Как найти работу силы тяжести тела

Совсем недавно, мы
изучили работу силы. Напомним, что работа силы равна произведению модуля силы,
модуля перемещения и косинуса угла между направлениями силы и перемещения:

Рассмотрим теперь частный
случай — работу силы тяжести при перемещении тела с высоты h₁
на высоту h₂.

Первый случай — это
падение тела вертикально вниз.

В этом случае,
перемещение, конечно же, будет равно

Сила тяжести, как мы
знаем, равна

.

Поскольку сила тяжести
направлена вертикально вниз, как и перемещение, косинус угла между
направлениями этих векторов равен единице. Таким образом, мы получим, что
работа силы тяжести равна:

Второй случай — это когда
тело, наоборот, подбрасывают вертикально вверх с высоты h₁
на высоту h₂.

В этом случае, угол между
направлением силы тяжести и направлением перемещения составит 180^о.
Это приводит нас к тому, что работа силы тяжести опять-таки равна:

Наконец, рассмотрим
случай, когда между направлением силы тяжести и перемещением существует
произвольный угол α.

Обозначим модуль
перемещения за s. В этом случае,
работа силы тяжести равна:

Но, исходя из определения
косинуса:

Таким образом, мы в
третий раз получили одинаковый результат.

Более того, если даже мы
рассмотрим криволинейную траекторию, то убедимся, что результат будет тем же.

Любую кривую мы можем
представить в виде ломаной линии, состоящей из очень маленьких горизонтальных и
вертикальных отрезков. На горизонтальных отрезках работа силы тяжести будет
равна нулю, поскольку в этом случае направление перемещения перпендикулярно
направлению силы тяжести. На вертикальных участках работа будет равна: A
= mg(s₁
+ … + s_n).
Очевидно, что эта сумма будет равна (h₁
– h₂):

Таким образом, мы
убедились, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела.
Имеет значение лишь то, насколько начальное положение тела отличается от
конечного. Это плавно подводит нас к понятию потенциальной энергии, которое
мы рассмотрим немного позже.

Из приведенных примеров
вытекает еще один важный вывод: при движении тела по замкнутой траектории
работа силы тяжести равна нулю. Для начала рассмотрим контур, имеющий форму
прямоугольника. Как мы уже убедились, при движении тела в горизонтальном
направлении, работа силы тяжести равна нулю. Вектор перемещения направлен
перпендикулярно вектору силы тяжести. При перемещении же по противолежащим
вертикальным сторонам контура, сила тяжести совершает работу, равную по
абсолютной величине, но противоположную по знаку.

В одном случае вектор
перемещения направлен так же, как вектор силы тяжести, а в другом — направлен в
противоположную сторону. Это довольно логично, поскольку при движении тела
вниз, сила тяжести ему «помогает», а при движении вверх — наоборот, мешает.

Мы можем сколь угодно
усложнить эту траекторию, получив совершенно произвольный замкнутый контур.

Но опять же, разбив все
кривые на ломаные линии с горизонтальными и вертикальными участками, мы
убедимся, что суммарная работа будет равна нулю.

Силы, обладающие такими
свойствами, называются консервативными. То есть, консервативная сила — это
такая сила, работа которой в замкнутом контуре равна нулю.

Примеры решения задач.

Задача 1. Охотник
стреляет со скалы под углом 40° к горизонту. За время падения пули работа силы
тяжести составила 5 Дж. Если пуля вошла в землю на расстоянии 250 м от скалы,
то какова её масса?

Задача 2. Находясь
на Нептуне, тело совершило перемещение так, как показано на рисунке. При этом
перемещении работа силы тяжести составила 840 Дж. Если масса данного тела равна
5 кг, то каково ускорение свободного падения на Нептуне?

С
ила
тяжести-сила
действующая на тела вследствие его
притяжения к планете

Сила тяжести,
действующая на тело, является суммой сил,
действующей на
его отдельные части. Если
считать силу тяжести однородной,
то суммарная сила тяжести,
действующая на тело равна произведению
массы всего
тела на ускорение свободного падения.

Работа
силы тяжести равна изменению потенциальной
энергии тела,взятому со знаком минус.

Работу
силы тяжести рассмотрим на примере.
Пусть тело падает под действием силы
тяжести F = mg с высоты h из точки B в точку
A. Формула работы силы:

A
= |F||S|cosα

Подставим
значения для нашего примера:

A
= mgh

косинус
альфа здесь равен единице.

Работа
силы тяжести не зависит от траектории.
То есть, если тело скатывается под
действием силы тяжести с какой-то
наклонной поверхности, то работа силы
тяжести всё равно будет равна mgh.

На
замкнутой траектории работа силы тяжести
равна нулю. Значит сила тяжести является
консервативной силой.

21 Консервативные силы, поле центральных сил

В
физике консервати́вные
си́лы (потенциальные
силы) — силы, работа которых
не зависит от формы траектории (зависит
только от начальной и конечной точки
приложения сил). Отсюда следует следующее
определение: консервативные силы —
такие силы, работа по любой замкнутой
траектории которых
равна 0.Если в системе действуют только
консервативные силы, то механическая
энергия системы сохраняется. Для
консервативных сил выполняются следующие
тождества:

• 
   — ротор консервативных
  сил равен 0;

• 
   — работа консервативных
  сил по произвольному замкнутому контуру
  равна 0;

• 
   —
  консервативная
  сила является градиентом некой скалярной
  функции U,
  называемой силовой. Эта функция
  равна потенциальной
  энергии взятой
  с обратным знаком.

Примерами
консервативных сил являются: сила
тяжести, сила
упругости

Модель
поля центральных сил

поле,
характерной особенностью которого
является то, что силы, действующие на
него при любом его положении в поле,
всегда проходят через некоторую
определенную
точку
называемую центром сил или центром
поля. Поле центральных сил может иметь
различную
физическую
природу, но напряженность его всегда
обратно пропорциональна квадрату
расстояния до
центра поля.

Примерами
центральных сил служат силы тяготения,
направленные к центру Солнца или
планеты,

кулоновские
силы электростатического притяжения
и отталкивания и др.  Рассмотрим
важный случай поля центральных сил.
Всякое силовое поле вызывается действием
определенных тел. Сила, действующая на
частицу А в таком поле, обусловлена
взаимодействием этой частицы с данными
телами. Если силы, зависят только от
расстояния между взаимодействующими
частицами и направлены по прямой,
соединяющей эти частицы, от их
называют центральными. Такими
примерами служат силы гравитационные,
кулоновские и упругие.

     Центральную
силу, действующую на частицу А со
стороны частицы В, можно представить
в общем виде:

     где 
 -функция,
зависящая при данном характере
взаимодействия только от r – расстояния
между частицами; 
 единичный
вектор, задающий направление радиус-вектора
частицы А относительно частицы В
(рис.5.6).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Полезно ознакомиться в отдельности с работой каждой из механических сил, с которыми мы ознакомились в пятой главе: силы тяжести, силы упругости и силы трения. Начнем с силы тяжести. Сила тяжести равна $vec{F} = m vec{g}$ и направлена по вертикали вниз. Вблизи поверхности Земли ее можно считать постоянной.

рис. 1

При движении тела по вертикали вниз сила тяжести совпадает по направлению с перемещением. При переходе с высоты $h_{1}$ над каким-то уровнем, от которого мы начинаем отсчет высоты, до высоты $h_{2}$ над тем же уровнем (рис. 1), тело совершает перемещение, по абсолютной величине равное $h_{1} – h_{2}$. Так как направления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести положительна и равна:

$A = mg (h_{1} – h_{2})$.

Высоты $h_{1}$ и $h_{2}$ не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Для начала отсчета высот можно выбрать любой уровень. Это может быть пол комнаты, стол или стул, это может быть и дно ямы, вырытой в земле, и т. д. Ведь в формулу для работы входит разность высот, а она не зависит от того, откуда начинать их отсчет. Мы могли бы, например, условиться начинать отсчет высоты с уровня $B$ (см. рис. 1). Тогда высота этого уровня была бы равна нулю, а работа выражалась бы равенством

$A = mgh$,

где $h$ – высота точки $A$ над уровнем $B$.

Если тело движется вертикально вверх, то сила тяжести направлена против движения тела и ее работа отрицательна. При подъеме тела на высоту $h$ над тем уровнем, с которого оно брошено, сила тяжести совершает работу, равную

$A = – mgh$.

Если после подъема вверх тело возвращается в исходную течку, то работа на таком пути, начинающемся и кончающемся в одной и той же точке (на замкнутом пути), на пути «туда и обратно», равна нулю. Это одна из особенностей силы тяжести: работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Теперь выясним, какую работу совершает сила тяжести в случае, когда тело движется не по вертикали.

рис. 2

В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости (рис. 2). Допустим, что тело массой $m$ по наклонной плоскости высотой $h$ совершает перемещение $vec{s}$, по абсолютной величине равное длине наклонной плоскости. Работу силы тяжести $m vec{g}$ в этом случае надо вычислять по формуле $A = mgs cos alpha$. Но из рисунка видно, что

$cos alpha = frac{h}{s}$.

Поэтому

$A = mgs frac{h}{s} = mgh$.

Мы получили для работы то же самое значение.

рис. 3

Выходит, что работа силы тяжести не зависит от того, движется ли тело по вертикали или проходит более длинный путь по наклонной плоскости. При одной и той же «потере высоты» работа силы тяжести одинакова (рис. 3).

рис. 4

Это справедливо не только при движении по наклонной плоскости, но и по любому другому пути. В самом деле, допустим, что тело движется по какому-то произвольному пути, например по такому, какой изображен на рисунке 4. Весь этот путь мы можем мысленно разбить на ряд малых участков: $AA_{1}, A_{1}A_{2}, A_{2}A_{3}$ и т. д. Каждый из них может считаться маленькой наклонной плоскостью, а все движение тела на пути $AB$ можно представить как движение по множеству наклонных плоскостей, переходящих одна в другую. Работа силы тяжести на каждой такой наклонной плоскости равна произведению $mg$ на изменение высоты тела на ней. Если изменения высот на отдельных участках равны $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ и т. д., то работы силы тяжести на них равны $mgh_{1}, mgh_{2}, mgh_{3}$ и т. д. Тогда полную работу на всем пути можно найти, сложив все эти работы:

$A = mgh_{1} + mgh_{2} + mgh_{3} + cdots = mg (h_{1} + h_{2} + h_{3} + cdots)$.

Но

$h_{1} + h_{2} + h_{3} + cdots = h$.

Следовательно,

$A = mgh$.

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. При движении вниз работа положительна, при движении вверх – отрицательна.

Почему же в технике и быту при подъеме грузов часто пользуются наклонной плоскостью? Ведь работа перемещения груза по наклонной плоскости такая же, как и при движении по вертикали!

Это объясняется тем, что при равномерном движении груза по наклонной плоскости сила, которая должна быть приложена к грузу в направлении перемещения, меньше силы тяжести. Правда, груз при этом проходит больший путь. Больший путь – это плата »а то, что по наклонной плоскости груз можно поднимать с помощью меньшей силы.

Подробности

Обновлено 30.05.2018 20:11

Просмотров: 706

Задачи по физике – это просто!

Вспомним

Формулы, по которым можно вычислить работу силы:

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Задача 2

Какую работу совершит сила тяжести при падении мяча массой 0,5 кг на землю из состояния покоя с высоты 5 метров?

Задача 4

Скорость падающего кирпича массой 2 кг на некотором отрезке пути изменилась от 3 м/с до 6 м/с. Определить работу, совершенную силой тяжести.