Как найти работу при переменной силе - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Механическая работа. Работа переменной силы.

Механическая
работа —
это физическая
величина,
являющаяся скалярной количественной
мерой действия силы или
сил на тело или систему, зависящая от
численной величины, направления силы
(сил) и от перемещения точки (точек) тела
или системы.

При
прямолинейном движении одной материальной
точки и постоянном значении приложенной
к ней силы работа
(этой силы) равна произведению величины
проекции вектора силы на направление
движения и величины совершённого
перемещения:

Здесь
точкой обозначено скалярное
произведение,
— вектор
перемещения; подразумевается, что
действующая сила
постоянна
в течение всего того времени, за которое
вычисляется работа.

Если
сила не постоянна, то в этом случае она
вычисляется как интеграл:

(подразумевается
суммирование по кривой, которая является
пределом ломаной, составленной из
последовательных перемещений
если
вначале считать их конечными, а потом
устремить длину каждого к нулю).

Если
существует зависимость силы от координат,
интеграл определяется следующим образом:

где
и
— радиус-векторы начального
и конечного положения тела соответственно.

Cледствие:
если направление движения тела
ортогонально силе, работа (этой силы)
равна нулю.

Работа переменной силы

Пусть
материальная точка перемещения под
действием силы F,
которая направлена вдоль оси Ох,
имеет переменную величину, которая
непрерывно зависит от х.
Требуется определить работу А,
совершаемую силой F,
по перемещению материальной точки вдоль
оси Ох из
точки х
= а в
точку х
= b ( а < b).
Функция F(х)
предполагается непрерывной на отрезке
[ а, b].

Разобьем
произвольно отрезок [а, b]
на n частей
точками а = х₀< x₁< x₂ <
… < x_n= b.
Выберем на каждом частичном отрезке
[x _i_–

1, x_i]
точку ξ _i.
Сила, действующая на материальную точку
на отрезке [x _i_–

1, x _i],
изменяется от точки к точке. Но если
длина отрезка мала, то значение силы в
точках отрезка [x _i_–

1, x_i]
мало отличается от ее значения в любой
точке ξ _i Î [x_i_–

1, x_i],
так как F (x)
непрерывна. Поэтому работу А _i,
совершаемую силой F на
[x_i_–

1, x_i]
можно считать приближенно равной работе
совершаемой на том же отрезке постоянной
силой F(ξ _i ),
т. е.

A_i ≈ F (ξ_i)
Δx_i.

Рассуждая
аналогично для каждого отрезка разбиения,
получаем приближенное значение
работы А силы
F на всем отрезке:

С
другой стороны, сумма в правой части
равенства является интегральной суммой
для функции F (x).
Так как функция F (x )
непрерывна на отрезке [a, b],
то предел этой суммы при

существует
и равен определенному интегралу от
функции F (x )
по отрезку [a, b].
Таким образом,

17)
Принцип относительности в классической
и релятивистской механике

классическая:
Принцип
относительности утверждает, что во всех
инерциальных системах все механические
процессы описываются одинаковым образом,
т.е. посредством законов, имеющих ту же
самую математическую форму.

Иначе
говоря, в таких системах законы движения
тел описываются теми же самыми
математическими уравнениями или
формулами.

релятивистская:
В
отличие от классической механики, в
специальной теории относительности
одновременность двух событий, происходящих
в разных точках пространства, относительна:
события, одновременные в одной инерциальной
системе отсчёта, не одновременны в
других инерциальных системах, движущихся
относительно первой.

18)
Энергия. Виды механической энергии

общая
количественная мера движения и
взаимодействия всех видов материи.

Энергия
не возникает из ничего и никуда не
исчезает, она может только переходить
из одного вида в другой.

Понятие
энергии связывает все явления природы
в одно целое, является

общей
характеристикой состояния физических
тел и физических полей

Виды:
механическая
, электромагнитная , химическая , ядерная
,тепловая , гравитационная и др.

!!19)
Основные
понятия и величины динамики вращательного
движения.

Основной
закон динамики вращательного движения
можно получить из второго закона Ньютона
для поступательного движения твердого
тела. Если к твердому телу массой m в
точке А приложить силу F,
то в результате жесткой связи между
всеми материальными точками тела все
они получат угловое ускорение
и
соответственные линейные ускорения,
как если бы на каждую точку действовала
сила
.
Для каждой материальной точки.

,

где
–
момент силы – это произведение силы
на
ее плечо
.

Плечом
силы называют кратчайшее расстояние
от оси вращения “ОО” до линии действия
силы
.

20)
Консервативные
и неконсервативные силы и системы

консервативная:
Силы, работа которых не зависит от формы
траектории, а определяется только
начальным и конечным размещением тела
в пространстве.

–
силы притяжения

–
силы упругости

–
электростатические силы взаимодействия
между заряженными телами

неконсервативные:
Эти силы зависят не только от формы
тел, но и от их скорости. Они направлены
всегда против направления скорости,
потому работа сил трения всегда
отрицательна.

–
силы трения, которые возникают при
скольжении одного тела по поверхности
другого

–
силы сопротивления, которых испытывает
тело, двигаясь в жидкой или газообразной
среде

!!21)
Кинетическая
энергия релятивистской частицы

частица,
движущаяся с релятивистской скоростью,
то есть скоростью, сравнимой со скоростью
света. Движение таких частиц, рассматриваемых
как классические (неквантовые) материальные
точки, описывается специальной теорией
относительности. Безмассовые частицы
фотоны всегда являются релятивистскими,
поскольку могут существовать, лишь
двигаясь со скоростью света.

22)
Связь
между механической работой и энергией.

То
тело, которое способно совершать работу,
обладает энергией.

Механическая
энергия идет на производство работы и
плюс потери на нагревание окружающей
среды

23)
Момент
силы относительно точки и относительно
оси

Момент
силы относительно точки О – это вектор,
модуль которого равен произведению
модуля силы на плечо – кратчайшее
расстояние от точки О до линии действия
силы. Направление вектора момента силы
перпендикулярно плоскости, проходящей
через точку и линию действия силы, так,
что глядя по направлению вектора момента,
вращение, совершаемое силой вокруг
точки О, происходит по часовой стрелке

Момент
силы относительно оси вычисляется как
момент проекции силы F⃗ на плоскость
Π, перпендикулярную оси, относительно
точки пересечения оси с плоскостью.
Знак момента определяется направлением
вращения, которое стремится придать
телу сила F⃗ Π. Если, глядя по направлению
оси Oz сила вращает тело по часовой
стрелке, то момент берется со знаком
“плюс”, иначе – “минус”.

24)
Момент
инерции частицы и твёрдого тела
относительно оси. Теорема Штейнера.

Теорема
Штейнера. момент
инерции тела
относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции этого тела
относительно
параллельной ей оси, проходящей через
центр масс тела, и произведения массы
тела
на
квадрат расстояния
между
осями:

где

—
известный
момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс тела,

—
искомый
момент инерции относительно параллельной
оси,

—
масса
тела,

—
расстояние
между указанными осями.

25)
Момент
импульса относительно точки и относительно
оси.

называется
физическая величина, определяемая
векторным произведением:

где
r – радиус-вектор, проведенный из точки
О в точку A, p=mv – импульс материальной
точки, L – направление которого совпадает
с направлением поступательного движения
правого винта при его вращении от r к р.

называется
скалярная величина, равная проекции на
эту ось вектора момента импульса,
определенного относительно произвольной
точки О данной оси.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
27.03.2015140.8 Кб71.doc
#
27.03.2015421.24 Кб871.docx
#
27.03.20154.73 Mб5751.rtf
#

Источник

Usually, a dancing person is considered to be more energetic compared to a sitting person. A security guard who has been standing at his place the whole day has been working for hours. In real life, this seems obvious, but these terms and definitions work differently when it comes to physics. In physics, work has been defined as the product of force and displacement. This means, that if there is no displacement, work done is zero, no matter how much force or time was spent. This definition builds up concepts like the work-energy theorem. Let’s see this in detail.

Work

Consider a block of mass M sitting on a surface. Now, Aman comes and starts applying a force F, on the block. Only applying the force for some time, he is able to shift the block by 4 meters on the surface. The block and the force are shown in the figure below. Now, since displacement is there. According to physics terminology, the work is done.

For a constant force and the displacement . The work done is defined by,

This is the dot product between two vectors, so if the Force makes an angle with the displacement. Then the work done will be given by,

W = |F||r|cos()

Work done by a Variable Force

The above equations are cases of calculating work done with the assumption that the force that is being applied to the body is constant. Often, this is not the case. Forces vary in direction and magnitude with time and sometimes with distance too. So, calculating the work done with this assumption is not right and is not perfectly generalizable.

Let’s consider a force that changes its magnitude. Consider the case of a spring and Hooke’s law. According to Hooke’s law, the restoring force of a perfectly elastic spring is proportional to its extension. The direction of this force is opposite to the extension. There the force acting is given by,

F = -kx

Here, k is the spring constant.

This is an example of a variable Force. For calculating the work done by a variable force, we should add all the infinitely small work done in all the infinitesimally small intervals. Let’s denote the infinitesimally small interval by “dt”. So, to add to the work done in such a scenario, an integral must be used.

The interval “dt” can be used to calculate the change in the extension of spring.

dx = vdt

$W = sum_i F_iDelta x \ = sum_i F_idx \ = sum_i F_ivdt$

Using the relations of force from the Hooke’s law.

$W = sum_i -kx vdt \ = int^{t}_{0} -kxvdt \ = int^{x}_{x_0}-kxdx \ = -frac{1}{2}k Delta^2 x$

This work is done by a force applied on the spring for an extension of

For a force which is varying and is given by and produces a displacement given by the vector . The work done is given by,

Force-Displacement Plot

The above concept can be understood more clearly using the force-displacement plot. The plot below shows a variable force with the displacement it is producing. It is known that the integrals represent the area under the curve. So, in this case, the area under the curve gives the work done by the force on the body. The area under the curve is divided into many rectangles which represent the displacement.

The area of a single rectangle is . This represents the work done by the force for an infinitesimally small displacement. The total sum of the area of all the rectangles gives the total work done.

W =

⇒ W = ∫Fdx

Sample Problems

Question 1: Find the work done when a force of 20N acting in the direction of displacement produces a displacement of 5 m.

Solution:

The work done by a constant force is given by,

W = |F||r|cos()

Here,

W = |F||r|cos()

⇒ W = (20)(5)(cos(0))

⇒ W= 100

Question 2: Find the work done when a force of F = 30i + 5j produces a displacement r = 5i + 2j.

Solution:

The work done by a constant force is given by,

W =

and

Calculating the dot product.

W =

⇒ W = (30i + 5j). (5i + 2j)

⇒ W= (30)(5) + (5)(2)

⇒W = 150 + 10

⇒W = 160 J

Question 3: Find the work done when a force of F = x produces a displacement of 4m.

Solution:

The work done by a variable force is given by,

W = ∫Fdx

F(x) = x

Calculating the work done.

W = $int^{x}_{0}Fdx \ = int^{x}_{0}xdx \ = [frac{x^2}{2}]^{x}_{0} \ = frac{x^2}{2}$

Here, the displacement is x = 4

W = $frac{x^2}{2}$

⇒ W = $frac{4^2}{2}$

⇒ W = 8J

Question 4: Find the work done when a force of F = x² produces a displacement of 3 m.

Solution:

The work done by a variable force is given by,

W = ∫Fdx

F(x) = x²

Calculating the work done.

W = $int^{x}_{0}Fdx \ = int^{x}_{0}x^2dx \ = [frac{x^3}{3}]^{x}_{0} \ = frac{x^3}{3}$

Here, the displacement is x = 3

W = $frac{x^3}{3}$

⇒ W = $frac{3^2}{2}$

⇒ W = 4.5 J

Question 5: Find the work done when a force of F = x + 4 produces a displacement of 2 m.

Solution:

The work done by a variable force is given by,

W = ∫Fdx

F(x) = x + 4

Calculating the work done.

W = $int^{x}_{0}Fdx \ = int^{x}_{0}(x + 4)dx \ = [frac{x^2}{2} + 4x]^{x}_{0} \ = frac{x^2}{2} + 4x$

Here, the displacement is x = 2

W = $frac{x^2}{2} + 4x$

⇒ W = $frac{2^2}{2} + 4(2)$

⇒ W = 10 J

Question 6: Find the work done when a force of F = sin(x) produces a displacement from -1 to 1.

Solution:

The work done by a variable force is given by,

W = ∫Fdx

F(x) = sin(x)

Calculating the work done.

W = $int^{1}_{-1}Fdx \ = int^{1}_{-1}sin(x)dx \ = [-cos(x)]^{1}_{-1} \ = cos(-1) - cos(1) \ = 0$

Last Updated :
30 Jun, 2021

Like Article

Save Article

Источник

Работой силы FF, действующей на материальную точку, называют физическую величину, равную скалярному произведению вектора действующей силы на вектор перемещения точки drdr:

dA=(F⃗dr⃗)=Fdrcos(F⃗,dr⃗^)dA=(vec{F}dvec{r})=Fdrcos(widehat{vec{F},dvec{r}})

Иначе записывают dA=FcosαdsdA=Fcosalpha ds:

Выражают работу в СИ в джоулях. Джоуль – это работа силы в 1 Н на пути в 1 м условии, что направление действия силы и направление перемещения совпадают. В аналитическом виде
1 Дж = 1Н · 1м= 1 (кг·м²)/с²

Нулевая работа

Работа – скалярная величина. В зависимости от угла между направлениями действующей силы и перемещения она может быть положительной, отрицательной и равна нулю. Нулевой будет работа силы, которая перпендикулярна к направлению перемещения, в частности нулевой является работа центростремительных сил, работа силы тяжести во время движения тела в горизонтальной плоскости и др.

В основном, например, во время равномерного подъема тела, работа действующей силы сводится к преодолению силы тяжести. В случае равномерного движения тела на горизонтальной поверхности – к преодолению силы трения, в производственной сфере – к преодолению сопротивления почвы, сопротивления различных материалов при обработке и тому подобное. Поэтому под работой на практике понимают процесс преодоления сопротивления при перемещениях тел.

Работа переменной силы

Выше мы рассмотрели способ вычисления работы постоянной силы при прямолинейном перемещении тела. Работу переменной силы или произведение переменной проекции силы на направление перемещения, также определяют по формуле:

dA=(F⃗dr⃗)=Fdrcos(F⃗,dr⃗^)dA=(vec{F}dvec{r})=Fdrcos(widehat{vec{F},dvec{r}}),

которую можно применить только для бесконечно малого перемещения drdr.

Работу на всем пути найдем как сумму работ на всех элементарных перемещениях, на которые разделены путь. Эта операция сводится к вычислению интеграла:

A=∫SFcosαdsA=intlimits_{S}{Fcosalpha ds}

Наряду с аналитическим широко используют графический способ определения работы. Отложив по оси ОуОу проекцию действующей силы FcosаF cos а, а по оси ОхОх – пройденный телом путь ss, получим графическую зависимость между ними в виде кривой АВАВ:

Отсюда следует, что работа при элементарном перемещении

dA=FcosαdsdA=Fcos alpha ds:

равна площади заштрихованной полоски, а работа на всем пути – площади фигуры ОАВС. Например, если вычислить площадь фигуры с помощью индикатора.

Индикатор

Прибор, фиксирующий изменения любого параметра или объекта в форме, удобной для непосредственного восприятия человеком, то можно определить работу газа в цилиндре тепловой машины.

Работа силы тяжести

Рассмотрим важный пример работы силы тяжести при движении тела по некоторой кривой АВ:

Поделим весь путь на такие малые части, чтобы их можно было считать прямолинейными. Работа на одной из них:

ΔA=FΔscosα=mgΔscosα=mgΔhDelta A=FDelta scos alpha =mgDelta scos alpha =mgDelta h

Работу на всем пути найдем как сумму работ на отдельных его частях:

A=∑mgΔh=mg∑Δh=mg∑(h1−h2)A=sum{mgDelta h}=mgsum{Delta h}=mgsum{({{h}_{1}}-{{h}_{2}}})

Как видим, работа силы тяжести (или работа против силы тяжести) для тела, которое перемещается в поле тяготения, не зависит от формы траектории, а зависит только от разности высот его начальной и конечной точек приложения.

Если бы тело в поле притяжения описывало замкнутую траекторию, то суммарная работа силы тяжести равнялась бы нулю: положительная работа тела, возникающая в случае, когда оно опускается, компенсируется отрицательной работой тела, когда оно поднимается.

Силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, а зависит только от начального и конечного его положений, называются потенциальными.

Таковы, например, силы всемирного тяготения, силы упругости, электростатические силы. Поля, в которых проявляется действие таких сил, называются потенциальными.

Система тел называется консервативной, если в ней внутренние силы взаимодействия потенциальные, а внешние силы, действующие на эти тела, –стационарные и потенциальные.

Тест по теме «Работа силы»

Источник

На материальную точку $Tleft(x,yright)$ действует переменная сила $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$. Под действием этой силы материальная точка перемещается на отрезке $left[6;15right]$ от точки $M$ до точки $N$ вдоль синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$. Найти работу переменной силы $overline{F}$ на криволинейном пути от точки $M$ до точки $N$. Построить графическое изображение пути от точки $M$ до точки $N$, а также векторы переменной сили $overline{F}$ в этих точках.

Выполняем графическое изображение синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$ на отрезке $left[6;15right]$.

Находим значения синусоиды в точках $x_{M} =6$ и $x_{N} =15$:

$y_{M} =7cdot sin left(0,31cdot 6-1,57right)+2approx 4$;
$y_{N} =7cdot sin left(0,31cdot 15-1,57right)+2approx 2,43$.

Выполняем графические изображения векторов переменной силы $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$, значения которого в точках $M$ и $N$ соответственно равны $overline{F}_{M} =left(3cdot 6-2cdot 4right)cdot overline{i}+4cdot 4cdot overline{j}=10cdot overline{i}+16cdot overline{j}$ и $bar{F}_{N} =left(3cdot 15-2cdot 2,43right)cdot overline{i}+4cdot 2,43cdot overline{j}=40,14cdot overline{i}+9,72cdot overline{j}$.

Работу данной силы на данном участке кривой $MN$ вычисляем по формуле $A=int limits _{a}^{b}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{a}^{b}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

Здесь участок кривой $MN$ задан на отрезке $left[x_{M} ,; x_{N} right]$, поэтому формула для работы приобретает вид: $A=int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

В этой формуле первый интеграл дает значение работы силы $F$ вдоль оси $Ox$, второй интеграл — вдоль оси $Oy$.

Находим работу силы вдоль оси $Ox$: $A_{x} =int limits _{6}^{15}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Pleft(x,yright)=3cdot x-2cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2.]

Поэтому:

[Pleft(x,yleft(xright)right)=3cdot x-2cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=]

[=3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4.]

Далее получаем:

[A_{x} =int limits _{6}^{15}left(3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}3cdot xcdot dx +int limits _{6}^{15}left(-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)right)cdot dx +int limits _{6}^{15}left(-4right)cdot dx =]

[=3cdot int limits _{6}^{15}xcdot dx -14cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx -4cdot int limits _{6}^{15}dx =]

[=3cdot left[frac{x^{2} }{2} right]_{6}^{15} -14cdot left[-frac{1}{0,31} cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} -4cdot left[xright]_{6}^{15} =]

[=1,5cdot left(15^{2} -6^{2} right)+frac{14}{0,31} cdot left(cos left(0,31cdot 15-1,57right)-cos left(0,31cdot 6-1,57right)right)-]

[-4cdot left(15-6right)=135,15.]

Находим работу силы вдоль оси $Oy$: $A_{y} =int limits _{6}^{15}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Qleft(x,yright)=4cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2. ]

Поэтому:

[Qleft(x,yleft(xright)right)=4cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8;]

[y’=7cdot 0,31cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)=2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right).]

Далее получаем:

[A_{y} =int limits _{6}^{15}left(28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8right)cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}28cdot 2,17cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}8cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}60,76cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}17,36cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx .]

Вычисляем первый интеграл $I_{1} $:

[I_{1} =60,76cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=60,76cdot frac{1}{0,31} cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dleft(sin left(0,31cdot x-1,57right)right) =]

[=196cdot left[frac{sin ^{2} left(0,31cdot x-1,57right)}{2} right]_{6}^{15} =]

[=98cdot left(sin ^{2} left(0,31cdot 15-1,57right)-sin ^{2} left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -7,64.]

Вычисляем второй интеграл $I_{2} $:

[I_{2} =17,36cdot int limits _{6}^{15}cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=17,36cdot frac{1}{0,31} cdot left[sin left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} =]

[=56cdot left(sin left(0,31cdot 15-1,57right)-sin left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -12,57.]

Работа силы вдоль оси $Oy$:

[A_{y} =I_{1} +I_{2} =-7,64-12,57=-20,21.]

Общая работа силы при перемещении вдоль кривой:

[A=A_{x} +A_{y} =135,15-20,21=114,94.]

Источник

Механическая работа. Работа переменной силы.

Работа переменной силы

Work

Work done by a Variable Force

Force-Displacement Plot

Sample Problems

Нулевая работа

Работа переменной силы

Работа силы тяжести

Тест по теме «Работа силы»

Вам также может понравиться

Как найти другой андройд

Как найти фортнайт на компьютере

Как найти союз в предложении 7 класс

Добавить комментарий Отменить ответ