Как найти работу при вращательном движении

В этой главе…

• Переходим от динамики поступательного движения к динамике вращательного движения
• Вычисляем момент инерции
• Определяем работу вращательного движения
• Находим связь между работой и изменением кинетической энергии
• Изучаем закон сохранения момента импульса

Эта глава посвящена динамике вращательного движения, т.е. описанию сил и их влияния на характер вращательного движения. Здесь рассматриваются основные законы динамики вращательного движения по аналогии с законами динамики поступательного движения. Например, описывается аналог второго закона Ньютона (см. главу 5), представлено новое понятие “момент инерции”, исследуется связь между работой и кинетической энергией и т.п.

Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона (см. главу 5), ускорение объекта под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

где ​( mathbf{a} )​ — это вектор ускорения, ( mathbf{F} ) — вектор силы, а ​( m )​ — масса объекта. Подробнее о векторах рассказывается в главе 4. Соблюдается ли этот закон для вращательного движения?

В главе 10 мы уже познакомились характеристиками вращательного движения, которые являются эквивалентами (аналогами) некоторых характеристик поступательного движения. А как будет выглядеть аналог у второго закона Ньютона? Похоже, что во вращательном движении роль ускорения ( mathbf{a} ) играет угловое ускорение ( alpha ), а роль силы ( mathbf{F} ) — момент силы ( mathbf{M} )? Не вдаваясь в подробности, скажем лишь, что это действительно так. А что же с массой? Оказывается, что для этого используется новое понятие — момент инерции ​( l )​. Известно, что второй закон Ньютона для вращательного движения принимает следующий вид:

Рассмотрим простой пример. Пусть привязанный нитью мячик для игры в гольф вращается по окружности, как показано на рис. 11.1. Допустим, что к мячику приложена направленная по касательной к окружности тангенциальная сила, которая приводит к увеличению тангенциальной скорости мячика. (Обратите внимание, что речь идет не о нормальной силе, направленной вдоль радиуса окружности вращения. Более подробно нормальная и тангенциальная скорости, а также нормальное и тангенциальное ускорения рассматриваются в главе 10.)

Поскольку:

то, умножая обе части этой формулы на радиус окружности ​( r )​, получим:

Поскольку ​( rmathbf{F}=mathbf{M} )​ то

или

Таким образом, частично совершен переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для вращательного движения. (Следует отметить, что это выражение справедливо для материальной точки, т.е. объекта, размерами которого можно пренебречь по сравнению с величиной радиуса окружности ​( r )​. Для протяженного объекта следует использовать другие формулы, которые описываются далее в этой главе. — Примеч. ред.)

Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое

Чтобы полностью перейти от описания поступательного движения к описанию вращательного движения, необходимо использовать связь между угловым ускорением ​( alpha )​ и тангенциальным ускорением ​( mathbf{a} )​. Как нам уже известно из главы 10, они связаны следующим соотношением:

Подставляя это выражение в приведенную выше формулу

получим:

Итак, мы получили связь момента силы, действующей на материальную точку, и ее углового ускорения. Коэффициент пропорциональности между ними, ​( l=mr^2 )​, называется моментом инерции материальной точки. Таким образом, мы получили эквивалент второго закона Ньютона для вращательного движения, где роль силы играет момент силы, роль ускорения — угловое ускорение, а роль массы — момент инерции.

Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения

Если на объект действует несколько сил, то второй закон Ньютона имеет следующий вид:

где ​( mathbf{sum!F} )​ обозначает векторную сумму всех сил, действующих на объект.

Аналогично, если на объект действует несколько моментов сил, то второй закон Ньютона имеет вид:

где ( mathbf{sum! M} ) обозначает векторную сумму всех моментов сил, действующих на объект. Аналог массы, т.е. момент инерции, измеряется в кг·м².

Помните, что аналогом второго закона Ньютона при описании вращательного движения является формула ​( mathbf{sum! M}=lalpha )​, т.е. угловое ускорение прямо пропорционально сумме всех моментов сил, действующих на вращающийся точечный объект, и обратно пропорционально моменту инерции.

Пусть мячик из предыдущего примера (см. рис. 11.1) имеет массу 45 г, а длина нити равна 1 м. Какой момент сил необходимо приложить, чтобы обеспечить угловое ускорение — ​( 2pi с^{-2} )​? Подставляя значения в уже известную нам формулу

получим:

Как видите, для решения этой задачи достаточно было поступить, как при определении силы, необходимой для обеспечения ускорения поступательного движения (где нужно было бы умножить массу на ускорение), т.е. умножить угловое ускорение на момент инерции.

Вычисляем момент инерции протяженного объекта

Момент инерции легко вычисляется для очень маленького (точечного) объекта, если все точки объекта расположены на одинаковом расстоянии от точки вращения. Например в предыдущем примере, если считать, что мячик для игры в гольф гораздо меньше длины нити, то все его точки находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения, равном радиусу окружности вращения ​( r )​. В таком случае момент инерции имеет знакомый вид:

где ( r ) — это расстояние, на котором сосредоточена вся масса мячика ( m ).

Однако такая идеальная ситуация имеет место далеко не всегда. А чему равен момент инерции протяженного объекта, например стержня, вращающегося относительно одного из своих концов? Ведь его масса сосредоточена не в одной точке, а распределена по всей длине. Вообще говоря, для определения момента инерции протяженного объекта нужно просуммировать моменты инерции всех материальных точек объекта:

Например, момент инерции ​( l )​ системы из двух “точечных” мячиков для игры в гольф с одинаковой массой ​( m )​ на расстояниях ​( r_1 )​ и ​( r_2 )​ равен сумме их отдельных моментов инерции ​( l_1=mr_1^2 )​ и ( l_2=mr_2^2 ):

А как определить момент инерции диска, вращающегося относительно своего центра? Нужно мысленно разбить диск на множество материальных точек, вычислить момент инерции каждой такой точки и просуммировать полученные моменты инерции. Физики научились вычислять моменты инерции для многих объектов со стандартной формой. Некоторые из них приведены в табл. 11.1.

Попробуем вычислить моменты инерции нескольких предметов с простой геометрией.

Пример: замедление вращения компакт-диска

Компакт-диски могут вращаться с разными угловыми скоростями. Это необходимо для обеспечения одинаковой линейной скорости считывания информации на участках, находящихся на разных расстояниях от центра вращения. Пусть диск массой 30 г и диаметром 12 см сначала вращается со скоростью 700 оборотов в секунду, а спустя 50 минут — со скоростью 200 оборотов в секунду. Какой средний момент сил действует на компакт-диск при таком уменьшении скорости? Связь момента сил и углового ускорения имеет вид:

Момент инерции диска с радиусом ​( r )​, вращающегося относительно своего центра в плоскости диска, выражается формулой:

Подставляя значения, получим:

Теперь нужно определить угловое ускорение, которое определяется следующей формулой:

Изменение угловой скорости ​( Deltaomega )​ произошло за промежуток времени:

В данном примере изменение угловой скорости:

где ​( omega_1 )​ — конечная, а ( omega_0 ) — начальная угловая скорость компакт-диска.

Чему они равны? Начальная скорость 700 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 700 раз проходит ​( 2pi )​ радиан:

Аналогично, конечная скорость 200 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 200 раз проходит ( 2pi ) радиан:

Подставляя значения в формулу углового ускорения, получим:

Подставляя значения момента инерции и углового ускорения в итоговую формулу момента силы, получим:

Итак, средний момент равен 10^-4 Н·м, а чему будет равна сила для создания такого момента, если она приложена к краю диска? Ее величину легко вычислить по следующей формуле:

Оказывается, для такого замедления компакт-диска нужно приложить не такую уж и большую силу.

Еще один пример: поднимаем груз

Вращательное движение порой внешне выглядит не так очевидно, как вращение ком- пакт-диска. Например подъем груза с помощью блока также является примером вращательного движения. Хотя канат и груз движутся поступательно, но сам блок вращается (рис. 11.2). Пусть радиус блока равен 10 см, его масса равна 1 кг, масса груза равна 16 кг, а к веревке прилагается сила 200 Н. Попробуем вычислить угловое ускорение блока.

В данном примере нужно вычислить сумму всех моментов сил ​( mathbf{sum! M} )​, которые действуют на веревку:

В данном примере на веревку действует два момента сил: один ​( M_1 )​ со стороны груза весом ​( mg )​, а другой ( M_2 ) — со стороны горизонтальной силы ​( F )​:

Отсюда получаем формулу для углового ускорения:

Эти моменты ​( M_1 )​ и ( M_2 ) имеют одинаковое плечо, равное радиусу блока ​( r )​, поэтому:

Поскольку блок имеет форму диска, то из табл. 11.1 находим его момент инерции:

Подставляя выражения для ​( l )​, ​( M_1 )​ и ​( M_2 )​ в формулу для углового ускорения, получим:

Подставляя значения, получим:

 

Вычисляем энергию и работу при вращательном движении

При изучении поступательного движения в главе 8 мы познакомились с понятием работа. Она равна произведению силы на перемещение под действием этой силы. Можно ли выразить работу при вращательном движении на основе его характеристик? Конечно можно, и для этого потребуется преобразовать силу в момент силы, а перемещение — в угол. В этом разделе демонстрируется такое преобразование, а также связь работы с изменением энергии.

Работа при вращательном движении

Допустим, что инженеру в области автомобилестроения необходимо рассчитать параметры революционно новой шины колеса. Для начала он решил оценить работу, которую необходимо выполнить для ускоренного раскручивания этой шины. Как связать работу при поступательном движении и работу при вращательном движении? Инженер предложил простую, как все гениальное, идею: “связать” шину веревкой. Точнее говоря, он предложил намотать веревку на шину, потянуть за веревку с помощью внешней силы и раскрутить шину. Так, приравнивая работу внешней силы при поступательном движении веревки и работу ускорения вращательного движения шины, можно, образно говоря, “связать” их веревкой.

Пусть шина имеет радиус ​( r )​ и для ее вращения используется сила ​( F )​, как показано на рис. 11.3.

Чему равна работа этой силы? Применим знакомую нам формулу:

где ​( s )​ — это перемещение веревки под действием этой силы. В данном примере перемещение ​( s )​ равно произведению радиуса ​( r )​ на угол поворота шины ​( theta )​:

Подставляя это выражение в формулу работы, получим:

Поскольку момент ​( M )​, создаваемой этой силой, равен:

то получаем для работы:

Таким образом, работа при вращательном движении равна произведению момента силы и угла поворота. Она измеряется в тех же единицах, что и работа при поступательном движении, т.е. в джоулях.

Учтите, что для описания вращательного движения в этих формулах работы угол нужно указывать в радианах.

Вот еще один пример. Пусть пропеллер самолета совершает 100 поворотов с постоянным моментом силы 600 Н·м. Какую работу выполняет двигатель самолета? Для ответа на этот вопрос начнем с уже известной нам формулы:

Полный оборот соответствует повороту на угол ​( 2pi )​. Подставляя значения в формулу, получим:

Что происходит с выполненной таким образом работой? Она преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения.

Изучаем кинетическую энергию вращательного движения

Из главы 8 нам уже известно, что объект массы ​( m )​, движущийся поступательно со скоростью ​( v )​, обладает кинетической энергией:

А как получить формулу кинетической энергии для вращающегося объекта? Нужно применить данную формулу для всех его частичек.

При описании вращательного движения аналогом массы является момент инерции, а аналогом скорости — угловая скорость.

Как известно (см. главу 10), тангенциальная скорость ​( v )​ и угловая скорость ​( omega )​ связаны соотношением:

где ​( r )​ — это радиус окружности вращения.

Подставляя это соотношение в предыдущую формулу, получим:

Однако эта формула справедлива только для бесконечно малой материальной точки. Чтобы определить кинетическую энергию протяженного объекта, нужно просуммировать кинетические энергии всех его мельчайших материальных точек, т.е. вычислить сумму:

Как можно было бы упростить эту формулу? Предположим, что все составляющие частички протяженного объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью. Тогда угловую скорость можно вынести за знак суммирования и получим:

Здесь начинается самое интересное. Ранее в этой главе уже приводилась формула момента инерции:

Теперь совсем нетрудно сделать подстановку в предыдущей формуле кинетической энергии:

Итак, кинетическая энергия вращательного движения вычисляется аналогично кинетической энергии поступательного движения, если вместо массы использовать момент инерции, а вместо тангенциальной скорости — угловую скорость. Примеры кинетической энергии вращательного движения окружают повсюду. Спутник на космической орбите и бочка пива, которую скатывают по наклонной плоскости, обладают определенной кинетической энергией вращательного движения. Особенности вращательного движения бочки пива более подробно описываются в следующем разделе.

Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости

Итак, нам уже известно, что объекты могут двигаться поступательно и вращательно, причем двигаться так, что без знания строгих законов физики порой трудно понять их поведение. Да ну? Действительно, если бочка скользит вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию поступательного движения (см. главу 8). А если бочка скатывается вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается не только в кинетическую энергию поступательного движения, но и в кинетическую энергию вращательного движения.

На рис. 11.4 показан случай, когда с наклонной плоскости высотой ​( h )​ скатываются сплошной и полый цилиндры с одинаковой массой ​( m )​. Какой цилиндр достигнет нижнего конца наклонной плоскости?

Иначе говоря: какой цилиндр будет обладать большей скоростью в конце наклонной плоскости? Поскольку действующие на цилиндры силы постоянны, то постоянны и их ускорения, а значит, большая скорость в конце пути означает меньшее время его прохождения. В случае только поступательного движения цилиндра и при отсутствии трения уменьшение потенциальной энергии ​( mgh )​ преобразуется в увеличение кинетической энергии только поступательного движения ​( {}^1!/!_2mv^2 )​, т.е.:

Однако в данном примере эта формула не годится, потому что цилиндры скатываются без проскальзывания. Это значит, что часть уменьшения потенциальной энергии будет преобразовываться в увеличение кинетической энергии поступательного движения ( {}^1!/!_2mv^2 ), а часть — в кинетическую энергию вращательного движения ( {}^1!/!_2Iomega ^2 ). Тогда предыдущее равенство принимает следующий вид:

Сделаем подстановку ​( omega=v/r )​ и получим:

Путем несложных алгебраических преобразований получим:

откуда легко получить выражение для скорости цилиндра:

Для обоих цилиндров все параметры одинаковы, кроме момента инерции ​( I )​. Как это повлияет на скорость цилиндров? Согласно данным из табл. 11.1, полый цилиндр имеет момент инерции ​( mr^2 )​, а сплошной — ​( {}^1!/!_2mr^2 )​.

Итак, для полого цилиндра получим:

а для сплошного цилиндра:

А их отношение равно:

Как видите, скорость сплошного цилиндра в 1,15 раза больше скорости полого цилиндра, а значит, сплошной цилиндр быстрее достигнет конца наклонной плоскости.

Как на пальцах объяснить полученный результат? Все очень просто. В полом цилиндре вся масса сосредоточена на расстоянии радиуса цилиндра, а в сплошном цилиндре значительная часть масса распределена ближе радиуса. Это значит, что при одинаковой угловой скорости в полом цилиндре больше материала будет обладать большей тангенциальной скоростью, а для этого потребуется потратить больше энергии.

Не можем остановиться: момент импульса

Допустим, нам нужно остановить космический корабль с массой 40 т, который находится на околоземной орбите. Для этого потребуется затратить немалые усилия. Почему? Все дело во вращательном импульсе космического корабля.

В главе 9 подробно описывается понятие импульс материальной точки, который выражается следующей формулой:

где ​( m )​ — это масса, a ​( v )​ — скорость материальной точки.

По аналогии, при описании вращательного движения физики используют понятие вращательный импульс (который в русскоязычной научной литературе чаще называют моментом импульса материальной точки. — Примеч. ред.):

где ​( l )​ — это момент инерции, а ​( omega )​ — угловая скорость материальной точки.

Следует помнить, что момент импульса (или вращательный импульс) является вектором, направление которого совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Момент импульса в системе СИ измеряется в кг·м²·с^-1 (более подробно системы единиц измерения описываются в главе 2). Одним из наиболее важных свойств момента импульса является закон сохранения момента импульса.

Сохраняем момент импульса

Закон сохранения момента импульса гласит: момент импульса сохраняется, если равна нулю сумма всех моментов внешних сил. Этот закон проявляется во многих обыденных ситуациях. Например часто приходится видеть, как мастера фигурного катания на льду вращаются с широко разведенными в стороны руками, а затем резко приближают их к своему телу и сильно ускоряют свое вращение. Дело в том, что таким образом они уменьшают свой момент инерции и, согласно закону сохранения момента импульса, увеличивают свою угловую скорость. Зная начальную угловую скорость вращения фигуриста ​( omega_0 )​ и его моменты инерции в позе с разведенными руками ​( I_0 )​ и в позе с сомкнутыми руками ​( I_1 )​, легко найти конечную угловую скорость ​( omega_1 )​ по формуле:

Однако этот закон удобно использовать не только в таких простых ситуациях. Возвращаясь к примеру с космическим кораблем на околоземной орбите, следует отметить, что его орбита далеко не всегда является строго круглой. Чаще всего орбиты спутников Земли и других планет имеют эллиптическую форму. Поэтому без закона сохранения момента импульса было бы гораздо сложнее определять параметры их орбитального движения.

Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника

Предположим, что космический корабль вращается на эллиптической орбите вокруг Плутона. Причем в самой близкой к Плутону точке орбиты спутник находится на расстоянии 6·10⁶ м от центра Плутона и имеет скорость 9·10³ м/с. Вопрос: какой будет скорость спутника в самой далекой точке эллиптической орбиты на расстоянии 2·10⁷ м от центра Плутона?

Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться законом сохранения момента импульса, поскольку на спутник не действуют никакие внешние моменты сил (сила гравитационного притяжения направлена параллельно радиусу и не создает момента). Однако закон сохранения момента импульса нужно преобразовать так, чтобы вместо угловых скоростей в его формулировке фигурировали тангенциальные скорости.

Итак, рассмотрим формулу закона сохранения момента импульса:

где ​( I_{бл} )​ — это момент инерции спутника в самой близкой точке, ( I_{дал} ) — это момент инерции спутника в самой далекой точке, ( omega_{бл} ) — угловая скорость спутника в самой близкой точке, а ( omega_{дал} ) — угловая скорость спутника в самой далекой точке.

Предположим, что размеры спутника гораздо меньше расстояния до центра Плутона и спутник можно считать материальной точкой. Тогда его моменты инерции равны:

и

где ​( r_{бл} )​ — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой близкой точке эллиптической орбиты, а ( r_{дал} ) — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой далекой точке эллиптической орбиты.

Кроме того:

и

Подставляя все перечисленные соотношения в формулу закона сохранения момента импульса

получим:

Отсюда путем несложных алгебраических преобразований, получим:

Подставляя значения, получим:

Итак, в ближайшей к Плутону точке орбиты спутник будет иметь скорость 9000 м/с, а в самой дальней — 2700 м/с. Этот результат мы легко получили только благодаря знанию закона сохранения момента импульса.

48

§ 10. Работа. Работа при вращательном движении. Мощность

m

Рис. 10.1

Пусть к частице, массой m,
приложена сила
,
частица за время dt совершила
перемещение d.
В дальнейшем, вместо d
будем использовать обозначение
.

Определение
работы:

(10.1)

Из свойств
скалярного произведения следует

(10.2)

где

– проекция

на направление перемещения,
–
проекция

на направление силы
,

– угол между векторами
и.

Из (10.2) 
[A] = Нм = Дж (джоуль).

(Обратите внимание:
т.к. dS величина  0,
то можно считать, что на перемещение dS
сила
=
const).

Для того чтобы
найти работу на всем пути надо весь путь
разделить на малые участки, найти работу
на каждом из них, а затем результат
просуммировать. Таким образом, определение
работы на всем пути сводится к
интегрированию (10.1) или (10.2)

(10.3)

Индекс “”
в (10.3) означает, что суммирование (т.е.
интегрирование) проводится вдоль
траектории обозначенной “”.
Интеграл слева в (10.3) равен

(обратите внимание:

, т.к. работа в точке 2 и точке 1 смысла не
имеет). Таким образом

(10.4)

(в (10.4) написаны не
все, а наиболее употребимые выражения
для работы). Сила в уравнении (10.4) может
быть как одна из действующих на тело
сил (т.е. найдем работу этой силы) так и
результирующая нескольких сил (т.е.
получим работу результирующей силы).

Пример:
работа постоянной силы, частица
двигается прямолинейно:
=
const =>

Найдем работу при
вращательном движении твердого тела
вокруг оси, не меняющей своей ориентации
в пространстве. На рис. 10.2 показана
некоторая частица твердого тела, масса
частицы,
за время dt частица поворачивается на
угол . Работа
совершаемая над частицей равна:

;

Множитель перед
d есть момент силы

(уравнение (8.9)):

(10.5)

Складывая работу,
совершаемую над каждой из частиц, получим
работу, совершаемую при вращательном
движении тела

dS

Z

Рис. 10.2


(10.6) (10.6)

Сумма в правой
части (10.6) есть суммарный момент внешних
сил относительно оси вращения (уравнение
(9.9))



(10.7)

Работа, совершаемая
при повороте тела на угол ,
определяется интегрированием уравнения
(10.7):

(10.8).

Мощность Р – это
работа совершаемая в единицу времени:

(10.9)

(Ватт)

Подставим в (10.9)
уравнение (10.1):

С учетом (2.1),
получим:

(10.10)

§ 11. Работа и кинетическая энергия. Кинетическая энергия при вращательном движении

Рассмотрим тело, центр
инерции которого (точка “O”) в начальном
положении (I) имеет скорость
V₁, в конечном
(II) – V₂;
центр инерции двигается по траектории
“”
(рис.11.1); тело вращается вокруг некоторой
оси ;направление оси в пространстве не
меняется.

Найдем работу,
которая совершается при таком движении.
Движение центра инерции описывается
вторым законом Ньютона (§7).

,
(11.1)

Работа

результирующей силы
равна
(уравнение(10.4)):

(11.2)

Вращательное
движение описывается законом динамики
вращательного движения (уравнение(9.16)):

(11.3)

Работу

при вращении найдем из выражения (10.8):

(11.4)

Работа A всех
сил будет равна:

(11.5)

Подставим в (11.5)
уравнения (11.1) и (11.3):

(11.6)

Т.к.

,
то:

(11.7)

Учтем, что

Следовательно:

(11.8)

В уравнение (11.8)
учтено: в первом интеграле переменная
– это
,
поэтому пределы надо брать для этой
переменной (в начале пути V₁,

в конце – V₂);
аналогично для второго интеграла –
переменная

(в начале пути
,
в конце –).
Постоянные m
и

– вынесем за знак
.
Тогда

(11.9)

С учетом (11.9),
получим:

(11.10)

Величина

(11.11)

называется
кинетической энергией. Первое
слагаемое

(11.11а)

называется
кинетической энергией поступательного
движения и связано со скоростью центра
инерции. Второе слагаемое

(11.11б)

называется
кинетической энергией вращательного
движения. Следовательно:

(11.12),

– работа всех
сил, действующих на тело, равна
приращению (изменению) кинетической
энергии.

Если тело не
вращается (т.е. двигается только
поступательно), то

Если тело только
вращается, то

О

V

S

А

Пример

:

колесо
катится со скоростью V (рис.11.2). В этом
случае колесо еще и вращается относительно
оси, проходящей через центр тяжести
колеса (точка “O”):

Найдем связь 
и V. Пусть центр колеса прошел путь S,
равный длине окружности колеса S
= 2R.
Время этого движения t равно t
= S/V. За это время каждая
точка колеса (например, точка “A”)
совершила полный оборот, т.е. повернулась
относительно оси вращения на угол 2

Следовательно:

Момент инерции
колеса (обруч) относительно оси, проходящей
через его центр (точку “O”) и перпендикулярной
плоскости колеса, равен
.
Таким образом



Соседние файлы в папке Механика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Работа при вращательном движении. Момент силы

Рассмотрим работу, совершаемую при вращении материальной точки по окружности под действием проекции действующей силы на перемещение (тангенциальной составляющей силы). В соответствии с (3.1) и рис. 4.4, перейдя от параметров поступательного движения к параметрам вращательного движения (dS = R dcp)

Здесь введено понятие момента силы относительно оси вращения OOi как произведение силы F_s на плечо силы R:

Как видно из соотношения (4.8), момент силы во вращательном движении является аналогом силы в поступательном движении, поскольку оба параметра при умножении на аналоги dcp и dS дают работу. Очевидно, момент силы тоже должен задаваться векторно, причем относительно точки О его определение дается через векторное произведение и имеет вид

Окончательно: работа при вращательном движении равна скалярному произведению момента силы на угловое перемещение:

Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на бесконечно малые кусочки с бесконечно малыми размерами и массами mi, m2, Шз . находящиеся на расстоянии R_b R₂, R3 . от оси. Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его малых частей

где У— момент инерции твердого тела, относительно данной оси OOj.

Из сопоставления формул кинетической энергии поступательного и вращательного движений видно, что момент инерции во вращательном движении является аналогом массы в поступательном движении. Формула (4.12) удобна для расчета момента инерции систем, состоящих из отдельных материальных точек. Для расчета момента инерции сплошных тел, воспользовавшись определением интеграла, можно преобразовать (4.12) к виду

Несложно заметить, что момент инерции зависит от выбора оси и меняется при ее параллельном переносе и повороте. Приведем значения моментов инерции для некоторых однородных тел.

Из (4.12) видно, что момент инерции материальной точки равен

где т — масса точки;

R — расстояние до оси вращения.

Несложно вычислить момент инерции и для полого тонкостенного цилиндра (или частного случая цилиндра с малой высотой — тонкого кольца) радиуса R относительно оси симметрии. Расстояние до оси вращения всех точек для такого тела одинаково, равно радиусу и может быть вынесено из-под знака суммы (4.12):

Сплошной цилиндр (или частный случай цилиндра с малой высотой — диск) радиуса R для расчета момента инерции относительно оси симметрии требует вычисления интеграла (4.13). Масса в этом случае в среднем сосредоточена несколько ближе, чем в случае полого цилиндра, и формула будет похожа на (4.15), но в ней появится коэффициент меньше единицы. Найдем этот коэффициент.

Пусть сплошной цилиндр имеет плотность р и высоту h. Разобьем его на

полые цилиндры (тонкие цилиндрические поверхности) толщиной dr (рис. 4.5) показывает проекцию, перпендикулярную оси симметрии). Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину: масса: а момент

инерции в соответствии с (4.15): Полный момент

инерции сплошного цилиндра получается интегрированием(суммированием) моментов инерции полых цилиндров:

. С учетом того, что масса сплошного цилиндра связана с

плотностью формулой т = 7iR 2 hp имеем окончательно момент инерции сплошного цилиндра:

Аналогично ищется момент инерции тонкого стержня длины L и массы т, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Разобьем такой стержень в соответствии с рис. 4.6

на кусочки толщиной dl. Масса такого кусочка равна dm=m dl/L, а момент инерции в соответствии с Пол

ный момент инерции тонкого стержня получается интегрированием (суммированием) моментов инерции кусочков:

Взятие элементарного интеграла дает момент инерции тонкого стержня длины L и массы т:

Несколько сложней берется интеграл при поиске момента инерции однородного шара радиуса R и массы т относительно оси симметрии. Пусть сплошной шар имеет плотность р. Разобьем его в соответствии с рис. 4.7 на полые тонкие цилиндры толщиной dr, ось симметрии которых совпадает с осью вращения шара. Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину, , где высота цилиндра h

найдена с использованием теоремы Пифагора: Тогда несложно найти массу полого цилиндра , а также

момент инерции в соответствии с (4.15):

Полный момент инерции сплошного шара получается интегрированием (суммированием) моментов инерции полых цилиндров:

С учетомтого, что масса сплошного шара связана с плотностью формулой , имеем окончательно момент инерции относительно оси симметрии однородного шара радиуса R массы т:

Работа и мощность при вращательном движении

Работа. Вращательное движение обеспечивается приложенным к телу вращательным моментом относительно оси, который создаётся парой сил РР (рис. 38) и определяется по формуле

Рис. 38 Вращательный момент

При повороте тела на угол ср, работа А совершается силой Р, перемещённой из точки С в точку Ci. Полное перемещение точки приложения силы S равно длине дуги радиусом R_y то есть

Поскольку сила Р всегда направлена по касательной к перемещению 5, то совершаемая работа будет

Сила Р приложенная в неподвижной точке О работы не совершает.

Учитывая, что , окончательно находим:

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угол поворота.

Мощность. Если работа совершается силой, приложенной к вращающемуся телу, и притом равномерно, то мощность в этом случае определяют по формуле

Таким образом, мощность силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость.

Подставив в выражение мощности значение угловой скорости, получим

Если крутящий момент выражается в Н м, а частота вращения в оборотах в минуту, то мощность выражается в ваттах (Вт).

Вращательное движение тела в физике – виды, формулы и определения с примерами

Содержание:

Вращательное движение тела:

До сих пор мы изучали прямолинейное движение тел, хотя в природе и технике часто совершаются более сложные движения тел — криволинейные, когда траекторией тела является кривая линия. Любую кривую линию всегда можно представить как совокупность дуг окружностей разных радиусов (рис. 18).

Поэтому, изучив движение материальной точки по окружности, сможем в дальнейшем изучать и любые другие криволинейные движения. Кроме того, из всех возможных криволинейных движений в технике широко применяется вращательное движение деталей машин и механизмов, например вращение шестерён машин и станков, деталей, обрабатываемых на токарных станках, валов двигателей, колес машин, фрез, свёрл и т. п. Любая точка этих деталей движется по окружности. Эти две особенности и обусловили обязательное изучение движения по окружности, а именно — равномерное движение тела по окружности.

Движение материальной точки по круговой траектории с постоянной по значению, но изменяющейся по направлению скоростью, называют равномерным движением по окружности.

Предположим, что тело равномерно движется по окружности из точки А в точку В (рис. 19). Тогда пройденный им путь — это длина дуги

где — скорость движения тела по окружности; — пройденный телом путь (длина дуги); — время движения тела.

Направление скорости проще всего определить на опыте.

Опыт:

К вращающемуся точильному кругу, прикоснемся железным стержнем. Увидим, что искры из-под стержня летят по касательной к окружности этого круга (рис. 20).

Результат будет таким же в любой точке этого круга. Но каждая искра — это раскалённая частичка, оторвавшаяся от круга и летящая с такой же скоростью, какую она имела в последний момент движения вместе с кругом.

Итак, скорость материальной точки при движении по окружности направлена по касательной к ней в любой точке круга (рис. 21), а с учётом представления кривой на рисунке 18 этот вывод можно распространить на любые криволинейные движения (рис. 22).

Опыт:

Закрепим на горизонтальной оси О фанерный диск (рис. 23), на котором проведен радиус ОА. Напротив точки А поставим указатель В и будем медленно и равномерно вращать диск. Увидим, что точка А с каждым оборотом диска снова появляется напротив указателя В, т. е. совершает движение, повторяющееся через определенный интервал времени.

Движения, при которых определенные положения материальной точки повторяются через одинаковые интервалы времени, называют периодическими движениями.

Равномерное движение по окружности — это периодическое движение. Периодическое движение характеризуют такими величинами, как период обращения и частота обращения.

Период обращения – это интервал времени, в течение которого материальная точка совершает один оборот при равномерном движении по окружности.

Обозначается период обращения большой латинской буквой Т.

Если за время материальная точка при равномерном движении по окружности совершает N оборотов, то период обращения определяется формулой:

Единицей периода обращения в СИ является одна секунда (1 с).

Если период обращения равняется 1 с, то материальная точка при равномерном движении по окружности осуществляет один оборот за 1 с.

Частота обращения определяется числом оборотов, которое материальная точка совершает за единицу времени при равномерном движении по окружности

Обозначается частота обращения малой латинской буквой .

* В научной и учебной литературе частоту обращения еще обозначают малой греческой буквой (ню).

Если за время материальная точка совершила N оборотов, то, чтобы определить частоту обращения , нужно N поделить на , т. е.:
а так как = ТN , то .
Из последней формулы видно, что частота обращения и период обращения связаны обратно пропорциональной зависимостью, а для определения единицы частоты обращения нужно единицу разделить на единицу периода обращения, т. е. на секунду.

Единицей частоты обращения в СИ является единица, разделённая на секунду . это частота обращения, при котором за 1 с материальная точка совершает 1 полный оборот, двигаясь равномерно по окружности. В технике такую единицу иногда называют одним оборотом в секунду , часто применяют также единицу один оборот в минуту .

Движение точки по окружности

Движения, происходящие в природе и технике, могут отличаться по изменению значения скоростей и по изменению направления скоростей. Так, например, при движении точки вдоль прямой линии в одном направлении направление скорости не меняется, хотя ее значение может быть различным. В этом случае движение считается неравномерным.

Но движения могут быть и криволинейными, например, точки могут двигаться по окружностям. На рисунке 18 изображена траектория движения точек нити или ленты между круглыми барабанами. Такие траектории можно представить в виде отрезков прямых линий и окружностей разных размеров. Понятно, что такие движения могут быть и равномерными, каждая точка все время будет иметь одинаковую скорость по значению, хотя направление скорости от точки к точке траектории может меняться.

Рассмотрим движение материальной точки по окружности, когда это движение равномерно, т. е. значение скорости остается постоянным (рис. 19). Точка, двигаясь по окружности радиуса R, за определенное время переходит из точки А в точку В. При этом отрезок OA поворачивается на угол – угловое перемещение точки. Такое движение можно характеризовать угловой скоростью:

где (греческая буква «омега») – угловая скорость; (греческая буква «фи») – угловое перемещение.

Угловое перемещение определяется в радианах (рад.). 1 радиан — это такое перемещение, когда траектория движения точки – длина дуги окружности АВ – равна длине радиуса R.

Единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

1 рад/с равен угловой скорости такого равномерного движения по окружности, при котором за 1 с осуществляется угловое перемещение 1 рад.

При определении угловой скорости слово «рад» обычно не пишут, а просто обозначают 1/с (имеется в виду рад/с).

Движение точки по окружности (и вращение твердого тела) характеризуют также такие величины, как период и частота вращения.

Период вращения (Т) – это время, на протяжении которого точка (тело) совершает один полный оборот по окружности. Период вращения:

где t — время вращения, N — количество выполненных оборотов.

Период вращения Т измеряется в секундах. Период равен 1 с, если точка (тело) осуществляет один оборот в секунду. Частота вращения (вращательная частота):

где N — количество совершенных оборотов за время t .

Частота вращения измеряется в оборотах за секунду (об/с).

Частота вращения определяет количество оборотов точки (тела) вокруг центра (оси вращения) за 1 с.

Еще Архимед установил, что для всех окружностей любого радиуса отношение длины окружности к его диаметру является величиной постоянной. это число обозначили греческой буквой («пи»).

Таким образом, длина окружности

За один оборот материальная точка осуществляет угловое перемещение 2 рад.

Движение по окружности характеризуется привычным для нас понятием скорости как пути, который проходит точка за единицу времени. В данном случае эта скорость называется линейной. Если учитывать, что за один оборот (время Т) точка проходит путь то линейная скорость равномерного движения точки по окружности или

Вращение твердого тела

Твердые тела состоят из большого количества частичек. Абсолютно твердыми наукой считаются тела, расстояние между точками которых не изменяется во время явлений, которые с ними происходят. Однако следует иметь в виду, что абсолютно твердых тел в природе нет.

Как упоминалось в § 3, движения твердых тел бывают поступательные и вращательные. Твердые тела могут вращаться вокруг любых осей, в том числе и тех, которые проходят через их центры.

В случае а (рис. 20) ось вращения проходит через центр шара (например, вращаются колеса транспортных средств или Земля в своем суточном вращении вокруг оси). В случае в ось проходит через край шара. В случае в шар находится на определенном расстоянии от оси (например, Земля движется вокруг Солнца или Луна вокруг Земли). В некоторых случаях даже Землю и Луну можно считать материальными точками, а в некоторых случаях это сделать невозможно. Подумайте, в каких?

Что же является наиболее характерным для вращательного движения твердых тел? Очевидно, что при этом все точки этих тел в своем движении описывают окружности, центры которых находятся на осях вращения.

Понятно также, что разные точки тел за одно и то же время проходят по своим траекториям разные расстояния – чем дальше от оси вращения лежат точки, тем больше эти расстояния. Но за одно и то же время угловое перемещение всех точек одинаково. Следовательно, и угловая скорость для всех точек данного тела также будет одинаковой.

Для характеристики вращательного движения твердых тел используют такие же понятия, что и для движения точки по окружности: период вращения Т – время одного полного вращения; вращательная частота (частота вращения) — количество полных вращений за единицу времени; угловая скорость со. Кроме основной единицы частоты вращения об/с, используют об/мин, об/ч и т. п.

Период вращения Земли вокруг- Солнца равен в среднем 365 суток, а период вращения Луны вокруг Земли в среднем 28 суток. Изучая физику, астрономию, вы узнаете, что небесные тела, например планеты Солнечной системы, движутся не по окружностям, а по так называемым эллипсам.

Динамика вращательного движения

При просмотре фильмов-боевиков вы могли наблюдать, что при резком вращении руля автомобиля машина опрокидывается. В цирке мотоциклисты катаются по поверхности стен.
Проведем такой опыт. Нальем воду в ведро и раскрутим его в вертикальной плоскости. При определенной скорости вращения вода не выливается из ведра.

Из приведенных выше примеров можно сделать заключение, что существует сила, которая опрокинет машину при резком повороте, удержит мотоциклиста на стене и не даст вылиться воде из ведра при вращении.
Откуда появляется эта сила? От чего зависит ее величина?
Для этого вспомним о возникновении центростремительной силы в теле при равномерном вращательном движении:

По третьему закону Ньютона:

и при вращении появляется также центробежная сила.
Вот эта центробежная сила опрокинет резко разворачивающуюся машину, удержит воду в ведре при вращении и т.д.

На рисунке 4.12 показаны силы, действующие на тело, которое совершает вращательные движения по кругу радиусом . В точке 1, из-за того что центробежная сила направлена противоположно силе тяжести , вес тела уменьшается:

В точке 3 сила тяжести тела и центробежная сила направлены вниз, т.е. в одном направлении. В этом случае вес тела растет:

Центробежную силу нужно учитывать при вращении тела и в случаях поворота в ходе движения.
Кроме того, на поворотах дороги под воздействием центробежной силы наблюдается отклонение тела от вертикального положения. Чтобы это не приводило к авариям, велосипедисты или мотоциклисты должны двигаться с небольшим уклоном в сторону от центра вращения (рис. 4.13а).
Для уравновешивания этой силы специально для автомобилей на поворотах строят участки дороги с уклоном с одной стороны (рис. 4.13б). Для трамваев и поездов рельсы на поворотах дороги с внешней стороны круга делаются чуть выше.

Пример

При движении по кругу тело опускается вниз. При каком радиусе круга тело не упадет с точки . Скорость тела в точке равна 30 м/с.
Дано:

Чтобы тело не упало из точки должно выполняться следующее условие:

Ответ: 90 м.

Кинематика вращательного движения

При криволинейном движении материальной точки ее мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке.
Движение тела (МТ) по окружности является частным случаем криволинейного движения по траектории, лежащей в одной плоскости.

Одним из простейших и широко распространенных видов такого движения является движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Это такое движение, при котором тело (МТ) за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги. Подчеркнем, что при подобном движении скорость точки постоянно меняет свое направление.

Для описания движения по окружности используется ряд физических величин. Рассмотрим некоторые из них.

Удобным параметром для определения положения материальной точки М, совершающей движение по окружности радиусом R с центром в начале координат, является угол поворота (рис. 25)

радиус-вектора точки М. Он отсчитывается от оси Ох против хода часовой стрелки и связан с декартовыми координатами соотношениями:

По теореме Пифагора можно найти, что координаты х и у материальной точки в декартовой системе координат удовлетворяют соотношению

Скорость с которой материальная точка движется по окружности, называется линейной скоростью (рис. 26).

Проходимый точкой путь s (длина дуги окружности) равен, как и для всякого равномерного движения, произведению модуля скорости v и промежутка времени движения

Модуль угловой скорости — это отношение угла поворота к промежутку времени за который этот поворот произошел:

Угловая скорость со является величиной векторной. Она направлена вдоль оси вращения материальной точки, и ее направление определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения конца буравчика, рукоятка которого вращается в том же направлении, что и тело (рис. 27).

Единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью v угловая скорость является величиной постоянной и ее модуль равен отношению угла поворота к промежутку времени за который этот поворот произошел:

Здесь n — частота вращения — физическая величина, численно равная числу оборотов N материальной точки в единицу времени:

Единица частоты вращения в СИ — секунда в минус первой степени Время совершения одного оборота называется периодом вращения Т.

В СИ период измеряется в секундах (1с).

При совершении полного оборота период определяется по формуле

Модуль постоянной линейной скорости тела (МТ), движущегося по окружности, вычисляется по формуле

Проекции скорости (см. рис. 25) с течением времени изменяются по закону

Модуль угловой скорости определяется соотношением

Следовательно, соотношение между модулями линейной и угловой скорости имеет вид

Поскольку (докажите самостоятельно), где — угол поворота радиус-вектора в момент начала движения, то кинематический закон движения МТ но окружности имеет вид

При движении МТ по окружности с постоянной по модулю скоростью ее направление непрерывно изменяется и, следовательно, движение МТ происходит с ускорением, которое называется центростремительным или нормальным Ускорение направлено по радиусу к центру окружности и характеризует быстроту изменения направления скорости с течением (см. рис. 26). Его модуль определяется формулой

Нормальное ускорение в любой момент времени перпендикулярно скорости

Как и при прямолинейном равноускоренном движении, ускорение называемое тангенциальным (касательным), совпадает с направлением скорости или направлено противоположно ей и поэтому изменяет только модуль скорости. Следовательно, при движении по окружности с непостоянной по модулю скоростью (например, математический маятник) или при любом криволинейном движении полное ускорение можно представить в виде векторной суммы нормального ускорения и тангенциального ускорения направленного по касательной к окружности в данной точке (рис. 28):

Полное ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории (см. рис. 28).

Модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

где – нормальное ускорение, с которым точка двигалась бы по дуге
окружности радиусом r, заменяющей траекторию в окрестности рассматриваемой точки. Этот радиус r называют радиусом кривизны траектории.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Физика Атомная физика Ядерная физика Квантовая физика Молекулярная физика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Равномерное движение материальной точки по окружности
• Колебательное движение
• Физический и математический маятники
• Пружинные и математические маятники
• Поступательное движение
• Равномерное и неравномерное движение
• Равномерное движение
• Неравномерное движение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://studme.org/187786/tehnika/rabota_moschnost_vraschatelnom_dvizhenii

http://www.evkova.org/vraschatelnoe-dvizhenie-tela-v-fizike

[/spoiler]

Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела. Кинематика
движения материальной точки по окружности

Работа при вращательном движении

Вычислим работу, совершаемую внешними силами при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Выберем произвольную м.т. тела (рис. 15), совершающего вращательное движение под действием внешних сил. Элементарная работа силы F, действующей на м.т. может быть представлена в виде:

δA =  F_ dr = F_ r d = M_z d,

  где – проекция результирующей внешних сил на плоскость, перпендикулярную оси вращения, M_z – проекция  вектора  на ось вращения. Полную работу найдем интегрированием по всем элементам тела      

                                A = ∫ δA = ∫ M_z d,                                         Рис.15

Содержание:

Работа силы м мощность силы:

«Работа — это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны» (Энгельс)

Понятие работы

Энергия может переходить из одного вида в другие. Например, потенциальная энергия воды, поднятой плотиной на гидроэлектростанции, переходит в кинетическую энергию вращающихся турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энергию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию электропечей, в световую, в звуковую и в прочие виды энергии. При всех этих явлениях исчезает (или возникает) такое же количество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс называет работой.

Из множества различных видов движения в теоретической механике интересуются только механическим движением. Переход механического движения в немеханическое или же, наоборот, немеханического в механическое происходит на протяжении некоторого пути и зависит от действующих сил. Поэтому понятие работы в механике связано с понятиями перемещения и силы.

Работу постоянной силы при прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением А = Fs cos α

Работа постоянной силы при прямолинейном движении

Знакомство с понятием работы силы в механике начнем с частного случая — работы постоянной силы при прямолинейном движении точки ее приложения.

Пусть к некоторой материальной частице приложена сила F, постоянная по величине и по направлению. Пусть точка приложения силы переместилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае произведение

A= Fs cos α      (218)

выражает работу постоянной силы F при прямолинейном движении и характеризует механическое воздействие на материальную частицу со стороны других материальных объектов на данном пути.

Работа является скалярной величиной, она не имеет направления и вполне характеризуется величиной и знаком. В формуле (218) модуль силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «—» определяются знаком косинуса угла α между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости υ, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если угол (Fυ) острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F совпадает с направлением перемещения, то угол (

А =Fs.

Если же сила направлена противоположно перемещению, то () = 180^o, cos() = — 1 и

А = -Fs.

Сила, перпендикулярная к перемещению, работы не совершает, так как cos 90° = 0.

Определим размерность работы. В физической системе единиц

Единицей работы в СИ является джоуль² — работа силы в 1 ньютон, действующей по направлению перемещения на пути в 1 метр (1 дж= 1 н ∙ 3t = l кг ∙ м² ∙ ceκ^-2).

Размерность работы в технической системе единиц

Если сила выражена в кГ, а длина — в м, то единицей работы является 1 килограммометр.

Размерности работы и кинетической энергии одинаковы.

Элементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:

Элементарная работа силы

В общем случае, если сила переменна или движение точки приложения силы криволинейное, определять работу силы по (218) нельзя. Но, разбив мысленно весь путь на такие маленькие участки, которые можно считать прямолинейными и на которых можно пренебречь изменением величины и направления силы, мы определим на каждом из этих участков работу, называемую элементарной работой силы:

     (219)

В этом равенстве ds выражает длину элементарного перемещения и является величиной всегда положительной.

Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно определить работу на конечном участке. Докажем некоторые теоремы о работе силы.

Элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

Теорема об элементарной работе равнодействующей. Пусть к точке О приложен пучок сил F₁, F₂,…, F_n. Обозначим равнодействующую этого пучка F. Спроецируем все силы пучка и равнодействующую на направление скорости точки О и приравняем проекцию равнодействующей сумме проекций составляющих:

Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds элементарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

или 

     (220)

Под суммой следует понимать, конечно, алгебраическую сумму, потому что работа не имеет направления, но имеет знак.

Элементарная работа силы связана с проекциями силы на оси координат соотношением: dA = Xdx+ Ydy + Zdz

Выражение элементарной работы через проекции силы на оси координат

Разложим силу F на составляющие по осям координат и определим элементарную работу силы по сумме работ ее составляющих. Пусть составляющие силы направлены в положительном направлении осей координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) направляющих косинусов скорости. В таком случае имеем

или, подставляя значения направляющих косинусов,

сокращая на ds, получаем окончательно

Заметим, что в общем случае дифференциальный трехчлен X dx + Y dy + Z dz не является полным дифференциалом и обозначение элементарной работы dA не следует понимать как полный дифференциал от А.

Работу силы на данном пути выражают пределом суммы всех элементарных работ силы на элементарных перемещениях, из абсолютных величин которых составляется данный путь:

Работа силы на данном пути. Возьмем какие-либо два положения M₁ и M₂ точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы F на конечном перемещении M₁M₂ выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемещениях, на которые разбит конечный участок пути M₁M₂.

Эта сумма состоит из бесчисленного множества бесконечно малых слагаемых. Такую сумму называют криволинейным интегралом, взятым по дуге M₁M₂, и обозначают так:

    (222)

или, если воспользоваться выражением элементарной работы через проекции силы на оси координат,

    (222′)

Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути.

Так как сила, вообще говоря, зависит от координат точки ее приложения, от проекций скоростей точки и от времени:

то мы можем вычислить интеграл (222′) только в случае, если известно движение точки. Подставив тогда вместо их выражения в зависимости от времени, мы сможем представить работу силы в виде интеграла

где t₁ и t₂ — мгновения, соответствующие положению точки в M₁ и M₂.

Работа графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатами

Графическое определение работы

Ввиду сложности математического вычисления работы па практике часто пользуются для этой цели графическим методом. Будем откладывать по оси абсцисс длину пути, пройденного точкой, а по оси ординат — соответствующую проекцию силы на направление скорости, учитывая и знак проекции. Получим некоторую кривую, изображающую зависимость между проекцией силы на направление скорости и путем точки. Площадь, ограниченная этой кривой, осью абсцисс и двумя крайними ординатами, изображает работу силы на данном пути. Если кривая или часть ее расположена по отрицательную сторону, вниз от оси абсцисс, то соответствующая площадь изображает отрицательную работу.

Для построения графика зависимости силы от пути имеются различные приборы. В частности, специальный прибор — индикатор— служит для записи давления в цилиндре в зависимости отхода поршня. Работу, вычисленную при помощи индикаторной диаграммы, т.е. диаграммы, начерченной этим прибором, называют индикаторной работой.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела на изменение высоты центра тяжести тела: A_G=Gh

Работа силы тяжести

Складывая веса всех частиц тела, заменим их одной силой G, равной весу тела и приложенной в центре тяжести С. Пусть при движении тела центр тяжести тела переместился из C₁(x₁, y_l, z₁) в C₂ (x₂, y₂, Z₂) (рис. 210). Определим проекции веса на оси координат, считая, что Oz направлена вертикально вверх:

X=O; Y = 0; Z = -G,

или 

A = G (z₁—z₂) = Gh.      (223)э

Рис. 210

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от вида траектории точек тела и равна произведению веса тела на разность начальной и конечной высот центра тяжести. Если тело опускается, то сила тяжести тела совершает положительную работу, а если поднимается, то отрицательную. Так, например, если человек поднял гирю весом 10 кГ на высоту одного метра (безразлично—по вертикали или по иной траектории), то работа силы тяжести равна —10 кГ∙ м, а работа человека на преодоление силы тяжести равна +10 кГ∙ м.

Элементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на бесконечно малый угол поворота: dА = Mdφ

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу

Припомним формулы Эйлера, связывающие проекции вращательной скорости точки К (х, у, z) с угловой скоростью и координатами этой точки:

       (89)

Умножая эти равенства на dt, найдем приращения координат точки приложения силы:

Подставим эти выражения dx, dy и dz в формулу (221)

Разность, стоящая в скобках, выражает момент данной силы относительно оси вращения Oz:

  (224)

Если на тело действует несколько сил, то, составив такие равенства для определения работы каждой из них и просуммировав, найдем, что элементарная работа всех сил равна произведению главного момента сил относительно оси вращения на dφ.

Чтобы определить работу силы, действующей на тело при его повороте от φ₁ до φ₂, надо проинтегрировать уравнение (224) в этих пределах, выразив момент силы в функции угла поворота:

  (225)

В частном случае постоянного момента силы

A = Mφ    (226)

работа равна произведению момента силы на угол поворота тела.

Задача №1

Однородный массив ABED, размеры которого указаны на чертеже (рис. 211, а), весит 4 Т. Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы опрокинуть его вращением вокруг ребра D.

Рис. 211

Решение. 1-й способ. Рассматриваем опрокидывание массива. Какие силы действуют на массив? Их две: вес массива G=4 Т, приложенный в его центре тяжести С, и реакция фундамента. Во время опрокидывания реакция приложена в ребре D, вокруг которого происходит опрокидывание (рис. 211,6), как известно из статики). Но во время опрокидывания ребро D неподвижно, поэтому работа реакции равна нулю. Работу веса (силы тяжести) определим по (223). Для опрокидывания массива достаточно повернуть его до положения неустойчивого равновесия, изображенного на рис. 211, в, при котором центр тяжести находится в вертикальной плоскости, проходящей через ребро D; далее массив опрокинется сам. Имеем

Такова работа силы тяжести при опрокидывании массива. Чтобы опрокинуть массив, надо произвести работу, такую же по величине и обратную по знаку.

2-й способ. Несколько сложнее получится решение задачи, если мы воспользуемся формулой (225) о работе сил, приложенных к вращающемуся телу.

На поворачиваемый вокруг ребра D массив действуют вес и реакция в ребре D. Момент реакции относительно оси вращения равен нулю, следовательно, равна нулю и работа реакции. Момент веса — величина переменная — равен произведению силы 4 T на плечо CD cos φ, где φ (см. рис. 211, б) —угол, составляемый CD с горизонтальной плоскостью:

M = 20 cos φ.

Определим пределы интегрирования. При начале работы массив стоял вертикально, высота центра тяжести была 4 м и

Угол считаем отрицательным, так как отсчет производим по ходу часов:

φ₀ = arcsin 0,8.

В конечном положении (см. рис. 211, в)

Подставляя в (225), получаем

Мы определили работу восстанавливающего момента, вызванного силой тяжести и стремящегося восстановить устойчивое равновесие массива. Работа на опрокидывание массива вращением вокруг ребра D равна ей по величине и противоположна по знаку.

Ответ. А = + 4 Тм.

Задача №2

Определить работу на преодоление силы земного притяжения при запуске на высоту 30 000 м ракеты массой m = 2000 кг, считая силу притяжения изменяющейся по закону всемирного тяготения. Радиус земного шара принять R = 6 370 000 м.

Решение. На ракету действует сила, направленная к центру Земли и равная

где k — постоянный коэффициент пропорциональности, M — масса Земли,  – масса ракеты и x = h + R — расстояние ракеты от центра Земли.

Обозначая kM через μ, имеем

При x=R ракета находится на поверхности Земли и F = mg,

откуда 

Зная μ и k, можно определить массу Земли, потому что k = μ : M.

Работу переменной силы F на перемещение ракеты с поверхности Земли на высоту h= 30 000 м определим по (222):

Отрицательный знак показывает, что при подъеме ракеты сила тяготения ракеты к Земле направлена против движения. Чтобы преодолеть эту силу на заданном расстоянии, надо совершить работу, такую же по величине, но положительную по знаку.

Ответ. A = + 5 621 262 369 дж.

Задача №3

Доказать, что сумма работ внутренних сил абсолютно твердого тела при всяком перемещении тела равна нулю.

Решение. Рассмотрим две точки А и В твердого тела (рис. 212). Силы взаимодействия этих точек всегда равны между собой и направлены по прямой AB в противоположные стороны.

Проекции скоростей точек А и В на прямую AB всегда равны между собой:

Рис. 212

Поэтому при любом перемещении работы сил взаимодействия точек A и В равны по величине, но обратны по знаку, и сумма работ равна нулю

Доказательство проведено для двух точек абсолютно твердого тела, за которые мы можем принять любые точки тела, а потому оно относится ко всем точкам твердого тела. В случае упругого тела или изменяемой системы точек сумма работ внутренних сил не равна нулю. Так, например, при падении камня на Землю силы взаимодействия между камнем и Землей (внутренние силы системы Земля —камень) равны и противоположны, но сумма работ этих сил не равна нулю.

Ответ. Сумма работ всех внутренних сил в абсолютно твердом теле при всяком перемещении тела равна нулю.

Работа упругой силы равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации:

Работа упругой силы. Определим работу упругой силы F пружины при растяжении ее на λ см, если для растяжения этой пружины на 1 см необходима сила с кГ (рис. 213). Сначала определим работу, которую необходимо совершить для растяжения этой пружины на λ см.

Рис. 213

Согласно одному из основных законов теории упругости и сопротивления материалов, называемому законом Гука, растяжение нагруженного тела прямо пропорционально нагрузке:

F = сх,

де F — нагрузка, х—растяжение и с — коэффициент жесткости.

Если к пружине приложить силу, например растягивать пружину рукой, то со стороны пружины возникнет реакция, называемая упругой реакцией, или упругой силой, пружины. По принципу равенства действия и противодействия упругая сила равна и противоположна растягивающей силе F, а поэтому работа упругой силы определяется найденным значением. Знак работы упругой силы отрицателен, если сила упругости направлена против деформации, т. е. если деформация увеличивается, и положителен, если деформация уменьшается.

Задача №4

Применить графический метод для вывода формулы (227).

Решение. Будем откладывать (рис. 214) по оси абсцисс растяжение пружины, а по оси ординат—силу F, потребную для этого растяжения, затем построим по точкам кривую зависимости между силой и перемещением точки приложения силы. В нашем случае это кривая первого порядка, т. е. прямая линия.

Рис. 214

Первую точку поставим в начале координат, так как при отсутствии растягивающей силы растяжение пружины равно нулю. Чтобы растянуть пружину на 1 см, нужна сила с кГ, поэтому вторая точка кривой имеет координаты х=1, у =с Если сила с кГ будет продолжать действовать на пружину, то пружина будет оставаться растянутой на один сантиметр, но чтобы растянуть пружину еще на один сантиметр, надо увеличить силу еще на с кГ. Следовательно, координаты третьей точки x=2, y=2c и т. д. Для растяжения пружины на λ си нужна сила в cλ кГ. Точка x = λ, y = cλ лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с основанием λ и высотой cλ.

Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.

Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = сх, где х—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас — постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п.

Величину, характеризующую быстроту приращения работы Силы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:

Мощность силы

Одну и ту же работу можно произвести за различное время. Величину, характеризующую быстроту приращения работы, называют мощностью силы и обозначают буквой N. Разделив работу, произведенную силой, на время, в течение которого эта работа произведена, получим значение средней мощности силы:

B этом смысле говорят, хотя и несколько нечетко, что средняя мощность — это работа за единицу времени. При таком определении получается, что мощность является работой, или элементарной работой, чего не может быть, так как мощность имеет свою размерность. В физической системе единиц

Единицей мощности в СИ является мощность силы, производящей работу в один джоуль за одну секунду. Эту единицу называют ватт1 и обозначают вт. На практике часто употребляют единицу мощности киловатт (квт):

В технической системе в качестве единицы мощности силы обычно применяют кГм/сек. Употребляют также другую единицу мощности, называемую лошадиной силой:

1 л. с. = 75 кГ • м/сек = 736 вт.

Чем меньше промежуток времени, за который определена средняя мощность силы, тем ближе она соответствует мощности в данное мгновение, которую мы определим в пределе, если будем уменьшать промежуток времени, сохраняя начало этого промежутка:

    (228)

Таким образом, мощность силы выражают отношением элементарной работы к дифференциалу времени.
При некоторых частных выражениях работы мощность можно определить по другим формулам. Так, например, если сила направлена по скорости, то dA=Fds, и, подставляя в (228), найдем

N = F ∙υ,    (229)

т. е. мощность можно выразить произведением силы на скорость. При езде на автомобиле по ровной хорошей дороге, где нужно получить большую скорость, но не надо преодолевать большие сопротивления, включают высшие передачи, а при подъеме или на плохой дороге, где нужно развить при полной мощности возможно большую силу тяги, хотя бы и за счет потери скорости, включают низшие передачи.

Если сила выражена в килограммах, скорость —в км/ч, а мощность надо выразить в л. с., то формула (229) принимает следующий вид:

    (230)

т. е. мощность выражается произведением вращающего момента и угловой скорости.

Задача №5

Тягач, развивая мощность 80 л. с., тянет по горизонтальной ледяной дороге со скоростью 15 км/ч сани с грузом 36 т. Определить коэффициент трения саней о дорогу.

Решение. За основные единицы примем: L — в км, F —в кГ, T — в ч.

На сани действуют следующие силы: 1) вес 36 000 кГ, направленный вертикально вниз, 2) реакция дороги, направленная вертикально вверх; 3) сила тяги тягача, направленная горизонтально вперед по ходу саней, и 4) сила трения полозьев о дорогу, направленная горизонтально назад.

Работа вертикальных сил при горизонтальном движении саней равна нулю, и эти силы нас не интересуют.

Сани движутся равномерно, откуда следует, что горизонтальные силы уравновешивают друг друга. Следовательно, сила тяги F уравновешена силой трения, равной, как известно, произведению коэффициента трения на нормальное давление (36 000 кГ). Подставляя эти данные, найдем

,

откуда 

Решим теперь эту же задачу в СИ, т. е. примем L в м, M—в кг, T — в сек. Мощность силы, развиваемую тягачом, выразим в ваттах:

N = 80∙736 = 58 880 вт,

скорость —в метрах в секунду:

силу трения выразим в ньютонах:

и, пользуясь  формулой (229), получим ответ.

Ответ. 

Задача №6

Определение мощности машины можно произвести следующим образом. На вал машины надевают чугунный шкив, который центрируют и закрепляют наглухо зинтами (рис. 215). На шкив надевают две связанные болтами деревянные подушки, одна из которых имеет плечо l с чашкой для грузов Q. Противовес P подбирают так, чтобы свободно надетый на шкив нажим находился в равновесии без гирь Q в горизонтальном положении, т. е. так, чтобы плечо проходило между двумя неподвижными балками А и В. Испытание начинают с того, что затягивают болты подушек до тех пор, пока машина не даст наперед заданное число оборотов n. Коромысло прижимается при этом к неподвижной балке А. Затем начинают накладывать на чашку гири до тех пор, пока плечо не отстанет от А и не займет горизонтальное положение между А и В.

Рис. 215

Определить мощность, если вес гирь известен и равен Q, длина плеча равна l а число оборотов в минуту n. Подобрать длину плеча так, чтобы мощность выражалась формулой N = Qn вт.

Решение. Центр тяжести подушек с противовесом P по условию задачи лежит на одной вертикали с осью шкива На шкив действуют вращающий момент и момент сил трения, сумма которых равна нулю, так как шкив вращается равномерно.

Чтобы определить момент сил трения, рассмотрим равновесие подушки и составим сумму моментов действующих на нее сил относительно оси вала:

Тогда, по (230),

Пусть вес выражен в кГ, а длина —в м, тогда для выражения мощности в вт надо эту величину разделить на 0,102 или умножить на 9,81:

Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Ответ. N = 1,026 Qln вт. Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Задача №7

Посредством ремня (рис. 216) передается мощность 20 л. с. Радиус ременного шкива 50 см, число оборотов в минуту 150.

Предполагая, что натяжение T₁ ведущей ветви вдвое больше натяжения T₂ ведомой ветви, определить натяжение T₁ и T₂.

Рис. 216

Решение. Условие задачи дано в технической системе единиц, будем решать в СИ и выражать L — в .и, F — в н, Т —в сек.

Момент натяжения ремня, взятый относительно оси вращения шкива

Угловая скорость

Мощность 20 л. с. выразим в ваттах.

и по (230)

откуда

Натяжение ведущей ветви в два раза больше.

Ответ. T₁ = 3750 н; T₂= 1875 н. В задачнике И. В. Мещерского ответ дан в кГ, умножая число ньютонов на 0,102, выразим натяжение ремней в килограммах: T₂ = 382 κΓ, T₁= 191 кГ.

Теоремы об изменении кинетической энергии точки и системы

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:
T-T₀=A

     (127)

Умножим первое из этих уравнений на, второе—на  и третье—на . Сокращая dt в знаменателях правых и левых частей, получим:

или 

Сложим все три уравнения и заменим в левой части сумму дифференциалов дифференциалом суммы:

В числителе левой части имеем квадрат полной скорости (64), а правая часть выражает элементарную работу силы (221). Следовательно,

  (231)

т. е. дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе. Интегрируя равенство (231), получим

Постоянную интеграции определим из начальных данных. В начальное мгновение скорость точки υ = υ₀, а работа равнялась нулю. Подставляя эти данные, получим

и окончательно

  (232)

Равенство (232) словами можно прочитать так: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении этой точки на каком-либо участке пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же участке пути. Уравнение (232) называют уравнением кинетической энергии.

Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к точке сил.

Уравнение (232) можно записать более коротко:

Т—Т₀ =  А.    (232′)

Задача №8

Самолет делает посадку с выключенным мотором на болотистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость v может иметь самолет, не рискуя капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центра тяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).

Рис. 217

Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.
Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)

Рис. 218

Вертикальная скорость самолета теряется при ударе о Землю, но горизонтальная сохраняется. Если при спуске  самолета шасси остановится, то оставшаяся кинетическая энергия уйдет на опрокидывание самолета:

Решая это уравнение, находим ответ.

Ответ.

Задача №9

Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, с какой наименьшей скоростью надо бросить материальную точку вертикально вверх, чтобы она не вернулась на Землю.

Решение. Сила, действующая на брошенную с Земли точку, пропорциональна массе точки и обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от центра Земли:

Коэффициент пропорциональности был определен при решении задачи № 155:

Материальная точка, получив начальную скорость υ₀, будет удаляться от Земли, при этом под действием силы F скорость ее будет уменьшаться, уменьшаться будет и сила F. Материальная точка не вернется на Землю, если в мгновение, когда скорость ее станет равной нулю, перестанет действовать и сила. Сила притяжения обратится в нуль при r = ∞.

Работу силы А при изменении r от R до ∞ выразим интегралом

Знак минус перед интегралом взят потому, что сила направлена в сторону, противоположную движению. Подставляем в (232):

откуда 

Подставляя числовые данные, получим ответ.
Ответ. (2-я космическая скорость).

Задача №10

В автоматическом оружии отдача используется для выбрасывания пустой гильзы и вкладывания нового патрона. Это осуществляется посредством специального кожуха, сдерживаемого пружиной, который «принимает на себя» отдачу, отскакивает назад и под действием пружины возвращается обратно, производя упомянутые операции. Какова должна быть скорость пули, достаточная для того, чтобы работал автоматический пистолет, если вес пули 8 Г, вес кожуха 250 Г, расстояние, на которое отскакивает кожух, 3 см и сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см, равна 4 кГ?

Решение. Путь кожуха 3 см. На этом пути начальная скорость кожуха υ0 уменьшается, достигая нуля. Механическое движение кожуха переходит в упругую энергию пружины. Следовательно, применима теорема об изменении кинетической энергии, пользуясь которой, определим начальную скорость кожуха, так как конечная скорость равна нулю:

Упругая сила пружины изменяется по закону Гука F = cx; подставляя вместо F и х их заданные значения, находим

Подставляя в (221) и интегрируя в пределах от 0 до 3, находим

Работа отрицательна, так как упругая сила пружины направлена против ее деформации и выражена в кГ^. см. Выразив в тех же единицах кинетическую энергию кожуха, найдем его начальную скорость:

или

Итак, после выстрела кожух начал двигаться со скоростью 3,76 м/сек и, пройдя 3 см, остановился, затратив свое механическое движение на сжатие пружины.

После выстрела механическое движение получил не только кожух, но и пуля. Мы не будем больше рассматривать переход механического движения в упругую энергию пружины, а рассмотрим лишь механическое движение кожуха и пули.

Рассмотрим систему, состоящую из пистолета (с кожухом) и пули. Построим оси координат, проведя Ox вдоль дула пистолета. Проекция внешних сил на ось Ox равна нулю. Сила взрыва— внутренняя сила системы и, следовательно, центр масс системы не смещается по оси Ох, и сумма проекций количеств движения после выстрела, как и до выстрела, равна нулю:

откуда скорость пули

Знак минус показывает, что скорость пули направлена в сторону, противоположную скорости кожуха. Если скорость пули будет меньше, будет меньше и количество движения пули, а потому уменьшится и количество движения кожуха. Если же уменьшится количество движения кожуха, то уменьшится и его кинетическая энергия и ее будет недостаточно для совершения работы — сжатия пружины на 3 см, т. е. при меньшей начальной скорости пули пистолет не будет автоматически перезаряжаться. При большей скорости пули избыток кинетической энергии кожуха будет передаваться ударом на руку.

Ответ.  υ=120 м/сек.

Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: T-T₀ = А

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Пусть механическая система состоит из п материальных точек. Разбив на две категории все силы, действующие на точки системы, напишем дифференциальные уравнения в форме (130):

где k = 1, 2, 3, …, n.

Рассмотрим отдельно какую-либо из точек системы и напишем для нее уравнение кинетической энергии. На эту точку действуют как внешние, так и внутренние силы, и в правой части уравнения кинетической энергии мы напишем сумму работ внешних и внутренних сил:

Составим такие же уравнения для всех точек и возьмем сумму:

    (233)

Припомним, что внутренние силы системы не вошли в уравнения проекций количеств движения системы (169) и в уравнения моментов системы (192). Однако они имеются в уравнении (233) кинетической энергии системы. Происходит это потому, что сумма проекций на любую ось и сумма моментов всех внутренних сил относительно любой оси всегда равны нулю, так как внутренние силы системы попарно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Но сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю, как это было показано в задаче № 156.

Пусть, например, две точки системы отталкивают друг друга внутренними равными и противоположно направленными силами и под действием этих сил расстояние между точками увеличивается. Перемещения обеих точек направлены по силам, работы обеих сил положительны, и сумма работ этих сил не равна нулю. Внутренние силы системы можно рассматривать как силы взаимодействия точек, взятых по две. Поэтому сказанное о двух точках распространяется на все точки системы.

Силы взаимодействия между каждыми двумя частицами направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти частицы. Если расстояние между частицами не изменяется, то относительное перемещение этих частиц может быть только в направлении, перпендикулярном к этой прямой. Но силы, перпендикулярные к перемещениям, работы не совершают, а потому работа внутренних сил неизменяемой системы (абсолютно твердого тела) равна нулю.

Если система состоит из нескольких твердых тел, то работа внутренних сил каждого твердого тела равна нулю, но работы внутренних сил, действующих между каждыми двумя твердыми телами, принадлежащими к этой системе, в общем случае не равны нулю.

Задача №11

Цилиндрический вал диаметром 10 см и весом 0,5 T, на который насажено маховое колесо диаметром 2 м и весом 3 Т, вращается в данное мгновение с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? При решении задачи массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.

Решение. Примем следующие единицы измерения: L-в см, F — в Т, T — в сек.
Требуется определить количество оборотов вала до остановки. Механическое движение (вращение) вала с маховиком исчезает, переходит в другие виды движения. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии (233′).

На вал с насаженным на него маховым колесом действуют силы: 1) вес всей системы, состоящий из веса махового колеса и веса вала, G = 3,5; 2) реакции в опорах; 3) сила трения в подшипниках, равная произведению веса на коэффициент трения; Fτp≈ 0,05-3,5.

Точка приложения первой из этих сил неподвижна, а потому работа первой из этих сил равна нулю.

Реакции перпендикулярны перемещениям, а потому работа реакции равна нулю.

Работу сил трения определим по (226) как работу силы, приложенной к вращающемуся телу. Момент силы трения относительно оси вращения равен произведению силы трения на плечо (на радиус вала):

Работа отрицательна, так как сила направлена против скорости, т. е. если вращение вала происходит против хода часовой стрелки (φ > 0), то M_тp < 0, а потому A = M_тp φ< 0; если же (φ < 0), то M_тp > 0, а потому А < 0:

Кинетическую энергию системы определим по (216) как кинетическую энергию вращающегося тела. 

Момент инерции системы равен сумме момента инерции маховика и момента инерции вала. Хотя вес вала только в 6 раз меньше веса махового колеса, но момент инерции вала исчезающе мал по сравнению с моментом инерции махового колеса, так как момент инерции зависит не столько от массы тела, сколько от ее распределения. Действительно, если масса маховика равномерно распределена по ободу, то

Момент инерции цилиндрического вала определим как момент инерции цилиндра относительно его оси (см. задачу № 134):

Следовательно, момент инерции вала в 4800 раз меньше момента инерции маховика и при решении задачи моментом инерции вала можно пренебречь.

Определим начальную угловую скорость:

Конечная угловая скорость равна нулю.
Все полученные данные подставляем в (233′):

Из этого уравнения можно определить число оборотов вала до остановки. Так как φ выражен в радианах, а в каждом обороте 2π радиан, то, обозначая искомое число оборотов х, получим

φ = 2πx.

Подставляем φ в предыдущее уравнение и, решая, получаем ответ.
Ответ. Вал сделает до остановки 109,7 оборота.

Задача №12

Доска весом G₁ лежит на двух одинаковых цилиндрических катках весом G каждый, находящихся на горизонтальной плоскости. К доске приложена постоянная горизонтальная сила Р. При движении системы скольжение между катками и доской отсутствует. Определить ускорение доски, пренебрегая сопротивлением качению.

Решение. К механической системе, состоящей из доски и двух катков, применим теорему об изменении кинетической энергии в форме (233′):

Определим кинетическую энергию системы. При качении катка без скольжения его мгновенный центр скоростей находится в точке соприкосновения с неподвижной плоскостью. Кинетическую энергию каждого из цилиндрических катков определим по формуле (216′):

Кинетическую энергию доски, движущейся поступательно со скоростью о, равной скорости верхней точки обода каждого катка, определим по (214):

Величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скоростей, следовательно,

υ = 2υ_c

Кинетическая энергия всей механической системы, т. е. двух цилиндрических катков и доски, равна

Аналогично

Определим работу внешних сил. Ha систему действует внешние силы (рис. 219); движущая сила Р, веса G₁, G и G, нормальные реакции R₁ и R₂ неподвижной плоскости и силы трения скольжения F_{1 тр} и F_{2 тр}.

Рис. 219

Работа сил тяжести на горизонтальном перемещении их точек приложения равна нулю. Работа идеальных реакций и сил трения, приложенных в мгновенных центрах скоростей катков, равна нулю. Сумма работ всех внешних сил содержит только работу силы P на пути s, т. е.

Но в уравнение кинетической энергии системы входит также работа внутренних сил системы. Определим ее. Работа внутренних сил каждого из твердых тел всегда равна нулю. Работа внутренних сил взаимодействия между твердыми телами системы (между доской и каждым катком) в данном случае тоже
равна нулю, так как эти силы равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к точкам, элементарные перемещения которых одинаковы, так как нет скольжения доски по каткам. Таким образом, имеем

Подставляя знамения Т, T₀ и уравнение (233′), находим 

Продифференцировав это уравнение по времени, получим

Ответ. 

Задача №13

Параллелепипед веса P₁ (рис. 220) опирается на плоскость, наклоненную под углом а к плоскости горизонта; цилиндр веса P₃ и радиуса R опирается образующей на плоскость, наклоненную под углом β. Оба тела соединены идеальной нитью, перекинутой через блок радиуса R и веса P₂. Система выходит из состояния покоя. Определить скорость и параллелепипеда после того, как он переместится по плоскости на расстояние 3, если коэффициент трения его о плоскость равен f, а трением при качении цилиндра и вращении блока можно пренебречь. Массу блока считать равномерно распределенной по его поверхности.

Рис. 220    

Решение. Рассмотрим движение системы, состоящей из параллелепипеда, цилиндра и блока. Для движения параллелепипеда вверх необходимо, чтобы

откуда 

Для движения параллелепипеда вниз необходимо; чтобы

откуда 

Если вес P₁ параллелепипеда заключается в пределах

то система остается в равновесии. При прочих значениях P₁ возникает движение системы. Для определения скорости определим кинетическую энергию системы.

В начальное мгновение кинетическая энергия системы равнялась нулю. Когда параллелепипед приобрел скорость у, то вследствие нерастяжимости нити такую же скорость получила и ось цилиндра. Кроме того, цилиндр получил угловую скорость . Такую же угловую скорость получил блок.

Кинетическая энергия T системы равна сумме кинетических энергий материальных тел, составляющих эту систему. Кинетическая энергия параллелепипеда

Кинетическая энергия блока 

Кинетическая энергия цилиндра 

Следовательно, 

Работа сил при перемещении s параллелепипеда вверх по плоскости

Если же параллелепипед опустился на такое же расстояние, то

Приравнивая работу изменению кинетической энергии, получим ответ.
Ответ. Скорость параллелепипеда выражается равенствами: I) при подъеме:

2) при опускании:

Задача №14

Решить задачу применив теорему об изменении кинетической энергии.
Решение. Выразив все заданные величины в кГ, м и сек, вычислим конечную кинетическую энергию системы:

Начальная кинетическая энергия системы .
Вращающий момент приложен к первому валу. Когда второй вал сделает искомое число оборотов n₂, первый вал повернется на  а потому работа

Подставляя эти данные в (233), имеем

Ответ. n₂ = 2,344 оборота.

Потеря кинетической энергии при ударе

Потеря кинетической энергии системы, происходящая от ударов при встрече ее тел, равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям (Л. Карно):

Теорема Карно

Кинетическая энергия является мерой, характеризующей способность механического движения превращаться в эквивалентное количество других видов движения (теплота, электричество и т. и.). Удары тел всегда сопровождаются явлениями, требующими затраты энергии (нагревание тел, звук и пр.), поэтому удары, происходящие при встрече тел всякой механической системы, обязательно уменьшают кинетическую энергию системы.

Как было показано в § 45, мгновенный импульс при прямом центральном неупругом ударе двух тел может быть выражен любой из следующих формул:

    (174)

     (175)

Кинетическую энергию системы двух тел до удара обозначим T₀, а после удара Т. Изменение кинетической энергии

или

Если тела неупруги, то, принимая во внимание (174), получим

Подставив вместо S его значение (175), убедимся, что кинетическая энергия системы уменьшилась:

     (234)

Если одно из тел, например второе, до удара было неподвижно (v2 = 0), то начальная кинетическая энергия системы равна кинетической энергии первого тела:

и

Следовательно, в этом случае потеря кинетической энергии зависит исключительно от отношения масс ударяющихся тел. При ковке металла переход кинетической энергии в тепловую целесообразен, а потому наковальня должна быть во много раз массивнее молота. Так, например, если молот в 99 раз легче наковальни, то T-T₀=-0,99 T₀, т. е. 99% энергии уходит главным образом на полезную работу (на ковку) и лишь 1% затрачивается на сотрясение наковальни. Напротив, при забивании свай надо сообщить свае возможно большую скорость, т. е. надо по возможности сохранить при ударе кинетическую энергию системы, а потому целесообразно ударять сваю массивной бабой. Так, например, если масса бабы в 99 раз больше массы сваи, то T-T₀ = -0,01 T₀ и 99 % энергии уходит на полезную работу (забивку сваи) и лишь 1 % теряется на звук, теплоту и пр.

Потерю кинетической энергии при ударе выразим более удобной формулой. Для этого возведем (175) в квадрат и потом разделим правую часть полученного равенства на левую:

Умножим теперь на полученное выражение (т. е. на единицу) равенство (234):

или в виду равенств (174)

      (236)

(υ₁ — ) и (υ₂ — ) выражают скорости, потерянные первым и вторым телами при ударе. Поэтому равенство (236) словами читают так: потеря кинетической энергии неупругих тел при ударе равна сумме кинетической энергии, которую имели бы эти тела, если бы их скорости были равны тем скоростям, которые они потеряли при ударе.

Аналогично можно показать, что в случае не вполне упругого удара потеря кинетической энергии равна  доле кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям:

   (236^/)

Если бы существовали абсолютно упругие тела (k = 1), то их соударение происходило бы без потери кинетической энергии, т. е. без нагревания, без звука и пр.

Задача №15

Определить потерю кинетической энергии при прямом центральном ударе двух тел, а также их скорости после удара, если m_l = m₂ = 2 кг, υ_{1 =}4 м/сек, υ₂ =0, k = 0,5.

Решение. Если бы удар был неупругим, то скорость тел после удара была бы по (176):

Учитывая коэффициент восстановления, скорости каждого из тел определим по (178):

Потерю кинетической энергии определим по (236′):

Напомним, что механическое движение имеет две меры: 1) количество движения, т. е. меру, характеризующую способность механического движения передаваться от одних материальных тел к другим в виде механического же движения, и 2) кинетическую энергию, характеризующую способность механического движения переходить в другие немеханические виды движения.

Поэтому кинетическая энергия системы теряется при ударе, переходит в теплоту, звук и пр. и   . В данном примере  кинетическая энергия системы до удара была , а после удара стала

Потерянная системой двух тел кинетическая энергия 6 кгм²/сек²  перешла в другие немеханические виды движения.

Количество же движения системы лишь передалось от одного тела другому, но сохранилось в системе. В самом деле, K₀ = 2∙4 = 8 κг∙м∕ceκ; K = 2∙1 + 2∙3 = 8 κг∙м∕ceκ, т. е. K-K₀ = 0.

Ответ. T — T₀ = 6 дж; =l м/сек; = 3м/сек.

Коэффициент полезного действия

В этой главе рассмотрены задачи на определение работы, совершаемой постоянной силой, и развиваемой мощности при поступательном и вращательном движении тел.

Работа и мощность при поступательном движении

Работа постоянной силы Р на прямолинейном участке пути s, пройденном точкой приложения силы, определяется по формуле

где a — угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

При a = 90°

т. e. работа силы, действующей перпендикулярно к направлению перемещения, равна нулю.

Если направление действия силы совпадает с направлением перемещения, то    а = 0, поэтому cosa = cos O = 1 и формула (1) упрощается;

На точку или на тело обычно действует не одна сила, а несколько, поэтому при решении задач целесообразно использовать теорему о работе равнодействующей системы сил (Е. М. Н и к ит и и, § 89):

т. е. работа равнодействующей какой-либо системы сил на некотором пути равна алгебраической сумме работ всех сил этой системы на том же пути.

В частном случае, когда система сил уравновешена (тело движется равномерно и прямолинейно), равнодействующая системы сил равна нулю и, следовательно, Поэтому при равномерном и прямолинейном движении точки или тела уравнение (2) принимает вид

т. е. алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил на некотором пути равна нулю.

При этом силы, работа которых положительна, называются движущими, а силы, работа которых отрицательна, называются силами сопротивления. Например, при движении тела вниз–сила тяжести – движущая сила и ее работа положительны, а при движении тела вверх его сила тяжести является силой сопротивления и работа силы тяжести при этом отрицательна (§93, Е. М. Н и к и т и н).

При решении задач в случаях, когда неизвестна сила Р, работу которой нужно определить, можно рекомендовать два приема (метода).

1.    При помощи сил, заданных в условии задачи, определить силу Р, а затем по формуле (1) или (1) вычислить ее работу.

2.    Не определяя непосредственно силы Р, определить — работу требуемой силы при помощи формул (2) и (2′), выражающих теорему о работе равнодействующей.

Мощность, развиваемая при работе постоянной силы, определяется по формуле

Если при определении работы силы Р скорость движения точки остается постоянной, то

Если же скорость движения точки изменяется, средняя скорость и тогда формула (2′) выпажает среднюю мощность

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) при совершении работы можно определить как отношение работ

где — полезная работа; А – вся произведенная работа, или как отношение соответствующих мощностей:

Единицей работы в СИ служит 1 джоуль (дж) =а в системе МКГСС –

Так как единицей длины в обеих системах служит 1 м, а 1 кГ=9,81 н (или 1 н = 0,102 кГ), то

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт

а в системе МКГСС—

При использовании системы МКГСС мощность обычно измеряют в лошадиных силах (л. с.), причем

При использовании СИ мощность измеряют в киловаттах (квт): 1 квт — 1,36 л. с.

Для перехода от одних единиц к другим следует пользоваться формулами

Задача №16

Какую работу производит человек, передвигая по горизонтальному полу на расстояние 4 м горизонтально направленным усилием ящик массой 50 кГ? Коэффициент трения f = 0,4.

Решение 1—методом определения движущей силы Р.

1.    На ящик, поставленный на горизонтальный пол, действуют две силы: G и реакция пола N (рис. 252). Двигая ящик, че-
ловек прикладывает к нему силу Р, и тогда возникает сила трения F.

При равномерном передвижении ящика четыре силы образуют уравновешенную систему и поэтому, спроектировав их на горизонтальную и вертикальную оси, найдем, что

3.    Работа, которую производит человек в данном случае, как видно, состоит в преодолении силы трения (P=F). Но так как

то

4.    Если решить задачу в системе МКГСС, то

Легко убедиться, что оба ответа выражают одну и ту же работу:

Решение 2 —с применением теоремы о работе равнодействующей.

1.    Как показано в первом решении, на ящик при его перемещении действуют четыре силы: сила тяжести G, реакция пола движущая сила и сила трения F. Ящик движется равномерно и прямолинейно, поэтому эти четыре силы образуют уравновешенную систему. Следовательно, применив формулу (2′). получим уравнение

2.    В этом уравнении работа силы тяжести Аа=0, так как сила G действует перпендикулярно к направлению перемещения; по этой же причине работа реакции N

Таким образом, искомая работа при перемещении ящика

3.    Работу силы трения найдем по формуле (1), учитывая, что в этом случае а=180°:

Подставим значение в уравнение (а):

Так как F — Nf и N — G, то

AP=Fs — Nfs = Gfs=mgfs

Задача №17

На тело М массой т—40 кг, могущее перемещаться вдоль вертикального направляющего бруска, действует некоторая сила Р, постоянно направленная под углом а =18° к вертикали. Под действием этой силы тело поднимается равномерно на высоту h = 4 м (рис. 253, а); коэффициент трения при скольжении тела вдоль направляющего бруса f=0,2. Определить произведенную работу и коэффициент полезного действия. Решение 1.

1.    При равномерном перемещении вдоль бруска вверх на тело М действуют четыре силы: сила тяжести G, сила трения F, нормальная реакция N, равная давлению тела на брусок, и движущая сила Р (рис. 253. б).

2.    Сила Р производит работу

Но чтобы определить ее, нужно сначала найти силу Р.

3.    Расположив оси координат, как показано на рис. 253, б, выведем уравнения равновесия:

а также уравнение, выражающее основной закон трения:

Из уравнения (1)

поэтому уравнение (3) примет вид

Подставим полученное значение силы трения в уравнение (2):

4.    Подставим в последнее выражение числовое значение силы тяжести G в единицах СИ (G=mg):

Тогда работа, произведенная силой,

5.    Если подставить в уравнение (4) силу тяжести G, выраженную в технических единицах (G = 40 кГ), то

Работа этой силы в единицах МКГСС получит такое значение:

6.    Определим коэффициент полезного действия:

Вся произведенная работа А = 1680 дж, а полезная работа состоит в том, что тело весом G — mg поднято на высоту h, т. е.

Умножив найденное значение = 0,934 на 100, выразим к. п. д. в процентах:

Примечание. Можно не определять отдельно числовое значение силы Р виде выражение работы для
(см. п. 4 и 5), а получить предварительно в общем данного случая:

и после деления числителя и знаменателя на cos а:

Но иногда в технических расчетах числовые значения девствующих сил необходимы для решения каких-либо других вопросов.

Если воспользоваться приведенным выше выражением работы, то выражение к. п. д. для данной задачи получит такой вид:

Таким образом, коэффициент полезного действия при передвижении тела М по вертикальному направляющему бруску зависит от коэффициента трения f и угла а, определяющего направление действия силы относительно вертикального бруска.

Если заменить

Решение 2.

1.    В первом решении выяснено, что на тело М действует система четырех сил: G, F, N, Р (см. рис. 253, б).

2.    Так как тело движется по бруску равномерно, система этих сил уравновешена и, следовательно, алгебраическая сумма их работ равна нулю:

3.    Тело М движется вертикально вверх и поднимается на высоту h, поэтому работа силы N, направленной перпендикулярно к направлению перемещения:

работа силы тяжести G, направленной вертикально вниз,

работа силы трения F, также направленной вниз,

Известно, что F=Nf. Спроектировав на ось х (см. рис. 253,6) силы, приложенные к телу М, найдем, чтоПоэтомуи выражение работы силы трения примет вид

4.    Подставим выражения работ в уравнение (а)
5. Вычислим работу в единицах СИ. Тогда
поэтому

Таким образом, вся работа, произведенная при подъеме тела М на высоту составляет 1670 дж. К. н. д. при выполнении этой работы определяем так же, как и в первом решении.

Задача №18

Какой мощности электродвигатель необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поднимать клеть со строительными материалами общей массой m=1200 кг на высоту 20 м за 30 сек. Коэффициент полезного действия лебедки

Решение (в единицах СИ).

1.    Полезная мощность, развиваемая лебедкой при подъеме,

2.    Мощность двигателя N найдем из выражения

3 Таким образом, мощность двигателя, необходимая для лебедки,

Двигатель должен иметь мощность не менее 10,9 квот.

Рекомендуется решить самостоятельно эту задачу в единицах МКГСС и найти мощность двигателя, выраженную в л. с.

Задача №19

Какую работу необходимо произвести, чтобы равномерно передвинуть в горизонтальном направлении на расстояние ь клинчатый ползун 1 вдоль направляющих 2? Вес ползуна G, угол заострения ползуна и направляющих а (рис. 254, а), коэффициент трения между ползуном и направляющими f.

Решение.

1.    На клинчатый ползун, когда он находится в горизонтально расположенных направляющих, действуют три силы: вес ползуна и две реакции направляющих (рис. 254, в), действующих на ползун перпендикулярно к боковым плоскостям (щекам) ползуна.

Для приведения ползуна в движение к нему нужно приложить параллельно направляющим силу и тогда возникнут еще две силы – силы трения, действующие вдоль обеих боковых плоскостей ползуна (см. рис. 254, б – здесь вектор изображает направленную вертикально вверх геометрическую сумму нормальных реакций

Таким образом, на ползун при его движении действуют всего шесть сил:

В данном случае нормальные реакции равны между собой, следовательно, равны и силы трения поэтому

2.    Работа при перемещении ползуна на расстояние s

но предварительно найдем числовое значение движущей силы Р.

3.    Спроектировав    приложенные    к ползуну силы на    ось х

(см. рис. 254, б), получим

Нормальную реакцию N найдем из уравнения проекций на ось у (см. рис. 254, в):

Подставляем найденное значение N в

4.    Следовательно, работа при передвижении клинчатого ползуна на расстояние s

Например, при

Примечание. Входящая в формулу (б) величина называется коэффициентом трения клинчатого ползуна. При уменьшении угла а (при большем

заострении ползуна и направляющих) коэффициент трения клинчатого ползуна резко увеличивается.

Решение задачи вторым способом с применением теоремы о работе равнодействующей силы рекомендуется выполнить самостоятельно.

Задача №20

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости, длина которой м и угол подъема а = 20; (рис. 255, а). Определить работу, производимую силой, направленной параллельно наклонной плоскости, и коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f=0,2. Решение 1.

1.    При движении тела М (примем его за материальную точку) вверх по наклонной плоскости на него действуют четыре силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости движущая сила и сила трения (рис. 255, б).

2.    Работа силы Р при перемещении тела по длине наклонной плоскости

3.    Найдем необходимую для перемещения тела М силу Р. Расположив оси координат, как показано на рис. 255, 6, составим два уравнения равновесия:

Дополним эти уравнения третьим уравнением, выражающим основной закон трения:

Из уравнения (1)

Вместо силы трения F подставим ее значение из уравнения (3):

а вместо нормальной реакции N подставим ее значение из уравнения (2):

4.    Следовательно, работа силы P

После подстановки в это уравнение числовых значений

5.    Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Полезная работа состоит в подъеме тела весом G на высоту поэтому

Решение 2.

1.    Можно считать, что на тело М действуют не четыре, а три силы: G—вес тела, движущая сила и полная реакция поверхности реальной связи R, равная геометрической сумме сил(рис. 255, в).

Реакция реальной связи R, как известно (§ 15-3), при движении отклоняется от нормали к поверхности связи на величину угла трения причем — коэффициент трения.

2.    Так как на тело М действуют только три силы и они образуют уравновешенную систему (тело М, принятое за материальную точку, движется равномерно и прямолинейно), силовой треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым.

3.    По рис. 255, в можно определить, что в силовом треугольнике AВС угол Следовательно,

4.    Применим к АВС теорему синусов’

5.    Работа силы Р

Из равенства (см. п. 1) находим, чтоПодставим теперь в выражение работы числовые значения и определим, что

6.    Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Развернем знаменатель получившейся дроби:

 

Числитель и знаменатель разделим на произведение и получим окончательный вид формулы к. п. д. наклонной плоскости при действии силы Р, параллельной этой плоскости

Подставив сюда значение углаи учтя, что получим

Примечания: I. Как видно, результаты обоих решений совпадают, хотя получившиеся формулы для силы Р внешне отличаются друг от друга.

Формулу для Р из первого решения легко преобразовать и привести к результату второго решения:

2. Выражение (I), полученное во втором решении, показывает, что к. п. д. наклонной плоскости зависит лишь от коэффициента треният. е. от материала и состояния трущихся поверхностей тела М и угла подъема наклонной плоскости.

Решение 3.

1.    Известно, что при действии на точку нескольких сил алгебраическая сумма работ всех сил на некотором пути равна работе равнодействующих этих сил.

2.    В данном случае на тело М, которое примем за материальную точку, действуют четыре силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости сила трения и движущая сила Р (см. рис 255, б).

3.    Точка М движется равномерно и прямолинейно. Равнодействующая сил, действующих на точку, равна нулю, и, следовательно, алгебраическая сумма работ, производимых силами на длине наклонной плоскости, также равна нулю:

4.    Находим отсюда работу силы Р:

где работа силы

работа силы направленной перпендикулярно к направлению движения точки, равна нулю:

работа силы F

так как сила трения

Подставим в выражение (а) полученные значения работ:

Таким образом,

5.    К п. д. наклонной плоскости найдем так же, как в п 5 первого решения.

Задача №21

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскостимне углом подъема 

а=20 . Определить работу, произведенную силой, направленной параллельно основанию наклонной плоскости (рис. 256, а), также коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f = 0,4.

Первое и третье решения задачи, аналогичные соответствующим решениям задачи 225-44, рекомендуется выполнить самостоятельно.

Решение. 2.

1. Приняв тело М за материальную точку, изобразим на рис. 256, б (слева) три действующие на нее силы: вес G, движущую силу Р и полную реакцию R наклонной плоскости, которая отклонена на угол (угол трения) от нормали к поверхности наклонной плоскости.

2.    При равномерном движении тела по наклонной плоскости эти три силы образуют уравновешенную систему, и поэтому треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым (см. рис. 256, б – справа).

3.    Силовой треугольник АВС получается в данном случае прямоугольным, так как вектор G перпендикулярен к вектору Р; угол поэтому числовое значение движущей силы

* Работа силы P в результате вычислений получается отрицательной, так как плоскость несамотормозящаяся (угол подъема а угол трения следовательно, см. задачу 95-15) и поэтому сила Р направлена вверх, т. е. в сторону, противоположную движению. Без силы Р тело M скользит вниз равноускоренно.

5.    Подставим сюда числовые значения:Найдем

Как видно, по сравнению с задачей 225-44 работа получается несколько больше (на 24 кГм), потому что сила Р, действующая параллельно основанию наклонной плоскости, прижимает тело к наклонной плоскости, при этом увеличивается нормальное давление тела N, а вместе с ним и сила трения.

G. Определим коэффициент полезного действия. На основании изложенного, к. п. д. в данном случае уменьшится:

окончательно получаем формулу к. п. д. горизонтальном действии силы Р:

Подставим сюда значения углов:

По сравнению с к. п. д., полученным в задаче 225-44, к. п. д. наклонной плоскости в этой задаче уменьшается.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №22

Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы перекатить каток массой 50 кГ на расстояние 4 м по горизонтальной негладкой поверхности. Считать, что сила, двигающая каток, приложена к оси катка и горизонтальна (рис. 258, а).

Диаметр катка 20 см; коэффициент трения = 0,5 см.

Решение.

1.    Как известно из кинематики, движение катящегося катка называется плоскопараллельным и составляется из двух движений — поступательного и вращательного.

Ось катка передвигается поступательно, поэтому работу силы Р, приложенной к оси, можно определить по формуле

но предварительно нужно найти числовое значение силы Р.

2.    На каток в неподвижном состоянии действуют две силы: вес катка G и реакция N горизонтальной поверхности, приложенная к катку в точке К (геометрическая точка касания катка с поверхностью). При качении на Каток действуют уже четыре силы (рис. 258, б): G – вес катка, Р -движущая сила и две составляющие N и F полной реакции поверхности, место приложения которой перемещается из точки К в точку А – вперед по ходу катка.

3.    Если спроектировать все силы на вертикальную и горизонтальную оси, то N — G и Р = Р, т. е. на катящийся каток действуют две пары сил: катящая пара (Р; F) с плечом ОКи пара сопротивления (G; N) с плечом КА =

При равномерном перекатывании катка моменты этих пар численно равны между собой, т. е.

Отсюда находим силу Р, выразив силу тяжести в кГ (G — = 50 кГ)

4.    Таким образом, работа, произведенная при перемещении катка,

Рекомендуется сопоставить этот результат с результатом, полученным в задаче 221-44. Следующую задачу решить самостоятельно.

Работа и мощность при вращательном движении

При вращательном движении тела движущим фактором является пара сил. Рассмотрим диск 1, могущий свободно вращаться вокруг оси 2 (рис. 259). Если к точке А на ободе диска приложить силу Р (направим ее вдоль касательной к боковой поверхности диска; направленная таким образом сила называется окружным усилием), то диск станет вращаться. Вращение диска обусловлено появлением пары сил. Сила Р, действуя на диск, прижимает его в точке О к оси (сила на рис. 259, приложенная к оси 2) и возникает реакция оси (сила на рис. 259), приложенная так же, как и сила Р, к диску. Так как все эти силы численно равны между собой и_ линии их действия параллельны, то силы Р и образуют пару сил, которая и приводит диск во вращение.

Как известно, вращающее действие пары сил измеряется ее моментом, но момент пары сил равен произведению модуля любой из сил на плечо пары, поэтому вращающий момент

Единицей момента пары сил, а также момента силы относительно точки или относительно оси является (ньютон-метр) в СИ и 1 кГм (килограмм-сила-метр) в системе МКГСС. Но при этом не следует смешивать эти единицы с единицами работы имеющими ту же размерность.

Работу при вращательном движении производят пары сил. Величина работы пары сил измеряется произведением момента пары (вращающего момента) на угол поворота, выраженный в радианах:

Таким образом, чтобы получить единицу работы, например, необходимо единицу моментаумножить на 1 рад. Но так как радиан — безразмерная величина

Мощность при вращательном движении

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью, то, заменив в формуле (2) получим

Мощность того или иного двигателя величина постоянная, поэтому
 

т. е. вращающий момент двигателя обратно пропорционален угловой скорости его вала.

Это означает, что использование мощности двигателя при различных угловых скоростях позволяет изменять создаваемый им вращающий момент. Используя мощность двигателя при малой угловой скорости, можно получить большой вращающий момент.

Так как угловая скорость вращающейся части двигателя (ротора электродвигателя, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и т. п.) при его работе практически нс изменяется, то между двигателем и рабочей машиной устанавливается какой-либо механизм (редуктор, коробка скоростей и т. н.), могущий передавать мощность двигателя при различных угловых скоростях.

Поэтому формула (3), выражающая зависимость вращающего момента от передаваемой мощности и угловой скорости (Е. М. Н и-китнн, § 93), имеет очень важное значение.

Используя при решении задач эту зависимость, необходимо иметь в виду следующее. Формула (3) принимается для решения задач, если мощность N задана в ваттах, а угловая скорость–в рад/сек [размерность (1/сек)], тогда вращающий момент получится в н м.

Соответственно, если мощность N подставлена в кет (киловаттах), то вращающий момент получится в к-нм (килоньютон-метрах).

Если передаваемая мощность выражена в л. с. (1 л. с. =

= 75угловая скорость — в об;мин

а вращающий момент нужно получить в кГм, то необходимо воспользоваться формулой

Если передаваемая мощность выражена в кет, угловая скорость – в об/мин, а вращающий момент нужно получить в кГ м, то необходимо воспользоваться формулой

Задача №23

Для определения мощности электродвигателя через его шкив перекинута тормозная лента (рис. 260, а). Один конец ленты удерживается динамометром, а к другому концу прикрепленадвухкилограммовая гиря.

После запуска двигателя при установившейся угловой скорости n = 1850 об/мин динамометр показывает усилие 5 кГ. Определить мощность двигателя.

Решение 1—в единицах СИ.

1.    Рассмотрим, какие силы действуют на шкив при установившемся равномерном вращении.

Шкив приводится во вращательное движение вращающим моментом создаваемым двигателем. Кроме того, на шкив действуют сила натяжения правой ветви ленты, создаваемая динамометром и сила натяжения левой ветви ленты, создаваемая двухкилограммовой гирей (рис. 260,6).

2.    Определим вращающий момент двигателя.

Так как шкив вращается равномерно, то алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси вращения шкива равна нулю:

3.    Переведя угловую скорость n =1850 об/мин в рид/сек:

из формулы (3) можно найти мощность двигателя!

Таким образом, мощность двигателя составляет 685 вт. Решение 2 —при помощи формулы (4).

1.    На шкив действуют – искомый вращающий момент двигателя и две силы натяжения ветвей тормозной ленты: и

2.    Определяем вращающий момент двигателя:

3.    Теперь из формулы (4) определяем мощность двигателя:

Переведя получившуюся мощность из л. с. в вт, легко убедиться, что она такая же, как и в первом решении (0,930 л. с

Задачу можно решить еще при помощи формулы (5). Рекомендуется это решение выполнить самостоятельно.

Задача №24

Токарный станок приводится в движение электродвигателем, мощность которого N = 2,21 кет. Считая, что к резцу станка подводится лишь 0,8 мощности двигателя, определить вертикальную составляющую усилия резания, если диаметр обрабатываемой детали d = 200 мм, а шпиндель вращается со скоростью n=92 об/мин.

Решение – при помощи формулы (5).

1.    Шпиндель станка с закрепленной в нем деталью вращается под действием вращающего момента, который уравновешивается моментом искомого вертикального усилия резания Р, т. е.

где d—200 лш = 0,2 м – диаметр обрабатываемой детали. Следовательно,

2.    Мощность, подведенная к резцу, составляет 0,8 от всей мощности двигателя. Таким образом, к. п. д. передачи и подведенная к резцу мощность

3.    Подставим найденные значения и данное в условии задачи значение n в формулу (5):

Тогда

Откуда

Решение задачи в единицах СИ рекомендуется выполнить самостоятельно.