Как найти радиус окружности с двумя касательными

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° – ∠САО – ∠АСО = 180° – 90° – 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° – ∠МКN) : 2 = (180° – 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ – ВС = 16 – 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у – R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2 = (180° – 168°) : 2 = 6°

Из точки С проведены две касательные к окружности с центром в точке О

Из точки С проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60 градусов, а расстояние от точки С до точки О равно 8.

АО=ОD — радиусы
углы OAC=90°, ODC=90° (радиусы АО и ОD проходят под 90 градусов к касательным AC и DC соответственно)
OC=8 — биссектриса (если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными)

Из прямоугольного треугольника △AOC:
угол ACO равен половине угла ACD, получается 30°

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.
AO=0,5*OC=0,5*8=4

Решение №2:
АО=ОD — радиусы
углы OAC=90°, ODC=90° (радиусы АО и ОD проходят под 90 градусов к касательным AC и DC соответственно)
OC=8 — биссектриса (если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными)

Из прямоугольного треугольника △AOC:
угол ACO равен половине угла ACD, получается 30°

Синус в прямоугольном треугольнике — это отношение противоположного катета к гипотенузе.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Через длину стороны

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Найти радиус круга, зная окружность

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Способ расчета радиуса круга:

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

• r — искомый радиус окружности.
• a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C /_2π , где π ≈ 3.14

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

1. Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
2. У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

По площади сектора и центральному углу

• Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Формулы для площади круга и его частей

Окружность круга P

Результат

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Связанные определения

• Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
• Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

<	x = a + r cos t
y = b + r sin t

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

• r — искомый радиус окружности.
• S — площадь треугольника.
• p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Обобщения

Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

• R — искомый радиус окружности.
• d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
• a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Площадь круга, онлайн расчет

Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.

Площадь круга, онлайн расчет

Вместо заключения

Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.

Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.

[spoiler title=”источники:”]

http://tutomath.ru/baza-znanij/iz-tochki-s-provedeny-dve-kasatelnye-k-okruzhnosti-s-centrom-v-tochke-o.html

http://exceltut.ru/radius-chto-eto-takoe-i-kak-najti-radius-okruzhnosti/

[/spoiler]

Спрятать решение

Добрый день!
Появилась необходимость решить такую задачу (см.рисунок):

Есть две касательные a и b, известны их направления (углы, тангенсы, kx+b – что будет удобнеe). На касательной а расположена точка с координатами (x[math]_{1}[/math]; y[math]_{1}[/math]). На касательной b расположена точка с координатами (x[math]_{2}[/math]; y[math]_{2}[/math]).Необходимо узнать радиус окружности между этих двух касательных и точку соприкосновения (X, Y) касательной b и окружности!

P.S. Точка (x[math]_{1}[/math]; y[math]_{1}[/math]) находится как на касательной а, так и на окружности
P.P.S. Две касательные могут не пересекаться!

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Расскажем подробнее, что такое касательная и секущая.

Напомним, что расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной к окружности. В этом случае она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такую прямую называют касательной к окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух точках. Такую прямую называют секущей.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не имеет с окружностью общих точек.

Запишем основные теоремы о касательных. Они помогут нам при решении задач ЕГЭ и ОГЭ.

Теорема 1.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

На рисунке радиус OA перпендикулярен прямой m.

Теорема 2. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство:

Дана окружность с центром O.

Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Докажем, что
AB = AC и

Проведем радиусы OB и OC в точки касания.

По свойству касательной, и .

В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC и

Теорема 3. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Доказательство:

Пусть из точки A к окружности проведены касательные AB и AC. Соединим точку A с центром окружности точкой O. Треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету, следовательно, AB = AC.

Теорема 4. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Угол ACМ на рисунке равен половине угловой величины дуги AC.

Доказательство теоремы здесь.

Теорема 5, о секущей и касательной.

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.

Доказательство теоремы смотрите здесь.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Касательная к окружности.

Задача 1.

Угол ACO равен , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол CAO — прямой. Из треугольника ACO получим, что угол AOC равен 62 градуса. Bеличина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги AB— тоже 62 градуса.

Ответ: 62.

Задача 2.

Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Это чуть более сложная задача. Центральный угол AOD опирается на дугу AD, следовательно, он равен 116 градусов. Тогда угол AOC равен Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол OAC — прямой. Тогда угол ACO равен

Ответ: 26.

Задача 3.

Хорда AB стягивает дугу окружности в Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Проведем радиус OB в точку касания, а также радиус OA. Угол OBC равен Треугольник BOA — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол OBA равен 44 градуса, и тогда угол CBA равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги AB.

Мы могли также воспользоваться теоремой: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Задача 4.

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Решение:

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника ABC складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: 24.

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

Задача 5.

Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Решение:

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку O — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку O с вершинами A, B, C, D, E. Получились треугольники AOB, BOC, COD, DOE и EOA.

Очевидно, что площадь многоугольника

Треугольники АОВ, ВОС, COD, DOE и ЕОА имеют равные высоты, причем все эти высоты равны радиусу окружности.

где p — полупериметр многоугольника.

По условию, P = 10, S = 5, тогда

Ответ: 1

Задачи ЕГЭ

1. Угол ACO равен , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B . Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию, CA — касательная, A — точка касания.

. Треугольник ACO — прямоугольный, .

Угол — центральный, и он равен угловой величине дуги AB, на которую опирается. Значит, градусная мера дуги AB равна . Это меньшая дуга AB, а большая — с другой стороны от точек A и B, и она больше 180 градусов.

Ответ: 63.

2. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центральный угол AOB равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть

AC и BC — касательные, поэтому , поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Сумма углов четырехугольника ACBO равна

Ответ: 122.

3. Хорда AB стягивает дугу окружности в . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Применим теорему об угле между касательной и хордой.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Значит, угол ABC равен .

Ответ: 46.

4. Через концы A и B дуги окружности с центром О проведены касательные AC и BC. Угол CAB равен . Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Поэтому меньшая дуга AB окружности равна . Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, угол AOB равен .

Мы могли бы решить задачу и по-другому, рассматривая четырехугольник ACBO, как в задаче 2.

Ответ: 64.

5. Через концы A, B дуги окружности в проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. В треугольнике ABC:

Ответ: 118.

6. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точках B и D, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию, DB — диаметр окружности, поэтому дуга AВ, не содержащая точки D, равна . На эту дугу опирается центральный угол AOB, он равен . Треугольник AOC прямоугольный, так как касательная CA перпендикулярна радиусу ОA, проведенному в точку касания.

Ответ: 26.

Задачи ОГЭ по теме: Касательная к окружности

1. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Решение:

Отрезок OB — радиус, проведённый в точку касания, поэтому AB и OB перпендикулярны, треугольник AOB — прямоугольный. По теореме Пифагора:

Ответ: 5.

2. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный . Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому угол OКD — прямой. Тогда Треугольник OMK — равнобедренный, его стороны OК и OМ являются радиусами окружности, поэтому

Ответ: 7.

3. Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Решение:

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, треугольник AOB — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора найдём AO:

Ответ: 10.

4. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Решение:

Проведём радиус AH в точку касания. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому треугольник ABН — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём BH:

Ответ: 40.

5. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом . Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому AC=BC и треугольник ABC — равнобедренный.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними, значит, дуга AB равна . Угол AOB — центральный, он равен дуге, на которую опирается, то есть . Треугольник AOB равнобедренный,

Ответ: 36.

6. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен , а расстояние от точки A до точки O равно 8.

Решение:

Проведём радиусы OB и OC в точки касания. Треугольники AOB и AOC — прямоугольные. Эти треугольники равны по катету и гипотенузе.

OB — OC как радиусы окружности, гипотенуза общая. Значит,

Из треугольника AOB найдём OB, то есть радиус окружности.

Ответ: 4.

7. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, AC = 8. Найдите AK.

Решение:

По теореме о секущей и касательной,

Ответ: 4.

8. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна . Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Ответ: 36.