Как найти работу пружин

Сила упругости, как и
сила тяжести, является консервативной. Напомним, что консервативная сила —
это такая сила, работа которой при движении тела по замкнутому контуру, равна
нулю. В одном из уроков мы уже убедились, что работу силы упругости нельзя
вычислить, пользуясь общей формулой для работы силы. Дело в том, что сила
упругости изменяется с изменением растяжения или сжатия пружины. Поэтому нам
необходимо будет воспользоваться графиком зависимости силы упругости от
удлинения.

Поскольку сила упругости
линейно зависит от удлинения, нам не составит труда найти площадь под графиком
функции силы упругости. Эта площадь и будет являться работой. На графике
зависимости силы упругости от удлинения обозначим два произвольных значения
силы: F₁
и F₂.
Этим значениям будут соответствовать значения удлинения х₁ и х₂.
Как видно из графика, чтобы найти работу, нам нужно вычислить площадь трапеции.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты. Очевидно, что
основания — это F₁
и F₂,
а высота равна х₁ − х₂. Тогда,
используя формулу для силы упругости, мы можем вывести окончательное выражение
для работы силы упругости:

Напомним, что изучая
работу силы, мы пришли к выводу, что работа равна изменению кинетической
энергии. В данном случае мы видим, что работа силы упругости равна изменению
потенциальной энергии пружины. Но о потенциальной энергии мы поговорим
немного позже.

Итак, мы выяснили, что работа
силы упругости, так же, как и работа силы тяжести, не зависит от траектории
движения.

Пример решения задачи.

Задача.
Когда пружину, изначально находящуюся в расслабленном состоянии, растянули на 2
см, сила упругости составила 5 Н. Найдите работу силы упругости при растяжении этой
пружины на 8 см.

Сила упругости, как мы знаем, возникает при деформации тел. По своему абсолютному значению она пропорциональна величине деформации (удлинению), а направлена в сторону, противоположную направлению смещения точек тела при деформации.

На рисунке 199, а показана пружина в ее естественном, недеформированном состоянии. Правый конец пружины закреплен, а к левому прикреплено тело. Если пружину сжать, сместив левый

Рис. 199,

ее конец на расстояние (рис. 199, и), то возникнет сила упругости, действующая со стороны пружины на тело, равная:

где — жесткость пружины.

При перемещении витков пружины сила упругости совершит работу. Какова величина этой работы?

Предположим, что левый конец пружины переместился из положения А в положение В (рис. 199, в). В этом положении деформация пружины равна уже не Значит, конец пружины переместился на расстояние Чтобы вычислить работу, нужно это перемещение умножить на силу. Но сила упругости в отличие от силы тяжести вблизи поверхности Земли при движении тела изменяется от точки к точке. Если в начальной точке она была равна то в конечной точке (в точке В) она стала равной

Для того чтобы вычислить работу силы упругости, нужно взять среднее значение силы упругости и умножить его на перемещение (см. § 75).

Сила упругости пропорциональна деформации пружины. Поэтому среднее значение силы упругости можно найти, используя метод, который был использован при нахождении среднего значения скорости при равноускоренном движении (см. § 18).

Для среднего значения скорости при равноускоренном движении мы получили формулу

— начальное и — конечное значение скорости. Подобно этому среднее значение силы упругости можно определить по формуле

На это-то значение силы упругости и нужно умножить перемещение чтобы получить работу этой силы:

Так как то формула для работы принимает вид:

Работа силы упругости равна половине произведения жесткости упругого тела на разность квадратов его начального и конечного удлинений.

Если конечное удлинение пружины равняется нулю т. е. пружина приходит в недеформированное состояние, то она

совершает работу

где — начальное удлинение пружины.

Интересно, что работа силы упругости имеет некоторое сходство с работой силы тяжести. Если сравнить выражения для работы этих двух сил:

и

то можно заметить, что в обоих случаях работа зависит от начального и конечного положений тела. В первой формуле высота определяет положение тела, на которое действует сила тяжести (например, относительно поверхности Земли). Во второй формуле удлинение определяет положение одного конца пружины относительно другого ее конца.

Работа как силы упругости, так и силы тяжести зависит не от формы, или длины пути, а только от начального и конечного положений движущегося тела.

Задача. При столкновении вагонов их буфера (по два на каждом вагоне) сжались на 5 см. Какая работа была при этом совершена силами упругости пружин, если известно, что при сжатии буфера на 1 см возникает сила упругости в 10 000 н?

Решен» е. Вычислим сначала работу одной из четырех пружин. Для этого воспользуемся формулой

Подставив сюда приведенные в условии задачи значения, получим:

Так как у сталкивающихся вагонов четыре пружины, то общая работа сил упругости равна — 5000 дж. Знак «минус» означает, что сила упругости пружин направлена против направления перемещения вагонов.

Упражнение 50

1. Как находится среднее значение сипы упругости?

2. В чем сходство работ, совершаемых силой упругости и силой гяжесги?

3. Чему равна работа силы упругости, если тело, на которое она действует, пройдя какое-то расстояние, вернулось в исходную точку?

4. Мальчик определил максимальную силу, с которой он может растягивать динамометр. Она оказалась равной 400 н. Какую он совершил при этом работу, если жесткость пружины

Рис. 200

5. К пружине, верхний конец которой закреплен, подвешено тело массой 18 кг. При этом длина пружины равна 10 см. Когда же к ней подвешивают тело массой 30 кг, ее длина становится равной 12 см.

Вычислите работу, которую нужно совершить, чтобы растянуть пружину от 10 до 15 см.

6. Цирковой артист, месса которого равна 60 кг, прыгает с высоты 10 м на растянутую сетку. На сколько прогнется при этом сетка?

Когда артист стоит неподвижно на сетке, прогиб ее равен 5 см.

7. На рисунке 200 показан график зависимости силы, необходимой для сжатия пружины детского пистолета, от ее деформации. Вычислите работу, которая совершается при сжатии пружины на 2 см. Докажите, что эта работа численно равна площади треугольника

1.Консервативная и Диссипативная сила. Потенциальное поле.

Консервативными
силами называются силы, работа которых
не зависит от пути перехода тела или
системы из начального положения в
конечное. Характерное свойство таких
сил – работа на замкнутой траектории
равна нулю:

К
консервативным силам относятся: сила
тяжести, гравитационная сила, сила
упругости и другие силы.

Неконсервативными(диссипативными)
силами называются силы, работа которых
зависит от пути перехода тела или системы
из начального положения в конечное.
Работа этих сил на замкнутой траектории
отлична от нуля. К неконсервативным
силам относятся: сила трения, сила тяги
и другие силы.

Пусть
взаимодействие тел осуществляется
посредством силовых полей (например,
поля упругих сил, поля гравитационных
сил), характеризующихся тем, что работа,
совершаемая действующими силами при
перемещении тела из одного положения
в другое, не зависит от того, по какой
траектории это перемещение произошло,
а зависит только от начального и конечного
положений. Такие поля называются
потенциальными, а силы, действующие
в них, — консервативными

2.Потенциальная энергия упругой силы и работа по растяжению и сжатию пружины.

Энергию
деформированного упругого тела также
называют энергией положения или
потенциальной энергией (ее называют
чаще упругой энергией ), так как она
зависит от взаимного положения частей
тела, например витков пружины. Работа,
которую может совершить растянутая
пружина при перемещении ее конца, зависит
только от начального и конечного
растяжений пружины. Найдем работу,
которую может совершить растянутая
пружина, возвращаясь к нерастянутому
состоянию, т.е. найдем упругую энергию
растянутой пружины.

Пусть,
например, растянутая пружина закреплена
одним концом, а второй конец, перемещаясь,
совершает работу. При нахождении работы
мы должны учитывать, что сила , с которой
действует пружина, не остается постоянной
при изменении растяжения. Мы видели (§
37), что сила упругости пружины
пропорциональна ее растяжению. Если
первоначальное растяжение пружины,
считая от ее нерастянутого состояния,
равнялось l, то первоначальное значение
силы упругости составляло F=kl, где k —
коэффициент пропорциональности, который
называют коэффициентом упругости
пружины. По мере сокращения пружины эта
сила равномерно убывает от значения kl
до нуля.

Значит,
среднее значение силы равно Fср=kl. Можно
показать, что для вычисления работы А
изменяющейся силы упругости нужно это
среднее значение силы умножить на
перемещение точки приложения силы :

A=1/2
kl•l=1/2kl2.

Таким
образом, потенциальная энергия
упругости Еп равна

Eп
= 1/2 kl2. (98.1)

8. Консервативные и диссипативные силы. Потенциальное поле. Потенциальная энергия гравитационной силы. Работа по поднятию тела.

1.Консервативная и Диссипативная сила. Потенциальное поле.

Консервативными
силами называются силы, работа которых
не зависит от пути перехода тела или
системы из начального положения в
конечное. Характерное свойство таких
сил – работа на замкнутой траектории
равна нулю:

К
консервативным силам относятся: сила
тяжести, гравитационная сила, сила
упругости и другие силы.

Неконсервативными(диссипативными)
силами называются силы, работа которых
зависит от пути перехода тела или системы
из начального положения в конечное.
Работа этих сил на замкнутой траектории
отлична от нуля. К неконсервативным
силам относятся: сила трения, сила тяги
и другие силы.

Пусть
взаимодействие тел осуществляется
посредством силовых полей (например,
поля упругих сил, поля гравитационных
сил), характеризующихся тем, что работа,
совершаемая действующими силами при
перемещении тела из одного положения
в другое, не зависит от того, по какой
траектории это перемещение произошло,
а зависит только от начального и конечного
положений. Такие поля называются
потенциальными, а силы, действующие
в них, — консервативными

2.Потенциальная
энергия гравитационной силы. Работа по
поднятию тела.

Найдем,
чему равна работа А, совершаемая при
подъеме тела весом Р на высоту h. Будем
считать, что поднятие тела происходит
медленно и что силами трения при подъеме
можно пренебречь. Мы уже знаем что
произведенная работа против силы
тяжести не будет зависеть от того, как
мы поднимаем тело : по вертикали (как
гирю в часах), по наклонной плоскости
(как при втаскивании санок в гору) или
еще каким-либо способом. Во всех случаях
эта работа будет равна А = Рh. При
опускании тела на первоначальный
уровень сила тяжести произведет такую
же работу , какая была затрачена на
подъем тела . Значит, поднимая тело ,
мы запасли работу , равную Ph, т. е. поднятое
тело обладает энергией , равной
произведению веса тела на высоту
поднятия .

Эта
энергия не зависит от того, по какому
пути происходил подъем, а определяется
лишь положением тела (высотой, на
которую оно поднято). Поэтому эту энергию
называют энергией положения. Чаще ее
называют потенциальной энергией .

Итак,
потенциальная энергия Еп тела ,
поднятого на некоторую высоту, выражается
формулой

Eп
= Ph. (97.1)

Потенциальная
энергия гравитационного взаимодействия
системы двух материальных точек с
массами m и М, находящихся
на расстоянии r одна от другой, равна :
Ep= G*(M*m)/r

где G –
гравитационная постоянная, а нуль
отсчета потенциальной энергии (Еp = 0)
принят при r = ∞. Потенциальная энергия
гравитационного взаимодействия тела
массой т с Землей, где h – высота тела
над поверхностью Земли, М3 – масса Земли,
R3 – радиус Земли, а нуль отсчета
потенциальной энергии выбран при h = 0.

Ep=
G*(Mз*m*h)/(Rз(Rз+h))

При том же
условии выбора нуля отсчета потенциальная
энергия гравитационного взаимодействия
тела массой т с Землей для малых высот
h равна

Еp = m∙g∙h,
где g=G*Mз/Rз^2–
модуль ускорения свободного падения
вблизи поверхности Земли.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #