Как найти работу с помощью интеграла

На материальную точку $Tleft(x,yright)$ действует переменная сила $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$. Под действием этой силы материальная точка перемещается на отрезке $left[6;15right]$ от точки $M$ до точки $N$ вдоль синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$. Найти работу переменной силы $overline{F}$ на криволинейном пути от точки $M$ до точки $N$. Построить графическое изображение пути от точки $M$ до точки $N$, а также векторы переменной сили $overline{F}$ в этих точках.

Выполняем графическое изображение синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$ на отрезке $left[6;15right]$.

Находим значения синусоиды в точках $x_{M} =6$ и $x_{N} =15$:

1. $y_{M} =7cdot sin left(0,31cdot 6-1,57right)+2approx 4$;
2. $y_{N} =7cdot sin left(0,31cdot 15-1,57right)+2approx 2,43$.

Выполняем графические изображения векторов переменной силы $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$, значения которого в точках $M$ и $N$ соответственно равны $overline{F}_{M} =left(3cdot 6-2cdot 4right)cdot overline{i}+4cdot 4cdot overline{j}=10cdot overline{i}+16cdot overline{j}$ и $bar{F}_{N} =left(3cdot 15-2cdot 2,43right)cdot overline{i}+4cdot 2,43cdot overline{j}=40,14cdot overline{i}+9,72cdot overline{j}$.

Работу данной силы на данном участке кривой $MN$ вычисляем по формуле $A=int limits _{a}^{b}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{a}^{b}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

Здесь участок кривой $MN$ задан на отрезке $left[x_{M} ,; x_{N} right]$, поэтому формула для работы приобретает вид: $A=int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

В этой формуле первый интеграл дает значение работы силы $F$ вдоль оси $Ox$, второй интеграл — вдоль оси $Oy$.

Находим работу силы вдоль оси $Ox$: $A_{x} =int limits _{6}^{15}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Pleft(x,yright)=3cdot x-2cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2.]

Поэтому:

[Pleft(x,yleft(xright)right)=3cdot x-2cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=]

[=3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4.]

Далее получаем:

[A_{x} =int limits _{6}^{15}left(3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}3cdot xcdot dx +int limits _{6}^{15}left(-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)right)cdot dx +int limits _{6}^{15}left(-4right)cdot dx =]

[=3cdot int limits _{6}^{15}xcdot dx -14cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx -4cdot int limits _{6}^{15}dx =]

[=3cdot left[frac{x^{2} }{2} right]_{6}^{15} -14cdot left[-frac{1}{0,31} cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} -4cdot left[xright]_{6}^{15} =]

[=1,5cdot left(15^{2} -6^{2} right)+frac{14}{0,31} cdot left(cos left(0,31cdot 15-1,57right)-cos left(0,31cdot 6-1,57right)right)-]

[-4cdot left(15-6right)=135,15.]

Находим работу силы вдоль оси $Oy$: $A_{y} =int limits _{6}^{15}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Qleft(x,yright)=4cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2. ]

Поэтому:

[Qleft(x,yleft(xright)right)=4cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8;]

[y’=7cdot 0,31cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)=2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right).]

Далее получаем:

[A_{y} =int limits _{6}^{15}left(28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8right)cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}28cdot 2,17cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}8cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}60,76cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}17,36cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx .]

Вычисляем первый интеграл $I_{1} $:

[I_{1} =60,76cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=60,76cdot frac{1}{0,31} cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dleft(sin left(0,31cdot x-1,57right)right) =]

[=196cdot left[frac{sin ^{2} left(0,31cdot x-1,57right)}{2} right]_{6}^{15} =]

[=98cdot left(sin ^{2} left(0,31cdot 15-1,57right)-sin ^{2} left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -7,64.]

Вычисляем второй интеграл $I_{2} $:

[I_{2} =17,36cdot int limits _{6}^{15}cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=17,36cdot frac{1}{0,31} cdot left[sin left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} =]

[=56cdot left(sin left(0,31cdot 15-1,57right)-sin left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -12,57.]

Работа силы вдоль оси $Oy$:

[A_{y} =I_{1} +I_{2} =-7,64-12,57=-20,21.]

Общая работа силы при перемещении вдоль кривой:

[A=A_{x} +A_{y} =135,15-20,21=114,94.]

п.1. От ускорения к скорости и координате

Рассматривая применение производной в физике и технике (см. §51 данного справочника), мы во второй производной от уравнения прямолинейного равномерного движения (x(t)) пришли к постоянному ускорению (a=const).
С помощью интегрирования можно пройти обратный путь.
Начнем с постоянного ускорения (a=const).
Интеграл от ускорения по времени – это скорость: $$ v(t)=int adt=aint dt=at+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная скорость (v_0). Получаем: $$ v(t)=at+v_0 $$ Интеграл от скорости по времени – это координата: $$ x(t)=int v(t)dt=int (at+v_0)dt=frac{at^2}{2}+v_0 t+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная координата (x_0). Получаем: $$ x(t)=frac{at^2}{2}+v_0 t+x_0 $$ Таким образом, если нам известны ускорение (a), начальная скорость (v_0) и начальная координата (x_0), мы всегда сможем получить уравнение движения (x(t)).

п.2. Физические величины как интегралы других величин

Если (v(t)) – скорость некоторого физического процесса, уравнение этого процесса можно найти интегрированием: $$ f(t)=int v(t)dt $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

п.3. Примеры

Пример 1. Тело движется со скоростью (v(t)) (м/с). Найдите путь, пройденный за промежуток времени от (t_1) до (t_2) (с):
a) (v(t)=3t+2t^2, t_1=0, t_2=6)
Путь: begin{gather*} s(t)=int_{t_1}^{t_2}v(t)dt\ s=int_{0}^{6}(3t+2t^2)dt=left(frac{3t^2}{2}+frac{2t^3}{3}right)|_{0}^{6}=frac{3cdot 36}{2}+frac{2cdot 36cdot 6}{3}-0=\ =3cdot 18+4cdot 36=54+144=198 text{(м)} end{gather*}
б) (v(t)=2(t+2)^{5/2}, t_1=0, t_2=7) begin{gather*} s=int_{0}^{7}2(t+2)^{5/2}dt =2cdotfrac{(t+2)^{frac52+1}}{frac72}|_{0}^{7}=frac47cdot 9^{frac72}-0=frac47cdot 3^7approx 1250 text{(м)} end{gather*}

Пример 2. . Сила тока в проводнике изменяется по закону (I(t)=e^{-t}+2t) (время в секундах, ток в амперах). Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от второй до шестой секунды?
Заряд: begin{gather*} Q(t)=int_{t_1}^{t_2}I(t)dt end{gather*} По условию: begin{gather*} Q=int_{2}^{6}(e^{-t}+2t)dt=(-e^{-t}+t^2)|_{2}^{6}=-e^{-6}+6^2+e^{-2}-2^2=frac{1}{e^2}-frac{1}{e^6}+32=\ =frac{e^4-1}{e^6}+32approx 32,1 text{(Кл)} end{gather*}

Ответ: 24 м

Продолжаем предыдущий урок на тему “Применение криволинейных интегралов 2 рода”.
Готовые ответы задач на работу силового поля помогут студентам выучить тему, и научат быстро находить нужные интегралы.

Пример 4.4 Найти работу силы  по перемещению точки вдоль кривой C:
y=4-2x^2 от точки к точке
Решение: Построим траекторию движения материальной точки вдоль параболы L: y=4-2x².

Вычисляем дифференциал дуги y=4-2x², dy=-4x*dx и из условия выписиваем пределы интегрирования 
Работа силы F находим с помощью криволинейного интеграла второго рода

Интегрирование занимает не мало времени и при превращениях можно допустить ошибку, поэтому будьте внимательные в этих местах.

Пример 4.11 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=ln(x) от точки A(1;0) к точке B(e;1).
Решение: Траектория материальной точки вдоль логарифма имеет вид
Находим дифференциал логарифма y=ln (x), dy=dx/x.
Пределы интегрирования изменяются от единицы к экспоненте.
Работа силы F с помощью криволинейного интеграла ІІ рода примет значение:

Здесь для логарифма применили правило интегрирования частями (u*dv).

Пример 4.13 Найти работу силы F при перемещении вдоль кривой C:
x²+y²=9 от точки A (0;-3) к точке , где F задана формулой

ІІ – способ:
Параметризуэм заданный круг:

Учитывая, что во время движения от точки A(0;-3) к точке  угол изменяется от

Вычисляем искомый криволинейный интеграл ІІ рода :
В плане вычислений второй метод более легкий, поэтому для круговых и эллиптических форм кривой при симметричном вхождении x, y в уравнение силы рекомендуем переходить к полярной системе координат.

Пример 4.15 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
4x²+y²=4 от точки A(0;2) к точке B (-1;0).
Решение: Траектория движения материальной точки по эллипсу приведена ниже

Записываем верхнюю дугу эллипса и ее производную. 

Пределы интегрирования изменяются от 0 к -1
Работа силы F через криволинейный интеграл второга рода выражается зависимостью:

Пример 4.18 Найти работу силы  по перемещению материальной точки вдоль кривой C:
y=cos(x) от точки A(Pi/2;0) к точке B(-Pi/2;0).
Решение: Изобразим траекторию материальной точки вдоль косинуса

Построим дифференциал кривой y=cos(x), dy=-sin(x)*dx.
Он нужен для возведения криволинейного интегралу ІІ рода к определенному.
Находим работу силы F по перемещении вдоль контура интегрированием 

Для понижения под интегралом степеней косинуса и синуса применили известные тригонометрические формулы.

Пример 4.21 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=x³ от точки A(0;0) к точке B(2;8).
Решение: Построим траекторию материальной точки вдоль кривой y=x³.

Вычисляем дифференциал дуги dy=3x²dx.
Пределы интегрирования приведены на рисунку и в условии.
Работа силы F находим с помощью криволинейного интегралу ІІ рода:

Превращаем все к показательной форме и интегрируем.

Пример 4.23 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C: x²+2y²=2 от точки к точке
Решение: За инструкцией строим траекторию материальной точки вдоль эллипса: x²+2y²=2.

Для простоты вычислений криволинейного интеграла ІІ рода параметризуэм эллипс:

Учитывая, что от точки к точке угол изменяется в пределах  переходим к интегрированию

Понижаем степени и интегрируем.

Пример 4.24 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=1-|x| от точки A(-1;0) к точке B(2;- 1).
Решение: Наведем траекторию материальной точки вдоль модуль функции.

Как ни хотелось встретить задания с разбитием кривой на два интервала, однако одно Пример содержит такое условие. Разделим на две части: y=1+x, тогда пределы равны [-1;0] и дифференциал dy=dx;
На втором участке y=1-x имеем [0;2] и dy=-dx.
Вычисляем работу силы F, потраченную на перемещении точки вдоль модуль функции:

На этом ознакомление из такого сорта примерами завершено.
Больше готовых ответов из курса высшей математики ищите на страницах сайта.

Пусть
материальная точка движется вдоль оси
Ох
от точки х=а,
до х=b
(а<b)
под действием
переменной силы
F=F(x),причём
направление силы совпадает с направлением
движения. Найти работу, произведенную
силой на этом перемещение. Возьмём
элементарное перемещение [x,x+dx].Работа
силы на этом перемещение

Мы
получим «элемент» работы. Теперь
проинтегрируем по отрезку[a,b]
и получим искомую работу:

7.2.1. Тело
движется по прямой

из
точки с абсцис­сой a
до
точки с абсциссой b(a<b)
под
действием переменной
силы
,
являющейся
непрерывной функцией абсциссы х:
=
(х),
причем
сила параллельна прямой

,
а
ее направление совпа­дает с направлением
движения тела. Найти работу
A,
произве­денную
силой

(х)на
этом перемещении.

Решение.
Если бы сила

(х)
была
не переменной, а постоян­ной, параллельной
прямой Ох,
и
ее направление совпадало с на­правлением
движения тела, то работа A,
произведенная
ею, была бы равна произведению модуля
силы на пройденный путь, т. е. на длину
отрезка [а,b],
равную
(b—а):

A
= F(b—
а).

Но
сила переменна, а потому этой формулой
для определения работы мы воспользоваться
не можем.

Отрезок
[а,b]
разделим
на п
отрезков
[x_k-1
x_k]
(k=l,2,3,
…,n).
На
каждом из них выберем произвольную
точку

.
Определим
в этой точке численное значение силы

(х)
Получится
число

(
).
Полагая,
что в пределах каждого частичного
отрезка сила не переменна, а постоянна
и что ее значение на всем час­тичном
отрезке такое же, как в выбранной точке,
будем считать произведенную этой силой
работу приближенно на каждом час­тичном
отрезке равной произведению модуля
силы на путь, т. е.

(
)∆x_k

Работа
силы

(х)
на
всем отрезке [а,
b]
приближенно
равна сумме работ на всех частичных
участках

Сумма

—
интегральная сумма для функции F(x).
на
отрезке [а,b].
По
формуле (11,4) мы получим не точное зна­чение
работы, а приближенное, потому что на
каждом частичном отрезке мы считали
силу постоянной, в то время как фактически
в пределах каждого частичного отрезка
она непрерывно изме­няется.

За
точное значение работы силы

на отрезке [а,b]

мы
примем тот предел, к которому стремится
интегральная сумма (11,4), когда наибольший
из частичных отрезков ∆x_k
стремится
к нулю, а число их n
неограниченно
возрастает, т. е.

(11.5)

Подынтегральное
выражение F(х)dx
называется
элементарной работой и обозначается
через δА

Работа
А
есть
определенный интеграл от элементарной
работы δА=
F(х)dx.
Таким
образом, для определения работы
перемен­ной силы на прямолинейном
пути надо сначала вычислить эле­ментарную
работу δА,
а после этого интегрированием по формуле
(11,5) найти полную работу.

Приближенное
значение работы, вычисленное по формуле
(11,4), будет тем меньше отличаться от ее
точного значения (11,5), чем меньшими будут
частичные отрезки ∆x_k,
на
которые разбит отре­зок [а,b]

.

При
определении предела суммы (11,4) наибольший
из отрез­ков ∆x_k→0,
каждое слагаемое

(
)∆x_k
— величина бесконечно малая, а количество
их неограниченно возрастает. Поэтому
и здесь определение искомой величины,
как и в задаче 11,1 связано с оп­ределением
предела суммы бесконечно малых величин,
когда их количество неограниченно
возрастает.

7.2.2.
Какую работу надо совершить, чтобы
растянуть пружину на 4 см, если известно,
что от нагрузки 1 Н она растягивает на
1 см?

Решение.

Согласно
закону Гука сила F
Н, растягивающая пружину на х
м, равна

.Коэффициент
пропорциональности

найдём из условия :

Если
х=0,01м,

то
F=1Н;

Следовательно,

и

.Тогда

7.2.3.Растяжения
пружины на 0,04 м необходимо совершить
работу 20 Дж. На какую длину модно растянуть
пружину, совершить работу в 80 Дж?

Решение.

По
длине растяжения пружины на 0,04м и
совершенной работе 20 Дж найдём:

k:

,

Откуда

По

и

найдем

:

где

-длина,
на которую растянута пружина при
совершенной работе в 80 Дж.

Откуда

7.2.4.Ккаую
работу нужно затратить, чтобы тело массы
m
поднять с поверхности Земли на высоту
h?Чему
равна эта работа, если тело должно быть
удалено на бесконечность?

Решение.
Величина
сила F
,производящей работу при поднятие тела
с поверхности земли, равна величине
сила притяжения тела Земли, т.е.

,

где
m-масса
тела,M-масса
Земли,r-расстояние
от тела до центра Земли. В этом же
направлении происходит и перемещение
тела из положения

(R-радиус
Земли) в положение

.Работу
силы F(r)
на пути [R,R+h]
вычислим с помощью интеграла

Учитывая,
что на поверхности Земли(при

)
сила притяжения

найдём
коэффициент

:

откуда

Тогда

и

7.2.5.Вычислить
работу, которую надо совершить, чтобы
выкачать воду из резервуара конической
формы с вершиной, обращенной к низу.
Резервуар наполнен доверху водой. Радиус
основания конуса R=1,
высота конуса 2м.

Решение.
На глубине х
выделяем горизонтальный слой высоты
dx

Элементарный
слой принимаем за цилиндр ввиду малости
dx.Тогда

Выразим
r-радиус
слоя через х и постоянные R
и H.
Из подобия треугольников АОС и АО₁В
имеем:

откуда

Далее
получим

Дж

7.2.6.
Шар лежит на дне бассейна глубиной
Н=14мюОпределить работу, необходимую
для извлечения шара из воды, если его
радиус R=3дм,а
удельный вес

.

Решение.

При
подъеме шара до поверхности воды сила
P₁
совершающая
работу, постоянна и равна разносим между
весом шара и весом вытесняемой им воды:

Поэтому
работа Q₁,
необходимая для поднятия шара до
поверхности воды, определяется как
произведение силы P₁
на высоту
подъема H-2R:

При дальнейшем
подъеме шара сила p,совершающая
работу, будет изменяться в зависимости
от высоты х надводной части шара

где

-вес
шара ,
вес
воды, вытесняемой подводной частью
шара, численно равный объему шарового
сечения с высотой

;

Очевидно,
и работа, совершаемая силой p(x),
некоторой функцией g(x).Допуская,
что при подъёме шара ещё на малую высоту
dx
сила p(x)
остается неизменной, найдем приближенную
величину приращения работы.

Интегрируя
dq
в пределах от x=0
до x=2R
найдем работу

,которою
надо совершить, чтобы шар, поднятый со
дна бассейна до поверхподнятой воды,
полностью извлечь из воды:

Вся
искомая работа

7.2.7.
Какую работу затрачивает подъемный
кран при извлечении железобетонной
надолбы со дна реки глубиной в 5 м, если
надолба имеет форму правильного тетраэдра
с ребром 1м,а плотность железобетона
2500 кг/м³

Решение.
Высота
тетраэдра

объем тетраэдра

м³.Вес
надолбы в воде

Н,

Поэтому
работа на извлечение надолбы до момента
появления на поверхности воды её вершины

Дж

Теперь
найдем работу А₁
на извлечение
надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра
вышла на высоту 5+у,

Тогда
объем малого тетраэдра, вышедшего из
воды, равен

а вест тетраэдра

Н

Следовательно

7.2.8. (работа
упругой силы на прямолинейном
пере­мещении).

К
телу прикреплена пружина, другой конец
которой закреп­лен неподвижно в точке
О.
Упругая
сила, с которой действует пружина на
тело, подчиняется закону Гука, согласно
которому F=—kx,
где
k—коэффициент
пропорциональности, а
х
—
удли­нение пружины. Найти работу
упругой силы на прямолинейном перемещении
по линии действия силы из точки с
абсциссой a
в
точку с абсциссой b.
(Сила
— в килограммах, перемещение — в метрах).
Знак минус в выражении силы показывает,
что упру­гая сила стремится восстановить
равновесие.

Решение.
Элементарная работа δА
силы
упругости на пере­мещении dx
равна

dA=—kx
dx,

а
потому полная работа на перемещении из
точки а
в
точку b
определится
по формуле

Следует
иметь в виду, что работа упругой силы
положительна, если тело движется в
сторону убывания модуля упругой силы,
и отрицательна, когда движение происхо­дит
в сторону возрастания модуля упру­гой
силы.

7.2.9.
Тяжелая
цепь длиною L
=
200 м
поднимается,
навиваясь на ворот. Определить работу
силы веса при поднятии цепи, пренебрегая
размерами ворота, если погонный метр
цепи весит 50
кг.

Решение.
Пусть к некоторому моменту времени на
ворот навернулся отрезок цепи длиной
х.
Тогда
свешивается его часть длиной L—х.
Весит
эта часть (L—х)•50кг.
Элементарная
работа силы веса на перемещении dx
будет
равна

δА=—(L—х)∙50dx.

(Знак
минус поставлен потому, что сила веса
направлена проти­воположно перемещению).
Полную работу найдем по формуле (11,5) как
интеграл от элементарной работы

7.2.10.
Вычислить
работу, необходимую для выкачивания
масла из вертикального цилиндрического
резервуара высотой H
= 6м и радиусом основания
R
= 2 м.
Удельный вес масла δ = 0,9.

Решение.
Величина
работы
q,
затрачиваемой на поднятие некоторого
тела, зависит от высоты х
его подъема:
q=Px,
Р— вес
тела.

Допустим,
что работа, затраченная на выкачивание
из резер­вуара слоя масла толщиною
х,
черт. 1 , есть некоторая функ­ция
q
(x)
и найдем дифференциал этой функции. При
увеличении
х
на величину
dx
объем
v
слоя масла уве­личится на величину
∆υ
= π
R²dx,
его вес
р
увеличится на вели-

Черт.
I

чину
∆p=πδR²dx,
а затраченная работа
q
увеличится на вели­чин у ∆q
≈ πδR²
х dx
= dq.

Всю
искомую работу Q
получим при изменении х от 0 до H.
Поэтому

7.2.11.
Цилиндр
высотой Н= 1,5 м и радиусом R
= 0,4м, напол­ненный газом под атмосферным
давлением (10330кГ/м²),
закрыт поршнем. Определить работу,
затрачи­ваемую на изотермическое
сжатие газа при перемещении поршня на
расстояние h
= 1,2
м
внутрь цилиндра.

Решение.
При изотермическом из­менении состояния
газа, когда его температура остается
неизменной, зависимость между объемом
υ
и давлением
р
газа выражается

формулой
pυ=
с = const.(Закон
Бойля-Мариотта)

Поэтому,
если поршень будет вдвинут на
х м
внутрь
цилиндра (черт: 1 ‘), то давление
р(х)
газа на единицу
площади
поршня будет

Полагая,
что работа, затрачиваемая при вдвижении
поршня на
х м,
есть некоторая функция
q{x),
.и допуская, что при дальнейшем вдвижении
поршня. на малое расстояние dx
испыты­ваемое им давление
Р(х)
остается неизменным, найдем, прибли­женную
величину приращения (дифференциал)
функции
q(x):

∆q
≈ Р (х)dx
=
dx
= dq.

Всей
искомой работе Q
соответствует .изменение
х
от 0 до
h, поэтому

При
H=1,5м,
R = 0,4м,
h ~=
1,2
м,

= 10 330
кГ/м²
най­дем
v₀
=
πR²H=0,24πм³;
c = p₀v₀
= 2479,2π;
Q ≈ 12533,3
кГм
≈122951,7
дж.

7.2.12.
Сжатие
S
винтовой пружины пропорционально
приложенной силе F.
Вычислить работу силы F
при сжатии пружины на 5
см,
если для сжатия её на 1
см нужна
сила в 1 кг
(Рис. 245).

Р
ешение.
Сила F
и перемещение
S
связаны
по условию зависимостью F
= kS,
где k
– постоянная.

Будем выражать S
в метрах, F
– в килограммах.
При
S
= 0.01 F = 1,
т.
е.

1 = k ·
0.01,
откуда
k
= 100,

F = 100S.

На основе формулы
(1) имеем:

7.2.13. Сила F,
с которой электрический заряд e₁
отталкивает
заряд e₂
(того же
знака), находящийся от него на расстоянии
r,
выражается формулой

,

где k
– постоянная.

Определить работу
силы F
при перемещении
заряда e₂
из точки
A,
отстоящий от заряда e₁
на расстоянии r₁
в точку
A₂,
отстоящую от e₁
на расстоянии r₂,
полагая, что заряд e₁
помещен в точке A₀,
принятой за начало отсчета.

Решение.
По формуле
(1) имеем:

При r₂
= ∞
получим:

При e­­­­­­­­­­­­­­₂
= 1

.
Последняя величина называется потенциалом
поля,
создаваемого зарядом e₁.

Вычисление работы с помощью определенного интеграла