Как найти работу силы по графику

Е
сли
изменение

задано
в виде графика

,
то работа выражается криволинейным
интегралом

.
Графически этот интеграл равен площади
криволинейной трапеции

,
которую можно заменить суммой площадей
трапеций равных

,
то есть

.

1 3.1.7 Теоремы о работе силы:

Теорема
1:
Работа
равнодействующей силы

на
некотором перемещении равна алгебраической
сумме работ составляющих сил на этом
же перемещении

.

Теорема
2:
Работа
постоянной
по модулю и направлению силы
на результирующем перемещении равна
алгебраической сумме работ этой силы
на соответствующих перемещениях

Следствие
1:Работу
постоянной силы на криволинейном
перемещении можно заменить работой на
прямолинейном перемещении.

Следствие
2:
В случае замкнутого контура перемещения

и работа постоянной силы равна нулю.

13.1.8 Работа сил приложенных к вращающемуся телу

.

Элементарная
работа силы приложенной к вращающемуся
телу равно произведению момента
относительно оси вращения на элементарный
угол

.

Работа
момента относительно оси вращения при
повороте на угол φ
равна

.

Если

,
то

.

Если
значение

задано в виде графика, то работа может
быть определена графически аналогично

работе силы.

13.2 Мощность. Коэффициент полезного действия

13.2.1
Мощностью
называют скалярную величину равную
работе совершаемую силой в единицу
времени.

.

736
Вт=75кГм/с.

Работу,
произведенную машиной, измеряют
произведением мощности на время

.
.

Мощность,
развиваемая моментом силы (пары сил)
равна

13.2.2
Коэффициентом полезного действия
(КПД) системы (механизма, машины, агрегата
и т.д.) за некоторый промежуток времени
называют отношение совершенной полезной
работы к затраченной работе сил,
действующих на систему. Это средний
КПД
за этот промежуток времени.

.

Мгновенный
КПД равен:

13.3 Кинетическая энергия

13.3.1
Кинетической энергией материальной
точки
называется скалярная величина равная
половине произведения массы точки на
квадрат ее скорости

,

Теорема
об изменении кинетической энергии
материальной точки:
Изменение кинетической энергии
материальной точки при некотором ее
перемещении равно алгебраической сумме
работ всех действующих на точку сил на
этом же перемещении.

.

Следствие
1:
При несвободном движении точки с любыми
связями N:

.

Следствие
2:
В случае идеально гладкой поверхности
реакции связей N
перпендикулярны к траектории движения
точки и

.

Следствие
3:
Этим выражением можно пользоваться и
в случае шероховатых связей. Для этого
в число активных сил включают силы
трения.

13.3.2
Кинетической энергией материальной
системы
называют скалярную величину равную
сумме кинетических энергий всех точек
системы

.

Если
система состоит из нескольких тел, то
ее кинетическая энергия равна сумме
кинетических энергий этих тел.

13.3.3
Формулы для определения кинетической
энергии твердых тел
определяются видом их движения.

Поступательное
движение:

,

где
М – масса тела;

–
скорость любой
точки тела.

Вращение
вокруг неподвижной оси Z:

,

где

– момент инерции тела относительно оси
вращения Z;

–
угловая скорость тела.

Плоское
движение:

,

где

– скорость центра масс тела;

–
момент инерции тела относительно оси
проходящей через центр масс перпендикулярно
плоскости движения.

При
плоском движении тела его кинетическая
энергия равна сумме поступательного
движения всех его точек со скоростью
центра масс и вращения вокруг центра
масс.

13.3.4
Теорема об изменении кинетической
энергии системы:
Изменение кинетической энергии системы
при некотором ее перемещении равно
сумме работ всех внешних и внутренних
сил действующих на систему при этом
перемещении.

.

Частные
случаи:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Механическая работа, или работа постоянной силы (скалярная величина)	(A = vec{F} · Deltavec{r}),  ((1)) где произведение векторов силы (vec{F}) и перемещения (Deltavec{r}) является скалярным. (A = FDelta rcosalpha),  ((2)) где (alpha) — угол между направлениями (vec{F}) и (Deltavec{r})
Единицы работы	[(A)] (= 1  Н · 1  м =1 Дж)
Работа силы — аддитивная физическая величина (получаемая суммированием)	Если на физический объект действует (N) сил (vec{F}_1, vec{F}_2)… (vec{F}_N), то (A = sumlimits_{i = 1}^{N}vec{F}_i · Deltavec{r}).  ((3)) Например, на тело действуют силы тяжести (vec{F}_т), реакции опоры (vec{N}) и трения скольжения (vec{F}_{тр}), тогда работа результирующей всех сил при перемещении тела равна (A = (vec{F}_т + vec{F}_{тр} + vec{N}) · Deltavec{r})  ((4))
Работа переменной силы	Если сила, совершающая работу по перемещению тела, изменяется, то траектория движения объекта разбивается на такие участки, где значение силы постоянно и работа силы на данном участке вычисляется по формуле: (A_k = F_kDelta r_kcosalpha_k).  ((5)) Работа силы на всей траектории вычисляется через суммирование по (k)-м участкам: (A = sumlimits_kA = sumlimits_kvec{F}_k · Deltavec{r}_k = sumlimits_kF_kDelta r_kcosalpha_k)  ((6))
Геометрическая интерпретация механической работы	Работа постоянной силы вычисляется как площадь (S) фигуры (рис. (1))  в координатах ((F_x), (Delta r)), где (F_x = Fcosalpha). Рис. (1). Графическое представление работы силы
Мощность	Средняя мощность: (P_{ср} = frac{A}{Delta t}),  ((7)) где (Delta t) — конечный временной интервал совершения работы. Мгновенная мощность (мощность): (P = limlimits_{Delta tto 0}frac{A}{Delta t} = limlimits_{Delta tto 0}frac{vec{F} · Deltavec{r}}{Delta t} = limlimits_{Delta tto 0}vec{F} · frac{Deltavec{r}}{Delta t} = vec{F} · vec{v},)  ((8)) где (vec{v}) — вектор мгновенной скорости, символ (limlimits_{Delta tto 0}) — обозначение математического предела
Единицы мощности	[(P)] (= frac{1 Дж}{1  с} = 1  Вт)

Содержание:

Работа силы м мощность силы:

«Работа — это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны» (Энгельс)

Понятие работы

Энергия может переходить из одного вида в другие. Например, потенциальная энергия воды, поднятой плотиной на гидроэлектростанции, переходит в кинетическую энергию вращающихся турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энергию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию электропечей, в световую, в звуковую и в прочие виды энергии. При всех этих явлениях исчезает (или возникает) такое же количество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс называет работой.

Из множества различных видов движения в теоретической механике интересуются только механическим движением. Переход механического движения в немеханическое или же, наоборот, немеханического в механическое происходит на протяжении некоторого пути и зависит от действующих сил. Поэтому понятие работы в механике связано с понятиями перемещения и силы.

Работу постоянной силы при прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением А = Fs cos α

Работа постоянной силы при прямолинейном движении

Знакомство с понятием работы силы в механике начнем с частного случая — работы постоянной силы при прямолинейном движении точки ее приложения.

Пусть к некоторой материальной частице приложена сила F, постоянная по величине и по направлению. Пусть точка приложения силы переместилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае произведение

A= Fs cos α      (218)

выражает работу постоянной силы F при прямолинейном движении и характеризует механическое воздействие на материальную частицу со стороны других материальных объектов на данном пути.

Работа является скалярной величиной, она не имеет направления и вполне характеризуется величиной и знаком. В формуле (218) модуль силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «—» определяются знаком косинуса угла α между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости υ, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если угол (Fυ) острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F совпадает с направлением перемещения, то угол (

А =Fs.

Если же сила направлена противоположно перемещению, то () = 180^o, cos() = — 1 и

А = -Fs.

Сила, перпендикулярная к перемещению, работы не совершает, так как cos 90° = 0.

Определим размерность работы. В физической системе единиц

Единицей работы в СИ является джоуль² — работа силы в 1 ньютон, действующей по направлению перемещения на пути в 1 метр (1 дж= 1 н ∙ 3t = l кг ∙ м² ∙ ceκ^-2).

Размерность работы в технической системе единиц

Если сила выражена в кГ, а длина — в м, то единицей работы является 1 килограммометр.

Размерности работы и кинетической энергии одинаковы.

Элементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:

Элементарная работа силы

В общем случае, если сила переменна или движение точки приложения силы криволинейное, определять работу силы по (218) нельзя. Но, разбив мысленно весь путь на такие маленькие участки, которые можно считать прямолинейными и на которых можно пренебречь изменением величины и направления силы, мы определим на каждом из этих участков работу, называемую элементарной работой силы:

     (219)

В этом равенстве ds выражает длину элементарного перемещения и является величиной всегда положительной.

Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно определить работу на конечном участке. Докажем некоторые теоремы о работе силы.

Элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

Теорема об элементарной работе равнодействующей. Пусть к точке О приложен пучок сил F₁, F₂,…, F_n. Обозначим равнодействующую этого пучка F. Спроецируем все силы пучка и равнодействующую на направление скорости точки О и приравняем проекцию равнодействующей сумме проекций составляющих:

Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds элементарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

или 

     (220)

Под суммой следует понимать, конечно, алгебраическую сумму, потому что работа не имеет направления, но имеет знак.

Элементарная работа силы связана с проекциями силы на оси координат соотношением: dA = Xdx+ Ydy + Zdz

Выражение элементарной работы через проекции силы на оси координат

Разложим силу F на составляющие по осям координат и определим элементарную работу силы по сумме работ ее составляющих. Пусть составляющие силы направлены в положительном направлении осей координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) направляющих косинусов скорости. В таком случае имеем

или, подставляя значения направляющих косинусов,

сокращая на ds, получаем окончательно

Заметим, что в общем случае дифференциальный трехчлен X dx + Y dy + Z dz не является полным дифференциалом и обозначение элементарной работы dA не следует понимать как полный дифференциал от А.

Работу силы на данном пути выражают пределом суммы всех элементарных работ силы на элементарных перемещениях, из абсолютных величин которых составляется данный путь:

Работа силы на данном пути. Возьмем какие-либо два положения M₁ и M₂ точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы F на конечном перемещении M₁M₂ выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемещениях, на которые разбит конечный участок пути M₁M₂.

Эта сумма состоит из бесчисленного множества бесконечно малых слагаемых. Такую сумму называют криволинейным интегралом, взятым по дуге M₁M₂, и обозначают так:

    (222)

или, если воспользоваться выражением элементарной работы через проекции силы на оси координат,

    (222′)

Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути.

Так как сила, вообще говоря, зависит от координат точки ее приложения, от проекций скоростей точки и от времени:

то мы можем вычислить интеграл (222′) только в случае, если известно движение точки. Подставив тогда вместо их выражения в зависимости от времени, мы сможем представить работу силы в виде интеграла

где t₁ и t₂ — мгновения, соответствующие положению точки в M₁ и M₂.

Работа графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатами

Графическое определение работы

Ввиду сложности математического вычисления работы па практике часто пользуются для этой цели графическим методом. Будем откладывать по оси абсцисс длину пути, пройденного точкой, а по оси ординат — соответствующую проекцию силы на направление скорости, учитывая и знак проекции. Получим некоторую кривую, изображающую зависимость между проекцией силы на направление скорости и путем точки. Площадь, ограниченная этой кривой, осью абсцисс и двумя крайними ординатами, изображает работу силы на данном пути. Если кривая или часть ее расположена по отрицательную сторону, вниз от оси абсцисс, то соответствующая площадь изображает отрицательную работу.

Для построения графика зависимости силы от пути имеются различные приборы. В частности, специальный прибор — индикатор— служит для записи давления в цилиндре в зависимости отхода поршня. Работу, вычисленную при помощи индикаторной диаграммы, т.е. диаграммы, начерченной этим прибором, называют индикаторной работой.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела на изменение высоты центра тяжести тела: A_G=Gh

Работа силы тяжести

Складывая веса всех частиц тела, заменим их одной силой G, равной весу тела и приложенной в центре тяжести С. Пусть при движении тела центр тяжести тела переместился из C₁(x₁, y_l, z₁) в C₂ (x₂, y₂, Z₂) (рис. 210). Определим проекции веса на оси координат, считая, что Oz направлена вертикально вверх:

X=O; Y = 0; Z = -G,

или 

A = G (z₁—z₂) = Gh.      (223)э

Рис. 210

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от вида траектории точек тела и равна произведению веса тела на разность начальной и конечной высот центра тяжести. Если тело опускается, то сила тяжести тела совершает положительную работу, а если поднимается, то отрицательную. Так, например, если человек поднял гирю весом 10 кГ на высоту одного метра (безразлично—по вертикали или по иной траектории), то работа силы тяжести равна —10 кГ∙ м, а работа человека на преодоление силы тяжести равна +10 кГ∙ м.

Элементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на бесконечно малый угол поворота: dА = Mdφ

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу

Припомним формулы Эйлера, связывающие проекции вращательной скорости точки К (х, у, z) с угловой скоростью и координатами этой точки:

       (89)

Умножая эти равенства на dt, найдем приращения координат точки приложения силы:

Подставим эти выражения dx, dy и dz в формулу (221)

Разность, стоящая в скобках, выражает момент данной силы относительно оси вращения Oz:

  (224)

Если на тело действует несколько сил, то, составив такие равенства для определения работы каждой из них и просуммировав, найдем, что элементарная работа всех сил равна произведению главного момента сил относительно оси вращения на dφ.

Чтобы определить работу силы, действующей на тело при его повороте от φ₁ до φ₂, надо проинтегрировать уравнение (224) в этих пределах, выразив момент силы в функции угла поворота:

  (225)

В частном случае постоянного момента силы

A = Mφ    (226)

работа равна произведению момента силы на угол поворота тела.

Задача №1

Однородный массив ABED, размеры которого указаны на чертеже (рис. 211, а), весит 4 Т. Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы опрокинуть его вращением вокруг ребра D.

Рис. 211

Решение. 1-й способ. Рассматриваем опрокидывание массива. Какие силы действуют на массив? Их две: вес массива G=4 Т, приложенный в его центре тяжести С, и реакция фундамента. Во время опрокидывания реакция приложена в ребре D, вокруг которого происходит опрокидывание (рис. 211,6), как известно из статики). Но во время опрокидывания ребро D неподвижно, поэтому работа реакции равна нулю. Работу веса (силы тяжести) определим по (223). Для опрокидывания массива достаточно повернуть его до положения неустойчивого равновесия, изображенного на рис. 211, в, при котором центр тяжести находится в вертикальной плоскости, проходящей через ребро D; далее массив опрокинется сам. Имеем

Такова работа силы тяжести при опрокидывании массива. Чтобы опрокинуть массив, надо произвести работу, такую же по величине и обратную по знаку.

2-й способ. Несколько сложнее получится решение задачи, если мы воспользуемся формулой (225) о работе сил, приложенных к вращающемуся телу.

На поворачиваемый вокруг ребра D массив действуют вес и реакция в ребре D. Момент реакции относительно оси вращения равен нулю, следовательно, равна нулю и работа реакции. Момент веса — величина переменная — равен произведению силы 4 T на плечо CD cos φ, где φ (см. рис. 211, б) —угол, составляемый CD с горизонтальной плоскостью:

M = 20 cos φ.

Определим пределы интегрирования. При начале работы массив стоял вертикально, высота центра тяжести была 4 м и

Угол считаем отрицательным, так как отсчет производим по ходу часов:

φ₀ = arcsin 0,8.

В конечном положении (см. рис. 211, в)

Подставляя в (225), получаем

Мы определили работу восстанавливающего момента, вызванного силой тяжести и стремящегося восстановить устойчивое равновесие массива. Работа на опрокидывание массива вращением вокруг ребра D равна ей по величине и противоположна по знаку.

Ответ. А = + 4 Тм.

Задача №2

Определить работу на преодоление силы земного притяжения при запуске на высоту 30 000 м ракеты массой m = 2000 кг, считая силу притяжения изменяющейся по закону всемирного тяготения. Радиус земного шара принять R = 6 370 000 м.

Решение. На ракету действует сила, направленная к центру Земли и равная

где k — постоянный коэффициент пропорциональности, M — масса Земли,  – масса ракеты и x = h + R — расстояние ракеты от центра Земли.

Обозначая kM через μ, имеем

При x=R ракета находится на поверхности Земли и F = mg,

откуда 

Зная μ и k, можно определить массу Земли, потому что k = μ : M.

Работу переменной силы F на перемещение ракеты с поверхности Земли на высоту h= 30 000 м определим по (222):

Отрицательный знак показывает, что при подъеме ракеты сила тяготения ракеты к Земле направлена против движения. Чтобы преодолеть эту силу на заданном расстоянии, надо совершить работу, такую же по величине, но положительную по знаку.

Ответ. A = + 5 621 262 369 дж.

Задача №3

Доказать, что сумма работ внутренних сил абсолютно твердого тела при всяком перемещении тела равна нулю.

Решение. Рассмотрим две точки А и В твердого тела (рис. 212). Силы взаимодействия этих точек всегда равны между собой и направлены по прямой AB в противоположные стороны.

Проекции скоростей точек А и В на прямую AB всегда равны между собой:

Рис. 212

Поэтому при любом перемещении работы сил взаимодействия точек A и В равны по величине, но обратны по знаку, и сумма работ равна нулю

Доказательство проведено для двух точек абсолютно твердого тела, за которые мы можем принять любые точки тела, а потому оно относится ко всем точкам твердого тела. В случае упругого тела или изменяемой системы точек сумма работ внутренних сил не равна нулю. Так, например, при падении камня на Землю силы взаимодействия между камнем и Землей (внутренние силы системы Земля —камень) равны и противоположны, но сумма работ этих сил не равна нулю.

Ответ. Сумма работ всех внутренних сил в абсолютно твердом теле при всяком перемещении тела равна нулю.

Работа упругой силы равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации:

Работа упругой силы. Определим работу упругой силы F пружины при растяжении ее на λ см, если для растяжения этой пружины на 1 см необходима сила с кГ (рис. 213). Сначала определим работу, которую необходимо совершить для растяжения этой пружины на λ см.

Рис. 213

Согласно одному из основных законов теории упругости и сопротивления материалов, называемому законом Гука, растяжение нагруженного тела прямо пропорционально нагрузке:

F = сх,

де F — нагрузка, х—растяжение и с — коэффициент жесткости.

Если к пружине приложить силу, например растягивать пружину рукой, то со стороны пружины возникнет реакция, называемая упругой реакцией, или упругой силой, пружины. По принципу равенства действия и противодействия упругая сила равна и противоположна растягивающей силе F, а поэтому работа упругой силы определяется найденным значением. Знак работы упругой силы отрицателен, если сила упругости направлена против деформации, т. е. если деформация увеличивается, и положителен, если деформация уменьшается.

Задача №4

Применить графический метод для вывода формулы (227).

Решение. Будем откладывать (рис. 214) по оси абсцисс растяжение пружины, а по оси ординат—силу F, потребную для этого растяжения, затем построим по точкам кривую зависимости между силой и перемещением точки приложения силы. В нашем случае это кривая первого порядка, т. е. прямая линия.

Рис. 214

Первую точку поставим в начале координат, так как при отсутствии растягивающей силы растяжение пружины равно нулю. Чтобы растянуть пружину на 1 см, нужна сила с кГ, поэтому вторая точка кривой имеет координаты х=1, у =с Если сила с кГ будет продолжать действовать на пружину, то пружина будет оставаться растянутой на один сантиметр, но чтобы растянуть пружину еще на один сантиметр, надо увеличить силу еще на с кГ. Следовательно, координаты третьей точки x=2, y=2c и т. д. Для растяжения пружины на λ си нужна сила в cλ кГ. Точка x = λ, y = cλ лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с основанием λ и высотой cλ.

Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.

Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = сх, где х—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас — постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п.

Величину, характеризующую быстроту приращения работы Силы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:

Мощность силы

Одну и ту же работу можно произвести за различное время. Величину, характеризующую быстроту приращения работы, называют мощностью силы и обозначают буквой N. Разделив работу, произведенную силой, на время, в течение которого эта работа произведена, получим значение средней мощности силы:

B этом смысле говорят, хотя и несколько нечетко, что средняя мощность — это работа за единицу времени. При таком определении получается, что мощность является работой, или элементарной работой, чего не может быть, так как мощность имеет свою размерность. В физической системе единиц

Единицей мощности в СИ является мощность силы, производящей работу в один джоуль за одну секунду. Эту единицу называют ватт1 и обозначают вт. На практике часто употребляют единицу мощности киловатт (квт):

В технической системе в качестве единицы мощности силы обычно применяют кГм/сек. Употребляют также другую единицу мощности, называемую лошадиной силой:

1 л. с. = 75 кГ • м/сек = 736 вт.

Чем меньше промежуток времени, за который определена средняя мощность силы, тем ближе она соответствует мощности в данное мгновение, которую мы определим в пределе, если будем уменьшать промежуток времени, сохраняя начало этого промежутка:

    (228)

Таким образом, мощность силы выражают отношением элементарной работы к дифференциалу времени.
При некоторых частных выражениях работы мощность можно определить по другим формулам. Так, например, если сила направлена по скорости, то dA=Fds, и, подставляя в (228), найдем

N = F ∙υ,    (229)

т. е. мощность можно выразить произведением силы на скорость. При езде на автомобиле по ровной хорошей дороге, где нужно получить большую скорость, но не надо преодолевать большие сопротивления, включают высшие передачи, а при подъеме или на плохой дороге, где нужно развить при полной мощности возможно большую силу тяги, хотя бы и за счет потери скорости, включают низшие передачи.

Если сила выражена в килограммах, скорость —в км/ч, а мощность надо выразить в л. с., то формула (229) принимает следующий вид:

    (230)

т. е. мощность выражается произведением вращающего момента и угловой скорости.

Задача №5

Тягач, развивая мощность 80 л. с., тянет по горизонтальной ледяной дороге со скоростью 15 км/ч сани с грузом 36 т. Определить коэффициент трения саней о дорогу.

Решение. За основные единицы примем: L — в км, F —в кГ, T — в ч.

На сани действуют следующие силы: 1) вес 36 000 кГ, направленный вертикально вниз, 2) реакция дороги, направленная вертикально вверх; 3) сила тяги тягача, направленная горизонтально вперед по ходу саней, и 4) сила трения полозьев о дорогу, направленная горизонтально назад.

Работа вертикальных сил при горизонтальном движении саней равна нулю, и эти силы нас не интересуют.

Сани движутся равномерно, откуда следует, что горизонтальные силы уравновешивают друг друга. Следовательно, сила тяги F уравновешена силой трения, равной, как известно, произведению коэффициента трения на нормальное давление (36 000 кГ). Подставляя эти данные, найдем

,

откуда 

Решим теперь эту же задачу в СИ, т. е. примем L в м, M—в кг, T — в сек. Мощность силы, развиваемую тягачом, выразим в ваттах:

N = 80∙736 = 58 880 вт,

скорость —в метрах в секунду:

силу трения выразим в ньютонах:

и, пользуясь  формулой (229), получим ответ.

Ответ. 

Задача №6

Определение мощности машины можно произвести следующим образом. На вал машины надевают чугунный шкив, который центрируют и закрепляют наглухо зинтами (рис. 215). На шкив надевают две связанные болтами деревянные подушки, одна из которых имеет плечо l с чашкой для грузов Q. Противовес P подбирают так, чтобы свободно надетый на шкив нажим находился в равновесии без гирь Q в горизонтальном положении, т. е. так, чтобы плечо проходило между двумя неподвижными балками А и В. Испытание начинают с того, что затягивают болты подушек до тех пор, пока машина не даст наперед заданное число оборотов n. Коромысло прижимается при этом к неподвижной балке А. Затем начинают накладывать на чашку гири до тех пор, пока плечо не отстанет от А и не займет горизонтальное положение между А и В.

Рис. 215

Определить мощность, если вес гирь известен и равен Q, длина плеча равна l а число оборотов в минуту n. Подобрать длину плеча так, чтобы мощность выражалась формулой N = Qn вт.

Решение. Центр тяжести подушек с противовесом P по условию задачи лежит на одной вертикали с осью шкива На шкив действуют вращающий момент и момент сил трения, сумма которых равна нулю, так как шкив вращается равномерно.

Чтобы определить момент сил трения, рассмотрим равновесие подушки и составим сумму моментов действующих на нее сил относительно оси вала:

Тогда, по (230),

Пусть вес выражен в кГ, а длина —в м, тогда для выражения мощности в вт надо эту величину разделить на 0,102 или умножить на 9,81:

Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Ответ. N = 1,026 Qln вт. Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Задача №7

Посредством ремня (рис. 216) передается мощность 20 л. с. Радиус ременного шкива 50 см, число оборотов в минуту 150.

Предполагая, что натяжение T₁ ведущей ветви вдвое больше натяжения T₂ ведомой ветви, определить натяжение T₁ и T₂.

Рис. 216

Решение. Условие задачи дано в технической системе единиц, будем решать в СИ и выражать L — в .и, F — в н, Т —в сек.

Момент натяжения ремня, взятый относительно оси вращения шкива

Угловая скорость

Мощность 20 л. с. выразим в ваттах.

и по (230)

откуда

Натяжение ведущей ветви в два раза больше.

Ответ. T₁ = 3750 н; T₂= 1875 н. В задачнике И. В. Мещерского ответ дан в кГ, умножая число ньютонов на 0,102, выразим натяжение ремней в килограммах: T₂ = 382 κΓ, T₁= 191 кГ.

Теоремы об изменении кинетической энергии точки и системы

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:
T-T₀=A

     (127)

Умножим первое из этих уравнений на, второе—на  и третье—на . Сокращая dt в знаменателях правых и левых частей, получим:

или 

Сложим все три уравнения и заменим в левой части сумму дифференциалов дифференциалом суммы:

В числителе левой части имеем квадрат полной скорости (64), а правая часть выражает элементарную работу силы (221). Следовательно,

  (231)

т. е. дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе. Интегрируя равенство (231), получим

Постоянную интеграции определим из начальных данных. В начальное мгновение скорость точки υ = υ₀, а работа равнялась нулю. Подставляя эти данные, получим

и окончательно

  (232)

Равенство (232) словами можно прочитать так: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении этой точки на каком-либо участке пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же участке пути. Уравнение (232) называют уравнением кинетической энергии.

Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к точке сил.

Уравнение (232) можно записать более коротко:

Т—Т₀ =  А.    (232′)

Задача №8

Самолет делает посадку с выключенным мотором на болотистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость v может иметь самолет, не рискуя капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центра тяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).

Рис. 217

Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.
Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)

Рис. 218

Вертикальная скорость самолета теряется при ударе о Землю, но горизонтальная сохраняется. Если при спуске  самолета шасси остановится, то оставшаяся кинетическая энергия уйдет на опрокидывание самолета:

Решая это уравнение, находим ответ.

Ответ.

Задача №9

Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, с какой наименьшей скоростью надо бросить материальную точку вертикально вверх, чтобы она не вернулась на Землю.

Решение. Сила, действующая на брошенную с Земли точку, пропорциональна массе точки и обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от центра Земли:

Коэффициент пропорциональности был определен при решении задачи № 155:

Материальная точка, получив начальную скорость υ₀, будет удаляться от Земли, при этом под действием силы F скорость ее будет уменьшаться, уменьшаться будет и сила F. Материальная точка не вернется на Землю, если в мгновение, когда скорость ее станет равной нулю, перестанет действовать и сила. Сила притяжения обратится в нуль при r = ∞.

Работу силы А при изменении r от R до ∞ выразим интегралом

Знак минус перед интегралом взят потому, что сила направлена в сторону, противоположную движению. Подставляем в (232):

откуда 

Подставляя числовые данные, получим ответ.
Ответ. (2-я космическая скорость).

Задача №10

В автоматическом оружии отдача используется для выбрасывания пустой гильзы и вкладывания нового патрона. Это осуществляется посредством специального кожуха, сдерживаемого пружиной, который «принимает на себя» отдачу, отскакивает назад и под действием пружины возвращается обратно, производя упомянутые операции. Какова должна быть скорость пули, достаточная для того, чтобы работал автоматический пистолет, если вес пули 8 Г, вес кожуха 250 Г, расстояние, на которое отскакивает кожух, 3 см и сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см, равна 4 кГ?

Решение. Путь кожуха 3 см. На этом пути начальная скорость кожуха υ0 уменьшается, достигая нуля. Механическое движение кожуха переходит в упругую энергию пружины. Следовательно, применима теорема об изменении кинетической энергии, пользуясь которой, определим начальную скорость кожуха, так как конечная скорость равна нулю:

Упругая сила пружины изменяется по закону Гука F = cx; подставляя вместо F и х их заданные значения, находим

Подставляя в (221) и интегрируя в пределах от 0 до 3, находим

Работа отрицательна, так как упругая сила пружины направлена против ее деформации и выражена в кГ^. см. Выразив в тех же единицах кинетическую энергию кожуха, найдем его начальную скорость:

или

Итак, после выстрела кожух начал двигаться со скоростью 3,76 м/сек и, пройдя 3 см, остановился, затратив свое механическое движение на сжатие пружины.

После выстрела механическое движение получил не только кожух, но и пуля. Мы не будем больше рассматривать переход механического движения в упругую энергию пружины, а рассмотрим лишь механическое движение кожуха и пули.

Рассмотрим систему, состоящую из пистолета (с кожухом) и пули. Построим оси координат, проведя Ox вдоль дула пистолета. Проекция внешних сил на ось Ox равна нулю. Сила взрыва— внутренняя сила системы и, следовательно, центр масс системы не смещается по оси Ох, и сумма проекций количеств движения после выстрела, как и до выстрела, равна нулю:

откуда скорость пули

Знак минус показывает, что скорость пули направлена в сторону, противоположную скорости кожуха. Если скорость пули будет меньше, будет меньше и количество движения пули, а потому уменьшится и количество движения кожуха. Если же уменьшится количество движения кожуха, то уменьшится и его кинетическая энергия и ее будет недостаточно для совершения работы — сжатия пружины на 3 см, т. е. при меньшей начальной скорости пули пистолет не будет автоматически перезаряжаться. При большей скорости пули избыток кинетической энергии кожуха будет передаваться ударом на руку.

Ответ.  υ=120 м/сек.

Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: T-T₀ = А

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Пусть механическая система состоит из п материальных точек. Разбив на две категории все силы, действующие на точки системы, напишем дифференциальные уравнения в форме (130):

где k = 1, 2, 3, …, n.

Рассмотрим отдельно какую-либо из точек системы и напишем для нее уравнение кинетической энергии. На эту точку действуют как внешние, так и внутренние силы, и в правой части уравнения кинетической энергии мы напишем сумму работ внешних и внутренних сил:

Составим такие же уравнения для всех точек и возьмем сумму:

    (233)

Припомним, что внутренние силы системы не вошли в уравнения проекций количеств движения системы (169) и в уравнения моментов системы (192). Однако они имеются в уравнении (233) кинетической энергии системы. Происходит это потому, что сумма проекций на любую ось и сумма моментов всех внутренних сил относительно любой оси всегда равны нулю, так как внутренние силы системы попарно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Но сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю, как это было показано в задаче № 156.

Пусть, например, две точки системы отталкивают друг друга внутренними равными и противоположно направленными силами и под действием этих сил расстояние между точками увеличивается. Перемещения обеих точек направлены по силам, работы обеих сил положительны, и сумма работ этих сил не равна нулю. Внутренние силы системы можно рассматривать как силы взаимодействия точек, взятых по две. Поэтому сказанное о двух точках распространяется на все точки системы.

Силы взаимодействия между каждыми двумя частицами направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти частицы. Если расстояние между частицами не изменяется, то относительное перемещение этих частиц может быть только в направлении, перпендикулярном к этой прямой. Но силы, перпендикулярные к перемещениям, работы не совершают, а потому работа внутренних сил неизменяемой системы (абсолютно твердого тела) равна нулю.

Если система состоит из нескольких твердых тел, то работа внутренних сил каждого твердого тела равна нулю, но работы внутренних сил, действующих между каждыми двумя твердыми телами, принадлежащими к этой системе, в общем случае не равны нулю.

Задача №11

Цилиндрический вал диаметром 10 см и весом 0,5 T, на который насажено маховое колесо диаметром 2 м и весом 3 Т, вращается в данное мгновение с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? При решении задачи массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.

Решение. Примем следующие единицы измерения: L-в см, F — в Т, T — в сек.
Требуется определить количество оборотов вала до остановки. Механическое движение (вращение) вала с маховиком исчезает, переходит в другие виды движения. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии (233′).

На вал с насаженным на него маховым колесом действуют силы: 1) вес всей системы, состоящий из веса махового колеса и веса вала, G = 3,5; 2) реакции в опорах; 3) сила трения в подшипниках, равная произведению веса на коэффициент трения; Fτp≈ 0,05-3,5.

Точка приложения первой из этих сил неподвижна, а потому работа первой из этих сил равна нулю.

Реакции перпендикулярны перемещениям, а потому работа реакции равна нулю.

Работу сил трения определим по (226) как работу силы, приложенной к вращающемуся телу. Момент силы трения относительно оси вращения равен произведению силы трения на плечо (на радиус вала):

Работа отрицательна, так как сила направлена против скорости, т. е. если вращение вала происходит против хода часовой стрелки (φ > 0), то M_тp < 0, а потому A = M_тp φ< 0; если же (φ < 0), то M_тp > 0, а потому А < 0:

Кинетическую энергию системы определим по (216) как кинетическую энергию вращающегося тела. 

Момент инерции системы равен сумме момента инерции маховика и момента инерции вала. Хотя вес вала только в 6 раз меньше веса махового колеса, но момент инерции вала исчезающе мал по сравнению с моментом инерции махового колеса, так как момент инерции зависит не столько от массы тела, сколько от ее распределения. Действительно, если масса маховика равномерно распределена по ободу, то

Момент инерции цилиндрического вала определим как момент инерции цилиндра относительно его оси (см. задачу № 134):

Следовательно, момент инерции вала в 4800 раз меньше момента инерции маховика и при решении задачи моментом инерции вала можно пренебречь.

Определим начальную угловую скорость:

Конечная угловая скорость равна нулю.
Все полученные данные подставляем в (233′):

Из этого уравнения можно определить число оборотов вала до остановки. Так как φ выражен в радианах, а в каждом обороте 2π радиан, то, обозначая искомое число оборотов х, получим

φ = 2πx.

Подставляем φ в предыдущее уравнение и, решая, получаем ответ.
Ответ. Вал сделает до остановки 109,7 оборота.

Задача №12

Доска весом G₁ лежит на двух одинаковых цилиндрических катках весом G каждый, находящихся на горизонтальной плоскости. К доске приложена постоянная горизонтальная сила Р. При движении системы скольжение между катками и доской отсутствует. Определить ускорение доски, пренебрегая сопротивлением качению.

Решение. К механической системе, состоящей из доски и двух катков, применим теорему об изменении кинетической энергии в форме (233′):

Определим кинетическую энергию системы. При качении катка без скольжения его мгновенный центр скоростей находится в точке соприкосновения с неподвижной плоскостью. Кинетическую энергию каждого из цилиндрических катков определим по формуле (216′):

Кинетическую энергию доски, движущейся поступательно со скоростью о, равной скорости верхней точки обода каждого катка, определим по (214):

Величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скоростей, следовательно,

υ = 2υ_c

Кинетическая энергия всей механической системы, т. е. двух цилиндрических катков и доски, равна

Аналогично

Определим работу внешних сил. Ha систему действует внешние силы (рис. 219); движущая сила Р, веса G₁, G и G, нормальные реакции R₁ и R₂ неподвижной плоскости и силы трения скольжения F_{1 тр} и F_{2 тр}.

Рис. 219

Работа сил тяжести на горизонтальном перемещении их точек приложения равна нулю. Работа идеальных реакций и сил трения, приложенных в мгновенных центрах скоростей катков, равна нулю. Сумма работ всех внешних сил содержит только работу силы P на пути s, т. е.

Но в уравнение кинетической энергии системы входит также работа внутренних сил системы. Определим ее. Работа внутренних сил каждого из твердых тел всегда равна нулю. Работа внутренних сил взаимодействия между твердыми телами системы (между доской и каждым катком) в данном случае тоже
равна нулю, так как эти силы равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к точкам, элементарные перемещения которых одинаковы, так как нет скольжения доски по каткам. Таким образом, имеем

Подставляя знамения Т, T₀ и уравнение (233′), находим 

Продифференцировав это уравнение по времени, получим

Ответ. 

Задача №13

Параллелепипед веса P₁ (рис. 220) опирается на плоскость, наклоненную под углом а к плоскости горизонта; цилиндр веса P₃ и радиуса R опирается образующей на плоскость, наклоненную под углом β. Оба тела соединены идеальной нитью, перекинутой через блок радиуса R и веса P₂. Система выходит из состояния покоя. Определить скорость и параллелепипеда после того, как он переместится по плоскости на расстояние 3, если коэффициент трения его о плоскость равен f, а трением при качении цилиндра и вращении блока можно пренебречь. Массу блока считать равномерно распределенной по его поверхности.

Рис. 220    

Решение. Рассмотрим движение системы, состоящей из параллелепипеда, цилиндра и блока. Для движения параллелепипеда вверх необходимо, чтобы

откуда 

Для движения параллелепипеда вниз необходимо; чтобы

откуда 

Если вес P₁ параллелепипеда заключается в пределах

то система остается в равновесии. При прочих значениях P₁ возникает движение системы. Для определения скорости определим кинетическую энергию системы.

В начальное мгновение кинетическая энергия системы равнялась нулю. Когда параллелепипед приобрел скорость у, то вследствие нерастяжимости нити такую же скорость получила и ось цилиндра. Кроме того, цилиндр получил угловую скорость . Такую же угловую скорость получил блок.

Кинетическая энергия T системы равна сумме кинетических энергий материальных тел, составляющих эту систему. Кинетическая энергия параллелепипеда

Кинетическая энергия блока 

Кинетическая энергия цилиндра 

Следовательно, 

Работа сил при перемещении s параллелепипеда вверх по плоскости

Если же параллелепипед опустился на такое же расстояние, то

Приравнивая работу изменению кинетической энергии, получим ответ.
Ответ. Скорость параллелепипеда выражается равенствами: I) при подъеме:

2) при опускании:

Задача №14

Решить задачу применив теорему об изменении кинетической энергии.
Решение. Выразив все заданные величины в кГ, м и сек, вычислим конечную кинетическую энергию системы:

Начальная кинетическая энергия системы .
Вращающий момент приложен к первому валу. Когда второй вал сделает искомое число оборотов n₂, первый вал повернется на  а потому работа

Подставляя эти данные в (233), имеем

Ответ. n₂ = 2,344 оборота.

Потеря кинетической энергии при ударе

Потеря кинетической энергии системы, происходящая от ударов при встрече ее тел, равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям (Л. Карно):

Теорема Карно

Кинетическая энергия является мерой, характеризующей способность механического движения превращаться в эквивалентное количество других видов движения (теплота, электричество и т. и.). Удары тел всегда сопровождаются явлениями, требующими затраты энергии (нагревание тел, звук и пр.), поэтому удары, происходящие при встрече тел всякой механической системы, обязательно уменьшают кинетическую энергию системы.

Как было показано в § 45, мгновенный импульс при прямом центральном неупругом ударе двух тел может быть выражен любой из следующих формул:

    (174)

     (175)

Кинетическую энергию системы двух тел до удара обозначим T₀, а после удара Т. Изменение кинетической энергии

или

Если тела неупруги, то, принимая во внимание (174), получим

Подставив вместо S его значение (175), убедимся, что кинетическая энергия системы уменьшилась:

     (234)

Если одно из тел, например второе, до удара было неподвижно (v2 = 0), то начальная кинетическая энергия системы равна кинетической энергии первого тела:

и

Следовательно, в этом случае потеря кинетической энергии зависит исключительно от отношения масс ударяющихся тел. При ковке металла переход кинетической энергии в тепловую целесообразен, а потому наковальня должна быть во много раз массивнее молота. Так, например, если молот в 99 раз легче наковальни, то T-T₀=-0,99 T₀, т. е. 99% энергии уходит главным образом на полезную работу (на ковку) и лишь 1% затрачивается на сотрясение наковальни. Напротив, при забивании свай надо сообщить свае возможно большую скорость, т. е. надо по возможности сохранить при ударе кинетическую энергию системы, а потому целесообразно ударять сваю массивной бабой. Так, например, если масса бабы в 99 раз больше массы сваи, то T-T₀ = -0,01 T₀ и 99 % энергии уходит на полезную работу (забивку сваи) и лишь 1 % теряется на звук, теплоту и пр.

Потерю кинетической энергии при ударе выразим более удобной формулой. Для этого возведем (175) в квадрат и потом разделим правую часть полученного равенства на левую:

Умножим теперь на полученное выражение (т. е. на единицу) равенство (234):

или в виду равенств (174)

      (236)

(υ₁ — ) и (υ₂ — ) выражают скорости, потерянные первым и вторым телами при ударе. Поэтому равенство (236) словами читают так: потеря кинетической энергии неупругих тел при ударе равна сумме кинетической энергии, которую имели бы эти тела, если бы их скорости были равны тем скоростям, которые они потеряли при ударе.

Аналогично можно показать, что в случае не вполне упругого удара потеря кинетической энергии равна  доле кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям:

   (236^/)

Если бы существовали абсолютно упругие тела (k = 1), то их соударение происходило бы без потери кинетической энергии, т. е. без нагревания, без звука и пр.

Задача №15

Определить потерю кинетической энергии при прямом центральном ударе двух тел, а также их скорости после удара, если m_l = m₂ = 2 кг, υ_{1 =}4 м/сек, υ₂ =0, k = 0,5.

Решение. Если бы удар был неупругим, то скорость тел после удара была бы по (176):

Учитывая коэффициент восстановления, скорости каждого из тел определим по (178):

Потерю кинетической энергии определим по (236′):

Напомним, что механическое движение имеет две меры: 1) количество движения, т. е. меру, характеризующую способность механического движения передаваться от одних материальных тел к другим в виде механического же движения, и 2) кинетическую энергию, характеризующую способность механического движения переходить в другие немеханические виды движения.

Поэтому кинетическая энергия системы теряется при ударе, переходит в теплоту, звук и пр. и   . В данном примере  кинетическая энергия системы до удара была , а после удара стала

Потерянная системой двух тел кинетическая энергия 6 кгм²/сек²  перешла в другие немеханические виды движения.

Количество же движения системы лишь передалось от одного тела другому, но сохранилось в системе. В самом деле, K₀ = 2∙4 = 8 κг∙м∕ceκ; K = 2∙1 + 2∙3 = 8 κг∙м∕ceκ, т. е. K-K₀ = 0.

Ответ. T — T₀ = 6 дж; =l м/сек; = 3м/сек.

Коэффициент полезного действия

В этой главе рассмотрены задачи на определение работы, совершаемой постоянной силой, и развиваемой мощности при поступательном и вращательном движении тел.

Работа и мощность при поступательном движении

Работа постоянной силы Р на прямолинейном участке пути s, пройденном точкой приложения силы, определяется по формуле

где a — угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

При a = 90°

т. e. работа силы, действующей перпендикулярно к направлению перемещения, равна нулю.

Если направление действия силы совпадает с направлением перемещения, то    а = 0, поэтому cosa = cos O = 1 и формула (1) упрощается;

На точку или на тело обычно действует не одна сила, а несколько, поэтому при решении задач целесообразно использовать теорему о работе равнодействующей системы сил (Е. М. Н и к ит и и, § 89):

т. е. работа равнодействующей какой-либо системы сил на некотором пути равна алгебраической сумме работ всех сил этой системы на том же пути.

В частном случае, когда система сил уравновешена (тело движется равномерно и прямолинейно), равнодействующая системы сил равна нулю и, следовательно, Поэтому при равномерном и прямолинейном движении точки или тела уравнение (2) принимает вид

т. е. алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил на некотором пути равна нулю.

При этом силы, работа которых положительна, называются движущими, а силы, работа которых отрицательна, называются силами сопротивления. Например, при движении тела вниз–сила тяжести – движущая сила и ее работа положительны, а при движении тела вверх его сила тяжести является силой сопротивления и работа силы тяжести при этом отрицательна (§93, Е. М. Н и к и т и н).

При решении задач в случаях, когда неизвестна сила Р, работу которой нужно определить, можно рекомендовать два приема (метода).

1.    При помощи сил, заданных в условии задачи, определить силу Р, а затем по формуле (1) или (1) вычислить ее работу.

2.    Не определяя непосредственно силы Р, определить — работу требуемой силы при помощи формул (2) и (2′), выражающих теорему о работе равнодействующей.

Мощность, развиваемая при работе постоянной силы, определяется по формуле

Если при определении работы силы Р скорость движения точки остается постоянной, то

Если же скорость движения точки изменяется, средняя скорость и тогда формула (2′) выпажает среднюю мощность

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) при совершении работы можно определить как отношение работ

где — полезная работа; А – вся произведенная работа, или как отношение соответствующих мощностей:

Единицей работы в СИ служит 1 джоуль (дж) =а в системе МКГСС –

Так как единицей длины в обеих системах служит 1 м, а 1 кГ=9,81 н (или 1 н = 0,102 кГ), то

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт

а в системе МКГСС—

При использовании системы МКГСС мощность обычно измеряют в лошадиных силах (л. с.), причем

При использовании СИ мощность измеряют в киловаттах (квт): 1 квт — 1,36 л. с.

Для перехода от одних единиц к другим следует пользоваться формулами

Задача №16

Какую работу производит человек, передвигая по горизонтальному полу на расстояние 4 м горизонтально направленным усилием ящик массой 50 кГ? Коэффициент трения f = 0,4.

Решение 1—методом определения движущей силы Р.

1.    На ящик, поставленный на горизонтальный пол, действуют две силы: G и реакция пола N (рис. 252). Двигая ящик, че-
ловек прикладывает к нему силу Р, и тогда возникает сила трения F.

При равномерном передвижении ящика четыре силы образуют уравновешенную систему и поэтому, спроектировав их на горизонтальную и вертикальную оси, найдем, что

3.    Работа, которую производит человек в данном случае, как видно, состоит в преодолении силы трения (P=F). Но так как

то

4.    Если решить задачу в системе МКГСС, то

Легко убедиться, что оба ответа выражают одну и ту же работу:

Решение 2 —с применением теоремы о работе равнодействующей.

1.    Как показано в первом решении, на ящик при его перемещении действуют четыре силы: сила тяжести G, реакция пола движущая сила и сила трения F. Ящик движется равномерно и прямолинейно, поэтому эти четыре силы образуют уравновешенную систему. Следовательно, применив формулу (2′). получим уравнение

2.    В этом уравнении работа силы тяжести Аа=0, так как сила G действует перпендикулярно к направлению перемещения; по этой же причине работа реакции N

Таким образом, искомая работа при перемещении ящика

3.    Работу силы трения найдем по формуле (1), учитывая, что в этом случае а=180°:

Подставим значение в уравнение (а):

Так как F — Nf и N — G, то

AP=Fs — Nfs = Gfs=mgfs

Задача №17

На тело М массой т—40 кг, могущее перемещаться вдоль вертикального направляющего бруска, действует некоторая сила Р, постоянно направленная под углом а =18° к вертикали. Под действием этой силы тело поднимается равномерно на высоту h = 4 м (рис. 253, а); коэффициент трения при скольжении тела вдоль направляющего бруса f=0,2. Определить произведенную работу и коэффициент полезного действия. Решение 1.

1.    При равномерном перемещении вдоль бруска вверх на тело М действуют четыре силы: сила тяжести G, сила трения F, нормальная реакция N, равная давлению тела на брусок, и движущая сила Р (рис. 253. б).

2.    Сила Р производит работу

Но чтобы определить ее, нужно сначала найти силу Р.

3.    Расположив оси координат, как показано на рис. 253, б, выведем уравнения равновесия:

а также уравнение, выражающее основной закон трения:

Из уравнения (1)

поэтому уравнение (3) примет вид

Подставим полученное значение силы трения в уравнение (2):

4.    Подставим в последнее выражение числовое значение силы тяжести G в единицах СИ (G=mg):

Тогда работа, произведенная силой,

5.    Если подставить в уравнение (4) силу тяжести G, выраженную в технических единицах (G = 40 кГ), то

Работа этой силы в единицах МКГСС получит такое значение:

6.    Определим коэффициент полезного действия:

Вся произведенная работа А = 1680 дж, а полезная работа состоит в том, что тело весом G — mg поднято на высоту h, т. е.

Умножив найденное значение = 0,934 на 100, выразим к. п. д. в процентах:

Примечание. Можно не определять отдельно числовое значение силы Р виде выражение работы для
(см. п. 4 и 5), а получить предварительно в общем данного случая:

и после деления числителя и знаменателя на cos а:

Но иногда в технических расчетах числовые значения девствующих сил необходимы для решения каких-либо других вопросов.

Если воспользоваться приведенным выше выражением работы, то выражение к. п. д. для данной задачи получит такой вид:

Таким образом, коэффициент полезного действия при передвижении тела М по вертикальному направляющему бруску зависит от коэффициента трения f и угла а, определяющего направление действия силы относительно вертикального бруска.

Если заменить

Решение 2.

1.    В первом решении выяснено, что на тело М действует система четырех сил: G, F, N, Р (см. рис. 253, б).

2.    Так как тело движется по бруску равномерно, система этих сил уравновешена и, следовательно, алгебраическая сумма их работ равна нулю:

3.    Тело М движется вертикально вверх и поднимается на высоту h, поэтому работа силы N, направленной перпендикулярно к направлению перемещения:

работа силы тяжести G, направленной вертикально вниз,

работа силы трения F, также направленной вниз,

Известно, что F=Nf. Спроектировав на ось х (см. рис. 253,6) силы, приложенные к телу М, найдем, чтоПоэтомуи выражение работы силы трения примет вид

4.    Подставим выражения работ в уравнение (а)
5. Вычислим работу в единицах СИ. Тогда
поэтому

Таким образом, вся работа, произведенная при подъеме тела М на высоту составляет 1670 дж. К. н. д. при выполнении этой работы определяем так же, как и в первом решении.

Задача №18

Какой мощности электродвигатель необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поднимать клеть со строительными материалами общей массой m=1200 кг на высоту 20 м за 30 сек. Коэффициент полезного действия лебедки

Решение (в единицах СИ).

1.    Полезная мощность, развиваемая лебедкой при подъеме,

2.    Мощность двигателя N найдем из выражения

3 Таким образом, мощность двигателя, необходимая для лебедки,

Двигатель должен иметь мощность не менее 10,9 квот.

Рекомендуется решить самостоятельно эту задачу в единицах МКГСС и найти мощность двигателя, выраженную в л. с.

Задача №19

Какую работу необходимо произвести, чтобы равномерно передвинуть в горизонтальном направлении на расстояние ь клинчатый ползун 1 вдоль направляющих 2? Вес ползуна G, угол заострения ползуна и направляющих а (рис. 254, а), коэффициент трения между ползуном и направляющими f.

Решение.

1.    На клинчатый ползун, когда он находится в горизонтально расположенных направляющих, действуют три силы: вес ползуна и две реакции направляющих (рис. 254, в), действующих на ползун перпендикулярно к боковым плоскостям (щекам) ползуна.

Для приведения ползуна в движение к нему нужно приложить параллельно направляющим силу и тогда возникнут еще две силы – силы трения, действующие вдоль обеих боковых плоскостей ползуна (см. рис. 254, б – здесь вектор изображает направленную вертикально вверх геометрическую сумму нормальных реакций

Таким образом, на ползун при его движении действуют всего шесть сил:

В данном случае нормальные реакции равны между собой, следовательно, равны и силы трения поэтому

2.    Работа при перемещении ползуна на расстояние s

но предварительно найдем числовое значение движущей силы Р.

3.    Спроектировав    приложенные    к ползуну силы на    ось х

(см. рис. 254, б), получим

Нормальную реакцию N найдем из уравнения проекций на ось у (см. рис. 254, в):

Подставляем найденное значение N в

4.    Следовательно, работа при передвижении клинчатого ползуна на расстояние s

Например, при

Примечание. Входящая в формулу (б) величина называется коэффициентом трения клинчатого ползуна. При уменьшении угла а (при большем

заострении ползуна и направляющих) коэффициент трения клинчатого ползуна резко увеличивается.

Решение задачи вторым способом с применением теоремы о работе равнодействующей силы рекомендуется выполнить самостоятельно.

Задача №20

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости, длина которой м и угол подъема а = 20; (рис. 255, а). Определить работу, производимую силой, направленной параллельно наклонной плоскости, и коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f=0,2. Решение 1.

1.    При движении тела М (примем его за материальную точку) вверх по наклонной плоскости на него действуют четыре силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости движущая сила и сила трения (рис. 255, б).

2.    Работа силы Р при перемещении тела по длине наклонной плоскости

3.    Найдем необходимую для перемещения тела М силу Р. Расположив оси координат, как показано на рис. 255, 6, составим два уравнения равновесия:

Дополним эти уравнения третьим уравнением, выражающим основной закон трения:

Из уравнения (1)

Вместо силы трения F подставим ее значение из уравнения (3):

а вместо нормальной реакции N подставим ее значение из уравнения (2):

4.    Следовательно, работа силы P

После подстановки в это уравнение числовых значений

5.    Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Полезная работа состоит в подъеме тела весом G на высоту поэтому

Решение 2.

1.    Можно считать, что на тело М действуют не четыре, а три силы: G—вес тела, движущая сила и полная реакция поверхности реальной связи R, равная геометрической сумме сил(рис. 255, в).

Реакция реальной связи R, как известно (§ 15-3), при движении отклоняется от нормали к поверхности связи на величину угла трения причем — коэффициент трения.

2.    Так как на тело М действуют только три силы и они образуют уравновешенную систему (тело М, принятое за материальную точку, движется равномерно и прямолинейно), силовой треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым.

3.    По рис. 255, в можно определить, что в силовом треугольнике AВС угол Следовательно,

4.    Применим к АВС теорему синусов’

5.    Работа силы Р

Из равенства (см. п. 1) находим, чтоПодставим теперь в выражение работы числовые значения и определим, что

6.    Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Развернем знаменатель получившейся дроби:

 

Числитель и знаменатель разделим на произведение и получим окончательный вид формулы к. п. д. наклонной плоскости при действии силы Р, параллельной этой плоскости

Подставив сюда значение углаи учтя, что получим

Примечания: I. Как видно, результаты обоих решений совпадают, хотя получившиеся формулы для силы Р внешне отличаются друг от друга.

Формулу для Р из первого решения легко преобразовать и привести к результату второго решения:

2. Выражение (I), полученное во втором решении, показывает, что к. п. д. наклонной плоскости зависит лишь от коэффициента треният. е. от материала и состояния трущихся поверхностей тела М и угла подъема наклонной плоскости.

Решение 3.

1.    Известно, что при действии на точку нескольких сил алгебраическая сумма работ всех сил на некотором пути равна работе равнодействующих этих сил.

2.    В данном случае на тело М, которое примем за материальную точку, действуют четыре силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости сила трения и движущая сила Р (см. рис 255, б).

3.    Точка М движется равномерно и прямолинейно. Равнодействующая сил, действующих на точку, равна нулю, и, следовательно, алгебраическая сумма работ, производимых силами на длине наклонной плоскости, также равна нулю:

4.    Находим отсюда работу силы Р:

где работа силы

работа силы направленной перпендикулярно к направлению движения точки, равна нулю:

работа силы F

так как сила трения

Подставим в выражение (а) полученные значения работ:

Таким образом,

5.    К п. д. наклонной плоскости найдем так же, как в п 5 первого решения.

Задача №21

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскостимне углом подъема 

а=20 . Определить работу, произведенную силой, направленной параллельно основанию наклонной плоскости (рис. 256, а), также коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f = 0,4.

Первое и третье решения задачи, аналогичные соответствующим решениям задачи 225-44, рекомендуется выполнить самостоятельно.

Решение. 2.

1. Приняв тело М за материальную точку, изобразим на рис. 256, б (слева) три действующие на нее силы: вес G, движущую силу Р и полную реакцию R наклонной плоскости, которая отклонена на угол (угол трения) от нормали к поверхности наклонной плоскости.

2.    При равномерном движении тела по наклонной плоскости эти три силы образуют уравновешенную систему, и поэтому треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым (см. рис. 256, б – справа).

3.    Силовой треугольник АВС получается в данном случае прямоугольным, так как вектор G перпендикулярен к вектору Р; угол поэтому числовое значение движущей силы

* Работа силы P в результате вычислений получается отрицательной, так как плоскость несамотормозящаяся (угол подъема а угол трения следовательно, см. задачу 95-15) и поэтому сила Р направлена вверх, т. е. в сторону, противоположную движению. Без силы Р тело M скользит вниз равноускоренно.

5.    Подставим сюда числовые значения:Найдем

Как видно, по сравнению с задачей 225-44 работа получается несколько больше (на 24 кГм), потому что сила Р, действующая параллельно основанию наклонной плоскости, прижимает тело к наклонной плоскости, при этом увеличивается нормальное давление тела N, а вместе с ним и сила трения.

G. Определим коэффициент полезного действия. На основании изложенного, к. п. д. в данном случае уменьшится:

окончательно получаем формулу к. п. д. горизонтальном действии силы Р:

Подставим сюда значения углов:

По сравнению с к. п. д., полученным в задаче 225-44, к. п. д. наклонной плоскости в этой задаче уменьшается.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №22

Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы перекатить каток массой 50 кГ на расстояние 4 м по горизонтальной негладкой поверхности. Считать, что сила, двигающая каток, приложена к оси катка и горизонтальна (рис. 258, а).

Диаметр катка 20 см; коэффициент трения = 0,5 см.

Решение.

1.    Как известно из кинематики, движение катящегося катка называется плоскопараллельным и составляется из двух движений — поступательного и вращательного.

Ось катка передвигается поступательно, поэтому работу силы Р, приложенной к оси, можно определить по формуле

но предварительно нужно найти числовое значение силы Р.

2.    На каток в неподвижном состоянии действуют две силы: вес катка G и реакция N горизонтальной поверхности, приложенная к катку в точке К (геометрическая точка касания катка с поверхностью). При качении на Каток действуют уже четыре силы (рис. 258, б): G – вес катка, Р -движущая сила и две составляющие N и F полной реакции поверхности, место приложения которой перемещается из точки К в точку А – вперед по ходу катка.

3.    Если спроектировать все силы на вертикальную и горизонтальную оси, то N — G и Р = Р, т. е. на катящийся каток действуют две пары сил: катящая пара (Р; F) с плечом ОКи пара сопротивления (G; N) с плечом КА =

При равномерном перекатывании катка моменты этих пар численно равны между собой, т. е.

Отсюда находим силу Р, выразив силу тяжести в кГ (G — = 50 кГ)

4.    Таким образом, работа, произведенная при перемещении катка,

Рекомендуется сопоставить этот результат с результатом, полученным в задаче 221-44. Следующую задачу решить самостоятельно.

Работа и мощность при вращательном движении

При вращательном движении тела движущим фактором является пара сил. Рассмотрим диск 1, могущий свободно вращаться вокруг оси 2 (рис. 259). Если к точке А на ободе диска приложить силу Р (направим ее вдоль касательной к боковой поверхности диска; направленная таким образом сила называется окружным усилием), то диск станет вращаться. Вращение диска обусловлено появлением пары сил. Сила Р, действуя на диск, прижимает его в точке О к оси (сила на рис. 259, приложенная к оси 2) и возникает реакция оси (сила на рис. 259), приложенная так же, как и сила Р, к диску. Так как все эти силы численно равны между собой и_ линии их действия параллельны, то силы Р и образуют пару сил, которая и приводит диск во вращение.

Как известно, вращающее действие пары сил измеряется ее моментом, но момент пары сил равен произведению модуля любой из сил на плечо пары, поэтому вращающий момент

Единицей момента пары сил, а также момента силы относительно точки или относительно оси является (ньютон-метр) в СИ и 1 кГм (килограмм-сила-метр) в системе МКГСС. Но при этом не следует смешивать эти единицы с единицами работы имеющими ту же размерность.

Работу при вращательном движении производят пары сил. Величина работы пары сил измеряется произведением момента пары (вращающего момента) на угол поворота, выраженный в радианах:

Таким образом, чтобы получить единицу работы, например, необходимо единицу моментаумножить на 1 рад. Но так как радиан — безразмерная величина

Мощность при вращательном движении

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью, то, заменив в формуле (2) получим

Мощность того или иного двигателя величина постоянная, поэтому
 

т. е. вращающий момент двигателя обратно пропорционален угловой скорости его вала.

Это означает, что использование мощности двигателя при различных угловых скоростях позволяет изменять создаваемый им вращающий момент. Используя мощность двигателя при малой угловой скорости, можно получить большой вращающий момент.

Так как угловая скорость вращающейся части двигателя (ротора электродвигателя, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и т. п.) при его работе практически нс изменяется, то между двигателем и рабочей машиной устанавливается какой-либо механизм (редуктор, коробка скоростей и т. н.), могущий передавать мощность двигателя при различных угловых скоростях.

Поэтому формула (3), выражающая зависимость вращающего момента от передаваемой мощности и угловой скорости (Е. М. Н и-китнн, § 93), имеет очень важное значение.

Используя при решении задач эту зависимость, необходимо иметь в виду следующее. Формула (3) принимается для решения задач, если мощность N задана в ваттах, а угловая скорость–в рад/сек [размерность (1/сек)], тогда вращающий момент получится в н м.

Соответственно, если мощность N подставлена в кет (киловаттах), то вращающий момент получится в к-нм (килоньютон-метрах).

Если передаваемая мощность выражена в л. с. (1 л. с. =

= 75угловая скорость — в об;мин

а вращающий момент нужно получить в кГм, то необходимо воспользоваться формулой

Если передаваемая мощность выражена в кет, угловая скорость – в об/мин, а вращающий момент нужно получить в кГ м, то необходимо воспользоваться формулой

Задача №23

Для определения мощности электродвигателя через его шкив перекинута тормозная лента (рис. 260, а). Один конец ленты удерживается динамометром, а к другому концу прикрепленадвухкилограммовая гиря.

После запуска двигателя при установившейся угловой скорости n = 1850 об/мин динамометр показывает усилие 5 кГ. Определить мощность двигателя.

Решение 1—в единицах СИ.

1.    Рассмотрим, какие силы действуют на шкив при установившемся равномерном вращении.

Шкив приводится во вращательное движение вращающим моментом создаваемым двигателем. Кроме того, на шкив действуют сила натяжения правой ветви ленты, создаваемая динамометром и сила натяжения левой ветви ленты, создаваемая двухкилограммовой гирей (рис. 260,6).

2.    Определим вращающий момент двигателя.

Так как шкив вращается равномерно, то алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси вращения шкива равна нулю:

3.    Переведя угловую скорость n =1850 об/мин в рид/сек:

из формулы (3) можно найти мощность двигателя!

Таким образом, мощность двигателя составляет 685 вт. Решение 2 —при помощи формулы (4).

1.    На шкив действуют – искомый вращающий момент двигателя и две силы натяжения ветвей тормозной ленты: и

2.    Определяем вращающий момент двигателя:

3.    Теперь из формулы (4) определяем мощность двигателя:

Переведя получившуюся мощность из л. с. в вт, легко убедиться, что она такая же, как и в первом решении (0,930 л. с

Задачу можно решить еще при помощи формулы (5). Рекомендуется это решение выполнить самостоятельно.

Задача №24

Токарный станок приводится в движение электродвигателем, мощность которого N = 2,21 кет. Считая, что к резцу станка подводится лишь 0,8 мощности двигателя, определить вертикальную составляющую усилия резания, если диаметр обрабатываемой детали d = 200 мм, а шпиндель вращается со скоростью n=92 об/мин.

Решение – при помощи формулы (5).

1.    Шпиндель станка с закрепленной в нем деталью вращается под действием вращающего момента, который уравновешивается моментом искомого вертикального усилия резания Р, т. е.

где d—200 лш = 0,2 м – диаметр обрабатываемой детали. Следовательно,

2.    Мощность, подведенная к резцу, составляет 0,8 от всей мощности двигателя. Таким образом, к. п. д. передачи и подведенная к резцу мощность

3.    Подставим найденные значения и данное в условии задачи значение n в формулу (5):

Тогда

Откуда

Решение задачи в единицах СИ рекомендуется выполнить самостоятельно.

Механическая работа

О чем эта статья:

Для нас привычно понятие «работа» в бытовом смысле. Работая, мы совершаем какое-либо действие, чаще всего полезное. В физике (если точнее, то в механике) термин «работа» показывает, какую силу в результате действия приложили, и на какое расстояние тело в результате действия этой силы переместилось.

Например, нам нужно поднять велосипед по лестнице в квартиру. Тогда работа будет определяться тем, сколько весит велосипед и на каком этаже (на какой высоте) находится квартира.

Механическая работа — это физическая величина, прямо пропорциональная приложенной к телу силе и пройденному телом пути.

Чтобы рассчитать работу, нам необходимо умножить численное значение приложенной к телу силы F на путь, пройденный телом в направлении действия силы S. Работа обозначается латинской буквой А.

Механическая работа

А = FS

A — механическая работа [Дж]

F — приложенная сила [Н]

S — путь [м]

Если под действием силы в 1 ньютон тело переместилось на 1 метр, то данной силой совершена работа в 1 джоуль.

Поскольку сила и путь — векторные величины, в случае наличия между ними угла формула принимает вид.

Механическая работа

А = FScosα

A — механическая работа [Дж]

F — приложенная сила [Н]

S — путь [м]

α — угол между векторами силы и перемещения [°]

Числовое значение работы может становиться отрицательным, если вектор силы противоположен вектору скорости. Иными словами, сила может не только придавать телу скорость для совершения движения, но и препятствовать уже совершаемому перемещению. В таком случае сила называется противодействующей.

Для совершения работы необходимы два условия:

• чтобы на тело действовала сила,
• чтобы происходило перемещение тела.

Сила, действующая на тело, может и не совершать работу. Например, если кто-то безуспешно пытается сдвинуть с места тяжелый шкаф. Сила, с которой человек действует на шкаф, не совершает работу, поскольку перемещение шкафа равно нулю.

Полезная и затраченная работа

Был такой мифологический персонаж у древних греков — Сизиф. За то, что он обманул богов, те приговорили его после смерти вечно таскать огромный булыжник вверх по горе, откуда этот булыжник скатывался — и так без конца. В общем, Сизиф делал совершенно бесполезное дело с нулевым КПД. Поэтому бесполезную работу и называют «сизифов труд».

Чтобы разобраться в понятиях полезной и затраченной работы, давайте пофантазируем и представим, что Сизифа помиловали и камень больше не скатывается с горы, а КПД перестал быть нулевым.

Полезная работа в этом случае равна потенциальной энергии, приобретенной булыжником. Потенциальная энергия, в свою очередь, прямо пропорциональна высоте: чем выше расположено тело, тем больше его потенциальная энергия. Выходит, чем выше Сизиф прикатил камень, тем больше полезная работа.

Потенциальная энергия

Е_п = mgh

m — масса тела [кг]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

h — высота [м]

На планете Земля g ≈ 9,8 м/с 2

Затраченная работа в нашем примере — это механическая работа Сизифа. Механическая работа зависит от приложенной силы и пути, на протяжении которого эта сила была приложена.

Механическая работа

А = FS

A — механическая работа [Дж]

F — приложенная сила [Н]

S — путь [м]

И как же достоверно определить, какая работа полезная, а какая затраченная?

Все очень просто! Задаем два вопроса:

За счет чего происходит процесс?

Ради какого результата?

В примере выше процесс происходит ради того, чтобы тело поднялось на какую-то высоту, а значит — приобрело потенциальную энергию (для физики это синонимы).

Происходит процесс за счет энергии, затраченной Сизифом — вот и затраченная работа.

Мощность

На заводах по всему миру большинство задач выполняют машины. Например, если нам нужно закрыть крышечками тысячу банок колы, аппарат сделает это в считанные минуты. У человека эта задача заняла бы намного больше времени. Получается, что машина и человек выполняют одинаковую работу за разные промежутки времени. Для того, чтобы описать скорость выполнения работы, нам потребуется понятие мощности.

Мощностью называется физическая величина, равная отношению работы ко времени ее выполнения.

Мощность

N = A/t

N — мощность [Вт]

A — механическая работа [Дж]

t — время [с]

Один ватт — это мощность, при которой работа в один джоуль совершается за одну секунду.

Также для мощности справедлива другая формула:

Мощность

N = Fv

N — мощность [Вт]

F — приложенная сила [Н]

v — скорость [м/с]

Как и для работы, для мощности справедливо правило знаков: если векторы направлены противоположно, значение мощности будет отрицательным.

Поскольку сила и скорость — векторные величины, в случае наличия между ними угла формула принимает следующий вид:

Мощность

N = Fvcosα

N — мощность [Вт]

F — приложенная сила [Н]

v — скорость [м/с]

α — угол между векторами силы и скорости [°]

Примеры решения задач

Задача 1

Ложка медленно тонет в большой банке меда. На нее действуют сила тяжести, сила вязкого трения и выталкивающая сила. Какая из этих сил при движении тела совершает положительную работу? Выберите правильный ответ:

Сила вязкого трения.

Ни одна из перечисленных сил.

Решение

Поскольку ложка падает вниз, перемещение направлено вниз. В ту же сторону, что и перемещение, направлена только сила тяжести. Это значит, что она совершает положительную работу.

Ответ: 3.

Задача 2

Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной L = 40 м с постоянной по модулю скоростью. Модуль силы трения, действующей на ящик со стороны земли, равен 80 H. Чему равна работа силы тяги за один оборот?

Решение

Поскольку ящик тянут с постоянной по модулю скоростью, его кинетическая энергия не меняется. Вся энергия, которая расходуется на работу силы трения, должна поступать в систему за счет работы силы тяги. Отсюда находим работу силы тяги за один оборот:

Ответ: 3200 Дж.

Задача 3

Тело массой 2 кг под действием силы F перемещается вверх по наклонной плоскости на расстояние l = 5 м. Расстояние тела от поверхности Земли при этом увеличивается на 3 метра. Вектор силы F направлен параллельно наклонной плоскости, модуль силы F равен 30 Н. Какую работу при этом перемещении в системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью, совершила сила F?

Решение

В данном случае нас просят найти работу силы F, совершенную при перемещении тела по наклонной плоскости. Это значит, что нас интересуют сила F и пройденный путь. Если бы нас спрашивали про работу силы тяжести, мы бы считали через силу тяжести и высоту.

Работа силы определяется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения тела. Следовательно:

A = Fl = 30 * 5 = 150 Дж

Ответ: 150 Дж.

Задача 4

Тело движется вдоль оси ОХ под действием силы F = 2 Н, направленной вдоль этой оси. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости v x тела на эту ось от времени t. Какую мощность развивает эта сила в момент времени t = 3 с?

Решение

На графике видно, что проекция скорости тела в момент времени 3 секунды равна 5 м/с.

Мощность можно найти по формуле N = Fv.

N = FV = 2×5 = 10 Вт

Ответ: 10 Вт.

Попробуйте онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по физике с опытным преподавателем в Skysmart!

I. Механика

Тестирование онлайн

Работа

Работа – это скалярная величина, которая определяется по формуле

Работу выполняет не тело, а сила! Под действием этой силы тело совершает перемещение.

Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией, необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу; 2) Изображаем вектор перемещения; 3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами: 1 способ – как сумму работ (с учетом знаков “+” или “-“) всех действующих на тело сил, в нашем примере
2 способ – в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок

Работа силы упругости

Для нахождения работы, совершенной силой упругости, необходимо учесть, что эта сила изменяется, так как зависит от удлинения пружины. Из закона Гука следует, что при увеличении абсолютного удлинения, сила увеличивается.

Для расчета работы силы упругости при переходе пружины (тела) из недеформированного состояния в деформированное используют формулу

Мощность

Скалярная величина, которая характеризует быстроту выполнения работы (можно провести аналогию с ускорением, которое характеризует быстроту изменения скорости). Определяется по формуле

Коэффициент полезного действия

КПД – это отношение полезной работы, совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за то же время

Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Чем ближе это число к 100%, тем выше производительность машины. Не может быть КПД больше 100, так как невозможно выполнить больше работы, затратив меньше энергии.

КПД наклонной плоскости – это отношение работы силы тяжести, к затраченной работе по перемещению вдоль наклонной плоскости.

Главное запомнить

1) Формулы и единицы измерения;
2) Работу выполняет сила;
3) Уметь определять угол между векторами силы и перемещения

Консервативные (потенциальные) и неконсервативные (непотенциальные) силы*

Если работа силы при перемещении тела по замкнутому пути равна нулю, то такие силы называют консервативными или потенциальными. Работа силы трения при перемещении тела по замкнутому пути никогда не равна нулю. Сила трения в отличие от силы тяжести или силы упругости является неконсервативной или непотенциальной.

Формула нахождения работы*

Есть условия, при которых нельзя использовать формулу
Если сила является переменной, если траектория движения является кривой линией. В этом случае путь разбивается на малые участки, для которых эти условия выполняются, и подсчитать элементарные работы на каждом из этих участков. Полная работа в этом случае равна алгебраической сумме элементарных работ:

Значение работы некоторой силы зависит от выбора системы отсчета.

Механическая работа и мощность

теория по физике 🧲 законы сохранения

Второй закон Ньютона в импульсной форме позволяет определить, как меняется скорость тела по модулю и направлению, если в течение некоторого времени на него действует определенная сила:

В механике также важно уметь вычислять изменение скорости по модулю, если при перемещении тела на некоторый отрезок на него действует некоторая сила. Воздействия на тела сил, приводящих к изменению модуля их скорости, характеризуется величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений. Эту величину в механике называют работой силы.

Работа силы обозначается буквой А. Это скалярная физическая величина. Единица измерения — Джоуль (Дж).

Работа силы равна произведению модуля силы, модуля перемещения и косинусу угла между ними:

Важно!

Механическая работа совершается, если:

1. На тело действует сила.
2. Под действием этой силы тело перемещается.
3. Угол между вектором силы и вектором перемещения не равен 90 градусам (потому что косинус прямого угла равен нулю).

Внимание! Если к телу приложена сила, но под ее действием тело не начинает движение, механическая работа равна нулю.

Пример №1. Груз массой 1 кг под действием силы 30 Н, направленной вертикально вверх, поднимается на высоту 2 м. Определить работу, совершенной этой силой.

Так как перемещение и вектор силы имеют одно направление, косинус угла между ними равен единице. Отсюда:

Работа различных сил

Любая сила, под действием которой перемещается тело, совершает работу. Рассмотрим работу основных сил в таблице.

Модуль силы тяжести: F_тяж = mg

Работа силы тяжести: A = mgs cosα

Модуль силы трения скольжения: F_тр = μN = μmg

Работа силы трения скольжения: A = μmgs cosα

Модуль силы упругости: F_упр = kx

Работа силы упругости:

Работа силы тяжести

Работа силы трения скольжения

Работа силы упругости

Работа силы упругости

Работа силы упругости не может быть определена стандартной формулой, так как она может применяться только для постоянной по модулю силы. Сила же упругости меняется по мере сжатия или растяжения пружины. Поэтому берется среднее значение, равное половине суммы сил упругости в начале и в конце сжатия (растяжения):

Нужно также учесть, что перемещение тела под действием силы упругости равно разности удлинения пружины в начале и конце:

Перемещение и направление силы упругости всегда сонаправлены, поэтому угол между ними нулевой. А косинус нулевого угла равен 1. Отсюда работа силы упругости равна:

Работы силы трения покоя

Работы силы трения покоя всегда равна 0, так как под действием этой силы тело не сдвигается с места. Исключение составляет случай, когда покоящееся тело лежит на подвижном предмете, на который действует некоторая сила. Относительно системы координат, связанной с подвижным предметом, работа силы трения покоя будет нулевой. Но относительно системы отсчета, связанной с Землей, эта сила будет совершать работу, так как тело будет двигаться, оставаясь на поверхности движущегося предмета.

Пример №2. Груз массой 100 кг волоком перетащили на 10 м по плоскости, поверхность которой имеет коэффициент трения 0,4. Найти работу, совершенной силой трения скольжения.

A = μmgs cosα = 0,4∙100∙10∙10∙(–1) = –4000 (Дж) = –4 (кДж)

Знак работы силы

Знак работы силы определяется только косинусом угла между вектором силы и вектором перемещения:

1. Если α = 0 о , то cosα = 1.
2. Если 0 о o , то cosα > 0.
3. Если α = 90 о , то cosα = 0.
4. Если 90 о o , то cosα о , то cosα = –1.

Работа силы трения скольжения всегда отрицательна, так как сила трения скольжения направлена противоположно перемещению тела (угол равен 180 о ). Но в геоцентрической системе отсчета работа силы трения покоя будет отличной от нуля и выше нуля, если оно будет покоиться на движущемся предмете (см. рис. выше). В таком случае сила трения покоя будет направлена с перемещением относительно Земли в одну сторону (угол равен 0 о ). Это объясняется тем, что тело по инерции будет пытаться сохранить покой относительно Земли. Это значит, что направление возможного движения противоположно движению предмета, на котором лежит это тело. А сила трения покоя направлена противоположно направлению возможного движения.

Геометрический смысл работы

Механическая работа численно равна площади фигуры, ограниченной графиком с осями OF и OX.

Мощность

Мощность — физическая величина, показывающая, какую работу совершает тело в единицу времени. Мощность обозначается буквой N. Единица измерения: Ватт (Вт). Численно мощность равна отношению работы A, совершенной телом за время t:

Рассмотрим частные случаи определения мощности в таблице.

Мощность при равномерном прямолинейном движении тела

Работа при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

F_т — сила тяги, s — перемещение тела под действием этой силы. Отсюда мощность равна:

Мощность при равномерном подъеме груза

Когда груз поднимается, совершается работа, по модулю равная работе силе тяжести. За перемещение в этом случае можно взять высоту. Поэтому:

Мгновенная мощность при неравномерном движении

Выше мы уже получили, что мощность при постоянной скорости равна произведению этой скорости на силу тяги. Но если скорость постоянно меняется, можно вычислить мгновенную мощность. Она равна произведению силы тяги на мгновенную скорость:

Мощность силы трения при равномерном движении по горизонтали

Мощность силы трения отрицательна так же, как и работа. Это связано с тем, что угол между векторами силы трения и перемещения равен 180 о (косинус равен –1). Учтем, что сила трения скольжения равна произведению силы нормальной реакции опоры на коэффициент трения:

Пример №3. Машина равномерно поднимает груз массой 10 кг на высоту 20 м за 40 с. Чему равна ее мощность?

Коэффициент полезного действия

Не вся работа, совершаемая телами, может быть полезной. В реальном мире на тела действует несколько сил, препятствующих совершению работы другой силой. К примеру, чтобы переместить груз на некоторое расстояние, нужно совершить работу гораздо большую, чем можно получить при расчете по формулам выше.

• Работа затраченная — полная работа силы, совершенной над телом (или телом).
• Работа полезная — часть полной работы силы, которая вызывает непосредственно перемещение тела.
• Коэффициент полезного действия(КПД) — процентное отношение полезной работы к работе затраченной. КПД обозначается буквой «эта» — η. Единицы измерения эта величина не имеет. Она показывает эффективность работы механизма или другой системы, совершающей работу, в процентах.

КПД определяется формулой:

Работа может определяться как произведение мощности на время, в течение которого совершалась работа:

Поэтому формулу для вычисления КПД можно записать в следующем виде:

Частые случаи определения КПД рассмотрим в таблице ниже:

Устройство

Работа полезная и полная

Неподвижный блок, рычаг

Наклонная плоскость

l — совершенный путь (длина наклонной плоскости).

Пример №4. Определите полезную мощность двигателя, если его КПД равен 40%, а его мощность по паспорту равна 100 кВт.

В данном случае необязательно переводить единицы измерения в СИ. Но в таком случае ответ мы тоже получим в кВт. Из этой формулы выразим полезную мощность:

[spoiler title=”источники:”]

http://fizmat.by/kursy/zakony_sohranenija/rabota

[/spoiler]

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы. Другими словами, работа – мера воздействия силы.

Определение механической работы

Работа А, совершаемая постоянной силой F→, – это физическая скалярная величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы F→ и перемещением s→.

Данное определение рассматривается на рисунке 1.

Формула работы записывается как,

A=Fs cos α.

Работа – это скалярная величина. Единица измерения работы по системе СИ – Джоуль (Дж).

Джоуль равняется работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещение 1 м по направлению действия силы.

Рисунок 1. Работа силы F→: A=Fs cos α=Fss

При проекции Fs→ силы F→ на направление перемещения s→ сила не остается постоянной, а вычисление работы для малых перемещений Δsi суммируется и производится по формуле:

A=∑∆Ai=∑Fsi∆si.

Данная сумма работы вычисляется из предела (Δsi→0), после чего переходит в интеграл.

Графическое изображение работы определяют из площади криволинейной фигуры, располагаемой под графиком Fs(x)рисунка 2.

Рисунок 2. Графическое определение работы ΔAi=FsiΔsi.

Примером силы, зависящей от координаты, считается сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука. Чтобы произвести растяжение пружины, необходимо приложить силу F→, модуль которой пропорционален удлинению пружины. Это видно на рисунке 3.

Рисунок 3. Растянутая пружина. Направление внешней силы F→ совпадает с направлением перемещения s→. Fs=kx, где k обозначает жесткость пружины.

F→упр=-F→

Зависимость модуля внешней силы от координат x можно изобразить на графике с помощью прямой линии.

Рисунок 4. Зависимость модуля внешней силы от координаты при растяжении пружины.

Из выше указанного рисунка возможно нахождение работы над внешней силой правого свободного конца пружины, задействовав площадь треугольника. Формула примет вид

A=kx22.

Данная формула применима для выражения работы, совершаемой внешней силой при сжатии пружины. Оба случая показывают, что сила упругости F→упр равняется работе внешней силы F→, но с противоположным знаком.

Если на тело действует несколько сил, то их общая работа равняется сумме всех работ, совершаемых над телом. Когда тело движется поступательно, точки приложения сил перемещаются одинаково, то есть общая работа всех сил будет равна работе равнодействующей приложенных сил.

Мощность

Мощностью называют работу силы, совершаемую в единицу времени.

Запись физической величины мощности, обозначаемой N, принимает вид отношения работы А к промежутку времени t совершаемой работы, то есть:

N=At.

Система СИ использует в качестве единицы мощности ватт (Вт). 1 Ватт – это мощность, которую совершает работу в 1 Дж за время 1 с.

Помимо Ватта, существуют и внесистемные единицы измерения мощности. Например, 1 лошадиная сила примерна равна 745 Ваттам.