Как найти радиус кривизны траектории мяча

Радиус кривизны траектории

В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из  задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.

Задача 1.

Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.
Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:

Откуда :

То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.

Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому

Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: и . Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:

Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды.
Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной . По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:



Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси :

Определим полную скорость тела в момент времени :

Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:

А можно было сразу и косинус найти:

Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:

Ответ: м, м, м.

Задача 2.

Под каким углом к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли?
Запишем условие задачи так: а) , б).
а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения:
Определим теперь радиус кривизны в вершине:

По условию :





б) Мы уже определили , осталась максимальная высота подъема.

Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:



Приравниваем и :

Откуда .



Ответ: а) , б) .

2018-07-15   

Тело брошено горизонтально со скоростью 4 м/с с высоты 1 м. Определите радиусы кривизны траектории в ее начальной и конечной точках.

Решение:

Для определения радиуса кривизны следует воспользоваться формулой $a_{ц} = frac{v^{2} }{R}$, где $v$ — мгновенная скорость, $a_{ц}$ – центростремительное ускорение, направленное перпендикулярно скорости. $R = frac{v^{2} }{a_{ц} }$. В начальный момент скорость $v_{0}$ направлена горизонтально (рис.); $g = a_{ц}$, откуда

$R_{0} = frac{v_{0}^{2} }{g}, R_{0} = frac{4^{2} }{9,8} = 1,63 м$.

В конечный момент времени мгновенная скорость $v$ направлена под углом $alpha$ к ускорению свободного падения $vec{g}$. $v_{x} = v_{0}, v_{y} = – gt$, где $t = sqrt{ frac{2h}{g} }$. Следовательно,

$v_{к} = sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } = sqrt{ v_{0}^{2} + 2gh }$.

Чтобы найти радиус кривизны в конечной точке, определим центростремительное ускорение в этой точке, для чего найдем проекцию ускорения свободного падения $vec{g}$ на перпендикуляр к направлению скорости $vec{v}_{к}: a_{ц.к} = g sin alpha$, где

$sin alpha = frac{v_{x} }{v_{кон} } = frac{v_{0} }{ sqrt{v_{0}^{2} + 2gh } }, R_{к} = frac{v_{к}^{2} }{a_{ц.к} } = frac{ ( sqrt{v_{0}^{2} + 2gh } )^{3} }{gv_{0} }$

$R_{к} = frac{( sqrt{ 4^{2} + 2 cdot 9,8 cdot 1 } )^{3} }{9,8 cdot 4} = 5,4 м$.

1