Как найти радиус кривизны линии

1. Радиус, центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента

Радиусом
кривизны называется величина, обратная
кривизне, т. е.

.

Если
плоская кривая отнесена к прямоугольной
системе координат и задана уравнением

,
то радиус кривизны

выражается формулой

.

Eсли
плоская кривая отнесена к прямоугольной
системе координат и задана параметрически
системой уравнений

, то радиус кривизны

выражается формулой

,

где

,

,

,

.

Если
плоская кривая отнесена к полярной
системе координат и задана уравнением

,
то радиус кривизны

выражается формулой

,

где

,

.

Окружностью
кривизны данной линии её точке А
называется
предельное положение окружности,
проходящей через три точки A,
B,
C
кривой, когда

и

.

Радиус
окружности кривизны равен радиусу
кривизны. Центр окружности кривизны
называется центром кривизны и находится
на нормали к линии, проведенной в точке
А
в сторону вогнутости этой линии.

Координаты

и

центра кривизны линии

вычисляются по формулам:

,

.

Эволютой
линии называется множество её центров
кривизны, а сама линия относительно
своей эволюты называется эвольвентой.

Формулы
для координат центра кривизны можно
рассматривать как параметрические
уравнения эволюты, где параметром
является абсцисса х
исходной линии.

Данная
линия может иметь лишь одну эволюту, но
у данной эво­люты существует бесконечное
множество эвольвент.

Пример.
Найти
радиус кривизны линии

в
точке с абсциссой

.

Решение.
Найдем значения производных первого и
второго порядков функции

в точке с абсциссой

:

,

.

Подставим
найденные значения

и

в
формулу

:

.

Следовательно,
радиус кривизны
линии

в
точке с абсциссой

.

Пример.
Найти
радиус кривизны линии

в
точке

.

Решение.
Дифференцируя по t,
получим

,

,

,

.

Вычислим
значения производных в
точке

:

,

.

Подставляя
найденные значения

,

в
формулу

,

имеем

Следовательно,
радиус кривизны
линии

в
точке с абсциссой

Пример.
Найти
радиус кривизны кардиоиды

в
любой её точке.

Решение.
Найдем

и

:

.

Подставим
найденные выражения в формулу

:

Следовательно,
радиус кривизны
кардиоиды

в
любой её точке

Пример.
Найти
координаты

и

центра кривизны линии

в
точке

.

Решение.
Найдем значения производных первого
и второго порядков функции

в точке с абсциссой

:

,

.

Подставим
значения

,

и найденные
значения

и

в
формулы

,

:

,

Следовательно,
координаты
центра кривизны линии

в
точке

и

Пример.
Составить
уравнение эволюты кривой

.

Решение.
Продифференцируем дважды уравнение
параболы:

;

.

Так
как

,
то

.

Найдем
координаты

и

центра кривизны линии ,
предварительно выразив х
из уравнения

:

.

Имеем


–
уравнение эволюты в параметрической
форме. Выразим параметр у
из

и

:

;

.

Окончательно
получаем,

Следовательно,
уравнение
эволюты кривой

имеет вид

(уравнение
полукубической параболы).

Упражнения

1.
Найти радиус кривизны линии

в
точке A:

а)

,
A
(
2; 2 ), б)

,
A
(
0; 1 ) .

2.
Найти радиус кривизны трехлепестковой
розы

, при

.

3.
Найти координаты

и

центра кривизны линии

в
точке A:

а)

,
A
(
1; 1 ), б)

,
A
(
1; 0 ) .

4.
Составить уравнение эволюты кривой

:

а)

,
б)

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Радиус кривизны плоской кривой

Любая линия является кривой, даже прямая. Поэтому к любой линии применимы такие характеристики как кривизна или радиус кривизны. Как правило кривизна обозначается латинской литерой k, а радиус кривизны греческой литерой ρ.

Между собой эти характеристики кривой связаны следующим образом:

k = 1/ρ (542.1)

Т.е. чем больше радиус кривой, тем меньше ее кривизна.

А теперь рассмотрим несколько частных случаев кривых.

Радиус кривизны окружности

Окружность – это плоская кривая с постоянным радиусом кривизны. Т.е. радиус окружности это и есть радиус кривизны окружности:

Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.

Кривизна дуги

Любая дуга – это часть окружности. Соответственно радиус дуги равен радиусу окружности:

Рисунок 542.1. Дуга – часть окружности

На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ, показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R. Кроме того, мы видим, что угол α, образованный радиусами в точках А и В, равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.

Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу.

Понятие кривизны дуги формулируется так:

Кривизна дуги – это отношение угла между касательными, проведенными в начале и конце дуги, к длине дуги

Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:

А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:

то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:

Примечание: При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:

но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью

Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П/2, развернутый 180° = П и т.д.

И еще одно интересное свойство дуги: Если соединить точки А и В прямой линией, то угол между этой линией и касательными будет равен α/2, а сама прямая линия – это и есть расстояние между точками А и В. Если дуга расположена в плоскости соответствующим образом, например так, как показано на рисунке 542.2:

Рисунок 542.2. Дуга из точки начала координат.

то расстояние между точками – это проекция l дуги на ось х. А максимальное расстояние между дугой и осью х – это стрела дуги h.

Радиус кривизны прямой линии

Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.

Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:

k_п.л = 1/∞ = 0 (542.6)

Про до сих пор неразрешенный парадокс, возникающий при подобных подходах к прямой линии и к окружности, я уже упоминал в статье “Основы геометрии. Определения основных элементов, пятый элемент”. Здесь лишь добавлю, что через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей и в любой из этих плоскостей радиус кривизны прямой линии будет равен бесконечности. При этом через окружность можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости, в одной из которых окружность будет окружностью, а в другой – прямой линией конечной длины. Поэтому

все линии, которые в одной из плоскостей имеют бесконечно большой радиус кривизны, считаются плоскими

Ну и на закуску еще несколько парадоксов, на этот раз связанных с определениями кривизны и радиуса:

1. Из уравнения (542.1) можно сделать вывод, что:

kp = 1 (542.7)

Соответственно для прямой линии:

0·∞ = 1 (542.7.2)

Т.е. если бесконечно много раз взять ноль, то на единичку мы наскребем. Впрочем дальше будет еще веселее.

2. Если прямая – это дуга с бесконечно большим радиусом, соответственно касательные, проведенные в концах такой дуги, совпадают с прямой, а угол, образованный касательными, равен нулю.

Это означает, что радиусы проведенные в концах дуги – прямой линии, являются параллельными прямыми и не могут пересекаться. А между тем по определению это радиусы, которые обязательно должны сходиться в некоторой точке – центре окружности.

Получается, что параллельные прямые пересекаться не должны, но где-то в бесконечности все-таки пересекаются.

Разрешить этот парадокс пытались многие математики, однако в пределах евклидовой геометрии при принятом толковании определений данный парадокс не разрешим.

Радиус кривизны точки

Точка – это самый простой и самый сложный элемент геометрии. Одни считают, что точка не имеет размеров, а значит и определить кривизну или радиус кривизны точки не возможно. Другие, в частности Евклид, считают, что точка не имеет частей, а каковы при этом размеры точки – не совсем понятно. Я же считаю, что точка – это начальный, далее не делимый элемент геометрии, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с остальными рассматриваемыми элементами. В этом случае для точки будут справедливыми следующие уравнения кривизны и радиуса кривизны:

k_т. = 1/0 = ∞ (542.9)

И хотя нас с первых лет обучения в школе учат, что делить на 0 нельзя и даже встроенный в операционную систему калькулятор пишет, что “деление на ноль невозможно”, тем не менее делить на ноль можно, а результатом деления всегда будет бесконечность.

Как и в случае с прямой мы имеем парадоксальный результат, выражаемый формулой (542.5.2). Тем не менее точку также можно отнести к плоской кривой, имеющей постоянный радиус кривизны.

Примечание: На мой взгляд большинство из описанных выше парадоксов возникают из-за неправильного толкования понятия “бесконечность”. Бесконечность как некая абсолютная величина не имеет пределов, а значит и никакому измерению не поддается. Кроме того бесконечность – это даже не постоянная, а переменная величина. Например луч – это прямая линия с началом в некоторой точке. Длина луча может быть бесконечно большой. При этом прямая линия тоже может быть бесконечно длинной при этом не иметь ни начала ни конца. Получается, что с одной стороны бесконечно длинный луч вроде бы в 2 раза короче, чем бесконечно длинная прямая. А с другой стороны длины их бесконечны и поэтому равны.

Возможным выходом из этой ситуации является принятие понятия “бесконечность”, как относительного. Например, кривизна прямой линии является пренебрежимо малой величиной по отношению к радиусу кривизны. Или радиус кривизны прямой линии несопоставимо больше кривизны. Подобные толкования допускают и наличие кривизны прямой и некое конечное значение радиуса кривизны прямой и многое другое. Я бы назвал такой относительный подход к рассмотрению проблемы реалистичным, а подходы, использующие абсолютные понятия – идеализированными. Впрочем прямого отношения к теме данной статьи это не имеет. Продолжим рассмотрение плоских кривых.

И окружность и прямая линия являются плоскими кривыми с постоянным радиусом кривизны. При этом радиус кривизны прямой линии всегда известен, так как равен бесконечности, а для окружности всегда можно определить радиус, воспользовавшись теоремой Пифагора. Так в частном случае, если центр окружности совпадает с началом координат рассматриваемой плоскости (u = 0; v = 0 – координаты центра окружности), то:

Рисунок 541.4. Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.

R 2 = x 2 + y 2 (541.1.2)

А в общем случае, когда координаты центра окружности не совпадают с началом координат:

Рисунок 542.3. Окружность, центр которой не совпадает с началом координат.

R 2 = (x – u) 2 + (y – v) 2 (542.10)

Но в жизни достаточно часто приходится сталкиваться с кривыми, радиус кривизны которых – не постоянная величина. Более того, этот радиус может изменяться в двух плоскостях измерения. Тем не менее так далеко углубляться в геометрию и алгебру мы не будем и далее рассмотрим, как можно определить радиус плоской кривой в некоторой точке.

Плоские кривые с изменяющимся радиусом кривизны

Примеров плоских кривых с изменяющимся радиусом кривизны очень много, это и гиперболы, и параболы, и синусоиды и т.п. Определение радиуса кривизны таких кривых основано на следующих теоретических предпосылках:

1. Любую окружность можно рассматривать как некоторое множество дуг.

2. Если количество дуг, составляющих окружность, стремится к бесконечности, то соответственно длина таких дуг стремится к нулю (m → 0).

3. Если мы обозначим длину такой очень короткой дуги как приращение функции длины окружности (m = Δl), то уравнение кривизны (542.3) примет следующий вид:

(542.3.1)

4. Тогда любую плоскую кривую с изменяющимся радиусом можно рассматривать как стремящееся к бесконечности множество дуг с постоянным радиусом. Другими словами в пределах любой кривой, описываемой параметрическими уравнениями, всегда можно выделить дугу, пусть даже и очень малой длины, стремящейся к точке и определить для нее кривизну и радиус кривизны в рассматриваемой точке.

Это означает, что самый точный способ определения радиуса кривизны в таком случае – это использование дифференциальных исчислений. В общем случае для этого нужно два раза продифференцировать уравнение радиуса окружности (542.10) по аргументу функции х, а затем извлечь квадратный корень из полученного результата. В итоге (полный вывод уравнения здесь не привожу из-за повышенной сложности записи, а для особо заинтересованных есть справочники и другие сайты) мы получим следующую формулу для определения радиуса кривизны:

(542.11)

Соответственно кривизна плоской кривой в рассматриваемой точке будет равна:

(542.12)

В частном случае, когда тангенс угла между касательными – первая производная от функции – является относительно малой величиной, например, tg2° = 0.035 соответственно (tg2°) 2 = 0.0012, то влиянием куба суммы первой производной и единицы на кривизну можно пренебречь (значение знаменателя дроби сводится к единице) и тогда:

k = y” = d 2 y/dx 2 (542.12.2)

Т.е. формально в таких случаях кривизной считается не отношение угла наклона между касательными к длине дуги, а некоторая величина, примерно соответствующая высоте h на рисунке 542.2.

Эта особенность второй производной очень активно используется в частности для упрощения определения прогиба элементов строительных конструкций.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье “Записаться на прием к доктору”

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины – номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:

• Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии

Оценка пользователей:
10.0 (голосов: 1)

Переходов на сайт:
6701

Комментарии:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье “Записаться на прием к доктору” (ссылка в шапке сайта).

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать – как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Через длину стороны

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Найти радиус круга, зная окружность

Окружность круга P

Результат

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Способ расчета радиуса круга:

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

• r — искомый радиус окружности.
• a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C /_2π , где π ≈ 3.14

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

1. Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
2. У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

По площади сектора и центральному углу

• Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Связанные определения

• Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
• Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

<	x = a + r cos t
y = b + r sin t

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

• r — искомый радиус окружности.
• S — площадь треугольника.
• p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Обобщения

Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

• R — искомый радиус окружности.
• d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
• a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Площадь круга, онлайн расчет

Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.

Площадь круга, онлайн расчет

Вместо заключения

Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.

Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/radius-okruzhnosti

http://exceltut.ru/radius-chto-eto-takoe-i-kak-najti-radius-okruzhnosti/

[/spoiler]

From Wikipedia, the free encyclopedia

This article is about the general mathematical concept. For its optical applications, see Radius of curvature (optics).

In differential geometry, the radius of curvature (Rc), R, is the reciprocal of the curvature. For a curve, it equals the radius of the circular arc which best approximates the curve at that point. For surfaces, the radius of curvature is the radius of a circle that best fits a normal section or combinations thereof.^[1][2][3]

Definition[edit]

In the case of a space curve, the radius of curvature is the length of the curvature vector.

In the case of a plane curve, then R is the absolute value of^[3]

where s is the arc length from a fixed point on the curve, φ is the tangential angle and κ is the curvature.

Formula[edit]

In 2D[edit]

If the curve is given in Cartesian coordinates as y(x), i.e., as the graph of a function, then the radius of curvature is (assuming the curve is differentiable up to order 2):

and |z| denotes the absolute value of z.
Also in Classical mechanics branch of Physics Radius of curvature is given by (Net Velocity)²/Acceleration Perpendicular

If the curve is given parametrically by functions x(t) and y(t), then the radius of curvature is

Heuristically, this result can be interpreted as^[2]

In n dimensions[edit]

If γ : ℝ → ℝⁿ is a parametrized curve in ℝⁿ then the radius of curvature at each point of the curve, ρ : ℝ → ℝ, is given by^[3]

.

As a special case, if f(t) is a function from ℝ to ℝ, then the radius of curvature of its graph, γ(t) = (t, f(t)), is

Derivation[edit]

Let γ be as above, and fix t. We want to find the radius ρ of a parametrized circle which matches γ in its zeroth, first, and second derivatives at t. Clearly the radius will not depend on the position γ(t), only on the velocity γ′(t) and acceleration γ″(t). There are only three independent scalars that can be obtained from two vectors v and w, namely v · v, v · w, and w · w. Thus the radius of curvature must be a function of the three scalars |γ′(t)|², |γ″(t)|² and γ′(t) · γ″(t).^[3]

The general equation for a parametrized circle in ℝⁿ is

where c ∈ ℝⁿ is the center of the circle (irrelevant since it disappears in the derivatives), a,b ∈ ℝⁿ are perpendicular vectors of length ρ (that is, a · a = b · b = ρ² and a · b = 0), and h : ℝ → ℝ is an arbitrary function which is twice differentiable at t.

The relevant derivatives of g work out to be

If we now equate these derivatives of g to the corresponding derivatives of γ at t we obtain

These three equations in three unknowns (ρ, h′(t) and h″(t)) can be solved for ρ, giving the formula for the radius of curvature:

or, omitting the parameter t for readability,

Examples[edit]

Semicircles and circles[edit]

For a semi-circle of radius a in the upper half-plane

For a semi-circle of radius a in the lower half-plane

The circle of radius a has a radius of curvature equal to a.

Ellipses[edit]

In an ellipse with major axis 2a and minor axis 2b, the vertices on the major axis have the smallest radius of curvature of any points, R = b²/a; and the vertices on the minor axis have the largest radius of curvature of any points, R = a²/b.

The ellipse’s radius of curvature, as a function of parameter t

^[4]

And as a function of θ

Where e is the eccentricity of the ellipse and is given by:

Applications[edit]

• For the use in differential geometry, see Cesàro equation.
• For the radius of curvature of the earth (approximated by an oblate ellipsoid); see also: arc measurement
• Radius of curvature is also used in a three part equation for bending of beams.
• Radius of curvature (optics)
• Thin films technologies
• Printed electronics
• Minimum railway curve radius
• AFM probe

Stress in semiconductor structures[edit]

Stress in the semiconductor structure involving evaporated thin films usually results from the thermal expansion (thermal stress) during the manufacturing process. Thermal stress occurs because film depositions are usually made above room temperature. Upon cooling from the deposition temperature to room temperature, the difference in the thermal expansion coefficients of the substrate and the film cause thermal stress.^[5]

Intrinsic stress results from the microstructure created in the film as atoms are deposited on the substrate. Tensile stress results from microvoids (small holes, considered to be defects) in the thin film, because of the attractive interaction of atoms across the voids.

The stress in thin film semiconductor structures results in the buckling of the wafers. The radius of the curvature of the stressed structure is related to stress tensor in the structure, and can be described by modified Stoney formula.^[6] The topography of the stressed structure including radii of curvature can be measured using optical scanner methods. The modern scanner tools have capability to measure full topography of the substrate and to measure both principal radii of curvature, while providing the accuracy of the order of 0.1% for radii of curvature of 90 meters and more.^[7]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.

External links[edit]

• The Geometry Center: Principal Curvatures
• 15.3 Curvature and Radius of Curvature
• Weisstein, Eric W. “Principal Curvatures”. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. “Principal Radius of Curvature”. MathWorld.

Как узнать радиус кривизны

Пусть задана функция, определенная уравнением y = f(x) и соответствующим графиком. Требуется найти радиус ее кривизны, то есть измерить степень искривленности графика этой функции в некоторой точке x0.

Инструкция

Кривизна любой линии определяется скоростью поворота ее касательной в точке x при движении этой точки по кривой. Поскольку тангенс угла наклона касательной равен значению производной от f(x) в этой точке, то скорость изменения этого угла должна зависеть от второй производной.

Эталоном кривизны логично принять окружность, поскольку она равномерно искривлена на всем своем протяжении. Радиус такой окружности есть мера ее кривизны.

По аналогии, радиусом кривизны заданной линии в точке x0 называется радиус окружности, которая наиболее точно измеряет степень ее искривленности в этой точке.

Требуемая окружность должна соприкасаться с заданной кривой в точке x0, то есть располагаться со стороны ее вогнутости так, чтобы касательная к кривой в этой точке была также и касательной к окружности. Это значит, что если F(x) — уравнение окружности, то должны выполняться равенства:

F(x0) = f(x0),
F′(x0) = f′(x0).

Таких окружностей, очевидно, существует бесконечно много. Но для измерения кривизны необходимо выбрать ту, которая наиболее точно соответствует заданной кривой в этой точке. Поскольку кривизна измеряется второй производной, то к этим двум равенствам необходимо добавить еще и третье:

F′′(x0) = f′′(x0).

Исходя из этих соотношений, радиус кривизны вычисляется по формуле:

R = ((1 + f′(x0)^2)^(3/2))/(|f′′(x0)|).

Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной линии в данной точке.

Если f′′(x0) = 0, то радиус кривизны равен бесконечности, то есть линия в этой точке не искривлена. Это всегда верно для прямых, а также для любых линий в точках перегиба. Кривизна в таких точках, соответственно, равна нулю.

Центр окружности, измеряющей кривизну линии в заданной точке, называется центром кривизны. Линия, являющаяся геометрическим местом для всех центров кривизны заданной линии, называется ее эволютой.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Смысл понятий радиуса, круга и центра кривизны

В технических приложениях часто оказывается удобным использовать окружности для приближенной замены кривой в окрестностях рассматриваемых точек. Это существенно упрощает решение целого ряда задач за счет применения более удобных выражений.

Наиболее употребительными характеристиками любой кривой являются касательная и нормаль. Касательная — предельное положение секущей $MN$ при неограниченном приближении точки $N$ к точке $M$ вдоль кривой. Нормаль — прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.

Уравнение касательной в точке $Mleft(x_{0} ,y_{0} right)$ к кривой $y=fleft(xright)$ имет вид $y-y_{0} =y’left(x_{0} right)cdot left(x-x_{0} right)$, уравнение нормали $y-y_{0} =-frac{1}{y’left(x_{0} right)} cdot left(x-x_{0} right)$.

«Радиус, круг и центр кривизны» 👇