Точка на катящейся окружности рисует циклоиду
Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής «круглый») — плоская трансцендентная кривая.
Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности (радиуса 
), катящейся без скольжения по прямой.
Уравнения[править | править код]
Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса . Циклоида описывается:
Свойства[править | править код]
Циклоиду можно рассматривать как:
- вид трохоиды в случае, когда производящая окружность катится по прямой;
- предельный случай циклогона[en], когда число сторон многоугольника увеличивается до бесконечности.
Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида (ср. построение лемнискаты Бернулли).
Колебания с циклоидным регулятором.
Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 
. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида 
, где 
— произвольное целое число.
Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке 
достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
Длина арки циклоиды равна 
. Другими словами, длина одной ветви циклоиды равна учетверённому диаметру производящей окружности. Это свойство открыл Кристофер Рен в 1658 году[1]
Зависимость длины дуги циклоиды (
) от параметра 
следующая[2]: 
.
Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды.[3] Математически этот факт первым доказал Роберваль около 1634 года с помощью метода неделимых.
Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен 
.
«Перевёрнутая» циклоида является кривой наискорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
Два нижеследующих свойства, открытые Гюйгенсом, были им использованы для создания точных механических часов.
- Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды. Это непосредственное следствие таутохронности.
- Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в «острия».
Площадь поверхности, образованной вращением арки циклоиды вокруг её основания, равна 
Она
превышает двойную площадь циклоиды (площадь осевого сечения) в 
раза[4].
Исторический очерк[править | править код]
Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.
Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых (то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от 
), циклоида — первая из исследованных.
Паскаль писал о циклоиде[5][6]:
Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса…
La Roulette est une ligne si commune, qu’apres la droitte, & la circulaire, il n’y en a point de si frequente; Et elle se décrit si fouuent aux yeux de tout le monde, qu’il y a lieu de s’estonner qu’elle n’ait point esté considerée par les anciens, dans lesquels on n’en trouue rien : Car ce n’est autre chose que le chemin que fait en l’air, le clou d’une rouë…
Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Якоб и Иоганн Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.
Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.
Применение[править | править код]
Один из самых популярных типов шестерёнок — с циклоидальными зубьями. Циклоидальные профили чаще встречаются в часовых механизмах[7].
См. также[править | править код]
- Циклоидальная кривая
Примечания[править | править код]
- ↑ Веров, 1975.
- ↑ Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 261. — 695 с. — 8000 экз. — ISBN 5-06-003955-2.
- ↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 213. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
- ↑ Выгодский, 2019, с. 496—497.
- ↑ Кляус Е. М., Погребысский И. Б., Франкфурт У. И. Паскаль. — М.: Наука, 1971. — С. 191. — (Научно-биографическая литература). — 10 000 экз.
- ↑ Pascal, Blaise. Histoire de la roulette, appellée autrement la trochoïde, ou la cycloïde, où l’on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connoissance de la nature de cette ligne. 10 octobre 1658. P.1.
- ↑ Зубчатые колёса / Статьи — Математическая составляющая
Литература[править | править код]
- Берман Г. Н. Циклоида. М., Наука, 1980, 112 с.
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ, 2019. — 704 с. — ISBN 978-5-17-117741-6.
- Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9.
- Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Наука 1978 г., стр. 32.
- Циклоида // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Ссылки[править | править код]
- Веров С. Г. Тайны циклоиды // Квант. — 1975. — № 8. — С. 19—27.
- Циклоидальные кривые (Анимация).
Свойство 4. Радиус кривизны циклоиды в ее регулярной вершине равен 4г, т. е. длине половины арки циклоиды. [c.330]
Следует заметить, что 4а есть радиус кривизны циклоиды в ее нижней точке, что позволяет приравнять Т полу-периоду бесконечно малых колебаний простого маятника. [c.192]
Пользуясь способом Эйлера, определим в помеченных точках радиусы и центры кривизны циклоиды. Центр кривизны циклоиды в любой из ее точек находится на нормали к циклоиде на таком же расстоянии от нижней точки производящего круга, что и точка циклоиды. [c.330]
Пусть окружность Ц радиуса г (рис. 382) катится без скольжения по прямой и,1. Каждая из точек плоскости, связанной с окружностью Ц, будет описывать траектории из семейства циклоидальных точка С на самой окружности — обыкновенную циклоиду сс, точка А на продолжении радиуса — удлиненную циклоиду аа, точка В, для которой расстояние ОВ = О А, — удлиненную циклоиду ЬЬ, одинаковую с аа, точка О — укороченную циклоиду йй. Определим центры кривизны этих траекторий соответственно в точках А, В, С и П. [c.366]
Для обыкновенной циклоиды (фиг. 22) л = а (I — sin /), у — а( — os <) радиус кривизны [c.267]
Рассматривая продольный изгиб колонны, составленной из двух треугольных призм (рис. 57), и принимая, что прогиб при этом таков, что радиус кривизны в середине равен половине длины, Юнг устанавливает, что изогнутая ось будет циклоидой. Это следует из уравнения [c.119]
Кривая, огибающая лучи Л—1 1—О 0 —Oj и т. д., является эволютой данной циклоиды, а отрезки 1—А 0 —1 О -И и т. д.— радиусами кривизны для данных точек циклоиды. [c.48]
Радиус кривизны траектории (циклоиды) [c.17]
Так как равноотстоящая EF) возможна лишь, пока радиус кривизны циклоиды больше радиуса цевки,то для продолжительности зацепления бр, из модульной линии зацепления 1 (которая может быть принята в качестве заменяющей действительной линии зацепления) выпадает участок внутри контура цевки, описанного вокруг С. Цевки в зацеплении с удлиненными эпициклоидами (зубчатые колеса с торцевыми цевками) или с укороченными эпиииклондами (колеса Гриссона) не получили до сих пор практического значения. Передачи с внутренним зацеплением с колесами с цевочными зубь ми и передаточным числом, близким к 1, применяются в планетарных передачах SSW ). [c.526]
Пусть О — наинизшая точка циклоиды, Р — положение точки, длина дуги ОР = s, так что дуга отсчитывается от точки О в направлении, противоположном направлению движения. Пусть нормаль в точке, отвечающей положению движущейся точки Р, составляет с вертикалью угол ф, и пусть р — радиус кривизны циклоиды в этой точке, а а — диаметр производящего круга. На основании известных свойств циклоиды имеем s = 2а sin ф, р = 2а os ф. Обозначим через [х коэффициеР1т трения, а через g — ускорение силы тяжести. Тогда, если R — нормальная составляющая реакции, действующей на точку и предполагаемая положительной, когда она направлена в сторону вогнутости циклоиды, а о = ds/dt, имеем [c.439]
Пусть положение шара определяется величиной — расстоянием, пройденным вдоль образующей, и длиной дуги 8, отсчитывае.мой от оси симметрии. 1 д ли 46 — радиус кривизны циклоиды в точках оси, то мы получаем [c.199]
Гюйгенс, которому мы обязаны предшествующими результатами, осуществил на практике циклоидальный маятник. Известно, что эволюта циклоиды есть циклоида, равная первоначальной и смещенная на длину ак в горизонтальном напразлении и на высоту 2а вверх. Центр кривизны циклоиды, представляющей собой эвольвенту, в нижней ее точке находится в точке возврата эволюты, и соответствующий радиус кривизны равен 4а. Поэтому если подвесить тяжелую точку М на нити длиной 4а к точке возврата О эволюты (фиг. 32) и заставить ее колебаться так, чтобы нить попеременно навертывалась на обе дуги эволюты, оканчивающиеся в точках возврата эвольвенты, то тяжелая точка будет двигаться точно по эвольвенте. Однако конструкция циклоидального маятника оказывается слишком сложной, чтобы представляемые им теоретические преимущества заставили предпочесть его в практических применениях простому маятнику. [c.192]
Параметрические формулы эпициклического движения вообще непригодны для непосредственного перехода к пределу, соответствующему бесконечному значению о или Ъ но такой переход можно выполнить в формулах Савари (как уже было замечено в рубр. 27). Так, например, при = оо уравнение (Ю ) дает у = 23, хорошо известное выражение радиуса кривизны обыкновенной циклоиды. [c.252]
Процесс строгания и фрезерования при равномерной подаче дерева (фиг. 95). Круг резания катится своим концентричным кругом катания К по плоскости, параллельной направлению резания — полюс мгновенного вращения. В точке С, совпадающей с мгновенным положением острия ножа /, пмеется относительная скорость резания v – -и и равно скорости полюса. Каждая кривая резания является удлиненной циклоидой (орнлоциклоидой) с радиусом кривизны — МС в точке С. Если Rur являются радиусами кругов и К , то по фиг. 95 [c.935]
Для решения возможностей обкатной обработки может быть применен метод профилирования по переходной кривой (метод вершинного огибания). Инструмент и заготовка совершают обычные обкатные движения (рис. 3.93). Образование поверхности осуществляется только одной точкой режущей кромки или закруглением постоянного радиуса кривизны (рис. 3.93, г). Поверхность образуется по переходной кривой, которая в зависимости от формы центроид принимает вид удлиненной эпициклоиды при центроидах в виде начальных окружностей (см. рис. 3.93, а), удлиненной циклоиды (рис. 3.93, б) или удлиненной эвольвенты (рис. 3.93, в) при одной центроиде –прямой, а другой — окружности. При закругленной режущей кромке (дуге окружности) профиль образуется по эквидис-тантам к этим кривым. Существенным преимуществом этих инструментов является возможность получения поверхностей, которые невозможно получить методом огибания, например с отрицательным углом профиля (в приложении к режу- [c.273]
О, Ог, Оз,. .. (ООг = 0j0.j =. .. = 2тга). Вершины Ai, Аз,. . . [(2к + )г.а,2а]. Длина одной ветви 8й, площадь между ней и осью ОХ З-ка . Радиус кривизны в вершинах 4а. Эволюта циклоиды — такая же циклоида (отмечена пунктиром). [c.201]
Продольный профиль сечения каждого построчного гребешка образован как траектория движения одной точки режущей кромки зуба вращающегося инструмента. При формообразовании прямолинейного участка поверхности Д остаточные гребешки ограничены семейством удлиненных циклоид (семейством трохоид). Кривизна этих кривых в вершине зависит от величины радиуса g, числа зубьев N инструмента, подачи на зуб Sg = Sg и частоты вращения (в , а погрешность hg расчитывается по формуле [c.521]
c.192
]
Справочник машиностроителя Том 1 Изд.3 (1963) — [
c.267
]
Справочник машиностроителя Том 1 Изд.2 (1956) — [
c.267
]
Справочник машиностроителя Том 6 Издание 2 (0) — [
c.267
]
Рис. 3.2. Циклоида как траектория точки обода катящегося колеса
Циклоиду можно рассматривать как траекторию какой-либо точки обода колеса,
которое катится без проскальзывания по прямой. На рис. 3.2 показана
циклоида, которую «вычерчивает» точка
𝐴,
находившаяся внизу в начальный момент. Точка
𝐴
описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или
с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало.
Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое
качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса
вокруг оси и равномерного поступательного движения, линейная скорость которого
𝑣
равна произведению угловой скорости на радиус колеса
𝑟.
Во всех инерциальных системах отсчёта материальная точка имеет одно и то
же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе
отсчёта. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его
вращением вокруг оси. Поэтому ускорение
𝑎
любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и определяется выражением
𝑎
=
𝑣²
𝑟
.
(1)
Значит, и в высшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно
𝑣²/𝑟
и направлено вниз (рис. 3.2).
Теперь рассмотрим движение этой же точки обода как движение по циклоиде.
Скорость в любой точке траектории направлена по касательной к ней;
значит, в высшей точке циклоиды скорость направлена горизонтально.
Ускорение же, как мы выяснили, направлено вертикально вниз, т.е.
перпендикулярно скорости. Поэтому найденное выше ускорение может быть
записано также в виде
𝑎
=
𝑉²
𝑅
,
(2)
где
𝑉
– скорость точки обода в её верхнем положении, а
𝑅
– искомый радиус кривизны циклоиды.
Для нахождения
𝑉
будем рассуждать следующим образом. Скорость любой точки обода катящегося
колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса
и линейной скорости вращения вокруг оси. При отсутствии
проскальзывания эти скорости равны по модулю. В верхней точке они и
направлены одинаково. Поэтому
𝑉=2𝑣,
и, сравнивая формулы (1) и (2), находим
𝑅
=
4𝑣
.
(4)
Радиус кривизны циклоиды в верхней точке равен удвоенному диаметру колеса.
Если бы мы рассматривали качение колеса как вращение вокруг
мгновенной оси, совпадающей в каждый момент с нижней неподвижной
точкой колеса (рис. 3.2), то могло бы показаться, что верхняя точка
движется по окружности, радиус которой равен диаметру колеса. Так оно
и было бы, если бы мгновенная ось вращения
𝑂
оставалась неподвижной. На самом деле эта ось перемещается вместе с колесом, и
именно поэтому рассматриваемая точка обода
𝐴
движется в этот момент по окружности, радиус которой даётся формулой (3).
▲
4. Падающий мяч.
Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без
начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии
𝑙
от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч (рис. 4.1). С какой
начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии
ℎ
от кольца?
Рис. 4.1. Падающий мяч
△
В поставленном вопросе подразумевается, что нужно найти вектор
начальной скорости теннисного мяча, т.е. его направление (угол
α)
и модуль
(𝑣₀).
Если решать задачу в исходной (лабораторной) системе отсчёта, то ход
рассуждений может быть следующим. Записываем выражения для
перемещений обоих мячей за время
𝑡
от начала движения до их встречи, затем проецируем их на вертикальное и
горизонтальное направления (рис. 4.2). В результате приходим к
системе уравнений
ℎ
=
𝑔𝑡²
2
,
𝐻
–
ℎ
=
𝑣₀
sin α⋅𝑡
–
𝑔𝑡²
2
,
√
𝑙²-𝐻²
=
𝑣₀
cos α⋅𝑡
.
(1)
Здесь
𝐻
– высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а
√𝑙²-𝐻²
представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Проекции перемещений мячей
В системе трёх уравнений (1) четыре неизвестных величины:
𝑣₀,
α,
𝑡
и
𝐻.
Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного решения.
Однако это не так. Действительно, подставляя
ℎ
из первого уравнения во второе, получаем
𝐻
=
𝑣₀
sin α⋅𝑡
.
(2)
Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1),
находим выражение для
tg α:
tg α
=
𝐻
√𝑙²-𝐻²
.
(3)
Теперь с помощью рис. 4.2 можно увидеть, что угол
α,
под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности
соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости
𝒗₀
показано на рис. 4.3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении
кольца. Модуль его начальной скорости можно найти, подставляя
𝑡=√2ℎ/𝑔
из первого уравнения системы (1) в уравнение (2).
Учитывая, что
𝐻/sin α=𝑙,
получаем
𝒗₀
=
𝑙
𝑡
=
𝑙
√
2ℎ/𝑔
.
(9)
Рис. 4.3. Истинное направление вектора
𝑣₀
начальной скорости
Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти
в систему отсчёта, связанную с баскетбольным мячом, т.е. свободно
падающую с ускорением
𝒈
в этой системе отсчёта баскетбольный мяч, естественно,
неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью
𝒗₀.
Очевидно, что эта скорость
𝒗₀
должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время
𝑡=𝑙/𝑣₀
мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчёта за это время баскетбольный
мяч опустится на расстояние
ℎ
=
𝑔𝑡²
2
=
𝑔
2
⎛
⎜
⎝
𝑙
𝑣₀
⎞²
⎟
⎠
,
(5)
откуда для
𝑣₀
получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в
некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся
систему отсчёта.
▲
5. В цель с наименьшей начальной скоростью.
Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте
ℎ
и на расстоянии
𝑠
по горизонтали. При какой наименьшей начальной
скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
△
На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет
наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью
(рис. 5.1а).
Рис. 5.1. К выбору оптимальной траектории
Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что
подобное решение аналогичной задачи можно
встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач.
Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так.
Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой
расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает
согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис.
5.1б), в том числе и в предельном случае
ℎ=0.
Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно
просто добросить камень до цели (рис. 5.1б). Итак, предположение о
том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полёта камня,
неверно.
1. Определение. Циклоидой называется линия, которую описывает точка (см. рис. 498), закрепленная в плоскости круга (производящий круг), когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой 
(направляющая).
Если точка 
описывающая циклоиду, взята внутри производящего круга (т. е. расстояние 
от центра С меньше радиуса r), то циклоида называется укороченной (рис. 498, а); если вне круга (т. е. 
удлиненной (рис. 498, б); если же точка 
лежит на окружности (т. е. 
то линия, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой (рис. 498, в) или чаще просто циклоидой (ср. § 253).
Пример. Когда вагон движется но рельсам, внутренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду, точка на ободе — удлиненную, а точка окружности колеса — обыкновенную циклоиду.
Начальной точкой циклоиды (А на рис. 
называется такая ее точка, которая лежит на прямой 
соединяющей центр 
производящего круга с точкой его опоры 
и расположена по ту же сторону от центра 
что и точка опоры О. Точка В на рис. 498, а-в – тоже начальная.
Начальные точки обыкновенной циклоиды (рис. 498, в) лежат на направляющей и совпадают с соответствующими точками опоры производящего круга.
Вершиной циклоиды (D на рис. 498, а-в) называется такая ее точка, которая лежит на прямой 
соединяющей центр 
производящего круга с точкой опоры О, но расположена на продолжении отрезка 
за точку С.
Рис. 498
Отрезок 
соединяющий две соседние начальные точки, называется основанием циклоиды; перпендикуляр 
опущенный из вершины циклоиды на ее основание, — высотой. Дуга, описываемая точкой 
между двумя соседними начальными точками, называется аркой циклоиды; прямая 
описываемая центром С производящего круга, — линией центров циклоиды.
проводим прямые, параллельные линии центров (они пройдут соответственно и через точки 
), а из точек 
проводим полуокружности радиуса 
которых диаметры перпендикулярны 
которые обращены вогнутостью к точке 
Отмечаем точки 
где полуокружности 
встречают прямую, проведенную через точки 
затем отмечаем точки 
где полуокружности 
встречают прямую, проведенную через точки 
и т. д. Все точки 
лежат на искомой циклоиде. В точках 
находятся ее начальные точки 
Так строится по точкам одна арка циклоиды. Для построения соседних арок надо продолжить ряд точек С, как показано на рис. 499. Нумерацию этих точек надо произвести заново. Окружность же 
нет необходимости вычерчивать заново, так как прямые, параллельные линии центров, остаются прежними.
3. Параметрические уравнения (ось абсцисс — направляющая 
начало координат О — проекция одной из начальных точек (А на рис. 498, а-в) на направляющую 
где 
угол поворота производящего круга, отсчитываемый от того положения, в котором точка 
совпадает с начальной точкой А.
Для обыкновенной циклоиды 
4. Особенности формы. По направлению прямой 
циклоида в обе стороны простирается в бесконечность. Любой ее дуге, отсчитываемой от какой-либо начальной точки А, соответствует симметричная дуга, отсчитываемая от той же точки в противоположном направлении; 
ось симметрии. Циклоида симметрична также относительно прямой 
проведенной через какую-либо из вершин перпендикулярно направляющей.
При смещении по направлению линии центров на расстояние, кратное 
(длине производящей окружности), циклоида совмещается сама с собой. Последовательными смещениями на расстояние 
можно
Узловые точки данной циклоиды есть
Пусть теперь отношение X лежит в промежутке
где 
; тогда кроме рассмотренных выше узловых точек появляются узловые точки на прямых 
по одной паре на каждой из этих прямых: точки 
(рис. 500) на прямой 
точки 
на прямой 
точки 
на прямой 
Эти точки можно найти, решив уравнение
которое в рассматриваемом случае имеет два положительных корня 
Оба корня лежат в промежутке 
и соответствуют точкам 
на арке 
которая пересекается здесь с аркой 
отделенной от 
одной промежуточной аркой 
. В том случае, когда X лежит в промежутке
Рис. 500
и аналогично
Узловые точки 2 прямой 
найдем из уравнения
Его корни есть
Ординаты точек 
будут
На каждой арке нашей циклоиды лежит по 10 узловых точек (на арке ADB – точки 
и симметричные с ними точки 
).
Ни укороченная, ни обыкновенная циклоида узловых точек не имеют.
6. Точки возврата. По мере того как внешняя точка 
производящего круга приближается к окружности, описываемая точкой 
удлиненная циклоида (см. рис. 498, б) стремится к совпадению с обыкновенной циклоидой (см. рис. 498, в). При этом петля с узловой точкой 
стягивается в точку О, которая становится точкой возврата обыкновенной циклоиды: при переходе с арки 
на арку (
направление движения точки 
меняется на противоположное. Точками возврата являются все точки 
обыкновенной циклоиды, и только они. Удлиненные и укороченные циклоиды точек возврата не имеют.
7. Точки перегиба. Укороченная циклоида имеет на каждой арке по две точки перегиба 
на рис. 498, а): соответствующие значения параметра 
определяются из уравнения
Для циклоиды, изображенной на рис. 498, а, где 
имеем 
Точке 
соответствует
значение 
точке 
значение 
Координаты 
точки 
есть
Координаты точки 
8. Свойства нормали и касательной. Нормаль 
(см. рис. 
любой циклоиды проходит через точку опоры 
производящего круга. Касательная 
(рис. 498, в) обыкновенной циклоиды проходит через точку Ну диаметрально противоположную точке опоры производящего круга.
Отсюда ясен способ построения касательной.
9. Радиус кривизны. Для любой циклоиды
В частности, для обыкновенной циклоиды
(рис. 498, в), т. е. радиус кривизны обыкновенной циклоиды равен удвоенному отрезку нормали между циклоидой и направляющей. Другими словами, для построения центра кривизны достаточно продолжить хорду 
за точку 
на расстояние, равное этой хорде.
10. Эволюта и эвольвента обыкновенной циклоиды. Эволюта обыкновенной циклоиды (геометрическое место центров кривизны) есть циклоида, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания 
и опущенная под основание на расстояние, равное высоте циклоиды (см. рис. 384). Другими словами, эвольвента циклоиды 
(см. рис. 384), исходящая из вершины В этой циклоиды, есть циклоида 
конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основання 
и поднятая над основанием на расстояние, равное высоте циклоиды.
11. Циклоида и синусоида. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки 
циклоиды на диаметр производящего круга, проходящий через точку опоры, есть синусоида с длиной волны 
и амплитудой 
Ось этой синусоиды совпадает с линией центров циклоиды.
12. Циклоида как проекция винтовой линии. Обозначения: 
шаг винтовой линии; а — ее радиус; а — угол подъема; 
— угол между осью винтовой линии и плоскостью проекций; 
угол наклона проецирующих лучей к плоскости проекций.
Косоугольная проекция винтовой линии на плоскость, перпендикулярную оси, есть циклоида. Если 
то эта циклоида удлиненная; если 
то укороченная; если 
то обыкновенная. Прямоугольная проекция винтовой линии на ту же плоскость есть, очевидно, окружность.
Прямоугольная проекция винтовой линии на плоскость, не перпендикулярную оси, но и не параллельную последней, есть «сжатая циклоида» (рис. 501, а-в), т. е. линия, получаемая из циклоиды с помощью равномерного сжатия к какой-либо прямой, перпендикулярной линии центров циклоиды (§ 40).
Коэффициент сжатия 
; величины 
характеризующие циклоиду 
ее сжатия), выражаются так:
Отсюда видно, что при 
проекция винтовой линии (рис. 501, а) родственна с удлиненной циклоидой; при 
(рис. 501, б) — с укороченной; при 
(рис. 501, в) — с обыкновенной.
Ортогональная проекция винтовой линии на плоскость, параллельную оси (рис. 501, г), есть синусоида, у которой амплитуда есть радиус а винтовой линии, а длина волны есть проекция 
шага 
.
13. Длина дуги s циклоиды между точками 
Рис. 501
Эта дуга равна по длине дуге эллипса
между точками с теми же значениями параметра 
Интеграл (6) в общем случае не выражается через элементарные функции аргумента 
Но для обыкновенной циклоиды (эллипс (7) вырождается в отрезок длины 
имеем
В частности, одна арка обыкновенной циклоиды равна по длине учетверенному диаметру производящего круга:
14. Натуральное уравнение обыкновенной циклоиды (в пределах одной арки)
Получается из (8) и (4а) исключением 
Дуги отсчитываются от начальной точки. Если за начало дуг принять вершину, то натуральное уравнение будет
15. Кинематическое свойство обыкновенной циклоиды. Уравнение (9) выражает на языке кинематики
следующее свойство: если обыкновенная циклоида катится (без скольжения) по прямой 
то центр кривизны точки касания движется по окружности. Радиус последней вчетверо больше радиуса производящего круга, а центр лежит в той точке прямой 
через которую прокатывается вершина циклоиды.
16. Площади и объемы. Площадь 
описываемая ординатой при изменении 
от 
до 
«Полная площадь» 
Для обыкновенной и укороченной циклоид — это площадь фигуры 
(см. рис. 498, а, в); для удлиненной — площадь фигуры, остающейся от фигуры 
после изъятия прямоугольника 
(см. рис. 498, б).
Для обыкновенной циклоиды 
т. е. фигура, ограниченная аркой циклоиды и основанием, по площади втрое больше производящего круга 
Роберваль (1634), Э. Торричелли (1643)).
Площадь 
поверхности, образованной вращением обыкновенной циклоиды около ее основания 
где 
площадь петли циклоиды.
Объем 
соответствующего тела вращения
где V — объем описанного цилиндра.
Площадь 
поверхности, образованной вращением обыкновенной циклоиды около высоты 
Объем 
соответствующего тела вращения
где V — объем описанного цилиндра, 
объем вписанного шара.
17. Тавтохронное свойство циклоиды. Материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по обыкновенной циклоиде 
(рис. 502), обращенной вогнутостью вверх, достигает низшего положения 
за промежуток времени
(
радиус производящего круга, 
ускорение свободного падения). Этот промежуток не зависит от начального положения точки (X. Гюйгенс, 1673).
Поэтому период 
колебания циклоидального маятника 
не зависит от его амплитуды (круговой маятник практически обладает этим свойством лишь при малых колебаниях). Нить циклоидального маятника, сконструированного Гюйгенсом, укрепляется в начальной точке К другой циклоиды 
являющейся эволютой циклоиды 
(см. п. 10).
Рис. 502
18. Циклоида как брахистохрона. Брахистохрона точки, перемещающейся под действием силы тяжести (в среде, сопротивлением которой можно пренебречь) из данной точки А в нижележащую точку В (не расположенную на одной вертикали с А), есть обыкновенная циклоида. Она обращена вогнутостью вверх; точка А является ее начальной точкой. Величина производящего круга определяется из условия, чтобы циклоида проходила через точку В.
Продолжительность 
быстрейшего спуска определяется по формуле
где 
угол поворота производящего круга, соответствующий точке В.
Пример. Точка В ниже точки А на 
а по горизонтали находится на расстоянии 
от А. Найти продолжительность быстрейшего ската из 
Решение. Возьмем начало координат в точке А, ось ОХ направим вертикально вниз; за плоскость 
примем вертикальную плоскость, проходящую через 
Направим ось 
так, чтобы точка В имела положительную абсциссу. За единицу масштаба примем 
Тогда координаты точки В будут
Циклоида, обеспечивающая быстрейший скат, представляется уравнениями
Из условия (19) можно найти радиус 
производящего круга и значение 
соответствующее точке В.
Для этого, исключая 
из (20), решаем уравнение
по способу §§ 288—289. Получаем
Теперь из второго уравнения (20) находим
Наконец, по формуле (18), полагая 
находим
Спуск из 
по наклонной плоскости продолжался бы 0,87 с, т. е. почти на 25% дольше.
19. Исторические сведения. В истории высшей математики циклоида сыграла исключительно важную роль. Более полустолетия она привлекала внимание крупнейших ученых 17 века. Ряд ее свойств, найденных геометрическими средствами, подтвердил правильность новых аналитических методов. Другие ее свойства удалось открыть только с помощью этих новых методов.
В 1590 г. Г. Галилей, изучая траекторию точки катящейся окружности, построил циклоиду (ему принадлежит и наименование этой линии). Он пытался определить площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием. Не располагая средствами для теоретического решения задачи, он пытался найти отношение площади циклоиды к площади производящего круга путем взвешивания. Вначале он полагал, что это отношение равно 3, но потом обратил внимание на то, что эксперимент всегда давал ему число, меньшее трех. Так как разность была незначительна, то искомое отношение казалось невозможным выразить с помощью небольших целых чисел, и Галилей пришел к убеждению, что это отношение иррационально.
После смерти Галилея (1642 г.) его ученики Э. Торричелли и В. Вивиани, делившие с ним горести заточения, занялись математическим исследованием циклоиды. Вивиани, применяя кинематические соображения, нашел свойство касательной, изложенное в 
Торричелли, применяя приемы, предвосхитившие интегральное исчисление, определил площадь циклоиды 
.
Площадь циклоиды была найдена также Ж. Робервалем независимо от Торричелли и, вероятно, на несколько лет раньше последнего. Метод Роберваля замечателен по остроумию и простоте (он основывался на свойстве 
.
Тем же методом Роберваль нашел объемы тел вращения циклоиды около основания и около высоты. Роберваль рассматривал не только обыкновенную циклоиду, но также удлиненную и укороченную и дал метод построения их касательных.
Как ни замечательны были эти открытия, они относились все же к задачам, которые для ряда других фигур решались уже с давних пор. Между тем все попытки осуществить точное спрямление криволинейных дуг оставались безуспешными. Циклоида была первой кривой линией, которую удалось спрямить. Впервые это сделал выдающийся английский астроном, физик, математик и архитектор К. Рен (1632— 1723). Работа Рена была опубликована в 1658 г. Вскоре та же задача была решена рядом других ученых, причем П. Ферма, кроме того, впервые выполнил спрямление алгебраической линии (полукубической параболы).
Исчерпывающее исследование геометрических свойств циклоиды было произведено Б. Паскалем, работа которого вышла в свет в 1659 г.
В последующее сорокалетие трудами таких первоклассных ученых, как X. Гюйгенс, И Ньютон, Г В. Лейбниц и братья Бернулли, были исследованы механические применения циклоиды (см. пп. 15 и 16). Задача о брахистохроне 
в ее обобщенном виде явилась одним из основных истоков созданной в 18 веке трудами Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа новой отрасли математики — вариационного исчисления.
Радиус – кривизна – циклоида
Cтраница 1
Радиус кривизны циклоиды в верхней точке равен удвоенному диаметру колеса. Если бы мы рассматривали качение колеса как вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей в каждый момент с нижней неподвижной точкой колеса ( рис. 3.2), то могло бы показаться, что верхняя точка движется по окружности, радиус которой равен диаметру колеса.
[1]
Величина радиуса кривизны циклоиды в данной точке равна двойному расстоянию от этой точки до мгновенного центра вращения.
[2]
Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
[3]
Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой еа точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
[4]
Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
[5]
Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой еа точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
[6]
Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
[7]
Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
[8]
Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
[9]
Следует заметить, что 4а есть радиус кривизны циклоиды в ее нижней точке, что позволяет приравнять Т полупериоду бесконечно малых колебаний простого маятника.
[10]
Так как равноотстоящая ( EF) возможна лишь, пока радиус кривизны циклоиды больше радиуса цевки, то для продолжительности зацепления е, из модульной линии зацепления j ( которая может быть принята в качестве заменяющей действительной линии зацепления) выпадает участок внутри контура цевки, описанного вокруг С.
[11]
Страницы:
1
