Как найти радиус кривизны траектории тела - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Радиус кривизны траектории

В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.

Задача 1.

Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.
Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:

Откуда :

То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.

К задаче 1

Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому

Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: и . Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:

Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды.
Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной . По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:

Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси :

Определим полную скорость тела в момент времени :

Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:

А можно было сразу и косинус найти:

Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:

Ответ: м, м, м.

Задача 2.

Под каким углом к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли?
Запишем условие задачи так: а) , б).
а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения:
Определим теперь радиус кривизны в вершине:

По условию :

б) Мы уже определили , осталась максимальная высота подъема.

Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:

Приравниваем и :

Откуда .

Ответ: а) , б) .

Источник

Как найти радиус кривизны траектории

При рассмотрении движения тел используется ряд характеризующих величин, например тангенциальное и нормальное (центростремительное) ускорение, скорость, а также кривизна траектории. Радиус кривизны – геометрическое понятие, обозначающее радиус окружности R, по которой движется тело. Этот параметр можно найти по соответствующим формулам с помощью заданной траектории движения.

Инструкция

Наиболее часто встречаются задачи на определение радиуса кривизны траектории полета брошенного тела в заданный промежуток времени. Траектория движения в данном случае описывается уравнениями на координатных осях: х = f(t), y = f(t), где t – время, в момент которого требуется найти радиус. Его вычисление будет основываться на применении формулы аn = V²/R. Здесь радиус R выявляется из отношения нормального ускорения аn и мгновенной скорости V движения тела. Узнав данные величины, можно легко найти искомую компоненту R.

Вычислите проекции скорости тела на осях (ОХ, ОY). Математический смысл скорости – это первая производная от уравнения движения. Поэтому они легко находятся взятием производной от заданных уравнений: Vx = x’, Vy = y’. При рассмотрении геометрического отображения данных проекций в координатной системе видно, что они являются катетами прямоугольного треугольника. Причем гипотенуза в нем – искомая мгновенная скорость. Исходя из этого, вычислите величину мгновенной скорости V по теореме Пифагора: V = √( Vx² + Vy²). Подставляя в выражение известное значение времени, найдите числовой показатель V.

Модуль нормального ускорения также легко определить, рассмотрев другой прямоугольный треугольник, образуемый модулем полного ускорения а и касательного ускорения тела ак. Причем здесь нормальное ускорение является катетом и вычисляется так: аn = √( а² – ак²). Для нахождения касательного ускорения продифференцируйте по времени уравнение мгновенной скорости движения: ак = |dV/dt|. Полное же ускорение вычислите по его проекциям на оси, аналогично нахождению мгновенной скорости. Только для этого возьмите от заданных уравнений движения производные второго порядка: ах = х”, аy = y”. Модуль ускорения а = √( ах2 + аy2). Подставляя все найденные величины, определите числовое значение нормального ускорения аn = √( а² – ак²).

Выразите из формулы аn = V²/R искомую переменную радиуса кривизны траектории: R = V²/ аn. Подставьте числовые значения скорости и ускорения, вычислите радиус.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории в теоретической механике

Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории:

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны р (или

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями

то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:

2. Подставив в (б’) выражения найти

3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б’), найти касательное ускорение а затем а?.

4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения

5. Подставив в (г) выражения

6. Подставить в (в) значения

7. Подставив в (а) найденные значения получить радиус кривизны р.

Задача:

Движение точки задано уравнениями

(х, у—в см, t — в сек). Определить радиус кривизны траектории в те моменты, когда она пересекает ось Ох.

Решение.

1. В те моменты, когда траектория пересекает ось Ох, ордината у—0. Поэтому, подставив во второе уравнение движения значение у = 0, получим

Отсюда [решая уравнение относительно находим, что траектория пересекает ось Ох в моменты времени

2. Находим выражения проекций скорости:

Как видно, проекция скорости на ось Ох – постоянная величина (не зависит от времени).

3. Определяем значение этих проекций в моменты пересечения траекторией оси Ох:

4. Числовое значение скорости точки в моменты пересечения траекторией оси Ох в данном случае одинаковы

5. Находим касательное ускорение точки. Для этого получим общее выражение (уравнение) скорости, воспользовавшись зависимостью (б):

6. Находим проекции полного ускорения точки:

Следовательно, в данном случае полное ускорение точки — постоянная величина. Причем

7. Определяем нормальное ускорение точки. Как при

так и при

8. Зная, что в моменты пересечения траекторией оси 5 см:сек и находим радиусы кривизны траектории в этих точках:

Решение этой задачи рекомендуется самостоятельно иллюстрировать чертежом, изобразив на нем траекторию точки, векторы скорости и ускорения а в местах пересечения траектории с осью Ох (эти векторы легко построить при помощи найденных проекций), а также радиусы

Равномерное вращательное движение
Равнопеременное вращательное движение
Неравномерное вращательное движение
Плоскопараллельное движение тела
Равномерное криволинейное движение точки
Равнопеременное движение точки
Неравномерное движение точки по любой траектории
Определение траектории, скорости и ускорения точки

Источник

Определение радиуса кривизны траектории точки

В том случае, когда
движение задано координатным способом,
радиус кривизны траектории определяется
следующим образом:

 по формулам
координатного способа задания движения
(1.1) определяются скорость и полное
ускорение точки:

;

 по формулам
траекторного способа задания движения
(1.2) определяются нормальное и касательное
ускорения:

и далее 
радиус кривизны траектории по формуле
(1.3):

. (1.4)

Порядок выполнения задания

Движение точки
задано кинематическими уравнениями в
соответствии с номером варианта задачи
(см. таблицу «Исходные данные» с. 10-14).

1. Определить
траекторию точки и изобразить ее на
чертеже. Указать на ней положение точки
в заданные моменты времени, обозначив
их М₀
и М₁
(М₀
– в момент
времени t = 0;
М₁

в момент t = t₁).

2. Определить
алгебраические величины проекций
скорости точки в общем виде, а затем для
момента времена
t = t₁.
По найденным алгебраическим величинам
проекций скорости построить вектор на
чертеже и вычислить его величину.

3. Определить
алгебраические величины
проекций ускорений точки на оси координат
в общем
виде, а затем для
момента времени
t = t₁_.
Построить вектор ускорения на чертеже
и вычислить его величину.

4. Для
определения касательного ускорения
необходимо иметь проекцию вектора
скорости точки на касательную в виде
функции времени:

,
тогда касательное ускорение точки
опреде-ляется по формуле

.
Определить