Как найти радиус кривизны колец ньютона

Ко́льца Нью́тона — кольцеобразные интерференционные максимумы и минимумы, появляющиеся вокруг точки касания выпуклой линзы и плоскопараллельной пластины при прохождении света сквозь линзу и пластину. Впервые были описаны в 1675 году И. Ньютоном^[1].

Описание[править | править код]

Интерференционная картина в виде колец возникает при отражении света от двух поверхностей, одна из которых плоская, а другая имеет относительно большой радиус кривизны и соприкасается с первой (например, стеклянная пластинка и плосковыпуклая линза). Если на такую систему в направлении, перпендикулярном плоской поверхности, падает пучок монохроматического света, то световые волны, отражённые от каждой из упомянутых поверхностей, интерферируют между собой. Сформированная таким образом интерференционная картина состоит из наблюдающегося в месте соприкосновения поверхностей тёмного кружка и окружающих его чередующихся между собой светлых и тёмных концентрических колец^[2].

Классическое объяснение явления[править | править код]

Во времена Ньютона из-за недостатка сведений о природе света дать полное объяснение механизма возникновения колец было крайне трудно. Ньютон установил связь между размерами колец и кривизной линзы; он понимал, что наблюдаемый эффект связан со свойством периодичности света, но удовлетворительно объяснить причины образования колец удалось лишь значительно позже Томасу Юнгу. Проследим за ходом его рассуждений. В их основе лежит предположение о том, что свет — это волны. Рассмотрим случай, когда монохроматическая волна падает почти перпендикулярно на плосковыпуклую линзу.

Волна 1 появляется в результате отражения от выпуклой поверхности линзы на границе стекло — воздух, а волна 2 — в результате отражения от пластины на границе воздух — стекло. Эти волны когерентны, то есть у них одинаковые длины волн, а разность их фаз постоянна. Разность фаз возникает из-за того, что волна 2 проходит больший путь, чем волна 1. Если вторая волна отстаёт от первой на целое число длин волн, то, складываясь, волны усиливают друг друга.

 — max,

где  — любое целое число,  — длина волны.

Напротив, если вторая волна отстаёт от первой на нечётное число полуволн, то колебания, вызванные ими, будут происходить в противоположных фазах, и волны гасят друг друга.

 — min,

где  — любое целое число,  — длина волны.

Для учёта того, что в разных веществах скорость света различна, при определении положений минимумов и максимумов используют не разность хода, а оптическую разность хода (разность оптических длин пути).

Если  — оптическая длина пути, где  — показатель преломления среды, а  — геометрическая длина пути световой волны, то получаем формулу оптической разности хода:

Если известен радиус кривизны R поверхности линзы, то можно вычислить, на каких расстояниях от точки соприкосновения линзы со стеклянной пластиной разности хода таковы, что волны определенной длины λ гасят друг друга. Эти расстояния и являются радиусами тёмных колец Ньютона. Необходимо также учитывать тот факт, что при отражении световой волны от оптически более плотной среды фаза волны меняется на ; этим объясняется тёмное пятно в точке соприкосновения линзы и плоскопараллельной пластины. Линии постоянной толщины воздушной прослойки под сферической линзой представляют собой концентрические окружности при нормальном падении света, при наклонном — эллипсы.

Радиус k-го светлого кольца Ньютона (в предположении постоянного радиуса кривизны линзы) в отражённом свете выражается следующей формулой:

где  — радиус кривизны линзы,  — длина волны света в вакууме,  — показатель преломления среды между линзой и пластинкой.

Радиус k-го тёмного кольца Ньютона в отражённом свете определяется в соответствии с формулой:

Использование[править | править код]

Кольца Ньютона используются для измерения радиусов кривизны поверхностей, для измерения длин волн света и показателей преломления. В некоторых случаях (например, при сканировании изображений на плёнках или оптической печати с негатива) кольца Ньютона представляют собой нежелательное явление.

Используются в физиологии. Подсчёт форменных элементов производится после притирания покровного стекла и камеры Горяева до появления колец Ньютона^[3].

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Медиафайлы по теме Кольца Ньютона на Викискладе
• Фото колец Ньютона в красном монохроматическом свете
• Стрижко А. Н. Определение радиуса кривизны плосковыпуклой линзы с помощью колец Ньютона. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Дата обращения: 3 июня 2011. Архивировано 16 февраля 2012 года.
• Видеоролик с демонстрацией колец Ньютона

Частный
случай полос равной толщины – кольца
Ньютона –
наблюдаются, если плосковыпуклую линзу
поместить на плоскопараллельную
стеклянную пластинку (рис 3).

Если
на линзу падает пучок монохроматического
света, то световые волны, отражённые от
воздуха в точке А
и от стекла в точке В
(т.е. от
верхней и нижней границ воздушной
прослойки), оказываются когерентными
и интерферируют. Волна, отраженная от
плоской поверхности линзы, не когерентна
с ними и дает лишь равномерную засветку.
Точки, для которых толщина воздушного
зазора одинакова, располагаются на
окружностях, поэтому интерференционная
картина имеет вид чередующихся
концентрических темных и светлых колец.

Рис.3. Схема
возникновения колец Ньютона

Так как отражение
световой волны в точке В происходит от
стекла (оптически более плотной среды),
то оптическая длина пути второго луча
в точке А составит АВ + ВА + λ/2. Оптическая
длина пути первого луча в точке А равна
нулю. Поэтому

Δ_опт
= L₂–
L₁
= АВ + ВА + λ/2 = 2d
+ λ / 2

Тёмные кольца
образуются там, где оптическая разность
хода равна нечётному числу полуволн:

Δ_опт
= 2d
+ λ
/2 = (2m
+ 1) λ
/2,

т.е. при толщине
зазора

d
= m
λ
/2 , (8)

где
m
= 0,1,2,3… – номер кольца.

В
центре интерференционной картины
находится темный круг, соответствующий
минимуму нулевого порядка. Если r_m
– радиус темного кольца под номером m,
то из треугольника AОС (см. рис.3) имеем:

r_m^2
=
R²
– (R
– d,)²
= 2Rd
– d
²,
(9)

где
R
– радиус кривизны линзы. Полагая величину
воздушного зазора в месте возникновения
колец малой, (т.е. пренебрегая d
²
по сравнению с 2Rd),
получим:

r_m
² = 2Rd.
.

Подставляя
сюда (8), получим

r_m²
= Rmλ
(10)

Из этой формулы
видно, что зная длину волны используемого
света радиус кривизны линзы можно найти
путем измерения радиуса кольца Ньютона
и определения его порядкового номера.

Использование
формулы (10) для определения радиуса
кривизны может привести к ошибке, т.к.
в точке соприкосновения линзы и стеклянной
пластинки возможна деформация, как
линзы, так и пластинки, сравнимая по
величине с длиной волны света. Поэтому
результаты, полученные без учета этого
факта, являются неточными.

Величина
воздушного зазора оказывается меньше
теоретической величины, полученной из
рис.3, на величину суммарной деформации
стеклянной пластинки и линзы δ (рис.4).
Учитывая это, в формулу (9) вместо толщины
воздушного зазора d
необходимо подставить сумму толщины
воздушного зазора и величины суммарной
деформации линзы и стеклянной пластинки
(d
+ δ):

r_m^2
=
R²
– [R
–(d+
δ)]².

Пренебрегая
малой величиной (d+
δ)²,
получаем:

r_m²
= 2R(d
+ δ
)

Рис.4.
Учет деформации линзы и стеклянной
пластинки

Учитывая
(13), получим следующую формулу, для
радиусов темных колец Ньютона с учетом
суммарной деформации:

r_m²
= Rmλ
+ 2Rδ
(11)

Экспериментально
удобнее вместо радиуса кольца Ньютона
измерять его диаметр (D_m
). В этом
случае формула (11) будет иметь вид:

D_m²
= 4Rmλ
+ 8Rδ,
(12)

Из
(12) видно, что квадрат диаметра кольца
Ньютона D_m²
пропорционален порядковому номеру
кольца m.
Если построить график зависимости D_m²
от m,
то экспериментальные точки должны
лежать на одной прямой, и тангенс угла
наклона этой прямой tgα
будет равен 4Rλ.
Таким образом, для нахождения радиуса
кривизны линзы необходимо, используя
график зависимости D_m²
= f(m),
найти

,
(13)

где
m₁,
m₂
номера колец,

D²_m1
и D²_m2
– их диаметры,

Радиус кривизны
линзы затем можно рассчитать по формуле

R=tgα/4λ.
(14)

В
центре линзы наблюдается круглое темное
пятно, соответствующее нулевой толщине
воздушного зазора в области деформации.
Измерив диаметр центрального темного
пятна (т.е. темного кольца, номер которого
m=0),
из (12) можно найти величину суммарной
деформации линзы и стеклянной пластинки
по формуле:

δ
= D₀²/
( 8R
) (15)

Соседние файлы в папке ОПТИКА Лаб.раб 2013

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание – внизу страницы.