, 
, 
– стороны треугольника
– полупериметр
2.png)
– центр окружности
Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :
– сторона треугольника
– высота
– радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
a, b – стороны треугольника
Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
a, b – катеты прямоугольного треугольника
c – гипотенуза
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
a – боковые стороны трапеции
c – нижнее основание
b – верхнее основание
d – диагональ
p – полупериметр треугольника DBC
p = (a+d+c)/2
Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)
Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали
a – сторона квадрата
d – диагональ
Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):
Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали
a, b – стороны прямоугольника
d – диагональ
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
a – сторона многоугольника
N – количество сторон многоугольника
Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):
a – сторона шестиугольника
d – диагональ шестиугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):
Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
– сторона треугольника
– высота
– радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
Пусть известна сторона a равностороннего треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности через основание a и боковую сторону b вычисляется из следующей формулы:
 |
(1) |
Учитывая, что у равностороннего треугольника все стороны равны (( small a=b )), имеем:
( small r=frac<large a> <large 2>cdot sqrt<frac<large 2a-a><large 2a+a>> ) ( small =frac<large a> <large 2>cdot sqrt<frac<large a><large 3a>> ) ( small =frac<large a><large 2 cdot sqrt<3>> )
| ( small r=frac<large a><large 2 cdot sqrt<3>> ) | (2) |
или, умножив числитель и знаменатель на ( small sqrt <3>):
| ( small r=frac<large sqrt<3>> <large 6 >cdot a ) | (3) |
Пример 1. Известна сторона a=17 равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (2) и (3). Подставим значения ( small a=17 ) в (3):
Ответ: 
2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
Пусть известна высота h равностороннего треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Выведем формулу стороны равностороннего треугольника через высоту. Из Теоремы Пифагора имеем:
( small h^2+left( frac<large a> <large 2>right) ^2=a^2.)
( small h^2+ frac<large a^2> <large 4>=a^2; ; ) ( small frac<large 3><large 4>a^2 =h^2; ; ) ( small a^2=frac<large4h^2><large 3>.)
| ( small a= frac<large 2h><large sqrt<3>> .) | (4) |
Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности по основанию и высоте вычисляется из формулы
| ( small r= large frac> ) | (5) |
Подставляя (4) в (5), получим:
( small r= large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+sqrt<frac<large 4h^2><large 3>+4h^2>> ) ( small = large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+sqrt<frac<large 16h^2><large 3>>> ) ( small = large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+frac<large 4h><large sqrt<3>>> ) ( small = large frac< 2h^2>< 6h>small =large frac<1> <3>small cdot h )
То есть, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности по высоте вычисляется из формулы:
| ( small r = large frac<1> <3>small cdot h ) | (6) |
Пример 2. Известна высота ( small h=39 ) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значение ( small h=39 ) в (6):
Ответ: 
3. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
Пусть известна площадь S равностороннего треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности вычисляется из следующей формулы:
( small S= 3cdot sqrt<3>r^2.)
| ( small r= large frac <sqrt[4]<3>> <3>small cdot sqrt |
(7) |
Пример 3. Известна площадь равностороннего треугольника: ( small S=42 . ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (7). Подставим значение ( small S=42 ) в (7):
Ответ: 
[spoiler title=”источники:”]
http://www-formula.ru/2011-09-22-04-51-34
http://matworld.ru/geometry/radius-vpisannoj-okruzhnosti-v-ravnostoronnij-treugolnik.php
[/spoiler]
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
-
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Примеры задач
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
Краткое содержание:
- Что такое радиус
- Радиус и диаметр
- Примеры задач
- Формулы для радиуса описанной окружности
- Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам
- Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
- Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
- Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
- Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
- Найти радиус описанной окружности около квадрата
- Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам
- Радиус описанной окружности правильного многоугольника
- Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
- Формулы для радиуса вписанной окружности
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
- Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
- Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
- Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
- Радиус вписанной окружности в квадрат
- Радиус вписанной окружности в ромб
- Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник
- Радиус вписанной окружности в шестиугольник
- Примеры задач
- Обсуждение
Здравствуйте мои дорогие подписчики и гости сайта 9111.ru!
На самом деле эту тему проходят еще в начальных классах обычной школы. И все, кто хорошо учился, сразу смогут сказать, о чем идет речь. Ну, или хотя бы точно понять, что РАДИУС как-то связан с окружностью.
Что такое радиус
И действительно:
Радиус – это отрезок, который начинается в центре окружности и заканчивается в любой точке ее поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.
Вот так это выглядит графически.
**************************************
Само слово РАДИУС имеет латинские корни. Оно произошло от «radius», что можно перевести как «луч» или «спица колеса». Впервые этот математический термин ввел французский ученый П.Ромус. Было это в 1569 году.
Но потребовалось чуть более ста лет, чтобы слово РАДИУС прижилось и стало общепринятым.
Кстати, есть еще несколько значений слова РАДИУС:
- Размер охвата чего-нибудь или сфера распространения. Например, говорят «Огонь уничтожил все в радиусе 10 километров» или «ОН показал на карте радиус действия артиллерии»;
- В анатомии этим словом обозначают Лучевую кость предплечья.
Но, конечно, нас интересует РАДИУС как математический термин. А потому и продолжим говорить именно о нем.
Радиус и диаметр
Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.
А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:
Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.
Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.
Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.
А именно:
Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.
Примеры задач
Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.
Решение:
Используем первую формулу (через периметр):
Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2.
Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:
Формулы для радиуса описанной окружности
Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам
Формула радиуса описанной окружности треугольника (R ) :
Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):
Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)
Найти радиус описанной окружности около квадрата
Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали
Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):
Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам
Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
Радиус описанной окружности правильного многоугольника
Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):
Формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник (r):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r ) :
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции (r):
Радиус вписанной окружности в квадрат
Формула радиуса вписанной окружности в квадрат (r):
Радиус вписанной окружности в ромб
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону (r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
Формула радиуса вписанной окружности в ромб (r ) :
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник
Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, (r):
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
Всем спасибо и приятного просмотра! Если понравилась публикация подписывайтесь и ставьте палец вверх!
Источники:
- https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/radius-chto-ehto-takoe-kak-najti-radius-okruzhnosti-formula.html
- https://MicroExcel.ru/radius-kruga/
- https://www-formula.ru/2011-09-24-00-42-22
- https://www-formula.ru/2011-09-24-00-40-48
- https://MicroExcel.ru/radius-vpisannogo-v-treugolnik-kruga/
Теорема описанной окружности — как построить, свойства
Содержание:
-
Описанная окружность — что из себя представляет
- Вокруг чего можно описать
- Теорема, основные свойства, признаки
-
Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула
- Треугольник
- Трапеция
- Правильный многоугольник
- Правильного шестиугольник
- Прямоугольник
- Квадрат
Описанная окружность — что из себя представляет
Решение задач по геометрии может быть проще, если при нахождении неизвестных пользоваться дополнительными сведениями и приемами. Одним из таких будет описание окружности вокруг фигуры.
Описанная окружность — окружность, которая описана вокруг многоугольника. Главным свойством описанной окружности будет тот факт, что она должна содержать все вершины многоугольника.
Точки окружности равноудалены от ее центра, а значит, также равноудалены будут и вершины многоугольника, вокруг которого описана окружность.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Вокруг чего можно описать
Окружность можно описать вокруг (или около):
- треугольника;
- трапеции;
- правильного многоугольника;
- правильного шестиугольника;
- прямоугольника;
- квадрата;
- многоугольника, чьи серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Теорема, основные свойства, признаки
Правило об описанной окружности
Около любой из вышеперечисленных фигур можно описать окружность, причем только одну.
Доказательством теоремы будет тот факт, что точка пересечения серединных перпендикуляров через медианы у любой фигуры будет только одна. Это точка будет является центром окружности, а значит, никакая другая окружность, которая при этом также захватывает все вершины фигуры, не может быть описана вокруг нее.
Теорема синусов
Теорема синусов позволяет найти двойной радиус или диаметр окружности по расчету формулы:
(2R=d=frac a{sinleft(angle Aright)}=frac b{sinleft(angle Bright)}=frac c{sinleft(angle Cright)},)
где R — радиус,
d — диаметр,
a, b, c — стороны треугольника,
A, B, C — углы треугольника.
Соответственно, для того, чтобы найти радиус описанной окружности, необходимо знать величины любой стороны и противоположного ей угла.
Свойства описанной окружности:
- центр окружности лежит на пересечении всех серединных перпендикуляров фигуры;
- вершины фигуры, которая описана окружностью, будут равноудалены от центра и будут лежать на кривой окружности;
- в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов будет равна 180 градусам;
- вокруг любого треугольника можно описать окружность.
Главным признаком описанной окружности будет ее расположение вокруг фигуры, причем ни одна из ее вершин не должна выходить за пределы кривой окружности.
Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула
Треугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника:
(R=frac{atimes btimes c}{4sqrt{ptimesleft(p-aright)timesleft(p-bright)timesleft(p-cright)}},)
где R — радиус ,
a, b и c — стороны треугольника,
p — половина периметра, (p=frac{left(a+b+cright)}2.)
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по стороне:
(R=frac a{sqrt3},)
где R — радиус,
а — сторона треугольника.
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по высоте:
(R=frac{2h}3,)
где R — радиус,
h — высота.
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника по сторонам:
(R=frac{a^2}{sqrt{4a^2-b^2}},)
где R — радиус,
a и b — стороны.
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника по катетам и гипотенузе:
(R=frac12sqrt{a^2+b^2}=frac c2,)
где R — радиус,
a и b — катеты,
с — гипотенуза.
Трапеция
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг трапеции по сторонам и диагонали:
(R=frac{atimes dtimes c}{4sqrt{ptimesleft(p-aright)timesleft(p-dright)timesleft(p-cright)}},)
где R — радиус,
a — боковые стороны трапеции,
b — верхнее основание,
с — нижнее основание,
d — диагональ,
р — полупериметр прямоугольного треугольника: (p=frac{left(a+b+cright)}2.)
Правильный многоугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного многоугольника:
(R=frac a{2timessinleft({displaystylefrac{180^circ}N}right)},)
где R — радиус,
а — сторона многоугольника,
N — количество сторон многоугольника.
Правильного шестиугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного шестиугольника:
(R=a=frac d2,)
где R — радиус,
а — сторона шестиугольника,
d — диагональ шестиугольника.
Прямоугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольника по стороне:
(R=frac{sqrt{a^2+b^2}}2=frac d2,)
где R — радиус,
a и b — стороны прямоугольника,
d — диагональ.
Квадрат
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата:
(R=frac a{sqrt2}=frac d2,)
где R — радиус,
d — диагональ.
Так как диаметр является суммой двух радиусов, при помощи вышеперечисленных формул можно найти диаметр просто умножив полученный результат на 2.
