Как найти работу поля по контуру

Дадим физическую
интерпретацию криволинейного интеграла
второго рода. Если в некоторой области
задано непрерывное силовое поле,
то при перемещении материальной точки
вдоль гладкой ориентированной кривойL
поле совершает некоторую работу А.
Для её определения разобьём линию L
на
дуг точками,,
…,(рис. 16). Пустьпроизвольная точка дуги.
Обозначим– единичный вектор касательнойL
в этой точке и
– длину дуги.

Р

Рис.5

аботу на дугеможно приближённо вычислить с помощью
скалярного произведения.
Тогда приближённо работа есть.

За работу А
на всей кривой L
естественно принять предел

.

Если этот предел
существует, то он является криволинейным
интегралом I
рода от скалярной функции
,
т.е. это криволинейный интегралII
рода. Таким образом, работа А
по перемещению материальной точки в
непрерывном силовом поле выражается
криволинейным интегралом II
рода:

.
(2)

Покажем, что работа
поля
вдоль любой векторной линии этого поля
отлична от нуля. ПустьL
– векторная линия, тогда
векторпараллелен.
Тогда скалярное произведение,
тогда,
причём кривая может быть замкнутой.

Определение 1.
Работа векторного поля
вдоль замкнутой кривойL
называется
циркуляцией
этого поля:

.

Ф

Рис.6

изически её можно интерпретировать
следующим образом. Пусть– поле скоростейтекущей жидкости. Поместим в это поле
колёсико с лопастями, расположенными
по окружностиL
этого колеса (рис.6). Частицы жидкости,
действуя на эти лопасти, будут создавать
вращательные моменты, суммарное действие
которых приводит колесо в движение –
вращение вокруг своей оси. Вращательное
действие поля
в каждой точке будет характеризоваться
проекциейна касательную,
т.е. скалярным произведением.
Суммирование вращательных действий
жидкости по всему контуру колёсика
приводит к понятию циркуляции вектора.

Ф

изический смысл циркуляции:
циркуляция векторного поля
определяет его вращательную способность
в данном направлении и характеризует
завихрённость поля в этом направлении.
Чем меньше угол между касательной и
вектором поля, тем большеС,
а следовательно и завихрённость.

Пример 2.
Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль замкнутого контура,
являющегося границей части сферы,
расположенной в первом октанте:,,,
причем направление обхода контура
таково, что в плоскостиОху
движение происходит от точки
к.

Решение.
Контур
состоит из трех кривых,
каждая из которых является дугой
единичной окружности, лежащей
соответственно в координатной плоскостиОху,
Оуz,
Oxz.
Поэтому
,

.

Найдем интеграл
по кривой.
Так как криваялежит в плоскостиОху,
то
,и,
где,,.
Запишем параметрическое уравнение:,,.
Получаем

.

Точно так же
вычисляются интегралы
и.
При этом.
Следовательно,.

10.3. Потенциальное векторное поле

Определение 2.
Векторное поле
называетсяпотенциальным
в области
,
если существует такое скалярное поле,
что для всех точек этой области
вектор-функцияявляется градиентом этого скалярного
поля:

.

Скалярное поле
называетсяпотенциалом
векторного поля
.
Потенциальное поле является одним из
наиболее простых полей, так как
определяется одной скалярной функцией,
в то время как произвольное векторное
поле – тремя скалярными функциями.

Теорема 1. Если
поле
потенциально, то его потенциал определяется
однозначно с точностью до произвольного
постоянного слагаемого.

‰
Пусть поле
имеет два потенциалаи,
т.е.и.
Тогдаи, следовательно,.
Таким образом, получаем, что.<

Теорема 2. Если
поле
потенциально в областиV,
то работа этого поля (криволинейный
интеграл второго рода) не зависит от
формы пути, соединяющий две любые точки
из V.
Потенциал
с точностью до произвольной постоянной
определяется криволинейным интегралом
второго рода,
взятому по произвольной кривой,
соединяющей точкии,
где– фиксированная точка, а– текущая точка.

‰
Работа А
поля
по некоторому путиL,
соединяющему точки
и,
вычисляется по формуле (11):

.

Поле
потенциально, тогда существует потенциал,
причем.
Тогда скалярное произведение

,

Для простоты
преобразований пусть
плоская кривая, заданная параметрическими
уравнениями,,,
причем начало в точке,
которой соответствует значение параметра,
а конечной точкисоответствует значение параметра,
т.е.,.
Тогда

=

.

Т.е потенциал
определяется по формуле

(3)

Откуда следует,
что работа не зависит от формы пути, а
зависит от положения начальной
и конечнойточек.<

Задача отыскания
потенциала
полятесно связано с задачей восстановления
функции трёх переменных по её полному
дифференциалу.

Теорема 3.
Пусть векторное поле задано функцией
,
которая непрерывно дифференцируема в
области.
Для того, чтобы выражение

(4)

было полным
дифференциалом некоторой функции
,
необходимо и достаточно, чтобы полебыло потенциальным.

‰
Необходимость.
Пусть (4) есть полный дифференциал
,
то с одной стороны по определению,
а с другой стороны,
откуда.
Т.е.,
а, следовательно,– потенциальное поле.

Достаточность.
Пусть
– потенциально, тогда существует функция,
такая, что.
По определению градиента,,,
тогда получаем.<

Для того,
чтобы найти функцию
по её полному дифференциалу необходимо
применить формулу (3), т.е. с точностью
до произвольного постоянного слагаемого
вычислить криволинейный интеграл по
любой кривой, соединяющей две точкии
т.е.

.

Теперь естественно
возникает вопрос: когда, при каких
условиях векторное поле является
потенциальным?

Теорема 4.
Для того чтобы работа векторного поля
не
зависела от формы пути, соединяющего
две точки в области, необходимо и
достаточно, чтобы циркуляция по любому
замкнутому контуру, лежащему в этой
области, была равна нулю.

 Необходимость.
Пусть работа не зависит от пути. Возьмём
контур
(рис. 10.18).

Рис.7

,

Рис.18

.

Достаточность.
Пусть ,
тогда .
Получаем

,

т.е. работа не
зависит от пути.


Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



3.6. Физический смысл криволинейных интегралов

Сначала совсем кратко, почти в качестве оффтопа

3.6.1. Смысл интеграла 1-го рода

Криволинейный интеграл первого рода по кусочно-гладкой дуге  численно равен массе этой дуги:

, где  – функция её плотности, которая каждой

точке  дуги ставит в

соответствие её значение плотности  в этой точке.

Примера не будет ввиду крайней редкости этой задачи, поэтому сразу суть криволинейного интеграла 2-го рода и гвоздь программы:

3.6.2. Работа векторного поля

Пусть материальная точка под воздействием силы векторного

поля  совершает

движение в плоскости и проходит путь . Тогда работа векторного поля по перемещению этой точки

определяется формулой: . Данная

величина стандартно измеряется в Джоулях, но в математических задачах размерность почти никогда не указывается, и я

тоже буду придерживаться этого стиля.

Давайте разбираться. Приведу не совсем строгий, но зато вполне понятный пример: представьте, что у вас на столе лежит

плоский и достаточно тонкий магнит. Из жизненного опыта все хорошо знают, что чем ближе поднести к нему какую-нибудь железку,

тем сильнее она будет притягиваться. В физике это «сильнее» измеряется векторной величиной под названием напряжённость

магнитного поля:
– каждой точке  поверхности стола ставится в соответствие несвободный вектор

, указывающий

направление действия силы (магнитного поля) и её величину в данной точке (чем ближе к магниту,

тем длиннее вектор). Множество этих векторов (рассматриваем только плоскость) образует двумерное векторное поле.

Такое поле можно формализовать векторной функцией скалярного аргумента:

И в самом деле, если мы начнём подставляться координаты  различных точек (скалярные аргументы), то «на выходе» будем

получать различные векторы . Чтобы

было понятнее, приведу конкретный пример:  – найдём значение этой функции, например, в точке :
 – в результате получен

вектор, который, повторюсь, привязан к точке  и свободному перемещению не подлежит!

Теперь недалеко от магнита бросим железную пылинку, которая под действием силы магнитного поля проделает путь

 (за некоторое время).

Таким образом, данное векторное поле совершило работу  по перемещению этой пылинки. А вы как думали? – работают даже

магниты! Всегда вспоминайте об этом, когда устанете от какой-нибудь работы =)

И совсем понятный пример находится у многих под рукой, а именно компьютерная мышка – переместите её по произвольной

траектории. Сила ваших мускулов совершила работу по перемещению мыши. Однако обывательское и физическое понимание

работы отличаются, и к этому вопросу я вернусь буквально через несколько строк:

Пример 64

Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина работу векторного поля  по контуру, представляющему собой треугольник с вершинами в начале

координат и точках ,  (контур интегрирования следует

обходить против движения часовой стрелки).

Решаем самостоятельно! Краткое решение и ответ в конце книги. И не такое оно, между прочим, простое, как может показаться

😉

Не удивляйтесь, если работа будет получаться отрицательной – знаки «плюс» и «минус» указывают направление действия силы.

Так, если вы переместите мышь вправо, то, условно говоря, совершите работу . Теперь возвращаем её в исходную точку (не обязательно по той же

траектории) и предполагаем, что усилий затрачено столько же. Тот факт, что сила ваших мускулов работала в противоположном

направлении, и выражается знаком «минус»: .

Вы поработали? Безусловно. Хотя и не перетрудились =) Но с точки зрения физики никакой работы не

совершено! И действительно, работа по замкнутому контуру составила . Вот так вот своими руками вы смоделировали особый вид поля! О

котором далее:

Если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то соответствующее векторное

поле называют потенциальным. Проверим, будет ли оно таковым в Примере 64:

, следовательно, потенциальной функции не существует и поле  не потенциально. Поэтому можно сразу сказать, что  интеграл

по замкнутому контуру

Кстати, такое задание иногда встречается: проверить будет ли данное поле потенциальным и если да, то найти его

потенциал. Напоминаю, что для нахождения потенциальной функции нужно решить дифференциальное уравнение в полных

дифференциалах. Ну а как решить эту задачу в пространственном случае, я рассказываю на сайте, а другой теме –

теория поля. …Да, начинается полный хардкор :).

И в заключение курса мы как раз немного поговорим

3.7. О криволинейных интегралах в пространстве

3.5. Формула Грина – Остроградского

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline{a}=(3x-y) overline{i}+(6z+5x) overline{k}$

Задача 3. Дано скалярное поле $u(x,y,z)$ и векторное поле $overline{a}(x,y,z)$. Найти $grad u$, $div overline{a}$, $rot overline{a}$ в точке $M(1;5;-2)$.

$$u=frac{sqrt{x}}{y}-frac{yz}{x+sqrt{y}}, quad
overline{a}=yzoverline{i} +xzoverline{j} +xyoverline{k}$$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

$$overline{a}=left( frac{x}{y}+ycos x right)overline{i} +left(-frac{x^2}{2y^2}+sin xright)overline{j}.$$

Поток поля через поверхность

Задача 5. Найти поток векторного поля $overline{a}=2x overline{i}+y overline{j}-2z overline{k}$ через часть плоскости $P: 2x+y/2+z=1$, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью $Oz$).

Задача 6. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через часть поверхности $S$, вырезаемую плоскостями $P_1, P_2$ (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

$$ overline{a}=(x^3+xy^2)overline{i}+(y^3+x^2y)overline{j}+z^2overline{k},\
S: x^2+y^2=1, P_1^ z=0; P_2: z=3$$

Задача 7. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через замкнутую поверхность $S$ (нормаль внешняя).

$$ overline{a}=xoverline{i}+zoverline{j}-yoverline{k},\
S: z=4-2(x^2+y^2), z=2(x^2+y^2).$$

Задача 8. Найти поток векторного поля $overline{a}=x^3overline{i}+y^3overline{j}+z^3overline{k}$ через замкнутую поверхность $S: x^2+y^2+z^2=1$ (нормаль внешняя).

Задача 9. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через часть плоскости $S$, вырезанную плоскостью $P: z=1$ непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Остроградского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности).

$$overline{a}=(x+xy^2) overline{i} + (y-yx^2)overline{j}+(z-3)overline{k}, quad S: x^2+y^2=z^2 (z geq 0).$$

Циркуляция векторного поля

Задача 10. Найти модуль циркуляции векторного поля $overline{a}=xyoverline{i}+yzoverline{j}+zxoverline{k}$ вдоль контура

$$x^2+y^2=9, x+y+z=1.$$

Задача 11. Найдите циркуляцию вектора $overline{a}=(x^2-y) overline{i}+ xoverline{j}+ overline{k}$ по контуру

$$x^2+y^2=1;\
z=1$$

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$.
$$ overline{F} = (3x-1) overline{i}+ (y-x+z)overline{j}+4z overline{k}, $$
$L$ – контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline{F} = xz overline{i} -overline{j}+y overline{k}$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$ overline{F} = z overline{i}+ (x+y)overline{j}+y overline{k}, quad (p): 2x+y+2z=2. $$

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Полезные ссылки

• Учебник с примерами онлайн по теории поля
• Функции нескольких переменных – задачи с решениями

Пусть поле – непрерывное векторное поле, (L) – кусочно гладкая кривая с выбранным на ней положительным направлением (ориентированная кривая).

Определение 1. Линейным интегралом (обозначается L) вектора вдоль ориентированной кривой (L) называется криволинейный интеграл

(1.7)

Для линейного интеграла справедливы следующие формулы:

(1.8)

=.

Если поле есть силовое поле , то линейный интеграл (1.7) дает величину работы этого поля вдоль линии (L). Вычисление линейного интеграла в зависимости от задачи может быть проведено по одной из формул “списка” (1.8).

Определение 2. Циркуляцией (обозначается Ц) векторного поля называется линейный интеграл по замкнутой ориентированной кривой (L):

. (1.9)

За положительное направление обхода замкнутой кривой (L) берется то, при котором область, ограниченная кривой, лежит под левой рукой.

Пример 1. Найти линейный интеграл вектора вдоль дуги (L) винтовой линии от точки A пересечения линии с плоскостью Z=0 до точки В пересечения с плоскостью Z =1.

Решение. Имеем по последней формуле из списка (1.8): . Точке A соответствует значение параметра T =0, точке B – значение и, таким образом, .

Пример 2. Вычислить работу силового поля вдоль отрезка прямой, проходящей через точки и .

Решение. Работа .

Запишем канонические уравнения прямой .
Отсюда ; параметры . Вычислим работу:
.

Пример 3. Вычислить циркуляцию поля вдоль эллипса .

Решение. Имеем по формуле (1.9) и (1.8): .
Запишем параметрические уравнения эллипса: . Вычисляя Dx и Dy, получим: – здесь использовано, что (вычисление этих интегралов проводится с помощью понижения степени подынтегральной функции).

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии L, полученной пересечением конуса с координатными плоскостями (см. рис.4).

Решение. Линия L состоит из двух отрезков BC и CA, расположенных на координатных плоскостях Oyz и Oxz соответственно, и дуги окружности . Для циркуляции имеем: .1) На отрезке BC имеем: . Следовательно, . 2) На отрезке CA имеем: . Следовательно, . 3) На дуге AB окружности имеем: и =. Искомая циркуляция поля равна нулю.

Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии , .

Решение. Имеем: . Линия L есть эллипс, получающийся в результате сечения цилиндра плоскостью . Найдем параметрические уравнения этой линии. Проекция любой точки этой линии на плоскость Oxy находится на окружности . Отсюда, полагая , найдем, что . Для Z из уравнения получим: . Таким образом, . Находим отсюда: , и для циркуляции запишем определенный интеграл: .

< Предыдущая		Следующая >

Вычисление работы силового поля по перемещению материальной точки не обходится без применения криволинейного интеграла ІІ рода. Чтобы не повторять в каждой новой статье для криволинейных интегралов те же формулы сразу переходим к анализу готовых примеров.

Вычисление работы силового поля с помощью криволинейного интегралу ІІ рода

ЗАДАНИЕ 3.5 Вычислить работу силового поля  при перемещению материальной точки вдоль линии L:
x²+y²=4 от точки A(2;0) к точке B(0;2).
Решение: Построим в декартовых координатах траекторию материальной точки вдоль круга L: x²+y²=4.

Уравнение верхней части полукруга и ее производной равны

В соответствии с точками A(2;0), B(0;2) пределы интегрирования изменяются от 2 до 0.
Не удивляйтесь, что не в обратном порядке. Их всегда нужно выписывать в порядке обхода контуру от точки A к B.
Робота силового поля F по перемещения материальной точки вдоль линии L вычисляется с помощью криволинейного интеграла ІІ рода :

Внимательно пересмотрите уравнение силового поля и подинтегральную функцию и Вам станет понятно, что и откуда берется. Как вычислить криволинейный интеграл детально расписано в предыдущих статьях (меняем y, dy на ф-и от “х” под интегралом).

ЗАДАНИЕ 3.10 Найти работу силового поля по перемещению материальной точки вдоль линии L:
y=a-x²/a от точки A(-a;0) к точке B(0;a).
Решение: Имеем y=a-x²/a – уравнение параболы, находим дифференциал dy=-2x/a*dx и пределы изменения переменной
  

Вычисляем работу силового поля F, потраченную на перемещению материальной точки вдоль вдоль линии L
Криволинейный интеграл ІІ рода находим за первой формулой интегрирования.

ЗАДАНИЕ 3.12 Вычислить работу силового поля по перемещению материальной точки вдоль линии L: от точки A(0;0) к точке B(1;2). .
Решение: Строим траекторию материальной точки вдоль корневой функции L: .

Записываем производную  и промежуток интегрирования [0;1].
Находим роботу A силового поля F :

Перед интегрированием превращаем корни к показательной форме записи, а дальше вычисляем за табличными формулами интеграл.

ЗАДАНИЕ 3.14 Вычислить работу силового поля по перемещению материальной точки вдоль линии L:
x²+y²=9.
Решение: Наведем траекторию движения материальной точки по кругу L: x²+y²=9.

Верхняя ветка ограничена функцией

Аргумент изменяется от 3 до 0
Работа А силового поля F при перемещению материальной точки вдоль линии L вычисляется с помощью криволинейного интеграла ІІ рода :

Интегрирование само по себе тяжелое, главное правильно найти дифференциал функции и не ошибиться с пределами интегрирования.

ЗАДАНИЕ 3.19 Вычислить работу силового поля  по перемещения материальной точки вдоль линии L:
прямая от точки A(-1;0) к точке B(0;1).
Решение: Запишем уравнение прямой, которая проходит через две точки A(-1;0) и B(0;1):

отсюда y=x+1.
Таким образом, имеем дифференциал дуги dy=dx плюс интервал интегрирования [- 1;0].

График прямой приведен на рисунку ниже
Подсчитываем работу силового поля F по перемещения материальной точки вдоль линии L:
Криволинейный интеграл 2 рода легко сводим к определенному и находим результирующее значение работы.

ЗАДАНИЕ 3.20 Вычислить работу силового поля по перемещению материальной точки вдоль линии L:
x²+y²=1 от точки A (1;0) к точке B (- 1;0).
Решение: Построим траекторию материальной точки против движения часовой стрелки по кругу L: x²+y²=9.

Верхнюю его дуга предствим корневой зависимостью

Аргумент при этом изменяется от 1 к -1.
Работа силового поля потрачена на перемещение материальной точки вдоль дуги круга равна интегралу:
Во время интегрирования получим арксинус, который на границах дает число Pi/2.
Еще один раздел где можно применить криволинейный интеграл ІІ рода теперь доступный и известный Вам.
Будьте внимательные в вычислениях и успешной Вам учебы!