Как найти радиус окружности имея хорду

Как найти радиус окружности имея хорду

Выберите подписку для получения дополнительных возможностей Kalk.Pro

Любая активная подписка отключает

рекламу на сайте

    • Доступ к скрытым чертежам
    • Безлимитные сохранения расчетов
    • Доступ к скрытым чертежам
    • Безлимитные сохранения расчетов
    • Доступ к скрытым чертежам
    • Безлимитные сохранения расчетов
    • Доступ к скрытым чертежам
    • Безлимитные сохранения расчетов

Более 10 000 пользователей уже воспользовались расширенным доступом для успешного создания своего проекта. Подробные чертежи и смета проекта экономят до 70% времени на подготовку элементов конструкции, а также предотвращают лишний расход материалов.

Подробнее с подписками можно ознакомиться здесь.

Источник

Центральный угол AOB, равный 60 градусов

Центральный угол AOB, равный 60 градусов, опирается на хорду AB длиной 3. Найдите радиус окружности.

1 способ:
OA=OB радиусы
Две стороны равны в треугольнике ∆OAB, поэтому треугольник равнобедренный.

Проведем ОН высоту. В равнобедренном треугольнике высота опущенная на основание является медиана и биссектриса.
Следовательно ОН биссектриса. Она дели угол АОВ пополам.
Угол НОВ=60°:2=30°

Так как ОН медиана, значит она делит противолежащую сторону пополам, то получается НВ=АВ:2=3:2=1,5

Из прямоугольного треугольника ∆ОНВ найдем ОВ:
В прямоугольном треугольнике сторона лежащая на против 30 градусов меньше в два раза гипотенузы.
ОВ=2НВ=2•1,5=3

Ответ:3

2 способ:
OA=OB радиусы
Две стороны равны в треугольнике ∆OAB, поэтому треугольник равнобедренный.

Следовательно:
угол A равен углу B, так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.От 180 градусов отнимем известный нам угол О.
180°-60°=120°
120°:2=60° углы A и B
Следовательно, ∆OAB треугольник равносторонний
AB=OB=OA=3

Ответ:3
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Как посчитать хорду окружности

Онлайн калькулятор

Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)

Как посчитать длину хорды (градусы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Как посчитать длину хорды (радианы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Теория

Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?

Формула

Пример

Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Через длину стороны

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Найти радиус круга, зная окружность

Окружность круга P

Результат

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Способ расчета радиуса круга:

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

  • r — искомый радиус окружности.
  • a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C /2π , где π ≈ 3.14

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

  1. Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
  2. У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

По площади сектора и центральному углу

  • Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика Рисунок Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента
Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Связанные определения

  • Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
  • Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

< x = a + r cos t
y = b + r sin t

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

  • r — искомый радиус окружности.
  • S — площадь треугольника.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Обобщения

Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

  • R — искомый радиус окружности.
  • d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
  • a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Площадь круга, онлайн расчет

Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.

Площадь круга, онлайн расчет

Вместо заключения

Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.

Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.

[spoiler title=”источники:”]

http://poschitat.online/horda

http://exceltut.ru/radius-chto-eto-takoe-i-kak-najti-radius-okruzhnosti/

[/spoiler]

Источник

Как найти радиус по хорде

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности. Пусть длина хорды известна. Тогда, если также известен угол между радиусами, проведенными в концы хорды, то можно найти и радиус окружности.

Как найти радиус по хорде

Вам понадобится

  • Транспортир, линейка.

Инструкция

Пусть известны длина хорды AB и угол AOB между радиусами, проведенными в концы хорды. Найдем по этим данным радиус окружности с центром в точке O.

Треугольник AOB – равнобедренный, так как OA = OB = R. По свойству равнобедренного треугольника высота OE одновременно является его медианой и биссектрисой угла AOB. Обозначим угол AOB за х.
Треугольник AEO – прямоугольный с прямым углом AEO. Так как высота ОЕ также является биссектрисой угла AOB, то угол AOE = x/2. Тогда из прямоугольного треугольника AOE имеем: OA = R = (AB/2)/sin(x/2).

Источник

Dealing with parts of a circle, such as radius and chord, are tasks that you may face in high school and college trigonometry courses. You also may have to solve these types of equations in career fields such as engineering, design and landscaping. You can find the radius of a circle if you have the length and height of a chord of that circle.

    Multiply the height of the chord times four. For instance, if the height is two, multiply two times four to get eight.

    Square the length of the chord. If the length is four, for example, multiply four times four to get 16.

    Divide your answer from Step 2 by your answer from Step 1. In this example, 16 divided by eight is two.

    Add the height of the chord to your answer from Step 3. For example, two plus two equals four.

    Divide your answer from Step 4 by two to find the radius. Therefore in this instance, four divided by two equals two. The radius in this example is equal to two.

    Things You’ll Need

    • Calculator
    • Chord length and height measurements
Источник

Все основные формулы для определения длины радиуса окружности

Радиус окружности — отрезок, соединяющий её центр и любую другую точку расположенную на линии окружности.
Окружность это замкнутая кривая линия, все точки которой, равноудалены от другой, определенной точки (центр окружности) на заданном расстоянии (радиус).

окружность радиус

R — радиус окружности (круга)

D — диаметр, D = 2 R

Формула для определения длины радиуса, если известна площадь круга :

Формула радиуса, площадь

Калькулятор для расчета длины радиуса через площадь

Формула для определения длины радиуса, если известна длина окружности :

Формула радиуса, длина

Калькулятор для расчета длины радиуса через длину окружности

окружность радиус

R — радиус окружности (круга)

h — высота сегмента

α — центральный угол

Формула для определения длины радиуса, если известна длина хорды :

Формула радиуса, хорда

Калькулятор для расчета длины радиуса через длину хорды

Подробности Автор: Сергей Кондратов Опубликовано: 07 сентября 2011 Обновлено: 13 августа 2021

Найти радиус

Здравствуйте! Можно ли найти радиус окружности по длине хорды и дуги? или нужны дополнительные данные?

Лучший ответ по мнению автора

Александр

ВОПРОС:

Здравствуйте! Можно ли найти радиус окружности по длине хорды и дуги? или нужны дополнительные данные?

ОТВЕТ:

Ничего дополнительного не нужно, решение задачи изложено ниже.

РЕШЕНИЕ:

Разделим исходный сектор круга, ограниченного центром круга и концами хорды, на два одинаковых, проведя биссектрису центрального угла. Будем рассматривать далее один из них (любой из двух полученных) и соответствующий прямоугольный треугольник (с вершинами в центре круга, одним из концов хорды и её серединой).

Пусть, далее, α – острый угол этого треугольника с вершиной в центре круга, a – длина противолежащей стороны (катета) этого треугольника, b — длины соответствующей дуги окружности, r – её радиус (искомый). Отметим также, что a и b – заданные величины, равные половине длин исходных хорды и дуги соответственно.

Тогда, очевидно (из чисто геометрического рассмотрения), имеем:

Это, по сути, запись двух определений: (1) – для длины дуги, (2) – для синуса угла. Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными (α и r). Явного (аналитического) решения она не имеет – возможно лишь численное решение (которое существует и единственно). Решать эту задачу в каждом конкретном случае – при заданных численных значениях a и b (точнее, как отмечено выше, – 2a и 2b) – можно двумя способами: «школьным» (геометрическим) и каким-либо численным методом.

«Школьный» метод:

После несложных преобразований уравнения (1) и (2) можно переписать, например, в виде:

где k = a/b. После этого строим графики функций f1(α) = kα, f2(α) = sin α и находим точку их пересечения, что соответствует решению уравнения (2′).

Отметим, что это пересечение (т.е. решение задачи) существует и единственно (и находится «недалеко» от начала координат): оба графика проходят через начало координат, причем второй (синусоида) выходит из начала координат под углом π/4 (=45o), первый (прямая) – под меньшим углом (поскольку k = a/b < 1, т.к. a < b – хорда должна быть короче дуги).

Таким образом, из графика находим α, а затем, используя уравнение (1′), и искомое значение радиуса r.

Численный метод:

Типичное численное решение такой задачи – каким-либо итерационным методом, например, методом Ньютона: дифференцируем и линеаризуем (по α) уравнение (2′), задаём какое-нибудь начальное приближение αo для α (наиболее логично и просто взять αo = 0) и дальше итерационно находим решение α = α* с любой наперед заданной точностью. Далее, подставляя в уравнение (1′) найденное значение угла α*, находим искомое значение радиуса r.

Можно чуть по-другому – чтобы сразу решать уравнение (задачу) относительно радиуса r (без промежуточного нахождения угла α = α*). Для этого, например, просто подставляем из (1) (или из (1′)) выражение для угла α = b/r в уравнение (2′), получив тогда уравнение относительно переменной r.

Далее также как и выше дифференцируем, линеаризуем (но уже не по α, а по r) и решаем полученное уравнение и задачу в целом.

Научный форум dxdy

Найти радиус окружности по длине дуги и хорде

На одном из форумов попался вопрос, содржащий «школьную» задачку. Дано: Длина дуги части окружности $L$, а длина хорды, на которую опирается эта дуга равна $I$. Найти радиус $R$окружности.

Вначале, все было хорошо и просто. Провел радиус из центра $O$к концу дуги $OA=R$, а так же радиус, перпендикулярный хорде
$AB$, который пересек хорду в точке $K$, образуя прямоугольный треугольник $OKA$. Катет $AK=I/2$.
Угол при вершине O обозначил как $x$. По определению синуса получил, что
$I/2=R*sin(x)$или $I=2*R*sin(x)$(1)
А из формулы длины дуги, получил $L=2*x*R$или https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/8/978075e5fa86b22fa2cd605162f5fa2f82.png*R=L/x$(2)
(2x потому, что $x$— половина центрального угла рассматирваемой дуги).

Подстставляем в (1) вместо https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/a/82abaa336fc237d8f6db21b1ea60d8bf82.png*R$выражение, полученное из (2): $I=(L/x)*sin(x)$или
$sin(x)/x = k$, где $k=I/L$

Ну, вот тут и заминочка вышла. Как найти $x$по заданному $k$?
На практике, конечно нет проблем. В зависимости от точности либо найти значение графически, либо использовать один
из приближенных методов. Но возникает вопрос, есть ли аналитическое решение? Т.е. можно ли выразить $x$через
элементарные функции от $k$. Причем, функция интересует нас только при $x$от 0 до пи.

Есть предположение, что это невозможно. Так ли это? Можно ли это доказать?

Источник

Добавить комментарий