Как найти работу силы вдоль кривой - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Продолжаем предыдущий урок на тему “Применение криволинейных интегралов 2 рода”.
Готовые ответы задач на работу силового поля помогут студентам выучить тему, и научат быстро находить нужные интегралы.

Пример 4.2 Найти работу силы F () при перемещении точки вдоль кривой C:
x²/4+y²/9=1 от точки A(- 2;0) к точке B(0;3).
Решение: Запишем уравнение заданного эллипса в параметрическом виде: x=2*cos(t), y=3*sin(t).

Наведем графически траекторию материальной точки вдоль эллипса.

Тогда дифференциал переменных по параметру будет равен dx=-2*sin(t)dt, dy=3*cos(t)dt .
При этом пределы интегрирования ограничатся точками Pi и Pi/2.
Найдем работу силы F по кривой C через криволинейный интеграл ІІ рода :
Пересмотрите внимательно формулы интегрирования синуса и косинуса, и понижения степени для таких функций.

Пример 4.4 Найти работу силы по перемещению точки вдоль кривой C:
y=4-2x^2 от точки к точке
Решение: Построим траекторию движения материальной точки вдоль параболы L: y=4-2x².

Вычисляем дифференциал дуги y=4-2x², dy=-4x*dx и из условия выписиваем пределы интегрирования
Работа силы F находим с помощью криволинейного интеграла второго рода

Интегрирование занимает не мало времени и при превращениях можно допустить ошибку, поэтому будьте внимательные в этих местах.

Пример 4.11 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=ln(x) от точки A(1;0) к точке B(e;1).
Решение: Траектория материальной точки вдоль логарифма имеет вид
Находим дифференциал логарифма y=ln (x), dy=dx/x.
Пределы интегрирования изменяются от единицы к экспоненте.
Работа силы F с помощью криволинейного интеграла ІІ рода примет значение:

Здесь для логарифма применили правило интегрирования частями (u*dv).

Пример 4.13 Найти работу силы F при перемещении вдоль кривой C:
x²+y²=9 от точки A (0;-3) к точке , где F задана формулой

Решение: Построим траекторию движения материальной точки вдоль круга радиусом 3.

Чтобы не выражать две функции (верхняя и нижняя кривая круга) запишем зависимость x(y) и вычислим дифференциал дуги

При этом ордината изменяется от – 3 до 3/2.
Применяя криволинейный интеграл ІІ рода находим роботу силы F при перемещении вдоль круга:

Бороться с корнями во время интегрирования непросто, о чем свидетельствует приведенные вычисления.
Намного проще вычислять интеграл при переходе к полярной системе координат.
Дальше наведем методику интегрирования:

ІІ – способ:
Параметризуэм заданный круг:

Учитывая, что во время движения от точки A(0;-3) к точке угол изменяется от

Вычисляем искомый криволинейный интеграл ІІ рода :
В плане вычислений второй метод более легкий, поэтому для круговых и эллиптических форм кривой при симметричном вхождении x, y в уравнение силы рекомендуем переходить к полярной системе координат.

Пример 4.15 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
4x²+y²=4 от точки A(0;2) к точке B (-1;0).
Решение: Траектория движения материальной точки по эллипсу приведена ниже

Записываем верхнюю дугу эллипса и ее производную.

Пределы интегрирования изменяются от 0 к -1
Работа силы F через криволинейный интеграл второга рода выражается зависимостью:

Пример 4.18 Найти работу силы по перемещению материальной точки вдоль кривой C:
y=cos(x) от точки A(Pi/2;0) к точке B(-Pi/2;0).
Решение: Изобразим траекторию материальной точки вдоль косинуса

Построим дифференциал кривой y=cos(x), dy=-sin(x)*dx.
Он нужен для возведения криволинейного интегралу ІІ рода к определенному.
Находим работу силы F по перемещении вдоль контура интегрированием

Для понижения под интегралом степеней косинуса и синуса применили известные тригонометрические формулы.

Пример 4.21 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=x³ от точки A(0;0) к точке B(2;8).
Решение: Построим траекторию материальной точки вдоль кривой y=x³.

Вычисляем дифференциал дуги dy=3x²dx.
Пределы интегрирования приведены на рисунку и в условии.
Работа силы F находим с помощью криволинейного интегралу ІІ рода:

Превращаем все к показательной форме и интегрируем.

Пример 4.23 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C: x²+2y²=2 от точки к точке
Решение: За инструкцией строим траекторию материальной точки вдоль эллипса: x²+2y²=2.

Для простоты вычислений криволинейного интеграла ІІ рода параметризуэм эллипс:

Учитывая, что от точки к точке угол изменяется в пределах переходим к интегрированию

Понижаем степени и интегрируем.

Пример 4.24 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=1-|x| от точки A(-1;0) к точке B(2;- 1).
Решение: Наведем траекторию материальной точки вдоль модуль функции.

Как ни хотелось встретить задания с разбитием кривой на два интервала, однако одно Пример содержит такое условие. Разделим на две части: y=1+x, тогда пределы равны [-1;0] и дифференциал dy=dx;
На втором участке y=1-x имеем [0;2] и dy=-dx.
Вычисляем работу силы F, потраченную на перемещении точки вдоль модуль функции:

На этом ознакомление из такого сорта примерами завершено.
Больше готовых ответов из курса высшей математики ищите на страницах сайта.

Источник

Назначение. Онлайн калькулятор предназначен для нахождения работы силы F при перемещении вдоль дуги линии L.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим многообразие σ. Пусть τ(x,y,z)– единичный вектор касательной к σ, если σ – кривая, а n(x,y,z)– единичный вектор нормали к σ, если σ – поверхность в R³. Введём векторы dl=τ·dl и dS=n·dS, где dl и dS – длина и площадь соответствующего участка кривой или поверхности. Будем считать, что dσ=dl, если σ – кривая, и dσ=dS, если σ – поверхность. Назовём dσ ориентированной мерой соответствующего участка кривой или поверхности.

Определение. Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ и на σ – вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую – точками, поверхность –кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M₀(x₀,y₀,z₀), M₁(x₁,y₁,z₁), … ,M_n(x_n,y_n,z_n). Посчитаем значения F(x_i,y_i,z_i), i=1,2,…,n вектор-функции в этих точках,умножим скалярно эти значения на ориентированную меру dσ_i данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм если онсуществует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ -кривая и поверхностным, если σ – поверхность) второго рода, интеграломвдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора F вдоль σ, и обозначается в общем случае, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов соответственно.

Заметим, что если F(x,y,z) – сила, то – работа этой силы по перемещению материальной точки вдоль кривой, если F(x,y,z) – стационарное (не зависящее от времени) поле скоростей текущей жидкости, то – количество жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени (поток вектора через поверхность).

Если кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме,

то

и для криволинейного интеграла второго рода имеем

Так как dS=n·dS=(cosα, cosβ, cosγ), где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы единичного вектора нормали n и cosαdS=dydz, cosβdS=dxdz, cosγdS=dxdy, то для поверхностного интеграла второго рода получаем

Если поверхность задана параметрически или, что тоже самое, в векторной форме

r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, (u,v)∈D

то

где – якобианы (определители матриц Якоби, или, что то же самое, матриц производных) вектор-функций соответственно.

Если поверхность S может быть задана одновременно уравнениями то поверхностный интеграл второго рода вычисляется по формуле

где D₁, D₂, D₃ – проекции поверхности S на координатные плоскости Y0Z, X0Z, X0Y соответственно и знак “+” берётся, если угол между вектором нормали и осью, вдоль которой ведётся проектирование, острый, а знак “–“, если этот угол тупой.

Свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода

Отметим некоторые свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода.

Теорема 1. Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода зависят от ориентации кривой и поверхности, точнее

.

Теорема 2. Пусть σ=σ₁∪σ₂ и размерность пересечения dlim(σ₁∩σ₂)=n-1. Тогда

Доказательство. Включив в число многообразий разбиения в определении интеграла по многообразию второго рода общую границу σ₁ с σ₂ получаем требуемое.

Пример №1. Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M₀ до точки M₁.

F=x²yi+yj;, L: отрезок M₀M₁

M₀(-1;3), M₀(0;1)

Решение.

Находим уравнение прямой вдоль отрезка M₀M₁.

или y=-2x+1

dy=-2dx

Пределы изменения x: [-1; 0]

Пример №2. Вычислить вдоль кривой , если t∈[0;π]

Имеем

Пример №3. Вычислить поток вектора f(x,y,z)=(yz,xz,xy)^T через часть плоскости x+y+z=a лежащую в первом октанте.

Поток вектора через поверхность равен поверхностному интегралу второго рода Поверхность однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Поэтому интеграл может быть вычислен с помощью проектирования на них. Тогда

где S₁, S₂, S₃ – проекции поверхности S на координатные плоскости Y0Z, X0Z, X0Y соответственно. Посчитаем первый из них. Имеем Остальные два интеграла считаются аналогично и также равны Поэтому поток вектора через поверхность равен Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями. Поэтому поток вектора через поверхность равен Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями.

Источник

Криволинейные интегралы второго рода Задача о вычислении работы переменной силы. Определение криволинейного интеграла второго рода

Напомним, что если сила
постоянна (по величине и по направлению),
а путь
прямолинеен, то работа этой силы на
заданном пути равна скалярному
произведению векторови:.

Пусть переменная сила
действует вдоль кривой,
меняясь при этом в каждой точке приложения
как по модулю, так и по направлению, т.е.,
где,,― непрерывные вдоль данной кривой
функции. При перемещении материальной
точки вдоль данной кривойсиласовершает некоторую работу.

Чтобы найти эту работу разобьем
произвольным образом кривую начастей,длиной.В каждой частивыберем произвольным образом точку,
лежащую на кривой.
Пусть― единичный вектор касательной к кривойв точке.
Тогда вместо участкаможно приближенно рассматривать вектор,
равный ему по длине и приблизительно
по направлению, учитывая направление
вдоль кривой.

Следовательно, ( если считать силу
()
постоянной на участке)
элементарная работасилына участкеприближенно равна скалярному произведению:

Вся работа силы
на криволинейном пути
приближенно выражается формулой

Переходя к пределу при
,
где― длина наибольшей из элементарных дуг,
получаем точное значение работы

Если данная интегральная сумма имеет
предел при
,
то он называется криволинейным интегралом
второго рода от вектор – функциипо кривойи
обозначается

Таким образом, с механической точки
зрения криволинейный интеграл второго
рода есть работа переменной силы вдоль
некоторой линии перемещения.

Отметим также, что определение
криволинейного интеграла второго рода
остается в силе и когда кривая
замкнутая. В этом случае начальная и
конечная точки совпадают. Криволинейный
интеграл второго рода по замкнутому
контуруобозначается следующим образом:

Отметим два свойства криволинейного
интеграла.

Свойство 1.Криволинейный интеграл
определяется подынтегральным выражением,
формой кривой интегрирования и указанием
направления интегрирования. При изменении
направления интегрирования криволинейный
интеграл меняет знак на противоположный.

Свойство 2.Разобьем кривую
интегрирования
точкой
на части
и,
тогда

Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме

При определении криволинейного интеграла
второго рода элементарная работа
силына участкенаходилась как скалярное произведение
вектораи вектора, приближенно равного по длине
и направлению участку.
Вместо вектора,
в качестве вектора, близкого кможно взять вектор, начало и конец которого совпадают с
началом и концом участка.

Найдем скалярное произведение векторов
ив координатной форме как сумму произведений
соответствующих координат:

Переходя к пределу при
,
где― длина наибольшей из элементарных дуг,
получаем точное значение работы

Следовательно, криволинейный интеграл
второго рода в скалярной координатной
форме имеет вид:

или, в более краткой форме

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Пусть линия
задана параметрически

Тогда по определению дифференциала

Отметим начало дуги
точкой,
конец — точкой.
В этом случае говорят, что задано
направление перемещения по кривой от
точкик точкеи тем самым указано направление
ориентирующего вектора.

Покажем, что вычисление криволинейного
интеграла второго рода по линии
заданной параметрически, сводится к
вычислению однократного определенного
интеграла по параметру:

А в случае плоской кривой, когда
,
последняя формула примет вид:

Замечание.Для плоской кривой,
заданной уравнением,криволинейный интеграл второго рода в
координатной скалярной форме сводится
к определенному интегралу по переменной

(Выбрана ориентация
,
при которой,соответствуют началу и окончанию пути
интегрирования.)

Если кривая
задана уравнением,,
то при соответствующей ориентации
интегрирование по переменнойбудет осуществляться отдо:

Пример. Вычислить,
где—
отрезок прямой с началом в точкеи концом в точке.

Решение. Изобразим на рисунке линию
интегрирования.

Воспользуемся формулами параметрических
уравнений прямой с направляющим
вектором
,
проходящей через начальную точку с
координатами:

Запишем параметрические уравнения
прямой, которой принадлежит отрезок
,
приняв за направляющий вектор прямойвектор.

Начальной точкой отрезка
является
точка.
Следовательно, параметрические уравнения
этой прямой:

Из полученных уравнений находим, что
точке
соответствует значение параметра,
а точкезначение.

По определению дифференциала

Подставляя в интеграл значения
и,
а также учитывая значения параметраи,
соответствующие началу и концу дуги,
получим:

Пример. Вычислить,
где—
отрезок прямой с началом в точкеи концом в точке.

Решение. Изобразим на рисунке линию
интегрирования.

Запишем параметрические уравнения
прямой, которой принадлежит отрезок
,
приняв за направляющий вектор прямойвектор,
т. е..

Начальной точкой отрезка
является
точка.
Следовательно, параметрические уравнения
этой прямой:

Из полученных уравнений находим, что
точке
соответствует значение параметра,
а точкезначение.

По определению дифференциала

Учитывая, что
и,
подставляем в интеграл только значенияи,
а также значения параметраи,
соответствующие началу и концу дуги

Пример. Вычислить,
где—плоская
кривая, являющаяся частью параболыот точкидо точки.

Решение. Изобразим на рисунке линию
интегрирования.

Воспользуемся формулой:

В данном случае
соответствуют началу и окончанию пути
интегрирования,,
следовательно:

Соседние файлы в предмете Высшая математика

Источник

На материальную точку $Tleft(x,yright)$ действует переменная сила $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$. Под действием этой силы материальная точка перемещается на отрезке $left[6;15right]$ от точки $M$ до точки $N$ вдоль синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$. Найти работу переменной силы $overline{F}$ на криволинейном пути от точки $M$ до точки $N$. Построить графическое изображение пути от точки $M$ до точки $N$, а также векторы переменной сили $overline{F}$ в этих точках.

Выполняем графическое изображение синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$ на отрезке $left[6;15right]$.

Находим значения синусоиды в точках $x_{M} =6$ и $x_{N} =15$:

$y_{M} =7cdot sin left(0,31cdot 6-1,57right)+2approx 4$;
$y_{N} =7cdot sin left(0,31cdot 15-1,57right)+2approx 2,43$.

Выполняем графические изображения векторов переменной силы $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$, значения которого в точках $M$ и $N$ соответственно равны $overline{F}_{M} =left(3cdot 6-2cdot 4right)cdot overline{i}+4cdot 4cdot overline{j}=10cdot overline{i}+16cdot overline{j}$ и $bar{F}_{N} =left(3cdot 15-2cdot 2,43right)cdot overline{i}+4cdot 2,43cdot overline{j}=40,14cdot overline{i}+9,72cdot overline{j}$.

Работу данной силы на данном участке кривой $MN$ вычисляем по формуле $A=int limits _{a}^{b}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{a}^{b}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

Здесь участок кривой $MN$ задан на отрезке $left[x_{M} ,; x_{N} right]$, поэтому формула для работы приобретает вид: $A=int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

В этой формуле первый интеграл дает значение работы силы $F$ вдоль оси $Ox$, второй интеграл — вдоль оси $Oy$.

Находим работу силы вдоль оси $Ox$: $A_{x} =int limits _{6}^{15}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Pleft(x,yright)=3cdot x-2cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2.]

Поэтому:

[Pleft(x,yleft(xright)right)=3cdot x-2cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=]

[=3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4.]

Далее получаем:

[A_{x} =int limits _{6}^{15}left(3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}3cdot xcdot dx +int limits _{6}^{15}left(-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)right)cdot dx +int limits _{6}^{15}left(-4right)cdot dx =]

[=3cdot int limits _{6}^{15}xcdot dx -14cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx -4cdot int limits _{6}^{15}dx =]

[=3cdot left[frac{x^{2} }{2} right]_{6}^{15} -14cdot left[-frac{1}{0,31} cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} -4cdot left[xright]_{6}^{15} =]

[=1,5cdot left(15^{2} -6^{2} right)+frac{14}{0,31} cdot left(cos left(0,31cdot 15-1,57right)-cos left(0,31cdot 6-1,57right)right)-]

[-4cdot left(15-6right)=135,15.]

Находим работу силы вдоль оси $Oy$: $A_{y} =int limits _{6}^{15}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Qleft(x,yright)=4cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2. ]

Поэтому:

[Qleft(x,yleft(xright)right)=4cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8;]

[y’=7cdot 0,31cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)=2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right).]

Далее получаем:

[A_{y} =int limits _{6}^{15}left(28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8right)cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}28cdot 2,17cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}8cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}60,76cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}17,36cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx .]

Вычисляем первый интеграл $I_{1} $:

[I_{1} =60,76cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=60,76cdot frac{1}{0,31} cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dleft(sin left(0,31cdot x-1,57right)right) =]

[=196cdot left[frac{sin ^{2} left(0,31cdot x-1,57right)}{2} right]_{6}^{15} =]

[=98cdot left(sin ^{2} left(0,31cdot 15-1,57right)-sin ^{2} left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -7,64.]

Вычисляем второй интеграл $I_{2} $:

[I_{2} =17,36cdot int limits _{6}^{15}cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=17,36cdot frac{1}{0,31} cdot left[sin left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} =]

[=56cdot left(sin left(0,31cdot 15-1,57right)-sin left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -12,57.]

Работа силы вдоль оси $Oy$:

[A_{y} =I_{1} +I_{2} =-7,64-12,57=-20,21.]

Общая работа силы при перемещении вдоль кривой:

[A=A_{x} +A_{y} =135,15-20,21=114,94.]

Источник

Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , можно найти по формуле

при этом кривая обходится против часовой стрелки.

Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (56.8) , получим:

или

Аналогично, полагая , найдем еще одну формулу для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:

Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два, получим:

Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле

Действительно, пусть материальная точка под действием поименной силы перемещается в плоскости по некоторой кривой (от точки до точки ).

приложения криволинейного интеграла II рода

Разобьем кривую точками на «элементарных» дуг длины и в каждой из них возьмем произвольную точку , (см.рис. 244). Заменим каждую дугу вектором , а силу будем считать постоянной на векторе перемещения и равной заданной силе в точке дуги :