Как найти радиус кривизны земли

Как найти радиус кривизны земли

Радиус кривизны земли — это величина, которая определяет кривизну поверхности земного шара. Найти его можно используя различные методы, например:

• геодезическую съемку
• мероприятия с использованием GPS
• формулы геодезической кривизны

Геодезическая съемка

Геодезическая съемка — это метод определения формы земного шара путем измерения углов и расстояний между точками на поверхности земли. С помощью такого метода можно определить радиус кривизны земли на местности.

Мероприятия с использованием GPS

GPS — глобальная система позиционирования — может быть использована для определения радиуса кривизны земли, например, путем измерения углов между спутниками и приемником на земле. Этот метод построения карты геодезической кривизны получается более точным, нежели геодезическая съемка.

Формулы геодезической кривизны

Геодезическая кривизна — это величина, которая описывает кривизну поверхности Земли в конкретной точке. Для ее расчета используются формулы, которые имеют различные виды:

Формула Робертсона:

K = R / (R + H),

где K — геодезическая кривизна, R — радиус земного шара, H — высота над уровнем моря.

Формула Ламберта:

K = 1 / [a (1 — e^2)^0.5],

где K — геодезическая кривизна, a — большая полуось земного эллипсоида, e — эксцентриситет.

Общий итог

Радиус кривизны земли — это важный параметр, который необходим для геодезических расчетов и калькуляции многочисленных физических явлений на Земле. Его можно найти с помощью геодезической съемки, мероприятий с использованием GPS или используя формулы геодезической кривизны. Выбор метода зависит от задачи и доступных инструментов.

Как найти радиус кривизны земли?

Земля – это круглый объект, однако ее поверхность не абсолютно гладкая. Существуют горы, долины, глубоководные каньоны, и это только начало. Но как найти радиус кривизны земли и понять, насколько она изогнута?

Формула и геодезические измерения

Есть несколько способов найти радиус кривизны земли. Один из них основан на соотношении длины дуги земной поверхности и угла между двумя точками, лежащими на этой дуге. Формула, используемая для этого, выглядит следующим образом:

R = L/θ

где:

• R – радиус кривизны земли
• L – длина дуги земной поверхности между двумя точками
• θ – угол между двумя точками

Это соотношение работает только для малых углов и довольно точно предсказывает поведение земной поверхности в этих условиях.

Однако для больших углов дуга геодезически изогнута, а формула становится менее точной. В этом случае более корректным способом измерения радиуса кривизны земли является использование геодезических методов.

Имейте в виду, что радиус кривизны земли не является постоянной величиной. Он изменяется в зависимости от местоположения, геометрической формы земной поверхности и того, как вы рассчитываете его. Разные геодезические инструменты и методы дают различные значения.

Расчет радиуса кривизны земли

Самый простой способ рассчитать радиус кривизны земли – это использовать средний радиус Земли. Средний радиус Земли – это 6 371 км. Это значение используется в большинстве географических софтверов и систем.

Если вы хотите рассчитать радиус кривизны земли в конкретной точке, то используйте специальные программы для этого, например, Geographic Calculator. Эта программа берет во внимание большинство параметров, влияющих на радиус кривизны земли, и дает точный результат.

Иногда радиус кривизны земли измеряется с помощью геодезических инструментов, таких как геодезические приборы. Эти устройства используются для измерения угла, наклона поверхности и других параметров в целях определения радиуса кривизны земли.

Заключение

Радиус кривизны земли – это фундаментальный параметр, необходимый во многих областях геодезии, навигации и картографии. Он используется при создании детальных карт и земных моделей, а также при решении научных проблем и во многих других областях науки. Найдите радиус кривизны земли в вашей локации и присоединитесь к тысячам ученых по всему миру, использующих его для решения разных задач.

Как найти радиус кривизны земли

Земля — это удивительная планета, которая постоянно вызывает интерес и изучение. Одним из наиболее интересных вопросов при изучении Земли является ее кривизна. В данной статье мы рассмотрим, как определить радиус кривизны Земли.

Что такое радиус кривизны Земли?

Радиус кривизны Земли — это расстояние от центра Земли до поверхности по нормали (лучу), взятой в определенной точке. Точкой, в которой мы измеряем радиус кривизны, может быть любая точка на Земле.

Какой радиус кривизны Земли?

Радиус кривизны Земли зависит от многих факторов, таких как состав грунта, расположение гор и другие соображения. Однако средний радиус кривизны Земли — примерно 6,371 км. Это значение может быть использовано для расчета радиуса Земли в различных точках.

Как найти радиус кривизны Земли?

Существует несколько способов определения радиуса кривизны Земли. Одним из наиболее популярных является использование измерительного стержня и теодолита. Для этого измерительный стержень устанавливают перпендикулярно поверхности Земли и с помощью теодолита измеряют угол между горизонтальной линией и линией от вершины измерительного стержня до горизонта. Затем с помощью тригонометрических формул можно определить радиус кривизны Земли в данной точке.

Еще один способ определения радиуса кривизны Земли — использование геодезических измерений. Геодезисты используют спутники и другое оборудование для измерения формы поверхности Земли. Эта информация затем используется для определения радиуса кривизны Земли в данной точке.

Также можно использовать измерения морской уровня. Для этого измеряют расстояния между маяками, расположенными на определенном расстоянии один от другого вдоль береговой линии. Затем, используя тригонометрические формулы, можно определить радиус кривизны Земли в данной точке.

Заключение

Определение радиуса кривизны Земли — это очень важный вопрос при изучении формы нашей планеты. Сегодня мы рассмотрели несколько способов его определения, включая использование измерительного стержня и теодолита, геодезические измерения и измерения морского уровня. Независимо от того, какой метод используется, результат таких измерений позволяет нам лучше понимать форму и структуру Земли.

Earth radius
Cross section of Earth’s Interior
General information
Unit system	astronomy, geophysics
Unit of	distance
Symbol	R🜨 or ,
Conversions
1 R🜨 in …	… is equal to …
SI base unit	6.3781×106 m[1]
Metric system	6,357 to 6,378 km
English units	3,950 to 3,963 mi

Earth radius (denoted as R_🜨 or ) is the distance from the center of Earth to a point on or near its surface. Approximating the figure of Earth by an Earth spheroid, the radius ranges from a maximum of nearly 6,378 km (3,963 mi) (equatorial radius, denoted a) to a minimum of nearly 6,357 km (3,950 mi) (polar radius, denoted b).

A nominal Earth radius is sometimes used as a unit of measurement in astronomy and geophysics, which is recommended by the International Astronomical Union to be the equatorial value.^[1]

A globally-average value is usually considered to be 6,371 kilometres (3,959 mi) with a 0.3% variability (±10 km) for the following reasons.
The International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG) provides three reference values: the mean radius (R₁) of three radii measured at two equator points and a pole; the authalic radius, which is the radius of a sphere with the same surface area (R₂); and the volumetric radius, which is the radius of a sphere having the same volume as the ellipsoid (R₃).^[2] All three values are about 6,371 kilometres (3,959 mi).

Other ways to define and measure the Earth radius involve the radius of curvature. A few definitions yield values outside the range between polar radius and equatorial radius because they include local or geoidal topography or because they depend on abstract geometrical considerations.

Introduction[edit]

Earth’s rotation, internal density variations, and external tidal forces cause its shape to deviate systematically from a perfect sphere.^[a] Local topography increases the variance, resulting in a surface of profound complexity. Our descriptions of Earth’s surface must be simpler than reality in order to be tractable. Hence, we create models to approximate characteristics of Earth’s surface, generally relying on the simplest model that suits the need.

Each of the models in common use involve some notion of the geometric radius. Strictly speaking, spheres are the only solids to have radii, but broader uses of the term radius are common in many fields, including those dealing with models of Earth. The following is a partial list of models of Earth’s surface, ordered from exact to more approximate:

• The actual surface of Earth
• The geoid, defined by mean sea level at each point on the real surface^[b]
• A spheroid, also called an ellipsoid of revolution, geocentric to model the entire Earth, or else geodetic for regional work^[c]
• A sphere

In the case of the geoid and ellipsoids, the fixed distance from any point on the model to the specified center is called “a radius of the Earth” or “the radius of the Earth at that point”.^[d] It is also common to refer to any mean radius of a spherical model as “the radius of the earth”. When considering the Earth’s real surface, on the other hand, it is uncommon to refer to a “radius”, since there is generally no practical need. Rather, elevation above or below sea level is useful.

Regardless of the model, any radius falls between the polar minimum of about 6,357 km and the equatorial maximum of about 6,378 km (3,950 to 3,963 mi). Hence, the Earth deviates from a perfect sphere by only a third of a percent, which supports the spherical model in most contexts and justifies the term “radius of the Earth”. While specific values differ, the concepts in this article generalize to any major planet.

Physics of Earth’s deformation[edit]

Rotation of a planet causes it to approximate an oblate ellipsoid/spheroid with a bulge at the equator and flattening at the North and South Poles, so that the equatorial radius a is larger than the polar radius b by approximately aq. The oblateness constant q is given by

where ω is the angular frequency, G is the gravitational constant, and M is the mass of the planet.^[e] For the Earth 1/q ≈ 289, which is close to the measured inverse flattening 1/f ≈ 298.257. Additionally, the bulge at the equator shows slow variations. The bulge had been decreasing, but since 1998 the bulge has increased, possibly due to redistribution of ocean mass via currents.^[4]

The variation in density and crustal thickness causes gravity to vary across the surface and in time, so that the mean sea level differs from the ellipsoid. This difference is the geoid height, positive above or outside the ellipsoid, negative below or inside. The geoid height variation is under 110 m (360 ft) on Earth. The geoid height can change abruptly due to earthquakes (such as the Sumatra-Andaman earthquake) or reduction in ice masses (such as Greenland).^[5]

Not all deformations originate within the Earth. Gravitational attraction from the Moon or Sun can cause the Earth’s surface at a given point to vary by tenths of a meter over a nearly 12-hour period (see Earth tide).

Radius and local conditions[edit]

Given local and transient influences on surface height, the values defined below are based on a “general purpose” model, refined as globally precisely as possible within 5 m (16 ft) of reference ellipsoid height, and to within 100 m (330 ft) of mean sea level (neglecting geoid height).

Additionally, the radius can be estimated from the curvature of the Earth at a point. Like a torus, the curvature at a point will be greatest (tightest) in one direction (north–south on Earth) and smallest (flattest) perpendicularly (east–west). The corresponding radius of curvature depends on the location and direction of measurement from that point. A consequence is that a distance to the true horizon at the equator is slightly shorter in the north–south direction than in the east–west direction.

In summary, local variations in terrain prevent defining a single “precise” radius. One can only adopt an idealized model. Since the estimate by Eratosthenes, many models have been created. Historically, these models were based on regional topography, giving the best reference ellipsoid for the area under survey. As satellite remote sensing and especially the Global Positioning System gained importance, true global models were developed which, while not as accurate for regional work, best approximate the Earth as a whole.

Extrema: equatorial and polar radii[edit]

The following radii are derived from the World Geodetic System 1984 (WGS-84) reference ellipsoid.^[6] It is an idealized surface, and the Earth measurements used to calculate it have an uncertainty of ±2 m in both the equatorial and polar dimensions.^[7] Additional discrepancies caused by topographical variation at specific locations can be significant. When identifying the position of an observable location, the use of more precise values for WGS-84 radii may not yield a corresponding improvement in accuracy.^{[clarification needed]}

The value for the equatorial radius is defined to the nearest 0.1 m in WGS-84. The value for the polar radius in this section has been rounded to the nearest 0.1 m, which is expected to be adequate for most uses. Refer to the WGS-84 ellipsoid if a more precise value for its polar radius is needed.

• The Earth’s equatorial radius a, or semi-major axis, is the distance from its center to the equator and equals 6,378.1370 km (3,963.1906 mi).^[8] The equatorial radius is often used to compare Earth with other planets.

• The Earth’s polar radius b, or semi-minor axis, is the distance from its center to the North and South Poles, and equals 6,356.7523 km (3,949.9028 mi).

Location-dependent radii[edit]

Geocentric radius[edit]

The geocentric radius is the distance from the Earth’s center to a point on the spheroid surface at geodetic latitude φ:

where a and b are, respectively, the equatorial radius and the polar radius.

The extrema geocentric radii on the ellipsoid coincide with the equatorial and polar radii.
They are vertices of the ellipse and also coincide with minimum and maximum radius of curvature.

Radii of curvature[edit]

Principal radii of curvature[edit]

There are two principal radii of curvature: along the meridional and prime-vertical normal sections.

Meridional[edit]

In particular, the Earth’s meridional radius of curvature (in the north–south direction) at φ is:^[9]

where is the eccentricity of the earth. This is the radius that Eratosthenes measured in his arc measurement.

Prime vertical[edit]

If one point had appeared due east of the other, one finds the approximate curvature in the east–west direction.^[f]

This Earth’s prime-vertical radius of curvature, also called the Earth’s transverse radius of curvature, is defined perpendicular (orthogonal) to M at geodetic latitude φ^[g] and is:^[9]

N can also be interpreted geometrically as the normal distance from the ellipsoid surface to the polar axis.^[10]
The radius of a parallel of latitude is given by .^[11][12]

Polar and equatorial radius of curvature[edit]

The Earth’s meridional radius of curvature at the equator equals the meridian’s semi-latus rectum:

b²/a = 6,335.439 km

The Earth’s prime-vertical radius of curvature at the equator equals the equatorial radius, N = a.

The Earth’s polar radius of curvature (either meridional or prime-vertical) is:

a²/b = 6,399.594 km

Derivation[edit]

Combined radii of curvature[edit]

Azimuthal[edit]

The Earth’s azimuthal radius of curvature, along an Earth normal section at an azimuth (measured clockwise from north) α and at latitude φ, is derived from Euler’s curvature formula as follows:^[14]: 97

Non-directional[edit]

It is possible to combine the principal radii of curvature above in a non-directional manner.

The Earth’s Gaussian radius of curvature at latitude φ is:^[14]

Where K is the Gaussian curvature, .

The Earth’s mean radius of curvature at latitude φ is:^[14]: 97

Global radii[edit]

The Earth can be modeled as a sphere in many ways. This section describes the common ways. The various radii derived here use the notation and dimensions noted above for the Earth as derived from the WGS-84 ellipsoid;^[6] namely,

Equatorial radius: a = (6378.1370 km)

Polar radius: b = (6356.7523 km)

A sphere being a gross approximation of the spheroid, which itself is an approximation of the geoid, units are given here in kilometers rather than the millimeter resolution appropriate for geodesy.

Nominal radius[edit]

In astronomy, the International Astronomical Union denotes the nominal equatorial Earth radius as , which is defined to be 6,378.1 km (3,963.2 mi).^[1]: 3 The nominal polar Earth radius is defined as = 6,356.8 km (3,949.9 mi). These values correspond to the zero Earth tide convention. Equatorial radius is conventionally used as the nominal value unless the polar radius is explicitly required.^[1]: 4
The nominal radius serves as a unit of length for astronomy.
(The notation is defined such that it can be easily generalized for other planets; e.g., for the nominal polar Jupiter radius.)

Arithmetic mean radius[edit]

In geophysics, the International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG) defines the Earth’s arithmetic mean radius (denoted R₁) to be^[2]

The factor of two accounts for the biaxial symmetry in Earth’s spheroid, a specialization of triaxial ellipsoid.
For Earth, the arithmetic mean radius is 6,371.0088 km (3,958.7613 mi).^[15]

Authalic radius[edit]

Earth’s authalic radius (meaning “equal area”) is the radius of a hypothetical perfect sphere that has the same surface area as the reference ellipsoid. The IUGG denotes the authalic radius as R₂.^[2]
A closed-form solution exists for a spheroid:^[16]

where e² = a² − b²/a² and A is the surface area of the spheroid.

For the Earth, the authalic radius is 6,371.0072 km (3,958.7603 mi).^[15]

The authalic radius also corresponds to the radius of (global) mean curvature, obtained by averaging the Gaussian curvature, , over the surface of the ellipsoid. Using the Gauss–Bonnet theorem, this gives

Volumetric radius[edit]

Another spherical model is defined by the Earth’s volumetric radius, which is the radius of a sphere of volume equal to the ellipsoid. The IUGG denotes the volumetric radius as R₃.^[2]

For Earth, the volumetric radius equals 6,371.0008 km (3,958.7564 mi).^[15]

Rectifying radius[edit]

Another global radius is the Earth’s rectifying radius, giving a sphere with circumference equal to the perimeter of the ellipse described by any polar cross section of the ellipsoid. This requires an elliptic integral to find, given the polar and equatorial radii:

The rectifying radius is equivalent to the meridional mean, which is defined as the average value of M:^[16]

For integration limits of [0,π/2], the integrals for rectifying radius and mean radius evaluate to the same result, which, for Earth, amounts to 6,367.4491 km (3,956.5494 mi).

The meridional mean is well approximated by the semicubic mean of the two axes,^{[citation needed]}

which differs from the exact result by less than 1 μm (4×10⁻⁵ in); the mean of the two axes,

about 6,367.445 km (3,956.547 mi), can also be used.

Topographical radii[edit]

The mathematical expressions above apply over the surface of the ellipsoid.
The cases below considers Earth’s topography, above or below a reference ellipsoid.
As such, they are topographical geocentric distances, R_t, which depends not only on latitude.

Topographical extremes[edit]

• Maximum R_t: the summit of Chimborazo is 6,384.4 km (3,967.1 mi) from the Earth’s center.
• Minimum R_t: the floor of the Arctic Ocean is 6,352.8 km (3,947.4 mi) from the Earth’s center.^[17]

Topographical global mean[edit]

The topographical mean geocentric distance averages elevations everywhere, resulting in a value 230 m larger than the IUGG mean radius, the authalic radius, or the volumetric radius. This topographical average is 6,371.230 km (3,958.899 mi) with uncertainty of 10 m (33 ft).^[18]

Derived quantities: diameter, circumference, arc-length, area, volume [edit]

Earth’s diameter is simply twice Earth’s radius; for example, equatorial diameter (2a) and polar diameter (2b). For the WGS84 ellipsoid, that’s respectively:

• 2a = 12,756.2740 km (7,926.3812 mi),
• 2b = 12,713.5046 km (7,899.8055 mi).

Earth’s circumference equals the perimeter length. The equatorial circumference is simply the circle perimeter: C_e=2πa, in terms of the equatorial radius, a. The polar circumference equals C_p=4m_p, four times the quarter meridian m_p=aE(e), where the polar radius b enters via the eccentricity, e=(1−b²/a²)^0.5; see Ellipse#Circumference for details.

Arc length of more general surface curves, such as meridian arcs and geodesics, can also be derived from Earth’s equatorial and polar radii.

Likewise for surface area, either based on a map projection or a geodesic polygon.

Earth’s volume, or that of the reference ellipsoid, is V = 4/3πa²b. Using the parameters from WGS84 ellipsoid of revolution, a = 6,378.137 km and b = 6356.7523142 km, V = 1.08321×10¹² km³ (2.5988×10¹¹ cu mi).^[19]

Published values[edit]

This table summarizes the accepted values of the Earth’s radius.

Agency	Description	Value (in meters)	Ref
IAU	nominal “zero tide” equatorial	6378100	[1]
IAU	nominal “zero tide” polar	6356800	[1]
IUGG	equatorial radius	6378137	[2]
IUGG	semiminor axis (b)	6356752.3141	[2]
IUGG	polar radius of curvature (c)	6399593.6259	[2]
IUGG	mean radius (R1)	6371008.7714	[2]
IUGG	radius of sphere of same surface (R2)	6371007.1810	[2]
IUGG	radius of sphere of same volume (R3)	6371000.7900	[2]
IERS	WGS-84 ellipsoid, semi-major axis (a)	6378137.0	[6]
IERS	WGS-84 ellipsoid, semi-minor axis (b)	6356752.3142	[6]
IERS	WGS-84 ellipsoid, polar radius of curvature (c)	6399593.6258	[6]
IERS	WGS-84 ellipsoid, Mean radius of semi-axes (R1)	6371008.7714	[6]
IERS	WGS-84 ellipsoid, Radius of Sphere of Equal Area (R2)	6371007.1809	[6]
IERS	WGS-84 ellipsoid, Radius of Sphere of Equal Volume (R3)	6371000.7900	[6]
	GRS 80 semi-major axis (a)	6378137.0
	GRS 80 semi-minor axis (b)	≈6356752.314140
	Spherical Earth Approx. of Radius (RE)	6366707.0195	[20]
	meridional radius of curvature at the equator	6335439
	Maximum (the summit of Chimborazo)	6384400	[17]
	Minimum (the floor of the Arctic Ocean)	6352800	[17]
	Average distance from center to surface	6371230±10	[18]

History[edit]

The first published reference to the Earth’s size appeared around 350 BC, when Aristotle reported in his book On the Heavens^[21] that mathematicians had guessed the circumference of the Earth to be 400,000 stadia. Scholars have interpreted Aristotle’s figure to be anywhere from highly accurate^[22] to almost double the true value.^[23] The first known scientific measurement and calculation of the circumference of the Earth was performed by Eratosthenes in about 240 BC. Estimates of the accuracy of Eratosthenes’s measurement range from 0.5% to 17%.^[24] For both Aristotle and Eratosthenes, uncertainty in the accuracy of their estimates is due to modern uncertainty over which stadion length they meant.

Around 100 BC, Posidonius of Apamea recomputed Earth’s radius, and found it to be close to that by Eratosthenes,^[25] but later Strabo incorrectly attributed him a value about 3/4 of the actual size.^[26] Claudius Ptolemy around 150 AD gave empirical evidence supporting a spherical Earth,^[27] but he accepted the lesser value attributed to Posidonius. His highly influential work, the Almagest,^[28] left no doubt among medieval scholars that Earth is spherical, but they were wrong about its size.

By 1490, Christopher Colombus believed that traveling 3,000 miles west from the west coast of the Iberian peninsula would let him reach the eastern coasts of Asia.^[29] However, the 1492 enactment of that voyage brought his fleet to the Americas. The Magellan expedition (1519–1522), which was the first circumnavigation of the World, soundly demonstrated the sphericity of the Earth,^[30] and affirmed the original measurement of 40,000 km (25,000 mi) by Eratosthenes.

Around 1690, Isaac Newton and Christiaan Huygens argued that Earth was closer to an oblate spheroid than to a sphere. However, around 1730, Jacques Cassini argued for a prolate spheroid instead, due to different interpretations of the Newtonian mechanics involved.^[31] To settle the matter, the French Geodesic Mission (1735–1739) measured one degree of latitude at two locations, one near the Arctic Circle and the other near the equator. The expedition found that Newton’s conjecture was correct:^[32] the Earth is flattened at the poles due to rotation’s centrifugal force.

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

• Merrifield, Michael R. (2010). “ The Earth’s Radius (and exoplanets)”. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.

Земля представляет собой шар с радиусом 6 371 км, а если умножить это значение на 2, то диаметр составит 12 742 км. Эти значения, однако, рассматривают планету как идеальную сферу, игнорируя вариации рельефа.

Дело в том, что на самом деле земной шар слегка приплюснут у полюсов — похож на апельсин. Это сплющивание едва заметно: разница в диаметрах, измеренных в направлении экватора и с севера на юг, составляет всего 40 км.

Человечество знает об этих измерениях уже более двух тысяч лет, благодаря расчетам, сделанным математиком Эратосфеном, родившимся в Киринее, ныне Ливия. Современные спутники показывают, что ученый ошибся в значении окружности — формула которой в 2π раз больше радиуса — всего на 500 км, что впечатляет, учитывая ограничения того времени.

Чтобы получить представление о размерах планеты, мы можем сравнить расстояние до центра Земли с расстояниями на поверхности. Радиус Земли в 6 371 км эквивалентен.

Каков радиус земли

Радиус Земли различается в зависимости от того, какую ее часть мы измеряем, по этой причине существует три основных радиуса :

• Экваториальный радиус 6 378,1 км
• Радио Полярный 6 356,8 км
• Средний радиус 6 371,0 км

Чтобы понять это немного больше, мы также должны знать, что такое радиус и что он представляет.

А как насчет радиуса других планет?

Земля и так огромна, ее радиус составляет чуть более 6 000 км, но другие измерения в Солнечной системе еще больше. Радиус Урана (25 362 км) в четыре раза больше, а радиус Сатурна в девять раз больше земного (58 232 км). Юпитер, самая большая планета в нашей системе, имеет радиус почти 70 000 км — в 11 раз больше земного.

Однако наша планета опережает по размерам Венеру, Марс и Меркурий. Радиус Венеры всего на 300 км меньше (6 052 км), радиус Марса составляет почти половину (3 390 км) от нашего, а радиус Меркурия — около трети (2 440 км). Радиус карликовой планеты Плутон составляет около 1/5 радиуса Земли.

Как измеряется радиус?

В идеальном круге радиус измеряется очень простым способом. Из центра круга берут линейку и измеряют расстояние до края круга. Это расстояние называется радиусом.

В сфере, трехмерном объекте, таком как мрамор, расчет в основном такой же, берется центр сферы и измеряется одна из сторон.

Поскольку планета Земля не является идеальной сферой, она имеет несколько радиусов разной длины, поэтому у нас есть экваториальный радиус, полярный радиус и средний, так как в зависимости от того, куда мы «повернем» линейку, мы будем иметь разные расстояние.

Какая разница в процентах между экваториальным радиусом Земли и полярным радиусом?

Теоретическое предсказание Ньютона предполагало такую разницу в 26 км. Современные измерения показывают, что разница между экваториальным радиусом и полярным радиусом составляет 21,4 км. Такая разница составляет лишь одну часть в 300 от экваториального радиуса Земли (или полярного радиуса).

Как рассчитать кривизну?

Радиус кривизны в данной точке кривой — это, грубо говоря, радиус окружности, которая лучше всего подходит к кривой в этой точке. Кривизна, обозначаемая κ, — это единица, деленная на радиус кривизны.

Какова кривизна Земли?

На реальной Земле угол β мал (почти равен нулю) при высоте h в несколько метров. Для высоты в тысячу метров (1 км) угол составляет всего один градус.

Радиус Земли
Иллюстрация Земли 13-го века в De sphaera mundi.
Общая информация
Система единиц	астрономия, геофизика
Единица измерения	расстояния
Символ	R⊕или RE { displaystyle R_ {E}}, R e EN { displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {eE}} ^ { mathrm {N}}}
Конверсии
1 R⊕в…	… равно…
Базовая единица СИ	6,3781 × 10 м
Метрическая система	от 6,357 до 6378 км
Английские единицы	от 3950 до 3963 миль

Радиус Земли – это расстояние от от центра Земли до точки на ее поверхности. Его значение колеблется от 6378 км (3963 миль) на экваторе до 6357 км (3950 миль) на полюсе. Номинальный радиус Земли иногда используется в качестве единицы измерения в астрономии и геофизике, обозначается в астрономии символом R⊕. В других контекстах он обозначается RE { displaystyle R_ {E}}или иногда R e EN { displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {eE}. } ^ { mathrm {N}}}.

Земля – ​​не идеальная сфера, а примерно сплюснутый сфероид (эллипс, вращающийся вокруг своей малой оси) с большим радиусом на экваторе, чем на полюсах. Когда указан только один радиус, Международный астрономический союз (IAU) предпочитает, чтобы это был экваториальный радиус. Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) рекомендует три значения: среднее арифметическое радиусов, измеренных на экваторе и полюсах (R 1); аутентичный радиус, который представляет собой радиус сферы с той же площадью поверхности (R 2); и объемный радиус, который представляет собой радиус сферы, имеющей такой же объем, что и эллипсоид (R 3). Все три значения составляют около 6371 км (3959 миль).

Есть много других способов определить и измерить радиус Земли. Некоторые указаны ниже. Некоторые определения дают значения за пределами диапазона между полярным радиусом и экваториальным радиусом, потому что они включают локальную или геоидальную топологию или потому, что они зависят от абстрактных геометрических соображений.

Содержание

• 1 Введение
  • 1.1 Физика деформации Земли
  • 1.2 Радиус и местные условия
• 2 Фиксированный радиус
  • 2.1 Экваториальный радиус
  • 2.2 Полярный радиус
• 3 В зависимости от местоположения радиусы
  • 3.1 Геоцентрический радиус
    • 3.1.1 Геофизические экстремумы
  • 3.2 Радиусы кривизны
    • 3.2.1 Основные сечения
      • 3.2.1.1 Меридиональный
      • 3.2.1.2 Первичный вертикальный
      • 3.2. 1.3 Частные значения
    • 3.2.2 Направленный
    • 3.2.3 Комбинации
• 4 Глобальные средние радиусы
  • 4.1 Средний радиус
  • 4.2 Аутальный радиус
  • 4.3 Объемный радиус
  • 4.4 Радиус выпрямления
  • 4.5 Средняя кривизна
  • 4.6 Среднее расстояние от центра до поверхности
• 5 Оскулирующая сфера
• 6 Опубликованные значения
• 7 История
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Введение

Масштабная диаграмма сжатия эталонного эллипсоида 2003 года IERS с севером вверху. Голубая область представляет собой круг. Внешний край темно-синей линии представляет собой эллипс с той же малой осью, что и окружность, и тем же эксцентриситетом, что и Земля. Красная линия представляет линию Кармана на 100 км (62 мили) над уровнем моря, а желтая область обозначает диапазон высот для МКС на низкой околоземной орбите.

Вращение Земли, вариации внутренней плотности и внешние приливные силы приводят к систематическому отклонению ее формы от идеальной сферы. Локальная топография увеличивает дисперсию, в результате чего поверхность становится очень сложной. Наши описания земной поверхности должны быть проще, чем реальность, чтобы их можно было подобрать. Таким образом, мы создаем модели, приближающие характеристики поверхности Земли, обычно полагаясь на простейшую модель, которая соответствует потребностям.

Каждая из широко используемых моделей включает в себя некоторое понятие геометрического радиуса. Строго говоря, сферы – единственные твердые тела, у которых есть радиус, но более широкое употребление термина радиус распространено во многих областях, в том числе связанных с моделями Земли. Ниже приводится частичный список моделей земной поверхности, отсортированных от точного к более приблизительному:

• Фактическая поверхность Земли
• геоид, определяемый средним уровнем моря. в каждой точке реальной поверхности
• A сфероид, также называемый эллипсоидом вращения, геоцентрическим для моделирования всей Земли или геодезическим для региональных работ
• A сфера

В случае геоида и эллипсоидов фиксированное расстояние от любой точки модели до указанного центра называется «радиусом Земли» или «радиусом Земля в этой точке ». Также принято называть любой средний радиус сферической модели «радиусом Земли». С другой стороны, при рассмотрении реальной поверхности Земли упоминание «радиуса» редко, поскольку в этом, как правило, нет практической необходимости. Скорее, полезно иметь высоту выше или ниже уровня моря.

Независимо от модели, любой радиус находится между полярным минимумом около 6 357 км и экваториальным максимумом около 6 378 км (от 3 950 до 3 963 миль). Следовательно, Земля отклоняется от идеальной сферы всего на треть процента, что поддерживает сферическую модель в большинстве контекстов и оправдывает термин «радиус Земли». Хотя конкретные значения различаются, концепции в этой статье распространяются на любую крупную планету.

Физика деформации Земли

Вращение планеты приводит к тому, что она приближается к сплющенному эллипсоиду / сфероиду. с выпуклостью на экваторе и уплощением на Северном и Южном полюсах, так что экваториальный радиус a больше полярного радиуса b примерно на aq. Константа сжатия q задается формулой

q = a 3 ω 2 GM, { displaystyle q = { frac {a ^ {3} omega ^ {2}} {GM}} ,,}

где ω – угловая частота, G – гравитационная постоянная, а M – масса планеты. Для Земли 1 / q ≈ 289, что близко к измеренному обратному сплющиванию 1 / f ≈ 298,257. Вдобавок выпуклость на экваторе медленно меняется. Выпуклость уменьшалась, но с 1998 года выпуклость увеличилась, возможно, из-за перераспределения массы океана посредством течений.

Изменение плотности и толщины коры вызывает изменение силы тяжести по поверхности и во времени, так что средний уровень моря отличается от эллипсоида. Эта разница составляет высоту геоида, положительную выше или вне эллипсоида, отрицательную ниже или внутри. Изменение высоты геоида составляет менее 110 м (360 футов) на Земле. Высота геоида может резко измениться из-за землетрясений (например, Суматра-Андаманское землетрясение ) или уменьшения ледяных масс (например, Гренландия ).

Не все деформации происходят внутри Земли. Гравитационное притяжение от Луна или Солнце могут вызвать изменение поверхности Земли в данной точке на десятые доли метра в течение почти 12-часового периода (см. Земной прилив ).

Радиус и местные условия

Метод Аль-Бируни (973–1048) для расчета радиуса Земли упростил измерение окружности по сравнению с измерениями в двух местах, удаленных друг от друга.

Учитывая местные и временные влияния на высоту поверхности, значения, определенные ниже, основаны на модели «общее назначение», уточнены в глобальном масштабе точно, насколько это возможно в пределах 5 м (16 футов) от опорного эллипсоида высоты, и в пределах 100 м (330 футов) от среднего уровня моря (если пренебречь геоид высоты).

Кроме того, радиус можно оценить по кривизне Земли в точке po внутр. Подобно тору , кривизна в точке будет наибольшей (самой узкой) в одном направлении (север-юг на Земле) и наименьшей (самой плоской) перпендикулярно (восток-запад). Соответствующий радиус кривизны зависит от местоположения и направления измерения от этой точки. Следствием этого является то, что расстояние до истинного горизонта на экваторе немного короче в направлении север / юг, чем в направлении восток-запад.

Таким образом, местные вариации ландшафта не позволяют определить единственный «точный» радиус. Можно только принять идеализированную модель. Со времени оценки Эратосфена было создано множество моделей. Исторически эти модели были основаны на региональной топографии, давая наилучший опорный эллипсоид для исследуемой области. По мере того как спутниковое дистанционное зондирование и особенно Глобальная система определения местоположения приобрели важность, были разработаны настоящие глобальные модели, которые, хотя и не столь точны для региональных исследований, но лучше всего соответствуют Земле в целом.

Фиксированный радиус

Следующие радиусы получены из стандартного эллипсоида Всемирной геодезической системы 1984 (WGS-84 ). Стандартный эллипсоид представляет собой идеализированную поверхность, и измерения Земли, используемые для ее расчета, имеют погрешность ± 2 м. как в экваториальном, так и в полярном измерениях. Дополнительные расхождения, вызванные орографическими вариациями в определенных местах, могут быть значительными. При определении положения наблюдаемого местоположения использование более точных значений для радиусов WGS-84 может не привести к соответствующему повышению точности .

Значение для экваториального радиуса определено с точностью до 0,1 м в WGS- 84. Значение полярного радиуса в этом разделе было округлено до ближайших 0,1 м, что, как ожидается, будет подходящим для большинства применений. Обратитесь к эллипсоиду WGS-84, если требуется более точное значение его полярного радиуса.

Обозначение указанного радиуса используется в формулах, приведенных в этой статье.

Экваториальный радиус

Экваториальный радиус Земли a или большая полуось – это расстояние от ее центра до экватора, равное 6,378,1370 км (3,963,1906 миль). Экваториальный радиус часто используется для сравнения Земли с другими планетами.

Полярный радиус

Полярный радиус Земли b или малая полуось – это расстояние от ее центра. к Северному и Южному полюсам и составляет 6 356,7523 км (3 949 9028 миль).

Радиусы, зависящие от местоположения

Геоцентрический радиус

Расстояние от центра Земли до точки на поверхности сфероида на геодезической широте φ составляет:

R (φ) знак равно (a 2 соз ⁡ φ) 2 + (b 2 грех ⁡ φ) 2 (a соз ⁡ φ) 2 + (b грех ⁡ φ) 2 { Displaystyle R ( varphi) = { sqrt { frac {( a ^ {2} cos varphi) ^ {2} + (b ^ {2} sin varphi) ^ {2}} {(a cos varphi) ^ {2} + (b sin varphi) ^ {2}}}}}

где a и b – соответственно экваториальный радиус и полярный радиус.

Геофизические экстремумы

• Максимум: Вершина Чимборасо находится в 6 384,4 км (3 967,1 мили) от центра Земли.
• Минимум: Пол Северный Ледовитый океан находится примерно в 6352,8 км (3947,4 мили) от центра Земли.

Радиусы кривизны

Основные секции

Есть два основных радиуса кривизна : вдоль меридионального и прямолинейно-вертикального нормальных участков. Кривизны являются корнями уравнения (125) в:

(EG – F 2) κ 2 – (e G + g E – 2 f F) κ + (eg – f 2) = 0 = det (A – κ В), { Displaystyle (EG-F ^ {2}) , kappa ^ {2} – (eG + gE-2fF) , kappa + (eg-f ^ {2}) = 0 = det (A- kappa , B),}

где в первой фундаментальной форме для поверхности (Уравнение (112) in):

ds 2 = ∑ ijaijdwidwj = E d φ 2 + 2 F d φ d λ + G d λ 2, { displaystyle ds ^ {2} = sum _ {ij} a_ {ij} dw ^ {i} dw ^ {j} = E , d varphi ^ {2} + 2F , d varphi , d lambda + G , d lambda ^ {2},}

E, F и G являются элементами метрического тензора :

A = aij = ∑ ν ∂ р ν ∂ wi ∂ r ν ∂ wj = [EFFG], { displaystyle A = a_ {ij} = sum _ { nu} { frac { partial r ^ { nu} } { partial w ^ {i}}} { frac { partial r ^ { nu}} { partial w ^ {j}}} = left [{ begin {array} {ll} EF \ FG end {array}} right],}

r = [r 1, r 2, r 3] T = [x, y, z] T { displaystyle r = [r ^ {1}, r ^ {2}, г ^ {3}] ^ {T} = [x, y, z] ^ {T}}, вес 1 = φ { displaystyle w ^ {1} = varphi}, вес 2 знак равно λ, { displaystyle w ^ {2} = lambda,}

в вторая фундаментальная форма для поверхности (Уравнение (123) in):

2 D = ∑ ijbijdwidwj = ed φ 2 + 2 fd φ d λ + gd λ 2, { displaystyle 2D = сумма _ {ij} b_ {ij} dw ^ {i} dw ^ {j} = e , d varphi ^ {2} + 2f , d varphi , d lambda + g , d lambda ^ {2},}

e, f и g – элементы тензора формы:

B = bij = ∑ ν n ν ∂ 2 r ν ∂ wi ∂ wj = [effg], { displaystyle B = b_ {ij} = sum _ { nu} n ^ { nu} { frac { partial ^ {2} r ^ { nu}} { partial w ^ {i} partial w ^ {j} }} = left [{ begin {array} {ll} e f \ f g end {array}} right],}

n = N | N | { displaystyle n = { frac {N} {| N |}}}– единица измерения, нормальная к поверхности в точке r { displaystyle r}, и потому ∂ р ∂ φ { displaystyle { frac { partial r} { partial varphi}}}и ∂ r ∂ λ { displaystyle { frac { partial r } { partial lambda}}}являются касательными к поверхности,

N = ∂ r ∂ φ × ∂ r ∂ λ { displaystyle N = { frac { partial r} { partial varphi}} times { frac { partial r} { partial lambda}}}

нормально к поверхности в r { displaystyle r}.

с F = f = 0 { displaystyle F = f = 0}для сплющенного сфероида, кривизна равна

κ 1 = g G { displaystyle kappa _ {1} = { frac {g} {G}}}и κ 2 = e E, { displaystyle kappa _ {2} = { frac {e} {E}} ,,}

и радиусы кривизны равны

R 1 = 1 κ 1 { displaystyle R_ {1} = { frac {1} { kappa _ {1}}}}и R 2 = 1 κ 2. { displaystyle R_ {2} = { frac {1} { kappa _ {2}}}.}

Геометрически вторая фундаментальная форма дает расстояние от r + dr { displaystyle r + dr }к касательной плоскости в r { displaystyle r}.

меридиональном

В частности, радиус кривизны Земли в меридиане (север-юг) при φ:

M (φ) = R 1 = (ab) 2 ((a cos ⁡ φ) 2 + (b sin ⁡ φ) 2) 3 2 = a (1 – e 2) ( 1 – e 2 sin 2 ⁡ φ) 3 2 = 1 – e 2 a 2 N (φ) 3. { Displaystyle M ( varphi) = R_ {1} = { frac {(ab) ^ {2}} {{ big (} (a cos varphi) ^ {2} + (b sin varphi)) ^ {2} { big)} ^ { frac {3} {2}}}} = { frac {a (1-e ^ {2})} {(1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi) ^ { frac {3} {2}}}} = { frac {1-e ^ {2}} {a ^ {2}}} N ( varphi) ^ {3} ,.}

где e { displaystyle e}– эксцентриситет земли. Это радиус, который измерил Эратосфен.

Прямая вертикаль

Если одна точка появилась точно к востоку от другой, можно найти приблизительную кривизну в направлении восток-запад.

Этот радиус кривизны в простое вертикальное, перпендикулярное (нормальное или ортогональное ) к M на геодезической широте φ:

N (φ) = R 2 = a 2 (a cos ⁡ φ) 2 + (b sin ⁡ φ) 2 знак равно a 1 – e 2 sin 2 φ. { displaystyle N ( varphi) = R_ {2} = { frac {a ^ {2}} { sqrt {(a cos varphi) ^ {2} + (b sin varphi) ^ {2 }}}} = { frac {a} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi}}} ,.}

Этот радиус также называется поперечным радиус кривизны . На экваторе N = R. Б. Р. Боуринг дает геометрическое доказательство того, что это перпендикулярное расстояние от поверхности до полярной оси.

Три разных радиуса в зависимости от широты Земли. R – геоцентрический радиус; M – меридиональный радиус кривизны; и N – простой вертикальный радиус кривизны.

Конкретные значения

Меридиональный радиус кривизны Земли на экваторе равен меридиану полу-широте прямой кишки :

b / a = 6,335,439 км

Полярный радиус кривизны Земли равен:

a / b = 6,399,594 км

Направленный

Радиус кривизны Земли вдоль курса с азимутом (измеряется по часовой стрелке от север) α в точке φ выводится из формулы кривизны Эйлера следующим образом:

R c = 1 cos 2 ⁡ α M + sin 2 ⁡ α N. { displaystyle R _ { mathrm {c}} = { frac {1} {{ dfrac { cos ^ {2} alpha} {M}} + { dfrac { sin ^ {2} alpha} {N}}}} ,.}

Комбинации

Можно комбинировать указанные выше главные радиусы кривизны ненаправленным образом.

Кривизна по Гауссу составляет K = κ 1 κ 2 = det B det A { displaystyle K = kappa _ {1} , kappa _ {2} = { frac { det , B} { det , A}}}. Гауссов радиус кривизны Земли на широте φ равен:

R a (φ) = 1 K = 1 2 π ∫ 0 2 π R c (α) d α = MN = a 2 b ( а соз ⁡ φ) 2 + (b sin ⁡ φ) 2 знак равно а 1 – е 2 1 – е 2 грех 2 ⁡ φ. { displaystyle R _ { mathrm {a}} ( varphi) = { frac {1} { sqrt {K}}} = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} R _ { mathrm {c}} ( alpha) , d alpha , = { sqrt {MN}} = { frac {a ^ {2} b} {(a cos varphi) ^ {2} + (b sin varphi) ^ {2}}} = { frac {a { sqrt {1-e ^ {2}}}} {1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi}} ,.}

средний радиус кривизны Земли на широте φ равен:

R m = 2 1 M + 1 N { displaystyle R _ { mathrm {m}} = { frac {2} {{ dfrac {1} {M}} + { dfrac {1} {N}}}} , !}

Глобальные средние радиусы

Землю можно смоделировать как сферу во многих отношениях. В этом разделе описаны распространенные способы. Для различных радиусов, полученных здесь, используются обозначения и размеры, указанные выше для Земли, полученные из эллипсоида WGS-84 ; а именно,

a = Экваториальный радиус (6378,1370 км)

b = Полярный радиус (6356,7523 км)

Сфера является грубым приближением сфероида, который сам является приближением геоида, единиц здесь даны в километрах, а не в миллиметрах, подходящих для геодезии.

Средний радиус

Экваториальный (a), полярный (b) и средний радиус Земли, как определено в редакции Всемирной геодезической системы 1984 г. (без масштабирования)

В геофизике, Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) определяет средний радиус (обозначенный R 1) как

R 1 = 2 a + b 3 { displaystyle R_ {1 } = { frac {2a + b} {3}} , !}

Для Земли средний радиус составляет 6 371,0088 км (3 958,7613 миль).

В астрономии Международный Astronomical Union обозначает номинальный экваториальный радиус Земли как R e EN { displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {eE}} ^ { mathrm {N}}}, который определен как 6 378,1 км (3 963,2 мили). Номинальный полярный радиус Земли определяется как R p EN { displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {pE}} ^ { mathrm {N}}}= 6 356,8 км. (3,949,9 миль). Эти значения соответствуют радиусам нулевого прилива. Экваториальный радиус обычно используется в качестве номинального значения, если полярный радиус не требуется явно.

Аутальный радиус

Ауталический радиус («равная площадь») Земли – это радиус гипотетической идеальной сферы, которая имеет та же площадь поверхности, как ссылка эллипсоида. IUGG обозначает аутентичный радиус как R 2.

. Решение в замкнутой форме существует для сфероида:

R 2 = a 2 + b 2 e ln ⁡ (1 + eb / a) 2 = a 2 2 + b 2 2 tanh – 1 ⁡ ee = A 4 ​​π, { displaystyle R_ {2} = { sqrt { frac {a ^ {2} + { frac {b ^ {2}} {e }} ln { left ({ frac {1 + e} {b / a}} right)}} {2}}} = { sqrt {{ frac {a ^ {2}} {2} } + { frac {b ^ {2}} {2}} { frac { tanh ^ {- 1} e} {e}}}} = { sqrt { frac {A} {4 pi} }} ,,}

где e = a – b / a, а A – площадь поверхности сфероида.

Для Земли автоматический радиус составляет 6 371,0072 км (3 958,7603 миль).

Объемный радиус

Другая сферическая модель определяется объемным радиусом, который является радиусом сфера объемом, равным эллипсоиду. IUGG обозначает объемный радиус как R 3.

R 3 = a 2 b 3. { displaystyle R_ {3} = { sqrt [{3}] {a ^ {2} b}} ,.}

Для Земли объемный радиус равен 6 371 0008 км (3 958,7564 мили).

Радиус выпрямления

Другой средний радиус – это радиус выпрямления, дающий сферу с окружностью, равной периметру эллипса, описываемому любым полярным поперечным сечением эллипсоида. Для этого требуется эллиптический интеграл, чтобы найти с учетом полярного и экваториального радиусов:

M r = 2 π ∫ 0 π 2 a 2 cos 2 ⁡ φ + b 2 sin 2 ⁡ φ d φ. { displaystyle M _ { mathrm {r}} = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { sqrt {{a ^ {2 }} cos ^ {2} varphi + {b ^ {2}} sin ^ {2} varphi}} , d varphi ,.}

Радиус выпрямления эквивалентен среднему меридиональному значению, которое определяется как среднее значение M:

M r = 2 π ∫ 0 π 2 M (φ) d φ. { displaystyle M _ { mathrm {r}} = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ! M ( varphi) , d varphi ,.}

Для пределов интегрирования [0, π / 2] интегралы для радиуса выпрямления и среднего радиуса дают один и тот же результат, который для Земли составляет 6 367,4491 км (3 956,5494 миль).

Среднее меридиональное значение хорошо аппроксимируется средним полукубическим значением двух осей,

M r ≈ (a 3 2 + b 3 2 2) 2 3, { displaystyle M _ { mathrm {r} } приблизительно left ({ frac {a ^ { frac {3} {2}} + b ^ { frac {3} {2}}} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} ,,}

, который отличается от точного результата менее чем на 1 мкм (4 × 10 дюймов); среднее значение двух осей,

M r ≈ a + b 2, { displaystyle M _ { mathrm {r}} приблизительно { frac {a + b} {2}} ,,}

около 6367,445 км (3956,547 миль), также можно использовать.

Средняя кривизна

Средняя кривизна во всех направлениях во всех точках поверхности определяется средневзвешенной гауссовой кривизной:

R 4 = 1 2 ∫ – π 2 π 2 cos ⁡ φ R a (φ) d φ знак равно a 2 1 e 2 – 1 ln ⁡ 1 + е 1 – е. { displaystyle R_ {4} = { frac {1} {2}} int _ {- { frac { pi} {2}}} ^ { frac { pi} {2}} ! cos varphi , R _ { mathrm {a}} ( varphi) , d varphi = { frac {a} {2}} , { sqrt {{ frac {1} {e ^ {2 }}} – 1}} , ln { frac {1 + e} {1-e}}.}

Для эллипсоида WGS 84 средняя кривизна равна 6 370,994 км (3 958,752 миль).

Среднее расстояние от центра к поверхности

Большинство глобальных средние радиусы основаны на эллипсоида, который аппроксимирует геоид. Однако геоид не имеет прямого отношения к топографии поверхности. Альтернативный расчет усредняет высоту повсюду, в результате чего средний радиус на 230 м больше, чем средний радиус IUGG, автономный радиус или объемный радиус. Это среднее значение составляет 6371,230 км (3958,899 миль) с погрешностью 10 м (33 фута).

Оскулирующая сфера

Лучшее локальное сферическое приближение эллипсоида в окрестности данной точки – это соприкасающаяся сфера. Его радиус равен гауссову радиусу кривизны, как указано выше, а его радиальное направление совпадает с нормальным направлением эллипсоида . Центр соприкасающейся сферы смещен от центра эллипсоида, но находится в центре кривизны для данной точки на поверхности эллипсоида. Эта концепция помогает интерпретировать измерения земных и планетарных радиозатменных элементов рефракции, а также в некоторых приложениях для навигации и наблюдения.

Опубликованные значения

В этой таблице обобщены принятые значения радиуса Земли.

Агентство	Описание	Значение (в метрах)	Ref
IAU	номинальный «нулевой прилив», экваториальный	6378100
IAU	номинальный “нулевой прилив” полярный	6356800
IUGG	экваториальный радиус	6378137
IUGG	малая полуось (b)	6356752.3141
IUGG	полярный радиус кривизны (c)	6399593.6259
IUGG	средний радиус (R 1)	6371008.7714
IUGG	радиус сферы той же поверхности (R 2)	6371007.1810
IUGG	радиус сферы того же объема (R 3)	6371000.7900
IERS	WGS-84 эллипсоид, большая полуось (а)	6378137.0
IERS	эллипсоид WGS-84, малая полуось (b)	6356752.3142
IERS	квадрат первого эксцентриситета WGS-84 (e)	0,00669437999014
IERS	эллипсоид WGS-84, полярный радиус кривизны (c)	6399593,6258
IERS	эллипсоид WGS-84, средний радиус полуосей (R 1)	6371008.7714
IERS	эллипсоид WGS-84, радиус сферы равных размеров a (R 2)	6371007.1809
IERS	эллипсоид WGS-84, радиус сферы равного объема (R 3)	6371000.7900
	GRS 80 большая полуось (a)	6378137.0
	GRS 80 Малая полуось (b)	≈6356752.314140
	Сферическая Земля Прибл. радиуса (R E)	6366707.0195
	меридиональный радиус кривизны на экваторе	6335439
	Максимум (вершина Чимборасо)	6384400
	Минимум (пол Северный Ледовитый океан)	6352800
	Среднее расстояние от центра до поверхности	6371230 ± 10

История

Первое опубликованное упоминание о размере Земли появилось около 350 г. До н.э., когда Аристотель сообщил в своей книге На небесах, что математики предположили, что окружность Земли составляет 400000 стадий. Ученые интерпретировали цифру Аристотеля как от очень точного до почти двойного истинного значения. Первое известное научное измерение и расчет длины окружности Земли было выполнено Эратосфеном примерно в 240 г. до н.э. Оценка точности диапазона измерений Эратосфена от 0,5% до 17%. И для Аристотеля, и для Эратосфена неопределенность в точности их оценок связана с современной неопределенностью какую длину стадиона они имели в виду.

См. Также

• Окружность Земли
• Масса Земли
• Эффективный радиус Земли
• Геодезия
• Географическое расстояние
• История геодезии
• Шаблон: Радиус Земли

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

• Меррифилд, Майкл Р. (2010). “R ⊕ { displaystyle R _ { oplus}}Радиус Земли (и экзопланет)”. Шестьдесят символов. Брэди Харан для Ноттингемского университета.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #