считать, что выделения тепла в системе не происходит, в таком случае изменение внутренней энергии конденсатора равно работе по перемещению обкладок, то есть запишем:

[A=W_2-W_1 left(2.1
ight).]

Если неизменным остается напряжение на обкладках конденсатора в ходе наших манипуляций, а изменение энергии поля конденсатора происходит за счет изменения емкости, то выражение для энергии поля удобнее использовать в виде:

[W= frac{1}{2}CU^2 left(2.2
ight).]

В таком случае имеем:

[A=frac{1}{2}U^2left(C_2-C_1
ight)left(2.3
ight),]

где $C_2,C_1$ — емкости конденсатора до увеличения и после увеличения расстояния между обкладками. Емкость плоского конденсатора может быть найдена по формуле:

[C=frac{varepsilon {varepsilon }_0S}{d}left(2.4
ight),]

где $varepsilon $=1, так как по условию задачи конденсатор воздушный. Используем (2.4), подставим в (2.3) выражения для емкостей конденсатора в двух заданных состояниях, получим:

[A=frac{1}{2}U^2left(frac{varepsilon {varepsilon }_0S}{d_2}-frac{varepsilon {varepsilon }_0S}{d_1}
ight)=frac{1}{2}U^2varepsilon {varepsilon }_0Sleft(frac{d_2-d_1}{d_2d_1}
ight).]

Ответ: $A=frac{1}{2}U^2varepsilon {varepsilon }_0Sleft(frac{d_2-d_1}{d_2d_1}
ight).$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/energiya_zaryazhennogo_kondensatora/

Энергия конденсатора

Господа, всем приветище! Сегодня речь пойдет про энергию конденсаторов. Внимание, сейчас будет спойлер: конденсатор может накапливать в себе энергию. Причем иногда очень большую. Что? Это не спойлер, это и так было всем очевидно? Здорово если так! Тогда поехали в этом более подробно разбираться!

В прошлой статье мы пришли к выводу, что заряженный конденсатор, отсоединенный от источника напряжения, может сам в течении некоторого времени (пока не разрядится) давать некоторый ток. Например, через какой-то резистор. По закону Джоуля-Ленца если через резистор течет ток, то на нем выделяется тепло. Тепло – значит, энергия.

И берется эта самая энергия из конденсатора – больше, собственно, неоткуда. Значит, в конденсаторе может хранится некоторая энергия. Итак, физика процессов более-менее понятна, поэтому теперь давайте поговорим, как это все описать математически.

Потому что одно дело все описать на словах – это круто, замечательно, это должно быть, но в жизни часто надо что-то рассчитать и тут уже обычных слов не достаточно.

Полагаю, что механику вы изучали когда-то и это знаете .

Страшные значки векторов нужны только в случае, если направление силы не совпадает с перемещением: вроде случая, когда сила тянет строго прямо, а перемещение идет под каким-то углом к силе.

Такое бывает, например, когда груз перемещается по наклонной плоскости. Если же направление силы и перемещения совпадают, то можно смело отбросить вектора и просто перемножать силу на длину пути, получая таким образом работу:

Вспомним теперь статью про закон Кулона. Мы там получили замечательную формулу, которую сейчас самое время вспомнить:

Нам никто не мешает подставить эту формулу в чуть выше написанную формулу для работы. И таким образом найти работу, которую совершает поле при перемещении в нем заряда q на расстояние s. Будем полагать, что мы перемещаем наш заряд q точно по направлению силовых линий поля.  Это позволяет использовать формулу работы без векторов:

Теперь, господа, внимание. Напоминаю одну важную штуку из той же механики. Есть такой особый класс сил, которые называются потенциальные.

Если говорить упрощенным языком, то для них верно утверждение, что если эта сила на каком-то отрезке пути совершила работу А, то это значит, что в начале этого пути у тела, над которым совершалась работа, энергия была на это самое А больше, чем в конце. То есть на сколько поработали, на столько и изменилась потенциальная энергия.

Работа потенциальных сил не зависит от траектрии и определяется только начальной и конечной точкой. А на замнкнутом пути она вообще равна нулю. Как раз-таки сила электрического поля относится к этому классу сил.

Теперь самое время рисовать картинки. Взглянем на рисунок 1. Это немного упрощенная иллюстрация физики процессов плоского конденсатора. Более полное мы рассматривали это в прошлый раз.

Рисунок 1 – Плоский конденсатор

Давайте теперь чуть-чуть искривим свое сознание и глянем на наш конденсатор по-другому, чем раньше. Давайте предположим, что у нас за основу взята, например, синяя пластина. Она создает некоторое поле с некоторой напряженностью. Безусловно, и красная пластина тоже создает поле, но в данный момент это не интересно.

Давайте смотреть на красную пластину, как на некоторый заряд +q, расположенный в поле синей пластины. И сейчас мы попробуем применить все вышеописанное к красной пластине как будто это и не пластина вовсе, а просто некоторый заряд +q. Вот так вот хитро.

Почему, собственно, нет? Возможно, вы скажите – как же так, раньше мы везде исходили из того, что заряды у нас точечные, а тут – целая большая пластина. Она как-то на точку не совсем тянет. Спокойствие, господа.

Никто нам не мешает разбить красную пластину на огромную кучу маленьких частичек, каждую из которых можно считать точечным зарядом Δq. Тогда уже можно без проблем применять все вышеописанное.

И если мы выполним все расчеты сил, напряженностей, энергий и прочего для вот таких вот отдельных Δq и потом сложим результаты между собой, то получится, что мы зря так переусердствовали – результат будет ровно таким же, как если бы мы просто при расчетах брали заряд +q. Кто хочет – может проверить, я только за .

Однако мы будем сразу работать по упрощенной схеме. Хотелось бы только отметить, что это верно для случая, когда поле у нас однородно и заряды по всем пластинам распределены равномерно. В действительности это не всегда так, однако такое упрощение позволяет существенно облегчить все расчеты и избежать всяких градиентов и интегралов без существенного вреда для практики.

Итак, вернемся к рисунку 1. На нем показано, что между обкладками конденсатора существует поле с некоторой напряженностью Е. Но мы договорились сейчас разделить роли обкладок – синяя у нас источник поля, а красная – заряд в поле.

Какое же поле создает одна синяя обкладка отдельно от красной? Какова его напряженность? Очевидно, что она в два раза меньше общей напряженности.

Теперь посчитаем, если можно так выразиться, потенциальную энергию красной обкладки в поле синей обкладки. Заряд мы знаем, напряженность мы знаем, расстояние между обкладками тоже знаем. Поэтому смело записываем

Идем дальше. На деле же никто не мешает поменять местами красную и синюю обкладки. Давайте рассуждать наоборот. Будем рассматривать теперь красную обкладку как источник поля, а синюю – как некоторый заряд –q в этом поле.

Думаю, даже без проведения расчета будет очевидно, что результат будет точно такой же. То есть энергия красной пластины в поле синей пластины равна энергии синей пластины в поле красной пластины. И, как вы возможно уже догадались, это и есть энергия конденсатора.

Да, вот по этой самой формуле можно произвести расчет энергии заряженного конденсатора:

Слышу, как мне уже кричат: стоп, стоп, опять ты втираешь мне какую-то дичь! Ну ладно, расстояние между пластинами я еще как-то смогу измерить.

Но меня почему-то опять заставляют считать заряд, что не понятно как сделать, да еще и напряженность надо знать, а чем я ее померяю?! Мультиметр вроде как не умеет это делать! Все верно, господа, сейчас мы займемся преобразованиями, которые позволят вам измерить энергию конденсатора всего лишь с применением обыкновенного мультиметра.

Давайте сперва избавимся от напряженности. Для этого вспомним замечательную формулу, которая связывает напряженность с напряжение:

Да, напряжение между двумя точками в поле равно произведению напряженности этого поля на расстояние между этими двумя точками. Итак, подставляя это полезнейшее выражение в формулу для энергии, получаем

Уже легче, напряженность ушла. Но остался еще заряд, который не понятно как мерить. Что бы от него избавиться, давайте вспомним формулу емкости конденсатора из предыдущей статьи:

Вот это уже дельная формула, для энергии заряженного конденсатора! Если нам нужно узнать, какая энергия запасена в конденсаторе с емкостью С, заряженного до напряжения U, мы вполне можем это сделать по вот этой вот формуле.

Емкость С обычно пишется на самом конденсаторе или на его упаковке, а напряжение всегда можно измерить мультиметром. Из формулы видно, что энергии в конденсаторе тем больше, чем больше емкость самого конденсатора и напряжение на нем. Причем энергия растет прямо пропорционально квадрату напряжения. Это важно помнить.

Увеличение напряжения гораздо быстрее приведет к росту энергии, запасенной в конденсаторе, чем увеличение его емкости.

Используется эта формула довольно редко, а на практике вообще не припомню, что б по ней что-то считал, но раз она есть, то путь тут тоже будет для полноты картины. Самая ходовая формула – это средняя.

Давайте для интереса произведем некоторые расчеты. Пусть у нас есть вот такой вот конденсатор

Рисунок 2 – Конденсатор

И давайте мы его зарядим до напряжения, скажем, 8000 В. Какая энергия будет запасена в таком конденсаторе? Как мы видим из фотографии, емкость данного конденсатора составляет 130 мкФ. Теперь легко выполнить расчет энергии:

Кроме того, господа, важно всегда помнить, что конденсаторы блоков питания приборов тоже не могут мгновенно разрядиться после отключения прибора от сети, хотя там, безусловно, должно быть какие-то цепи, предназначенные для их разряда.

Но должны быть, это не значит, что они там точно есть . Поэтому в любом случае после отключения любого прибора от сети, прежде чем лезть к нему внутрь, лучше подождать пару минут для разряда всех кондеров.

И потом, после снятия крышки, прежде чем лапками хвататься за все подряд, следует сначала померить напряжение на силовых накопительных конденсаторах и при необходимости выполнить их принудительный разряд каким-нибудь резистором.

Можно, конечно, просто отверткой замкнуть их выводы, если емкости не слишком большие, но такое делать крайне не рекомендуется!

Итак, господа, сегодня мы познакомились с различными методами расчета энергии, запасенной в конденсаторе, а также обсудили, как эти расчеты можно выполнять на практике. На этом потихоньку закругляемся. Всем вам удачи, и до новых встреч!

Источник: http://myelectronix.ru/postoyannyy-tok/51-energiya-kondensatora

Энергия конденсатора, теория и примеры

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

При прохождении тока по проводнику выделяется некоторое количество теплоты, следовательно, конденсатор, обладающий зарядом, имеет энергию.

Определим энергию заряженного конденсатора. Будем считать, что конденсатор заряжают и этот процесс происходит очень медленно.

Мгновенное значение напряжения между его обкладками обозначим как u. Так как процесс зарядки считаем квазистатическим, между обкладками увеличивается бесконечно медленно. Тогда потенциал каждой обкладки в каждый момент времени можно считать одинаковым в любом месте обкладки.

При увеличении заряда обкладки на величину dq, совершается внешняя работа (работа источника) равная :

Используем формулу, которая связывает заряд, емкость и напряжение, получим:

В том случае, если емкость не зависит от напряжения электрического поля, то работа идет на увеличение энергии конденсатора (dW). Проинтегрируем выражение (2), учитывая, что напряжение изменяется от 0 до величины U, имеем:

Применяя формулу:

выражение для энергии поля конденсатора можно преобразовать к виду:

Именно благодаря своей способности запасать энергию, конденсаторы имеют большое значение в радиотехнике и электронике.

Энергия поля плоского конденсатора

Напряжение между обкладками плоского конденсатора может быть найдено как:

где d — расстояние между пластинами конденсатора. Учитывая, что для плоского конденсатора емкость определена выражением:

имеем:

где – объем конденсатора; E – напряженность электрического поля в конденсаторе. Объемная плотность энергии (w) может быть найдена как:

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/fizika/energiya-kondensatora/

Конденсатор. Энергия электрического поля — материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: электрическая ёмкость, конденсатор, энергия электрического поля конденсатора

Предыдущие две статьи были посвящены отдельному рассмотрению того, каким образом ведут себя в электрическом поле проводники и каким образом — диэлектрики. Сейчас нам понадобится объединить эти знания. Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников и диэлектриков в специальных устройствах — конденсаторах.

Но прежде введём понятие электрической ёмкости.

Ёмкость уединённого проводника

Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым.

Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение , которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать , так что

Величина называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу:

(1)

Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:

где — заряд шара, — его радиус. Отсюда ёмкость шара:

(2)

Соответственно, ёмкость шара в раз увеличивается:

(3)

Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов.

Из формул (2) и (3) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник. От вещества проводника ёмкость также не зависит.

В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник.

Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным км.

мкФ.

Как видите, Ф — это очень большая ёмкость.

Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозначении размерности диэлектрической постоянной . В самом деле, выразим из формулы (2):

Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:

Ф.

Так легче запомнить, не правда ли?

Ёмкость плоского конденсатора

Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях проводники не являются уединёнными.

Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принципу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника.

В таком случае уже нельзя утверждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.

Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров.

Для начала рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками находится воздух

Пусть заряды обкладок равны и . Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина — заряд положительной обкладки — называется зарядом конденсатора.

Пусть — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве.

Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каждой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости:

Здесь — напряжённость поля положительной обкладки, — напряженность поля отрицательной обкладки, — поверхностная плотность зарядов на обкладке:

На рис. 1 (слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.

Рис. 1. Электрическое поле плоского конденсатора

Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля имеем:

Внутри конденсатора поле удваивается:

или

(4)

Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 1 справа. Итак:

Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле (4). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами.

Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями.

На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора.

Но в большинстве ситуаций (и уж тем более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.

Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно . Поскольку поле внутри конденсатора является однородным, разность потенциалов между обкладками равна произведению на (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):

(5)

Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора.

Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

(6)

Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потенциалов между его обкладками увеличилась на В. Формула (6), таким образом, является модификацией формулы (1) для случая системы двух проводников — конденсатора.

Из формул (6) и (5) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора:

(7)

Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и расстояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Как изменится ёмкость конденсатора?

(8)

Соответственно, напряжение на конденсаторе:

(9)

Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:

(10)

Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.

Важное следствие формулы (10): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость.

Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится.

Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу.

Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое понимание происхождения энергии заряженного конденсатора.

Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

где — напряжённость поля первой обкладки:

Следовательно,

Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).

Результирующая сила притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил , с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все и дадут . В результате получим:

(11)

Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины до конечной величины . Сила притяжения пластин совершает при этом работу:

Знак правильный: если пластины сближаются , то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины , то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.

С учётом формул (11) и (7) имеем:

где

Это можно переписать следующим образом:

где

(12)

Работа потенциальной силы притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины . Это как раз и означает, что — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора.

Используя соотношение , из формулы (12) можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):

(13)

(14)

Особенно полезными являются формулы (12) и (14).

Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Сила притяжения обкладок уменьшится в раз, и вместо (11) получим:

Итак, формулы (12) — (14) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.

Энергия электрического поля

Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование происхождения этой энергии. Что ж, приступим.

Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу (14) для его энергии:

Но — объём конденсатора. Получаем:

(15)

Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля , сосредоточенного в некотором объёме .

Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электрического поля.

Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас тут нет. Радиоволны, солнечный свет — это примеры распространения энергии, переносимой в пространстве электромагнитными волнами.

Величина — энергия единицы объёма поля — называется объёмной плотностью энергии. Из формулы (15) получим:

(16)

В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости.

Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в раз, и вместо формул (15) и (16) будем иметь:

(17)

(18)

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/kondensator-energiya-elektricheskogo-polya/

Энергия заряженного конденсатора

Как и любая система заряжен­ных тел, конденсатор обладает энер­гией. Вычислить энергию заряжен­ного плоского конденсатора с одно­родным полем внутри него не­сложно.

Энергия заряженного конденса­тора.Для того чтобы зарядить конденсатор, нужно совершить рабо­ту по разделению положительных и отрицательных зарядов. Согласно закону сохранения энергии эта ра­бота равна энергии конденсатора.

В том, что заряженный конденсатор обладает энергией, можно убедиться, если разрядить его через цепь, со­держащую лампу накаливания, рас­считанную на напряжение в не­сколько вольт (рис.4). При раз­рядке конденсатора лампа вспыхи­вает.

Энергия конденсатора пре­вращается в другие формы: тепло­вую, световую.

Выведем формулу для энергии плоского конденсатора.

Напряженность поля, созданного зарядом одной из пластин, равна Е/2, где Е — напряженность поля в конденсаторе. В однородном поле одной пластины находится заряд q, распределенный по поверхности дру­гой пластины (рис.5). Согласно формуле Wp=qEd. для потенциальной энергии заряда в однородном поле энергия конденсатора равна:

(1)

где q — заряд конденсатора, a d — расстояние между пластинами.

(2)

Эта энергия равна работе, ко­торую совершит электрическое поле при сближении пластин вплот­ную.

Заменив в формуле (2) раз­ность потенциалов или заряд с по­мощью выражения для элек­троемкости конденсатора, получим

(3)

Можно доказать, что эти форму­лы справедливы для энергии любого конденсатора, а не только для плос­кого.

Энергия электрического поля.Согласно теории близкодействия вся энергия взаимодействия заряженных тел сконцентрирована в электриче­ском поле этих тел. Значит, энергия может быть выражена через основную характеристику поля — напря­женность.

(U = Ed),то согласно формуле

(4)

энергия конденсатора прямо пропор­циональна напряженности электри­ческого поля внутри него: Wp~E2. Детальный расчет дает следующее значение для энергии поля, приходя­щейся на единицу объема, т.е. для плотности энергии:

где ε0 — электрическая постоянная

Постоянный ток. Сила и плотность тока. Закон Ома.

Постоянный электрический ток

Краткие теоретические сведения

1. Сила тока определяется по формуле

Для постоянного тока

где – заряд, прошедшей через поперечное сечение проводника за время .

2.Если ток постоянный, плотность тока во всем сечении однородного проводника не изменяется ,

где – площадь поперечного сечения проводника.

Закон Ома

для однородного участка цепи имеет вид:

где – разность потенциалов (напряжение) на концах участка; – сопротивление.

Для неоднородного участка цепи этот закон записывается так:

где – ЭДС источника тока на этом участке; – внутреннее сопротивление источника;

– внешнее сопротивление цепи; – падение напряжения на участке 1-2.

· Для замкнутой цепи .

4.Сопротивление цилиндрического однородного проводника равно ,

где – удельное сопротивление; – удельная проводимость;

– длина; S – площадь поперечного сечения проводника.

Вектор магнитной индукции.

Вектор магнитной индукции — аналог напряженности электрического поля. Основной силовой характеристикой маг­нитного поля является вектор магнитной индукции.Вектор индукции магнитного поля B⃗направлен от южного полюса S стрелки (свободно вращающейся в магнитном поле) к северному N

Закон Ампера.

Закон Ампера — сила, действующая на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, пропорциональна длине проводника, вектору магнитной индукции, силе тока и синусу угла между вектором магнитной индукции и проводником.

Если размер проводника произволен, а поле неоднородно, то формула выглядит следующим образом: Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки.

Магнитный момент витка с током – физическая величина характеризующий магнитные свойства системы в виде кругового витка с током Где, I ток протекающий по витку S площадь витка с током n нормаль к плоскости в которой находится виток

Источник: https://cyberpedia.su/4x1c48.html