Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус вписанной в треугольник окружности
рассчитать и выразить через периметр, площадь,
высоту, основание, стороны, диаметр. Формулы
радиуса окружности вписанной в треугольник.
Центр вписанной в треугольник окружности — это одна
из замечательных точек треугольника, она расположена
в точке пересечения биссектрис треугольника, её
иногда называют инцентром.
Центр вписанной окружности правильного треугольника — это
точка, где пересекаются высоты, медианы и биссектрисы.
В любой треугольник можно вписать только одну
окружность, которая находится внутри треугольника.
Центр вписанной окружности равноудален от всех
сторон треугольника. Точка, где окружность пересекается
со стороной треугольника, называется точкой касания.
Все отрезки, которые проведены от точки касания к центру
вписанной окружности имеют одинаковую длину.
Чтобы найти радиус окружности вписанной в треугольник
надо площадь разделить на полупериметр.
Диаметр вписанной окружности в треугольник численно
равен двум радиусам вписанной окружности. Радиус
вписанной окружности можно найти по разным
формулам, все зависит от того, какой треугольник.
Всего различают четыре вида треугольников:
- Разносторонний / любой
- Правильный / равносторонний
- Равнобедренный / равнобочный
- Прямоугольный / прямой
Радиус вписанной окружности в любой треугольник
- Радиус вписанной окружности в любой треугольник через площадь и полупериметр
S — площадь; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через все стороны и полупериметр
a, b, c — стороны; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через основание, высоту и полупериметр
a — основание, сторона на которую падает высота; h — высота; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через диаметр вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник
- Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через сторону
a — сторона;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через радиус описанной окружности
R — радиус описанной окружности;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через диаметр вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
- Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через боковые стороны и основание
a — боковая сторона; b — основание;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через высоту и основание
b — основание; h — высота;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через диаметр вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
- Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через два катета и гипотенузу
a, b — катеты; с — гипотенуза.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через гипотенузу и два катета
c — гипотенуза; a, b — катеты;
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через диаметр вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности;
Вписанная окружность в треугольник — это окружность,
которая вписана в треугольник и касается всех его сторон.
Радиус вписанной окружности в треугольник — это отрезок,
проведенный от центра вписанной окружности до любой стороны.
Длина радиуса вписанной окружности, диаметра
вписанной окружности а также других величин
измеряется в мм, см, м, км и так далее.
В любом треугольнике все радиусы и диаметры
равны, имеют одинаковую длину.
Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.
где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:
где a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
a , b , c – стороны треугольника
p – полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a – сторона треугольника
r – радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a – равные стороны равнобедренного треугольника
b – сторона ( основание)
α – угол при основании
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a – равные стороны равнобедренного треугольника
b – сторона ( основание)
h – высота
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
[spoiler title=”источники:”]
http://www-formula.ru/2011-09-24-00-40-48
[/spoiler]
Как найти радиус окружности, описанной около треугольника
Очень часто при решении геометрических задач приходится совершать действия со вспомогательными фигурами. Например, находить радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Данная статья покажет, как находить радиус окружности, описанной около треугольника. Или, иными словами, радиус окружности, в которую вписан треугольник.
1
Как найти радиус окружности, описанной около треугольника – общая формула
Общая формула выглядит следующим образом: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), где R – радиус описанной окружности, p – периметр треугольника поделенный на 2 (полупериметр). a, b, c – стороны треугольника.
Пример:
Найти радиус описанной окружности треугольника, если a = 3, b = 6, c = 7.
Таким образом, исходя из вышеприведенной формулы, вычисляем полупериметр:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.
Подставляем значения в формулу и получаем:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16√5.
Ответ: R = 126/16√5
2
Как найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника
Для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, существует довольно простая формула: R = a/√3, где a – величина его стороны.
Пример: Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найти радиус описанной окружности.
Решение:
Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, для решения задачи нужно всего лишь вписать ее значение в формулу. Получим: R = 5/√3.
Ответ: R = 5/√3.
3
Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
Формула выглядит следующим образом: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, где a и b – катеты и c – гипотенуза. Если сложить квадраты катетов в прямоугольном треугольнике, то получим квадрат гипотенузы. Как видно из формулы, данное выражение находится под корнем. Вычислив корень из квадрата гипотенузы, мы получим саму длину. Умножение получившегося выражения на 1/2 в итоге приводит нас к выражению 1/2 × c = c/2.
Пример: Вычислить радиус описанной окружности, если катеты треугольника равны 3 и 4. Подставим значения в формулу. Получим: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.
В данном выражение 5 – длина гипотенузы.
Ответ: R = 2.5.
4
Как найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника
Формула выглядит следующим образом: R = a²/√(4a² – b²), где a – длина бедра треугольника и b – длина основания.
Пример: Вычислить радиус окружности, если его бедро = 7, а основание = 8.
Решение: Подставляем в формулу данные значения и получаем: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).
R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Ответ можно записать прямо так.
Ответ: R = 49/√132
5
Онлайн ресурсы для вычисления радиуса окружности
Можно очень легко запутаться во всех этих формулах. Поэтому при необходимости можно воспользоваться онлайн калькуляторами, которые помогут вам в решении задач на нахождение радиуса. Принцип работы таких мини-программ очень прост. Подставляете значение стороны в соответствующее поле и получаете готовый ответ. Можно выбрать несколько вариантов округления ответа: до десятичных, сотых, тысячных и т.д.
Список:
http://www-formula.ru/index.php/2011-09-22-04-45-33
http://www-formula.ru/index.php/2011-09-22-04-51-34
http://www-formula.ru/index.php/2011-09-22-04-52-08
http://www-formula.ru/index.php/2011-09-22-04-52-48
Лучший ответ
Sith
Знаток
(251)
10 лет назад
Периметр равен радиус умножить на 2 Пи. P = 2*Pi*r
Следовательно радиус равен Периметр делить на два Пи.
Пи равен 3,14
Остальные ответы
Марусель
Искусственный Интеллект
(187245)
10 лет назад
поделить на два пи
Дивергент
Высший разум
(1539235)
10 лет назад
У окружности нет периметра, у нее есть длина. Подели длину окружности на два пи (примерно 6,28), найдешь радиус…
Алексис (Марио-Вдохновитель)
Гуру
(2528)
10 лет назад
Нужно косинус центра окружности разделить на длину степени периметра возведенного в квадрат! D=cosR/D^2пи
Булатова Римма
Искусственный Интеллект
(126427)
10 лет назад
Периметр – это длина окружности: С=2piR, отсюда R=C/2pi.
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
-
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
- Произвольный треугольник
-
Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Примеры задач
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.
где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:
где a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
|
Как найти радиус вписанной в треугольник окружности?JuliGor 9 лет назад
Строим серединные перпендикуляры к сторонам треугольника,точка их пересечения будет центром окружности а катеты образовавшихся треугольников- радиусы окружности. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
Радиус вписанной в треугольник окружности довольно легко найти если по условию задачи заданы все три стороны треугольника. Тогда становится не важным, прямоугольный ли он или равнобедренный, формула для все треугольников одна и та же. Сперва находим периметр – сумму длин всех сторон треугольника. Потом делим периметр на два и запоминаем это число – оно потом нам пригодится.
Ну а далее, зная все стороны треугольника, зная его периметр, довольно просто определить радиус вписанной окружности (как впрочем и описанной). Вот простая формула:
В частных случаях возможно нахождение сторон по теореме ППифагора для прямоугольного треугольника комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
JuliGor 9 лет назад Вписанной в треугольник, окружность будет называться в том случае, когда она касается всех трех сторон треугольника. Радиус, вписанной в треугольник окружности можно будет найти по следующим формулам: r=S/p или r=(p-a)*tg(A/2), где S – площадь треугольника; р – полупериметр треугольника; a – длина стороны треугольника; A – величина угла, противолежащего этой стороне. комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить Знаете ответ? |
Смотрите также: Как найти радиус окружности, описывающей четыре квадрата (см)? Как найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС (см.)? Как найти радиусы трёх окружностей? Как найти площадь прямоугольного треугольника, если катеты равны? Три окружности, радиусы которых 2, 3 и10, касаются парно. Как найти радиус? Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольника (см.рисунок)? Как построить треугольник по медиане, высоте и биссектрисе? Как найти центр симметрии треугольника? Как решить: Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6,5? В прямоуг. Δник с гипотенузой 26 вписана окружность радиуса 4. Как найти Р? |
