Как найти радиус окружности описанной около равнобедренного - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

$[R = frac{{abc}}{{4S}}]$

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле

$[S = frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} ,]$

соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:

$[R = frac{{a{b^2}}}{{4 cdot frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} }},]$

отсюда

$[R = frac{{{b^2}}}{{2sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} }}]$

$[R = frac{{{b^2}}}{{sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}.]$

II. Формула — следствие из теоремы синусов

$[R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }} = frac{c}{{2sin gamma }}]$

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

$[R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }},]$

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

$[cos angle FAO = frac{{AF}}{{AO}},]$

$[ Rightarrow R = frac{b}{{2cos frac{alpha }{2}}}.]$

IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).

$[R = frac{{BC}}{2}]$

Если AB=a,

$[R = frac{a}{2}.]$

Источник

, , c blue – стороны треугольника

– полупериметр

O black – центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :

– сторона треугольника

– высота

– радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b – стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

a, b – катеты прямоугольного треугольника

c – гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

a – боковые стороны трапеции

c – нижнее основание

b – верхнее основание

d – диагональ

p – полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

a – сторона квадрата

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

a, b – стороны прямоугольника

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

a – сторона многоугольника

N – количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

a – сторона шестиугольника

d – диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Источник

Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c

Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и боковая сторона b=c. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника. На странице Радиус окружности описанной около треугольника онлайн была выведена формула вычисления радиуса R описанной около любого треугольника окружности:

( small R=frac<large abc><large 4 cdot sqrt>. )

(1)

где p вычисляется из формулы:

( small p= frac<large a+b+c><large 2>. )

(2)

Учитывая, что у нас треугольник равнобедренный, т.е. b=c, имеем:

( small p= frac<large a+2b><large 2>=b+ frac< large a>< large 2>, )

(3)

( small p-a= b- frac< large a>< large 2>, )

(4)

( small p-b= frac< large a>< large 2>, )

(5)

Подставляя (3)−(5) в (1) и учитывая, что b=c, получим:

( small R=frac<large ab^2><large 4 cdot frac <2>cdot sqrt<left ( b+frac<2>right)left ( b-frac<2>right)>> ) ( small =frac<large b^2><large 2 cdot sqrt< b^2-frac<4>>> ) ( small =frac<large b^2>< sqrt< large 4b^2-a^2>> ,)

( small R=frac<large b^2>< sqrt< large 4b^2-a^2>>. )

(6)

Пример 1. Известны основание ( small a=7 ) и боковая сторона ( small b=frac<9> <2>) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (6).

Подставим значения ( small a=7 ) и ( small b=frac<9> <2>) в (6):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A

Пусть известны сторона a и противолежащий угол A. Формула для нахождения радиуса окружности описанной около равнобедренного треугольника по основанию и противолежащему углу аналогична формуле для нахождения радиуса окружности описанной около произвольного треугольника:

(7)

Пример 2. Сторона основание равнобедренного треугольника равна:( small a=21 ) а противолежащий угол ( small angle A=60°.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (7). Подставим значения ( small a=21 ) и ( small angle A=60° ) в (7):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A

Пусть известны боковая сторона b=c равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами A. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника.

На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известных сторонах и углу между ними:

(8)

Подставляя в (8) c=b, получим:

(9)

Пример 3. Известны основание ( small a=21 ) равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами: ( small angle A=70°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (9). Подставим значения ( small a=21; ) и ( small angle A=70° ) в (9):

Ответ:

4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C

Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и прилежащие к ней угол B=C. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известной стороне и прилежащим двум углам:

(10)

Подставляя ( small C=B ) в (10), получим требуемую формулу:

(11)

Пример 4. Известны основание равнобедренного треугольника ( small a=14 ) и прилежащий к ней угол: ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=14 ) и ( small angle B=25° ) в (11):

Ответ:

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

a , b – стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника через стороны

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-09-22-04-52-08

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

[/spoiler]

Источник

Радиус описанной около треугольника окружности

Анна Кирпиченкова

Эксперт по предмету «Калькуляторы»

Задать вопрос автору статьи

В этой статье приведены формулы для расчёта радиуса описанной около треугольника окружности для различных случаев, а именно: для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.

Также приведена формула для описанной около треугольника окружности в общей форме и добавлены онлайн-калькуляторы для быстрого расчёта.

Определение 1

Описанной около треугольника окружностью называется окружность, внутри которой расположен треугольник, причём все три вершины этого треугольника лежат на окружности.

Ниже приведён онлайн-калькулятор для расчёта радиуса описанной окружности для любого треугольника. Для того чтобы воспользоваться им — введите имеющиеся данные в поля для ввода онлайн-калькулятора.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Радиус описанной около треугольника окружности через стороны

Чтобы определить радиус описанной вокруг треугольника окружности, нужно воспользоваться формулой:

$R = frac{acdot b cdot c}{4 cdot sqrt{P cdot(P – a)cdot(P – c) cdot(P – b)}}$ (1), причём

$P$ — это полупериметр треугольника.

Он определяется по формуле:

$P = frac12 cdot (a + b + c)$, где

$a, b, c$ — стороны треугольника.

Рассмотрим пример на поиск радиуса описанной около треугольника окружности.

Пример 1

Задача

Дан треугольник со сторонами $3, 4, 5$ см. Найдите, чему равен радиус описанной вокруг него окружности.

Решение:

Сосчитаем полупериметр:

$P = frac12 cdot (3 + 4 + 5) = 6$ см.

Теперь воспользуемся формулой (1):

$R = frac{3 cdot 4 cdot 5} {4 cdot sqrt{6 cdot (6 – 3) cdot (6 – 4) cdot (6 — 5)}} = 2,5$ см.

Результат совпадает с ответом онлайн-калькулятора, следовательно, задача решена правильно.

Также существуют формулы для расчёта радиуса описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольников окружностей.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности через стороны

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$R = frac12 cdot sqrt{d^2 + b^2}$, здесь

$d, b$ — катеты прямоугольного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности через стороны

В этом случае радиус окружности определяется по формуле:

$R = frac{d^2}{sqrt{4d^2 — b^2}}$, здесь

$d$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника;

$b$ — длина основания.

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности через сторону

В этом случае радиус определяется через формулу:

$R = frac{a}{sqrt3}$, здесь

$a$ — сторона равностороннего треугольника.

Рассмотрим в качестве второго примера поиск радиуса описанной окружности через сторону равностороннего треугольника.

Пример 2

Задача

В равностороннем треугольнике сторона $a$ равна $3$ см. Чему равен радиус описанной вокруг него окружности?

Решение:

$R = frac{a}{sqrt3} = 1, 73$ см.

Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение найдено верно.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата написания статьи: 18.06.2019

Источник

Радиус описанной около треугольника окружности

Определение

Треугольник является геометрической фигурой на плоскости, которая включает три стороны в виде отрезков, образованных с помощью соединения трех точек, не лежащих на одной прямой.

Обозначают данную геометрическую фигуру символом △.

Точками A, B и C обычно обозначают вершины треугольника. Отрезки AB, BC и AC определяют стороны треугольника, которые, как правило, обозначают с помощью латинской буквы. К примеру, AB = a, BC = b, AC = c.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Внутренность треугольника представляет собой часть плоскости, которая ограничена сторонами треугольника. Стороны треугольника в вершинах формируют три угла, которые обычно обозначают, используя греческие буквы – (alpha, beta, gamma) и другие. По этой причине треугольник получил название многоугольника с тремя углами. Для обозначения углов также применяют символ ∠, к примеру:

(alpha )∠BAC или ∠CAB;
(beta) ∠ABC или ∠CBA;
(gamma )∠ACB или ∠BCA.

Треугольники различают по величине углов или количеству равных сторон:

остроугольный, в котором все три угла острые, то есть меньше (90^{0});
тупоугольный, обладает один из углов больше (90^{0}), а два остальных угла являются острыми;
прямоугольный с одним прямым углом в (90^{0}), двумя сторонами, образующими прямой угол, которые называют катетами, третьей стороной, расположенной напротив прямого угла в виде гипотенузы;
разносторонний, со сторонами разной длины;
равнобедренный, с двумя одинаковыми боковыми сторонами и третьей стороной в виде основания, углы при котором равны;
равносторонний (правильный) обладает тремя сторонами с одинаковой длиной и углами, равными по (60^{0}).

Определение

Окружностью называют замкнутую плоскую прямую, каждая точка которой равноудалена от данной точки или центра, лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Примечание

Окружность, описанная около треугольника, является окружностью, проходящей через все три вершины рассматриваемого треугольника.

Радиус окружности, описанной около треугольника, определяется с помощью специальных формул, подкрепленных соответствующими доказательствами. Первая закономерность позволяет рассчитать его согласно расширенной теореме синусов:

радиус R окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла.

Формула для нахождения радиуса:

(R=frac{AB}{2sin angle C} =frac{AC}{2sin angle B} =frac{BC}{2sin angle A})

Теореме синусов

Вторую формулу для определения радиуса описанной около треугольника окружности записывают таким образом:

(R=frac{AB*BC*AC}{4S_{ABC}})

Общий вид:

(R=frac{abc}{4S})

Таким образом, для определения радиуса окружности, которая описана около треугольника, требуется произведение длины сторон этой геометрической фигуры разделить на четыре площади треугольника.

Площадь треугольника можно рассчитать, используя формулу Герона:

(S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})

В данном случае р обозначает полупериметр и определяется по формуле:

(p=frac{a+b+c}{2})

В результате преобразованная формула для определения радиуса описанной около треугольника окружности примет следующий вид:

(R=frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}})

Представленные закономерности справедливы в случае любого треугольника, независимо от его вида. При расчетах необходимо учитывать расположение центра описанной окружности.

формулу Герона

Расположение центра окружности, описанной около треугольника:

остроугольный треугольник – во внутренней области;
прямоугольный треугольник – на середине гипотенузы;
тупоугольный треугольник – вне геометрической фигуры, напротив тупого угла.

Вычисление радиуса через стороны

Выше были рассмотрены формулы, с помощью которых можно определить радиус окружности, описанной вокруг треугольника, зная его стороны. Кроме того, при решении задач можно использовать некоторые закономерности, предусмотренные для треугольников определенного типа.

Формула для равнобедренного треугольника

Обладая информацией о длине сторон равнобедренного треугольника, можно определить радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Формула для равнобедренного треугольника

(R=frac{a^{2}}{sqrt{4a^{2}-b^{2}}})

где a и b являются сторонами треугольника.

Формула для равностороннего треугольника

Такое выражение подходит для расчета радиуса окружности, описанной около любого правильного многоугольника. Формула имеет вид:

(R=frac{a}{2sin frac{180^{0}}{n}})

Здесь а является длиной стороны многоугольника, n – определяет количество его сторон.

Частным случаем правильного многоугольника является правильный треугольник. Тогда данную формулу можно применить для расчета радиуса окружности, описанной около правильного треугольника.

Формула для равностороннего треугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника:

(R=frac{a}{sqrt{3}})

Исключая иррациональность в знаменателе, получим:

(R=frac{asqrt{3}}{3})

Следует заметить, что в случае правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза превышает радиус вписанной окружности:

R=2r

Формула для произвольного треугольника

Как правило, при решении задач по геометрии необходимо вычислить радиус окружности, описанной около произвольного треугольника. В этом случае целесообразно воспользоваться формулой:

(R=frac{abc}{4S})

Формула для произвольного треугольника

Справедливо следующее равенство:

(R=frac{a}{2sin alpha }=frac{b}{2sin beta }= frac{c}{2sin gamma })

где a, b, c являются длинами сторон треугольника, (alpha, beta, gamma) определяются, как противолежащие этим сторонам углы, S представляет собой площадь треугольника.

Формула для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности можно определить по формуле:

(R=frac{AB}{2})

Формула для прямоугольного треугольника

Таким образом, в случае прямоугольного треугольника радиус окружности, которая описана около него, равен половине гипотенузы. Как правило, ее обозначают с помощью «с», то есть АВ = с. Поэтому формула принимает следующий вид:

(R=frac{c}{2})

Примеры решения задач

Задача 1

Стороны треугольника равны 4, 6 и 9 см. Необходимо определить радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

В первую очередь нужно рассчитать площадь рассматриваемого треугольника. Зная длины его сторон, ее можно определить с помощью формулы Герона:

(S=sqrt{9.5(9.5-4)*(9.5-6)*(9.5-9)}approx 9.56)

Затем достаточно просто найти радиус окружности:

(R=frac{4*6*9}{4*9.56}approx 5.65)

Ответ: радиус окружности равен 5.65 см

Задача 2

Известно, что катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Требуется рассчитать радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

Определим гипотенузу рассматриваемого треугольника с помощью теоремы Пифагора:

(c=sqrt{6^{2}+8^{2}}=10)

Известно, что радиус окружности, которая описана около прямоугольного треугольника, соответствует половине его гипотенузы. Таким образом:

(R = 10/2 = 5)

Ответ: радиус окружности равен 5 см.

Задача 3

Необходимо определить радиус описанной окружности около треугольника АВС, стороны которого равны (AB=4sqrt{2}) см,( AC=7 см) и (angle A=45^{circ}.)

Решение

Определить радиус окружности, которая описана около треугольника, можно, как отношение произведения сторон треугольника к его площади, умноженной на 4:

(R=frac{ABcdot BCcdot AC}{4S} )

По теореме косинусов следует рассчитать сторону ВС:

(BC=sqrt{AC^2 +AB^2 -2ACcdot ABcdot cos angle A} =)

(=sqrt{49+32-2cdot 7cdot 4sqrt{2} cdot frac{sqrt{2} }2 } =sqrt{25} =5 cm)

Затем можно определить площадь треугольника АВС:

(S_{ABC} =frac{1}{2} cdot ABcdot ACcdot sin angle A=14 cm^2 )

Зная площадь, легко рассчитать радиус окружности:

(R=frac{ABcdot BCcdot AC}{4S} =frac{4sqrt{2} cdot 5cdot 7}{4cdot 14} =frac{5sqrt{2} }{2} cm)

Ответ: радиус окружности равен (frac{5sqrt{2} }2 см.)

Задача 4

Дан треугольник АВС со сторонами AB=3 см,( AC=sqrt{6} см). Необходимо определить углы этой геометрической фигуры. При этом радиус описанной окружности равен (R=sqrt{3}) см.

Решение

Согласно формуле, радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла:

(R=frac{AB}{2sin angle C} =frac{AC}{2sin angle B} =frac{BC}{2sin angle A} )

Таким образом, можно вычислить синусы углов треугольника:

(sin angle C=frac{AB}{2R} =frac{3}{2sqrt{3} } =frac{sqrt{3} }{2}, откуда angle C=60^{circ},)

(sin angle B=frac{AC}{2R} =frac{sqrt{6} }{2sqrt{3} } =frac{sqrt{2} }{2}, откуда angle B=45^{circ}.)

Далее следует определить угол А:

(angle A=180^{circ} -60^{circ} -45^{circ} =75^{circ} )

Ответ: (angle A=75^{circ} , angle B=45^{circ} , angle C=60^{circ})

Источник

Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн

1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c

2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A

3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A

4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности через стороны

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности через стороны

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности через стороны

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности через сторону

Радиус описанной около треугольника окружности

Вычисление радиуса через стороны

Формула для равнобедренного треугольника

Формула для равностороннего треугольника

Формула для произвольного треугольника

Формула для прямоугольного треугольника

Примеры решения задач

Вам также может понравиться

Как составить бизнес план компьютерного бизнеса

Как найти украденный смартфон через спутник

Как составить резюме в какой программе

Добавить комментарий Отменить ответ