Как найти радиус окружности с помощью хорды

Как найти радиус по хорде

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности. Пусть длина хорды известна. Тогда, если также известен угол между радиусами, проведенными в концы хорды, то можно найти и радиус окружности.

Вам понадобится

• Транспортир, линейка.

Инструкция

Пусть известны длина хорды AB и угол AOB между радиусами, проведенными в концы хорды. Найдем по этим данным радиус окружности с центром в точке O.

Треугольник AOB – равнобедренный, так как OA = OB = R. По свойству равнобедренного треугольника высота OE одновременно является его медианой и биссектрисой угла AOB. Обозначим угол AOB за х.
Треугольник AEO – прямоугольный с прямым углом AEO. Так как высота ОЕ также является биссектрисой угла AOB, то угол AOE = x/2. Тогда из прямоугольного треугольника AOE имеем: OA = R = (AB/2)/sin(x/2).

Все основные формулы для определения длины радиуса окружности

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр и любую другую точку расположенную на линии окружности.
Окружность это замкнутая кривая линия, все точки которой, равноудалены от другой, определенной точки (центр окружности) на заданном расстоянии (радиус).

R – радиус окружности (круга)

D – диаметр, D = 2 R

Формула для определения длины радиуса, если известна площадь круга :

Калькулятор для расчета длины радиуса через площадь

Формула для определения длины радиуса, если известна длина окружности :

Калькулятор для расчета длины радиуса через длину окружности

R – радиус окружности (круга)

h – высота сегмента

α – центральный угол

Формула для определения длины радиуса, если известна длина хорды :

Как найти радиус окружности с помощью хорды

Все основные формулы для определения длины радиуса окружности

Радиус окружности — отрезок, соединяющий её центр и любую другую точку расположенную на линии окружности.
Окружность это замкнутая кривая линия, все точки которой, равноудалены от другой, определенной точки (центр окружности) на заданном расстоянии (радиус).

R — радиус окружности (круга)

D — диаметр, D = 2 R

Формула для определения длины радиуса, если известна площадь круга :

Калькулятор для расчета длины радиуса через площадь

Формула для определения длины радиуса, если известна длина окружности :

Калькулятор для расчета длины радиуса через длину окружности

R — радиус окружности (круга)

h — высота сегмента

α — центральный угол

Формула для определения длины радиуса, если известна длина хорды :

Как определить радиус дуги или сегмента круга и найти центр

Иногда, при выполнении особо заковыристых работ по отделке приходится решать не совсем простые задачи. Например, имеется часть окружности, говоря по научному — дуга и для этой дуги нужно определить радиус и найти центр окружности.

Сделать это можно двумя методами. Первый метод основан на расчетах, а второй — прикладной. Сначала рассмотрим первый метод, его достоинства и недостатки, а затем второй.

Первый метод определения радиуса дуги или сегмента круга

Изначально это выглядит так:

Рисунок 463.1. а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.

Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.

Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье «Расчет арочной перемычки», поэтому здесь лишь приведу основные формулы:

Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.

А теперь поговорим о недостатках.

Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад — для того, чтобы напомнить формулы — есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.

Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.

Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.

В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.

Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.

Ну а дальше все просто: измеряем расстояние от пересечения дуг до начала (или конца) рассматриваемой дуги, а затем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше — то искомый центр дуги выше на прямой.

Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.

Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.

Теоретически это выглядит примерно так:

Рисунок 463.2. Определение центра дуги методом последовательных приближений.

А на практике примерно так:

Фотография 463.1. Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.

Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:

• Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии

Оценка пользователей:
8.5 (голосов: 2)

Переходов на сайт:
31889

Комментарии:

R = H/(1 — cos(a/2))
Радиус прямо пропорционален H.
Как так?

Я достаточно подробно ответил на ваш вопрос в статье «Расчет арочной перемычки», где вы задали подобный вопрос.

Если угол не нужен для дальнейших расчетов, радиус находится проще — без тригонометрических функций и даже можно без калькулятора — на бумажке. R = L^2/(8*H) + H/2

Сначала термины:
Отрезок, соединяющий концы дуги называется хордой (a), а высота сегмента (перпендикуляр из середины хорды) — стрелкой (h).
Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть R^2=(R-h)^2+(a/2)^2.
А что касается нахождения центра, то перпендикуляры к серединам хорд пересекаются в центре!

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии.

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

• Окружность — линия, ограничивающая круг.
• Дуга — часть окружности.
• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
• Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

• Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
• Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
• Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

; длина хорды ;
высота сегмента ; центральный угол .

2. Даны диаметр D и длина хорды X

; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

; длина дуги ;
диаметр ; высота сегмента .

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

; диаметр ;
длина дуги ; длина хорды .

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды	Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности	Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-radius-okruzhnosti-s-pomoschyu-hordy

http://www.resolventa.ru/demo/training.htm

[/spoiler]

Dealing with parts of a circle, such as radius and chord, are tasks that you may face in high school and college trigonometry courses. You also may have to solve these types of equations in career fields such as engineering, design and landscaping. You can find the radius of a circle if you have the length and height of a chord of that circle.

Multiply the height of the chord times four. For instance, if the height is two, multiply two times four to get eight.

Square the length of the chord. If the length is four, for example, multiply four times four to get 16.

Divide your answer from Step 2 by your answer from Step 1. In this example, 16 divided by eight is two.

Add the height of the chord to your answer from Step 3. For example, two plus two equals four.

Divide your answer from Step 4 by two to find the radius. Therefore in this instance, four divided by two equals two. The radius in this example is equal to two.

Things You’ll Need

• Calculator
• Chord length and height measurements

Встретил забавную задачу и приглашаю многоуважаемую публику ей поразвлечься… ) Есть окружность. Внутри окружности проведена хорда a, от одного из концов этой хорды проведен внутри окружности под прямым углом отрезок b так, что он не пересекает и не касается окружности. От второго конца отрезка b опять же, под прямым углом, проведен отрезок с, который вторым концом касается окружности. Длина всех отрезков больше нуля. Отрезки a и с лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, проходящей через отрезок b. Я не знаю, вроде все по условиям, все как на картинке, честное слово! Мы знаем длины a, b и c. Нужно найти радиус окружности. Можно воспользоваться свойствами хорды, готовыми уравнениями. Точка пересечения двух хорд делит обе хорды в одинаковом соотношении. Используем эту формулу для нахождения отрезка d (cм. рисунок). Когда хорды перпендикулярны то радиус окружности находится по второй формуле. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Тут вспомнил, как мне один раз на практике нужно было найти радиус окружности и были три точки.. Сделано это было простым графическим методом без всяких заумностей.. Просто известно, что радиус в каждой точке окружности перпендикулярен касательной к окружности (которая есть суть производной, но это так, к слову).. Далее, известно, что хорда всегда идёт параллельно касательной (собственно касательная – это хорда сдвинутая на край окружности и касающаяся её в одной точке).. Вот и всё, что нужно.. Без матриц, определителей, систем уравнений, хитроумных формул и построений.. Итак, вот рисунок.. Т. е., мы просто достроили ещё одну хорду (красным цветом), затем каждую хорду поделили пополам и из середины каждой хорды провели линии, перпендикулярные хорде.. Точка пересечения двух линий, перпендикулярных хордам и есть центр окружности.. Теперь из цента мы ставим ногу циркуля и рисуем окружность (можно использовать карандаш на нитке (как пришлось использовать на практике).. Также для построения перпендикуляров использовалась нитка и древний способ построения перпендикуляров.. Деление напополам: сложение отмеренной нитки вдвое.. Всё делается на коленке.. И даже можно использовать на местности для построения окружностей в масштабах сотен метров и более.. Т.е. мы нашли не только радиус, но даже центр окружности и при желании можем с помощью циркуля (или карандаша на нитке) построить искомую окружность.. Именно так на практике мне один раз пришлось искать окружность, причём нужно было знать не только радиус, но расположение центра.. Этот метод наиболее прост, универсален и с помощью его можно искать все параметры окружности.. Если нужно найти радиус с наперёд заданной точностью, то можно использовать метод в моём предыдущем ответе, решение системы из трёх квадратных уравнений, которые описывают нахождение трёх точек, можно решать их не обязательно аналитически, что немного трудоёмко (но не сложно), а используя тот же Маткад.. Кроме того этот аналитический метод может помочь определить не только радиус окружности, но и координаты центра с любой заданной точностью, т.е. все параметры окружности.. Кстати, посткриптум, этот графический метод пришлось придумывать на ходу, поскольку нужно было срочно найти ответ, искать что-то в литературе как найти окружность просто не было времени.. Конечно хорошо знать определитель, которым задаётся дуга окружности через 3 точки.. Как это написал Гр. Роджер.. Можно сделать хитроумные геометрические построения, как сделал родиоил2.. Можно использовать свойства дуги, как попытался это сделать мсб.. Но вот, положим вам на практике нужно быстро определить, тогда нужно искать свойства дуг, определителей?.. Или пыхтеть с построениями? Которые могут быть не очень точны из-за несовершенства инструментария.. Как же поступить? Да как на войне: быстро и эффективно, используя смекалку и минимум средств.. Воспользуемся простыми формулами, которые известны из школы.. И элементами аналитической геометрии (опять это практически школа).. Известно, что уравнение окружности: (x-xo)^2+(y-yo)^2=R^2 где xo, y0, R – соответственно координаты центра и радиус окружности.. Установим первую точку А так, чтобы она находилась в начале координат А(0,0), тогда следующая точка В имеет координаты (0,а), следующая точка С (b, c+a).. Теперь напишем три уравнения одной и той же окружности для трёх точек: (xo)^2+(yo)^2=R^2 (xo)^2+(а-yo)^2=R^2 (b-xo)^2+(с+а-yo)^2=R^2 Получилась система из трёх квадратных уравнений с тремя неизвестными: xo, y0, R.. Значит эта система вполне решается стандартным образом.. Например приравниваем первое и второе уравнение: (xo)^2+(yo)^2=(xo)^2­+(а-yo)^2 Тогда всё приводится к уравнению: (yo)^2-(а-yo)^2=0 Упрощаем его и получаем простое линейное уравнение: -2ay0-(а)^2=0 y0=-(а)^2/2a=-a/2 Из него находим первую координату центра.. Затем эту координату подставляем в первое уравнение (которое попроще): (xo)^2+(a/2)^2=R^2 x0=+(-)sqrt(R^2-(a/2)^2) Теперь координаты центра подставляем опять в третье уравнение: (b-R^2-(a/2)^2)^2+(с+а+a/2)­^2=R^2 Далее всё приводим, раскрывая скобки, получая уравнение 4-й степени.. Не в каждой школе дают решение уравнения 4-й степени, но это не сложно используя метод Феррари или метод разложения на множетели.. Груст­ный Родже­р [396K] 2 года назад  Это трёхходовка на аналитическую геометрию. Я расскажу, как она решается, но вычисления вы уж проведите сами… Будем считать, что длины всех трёх отрезков нам известны, и будем для простоты считать, что начало координат находится в точке сопряжения отрезков a, b. Тогда нижний конец отрезка а находится в точке (0, -А) (пусть заглавная буква – это длина соответствующего отрезка), а верхний конец отрезка с находится в точке (В, С). И тогда уравнение окружности, проходящей через три точки с известными координатами, пишется фактически “в одно действие” – через определитель, составленный из координат трёх точек, через которые она проходит: По счастью, при сделанном выше выборе осей координат одна строка определителя получается почти нулевой, и тогда он элементарно превращается в определитель третьего порядка (если знать, что такое минор): Тут, если совсем формально, перед определителем 3 порядка должен стоять минус, но поскольу он равен нулю, то фиг с ним, с минусом… Ну так вот. “Каноническое” уравнение окружности в декартовой системе координат выглядит так: x² + y² + Mx + Ny + K = 0. Если раскрыть определитель, то приравниванием коэффициентов при соответствующих степенях х, у враз получаются выражения для M, N и К. Ну а как только эти величины известны, радиус вычисляется как корень из (M² + N² – 4C). rodle­oil2 [437K] 2 года назад  Предлагаю графическое решение Оно поможет найти и математическое решение Чертим линии а,б,с, соблюдая размеры и углы. Чертим одинаковые окружности, чтобы они попарно (одинакового размера рядом) пересекались. на данном чертеже все окружности одинаковые (размеры позволяют). Оранжевые окружности. Проводим линии через пересечения окружностей. Зеленые тонкие линии. Расстояния от точек соприкосновения заданных отрезков “а”, “б”, а также концов отрезков “а” и “с” и тонких зеленых линий будет радиусом Толстые зеленые линии. Также, легко заметить, что мы проводили тонкие зеленые линии – это серединные перпендикуляры к хордам. При необходимости, математическое решение можно получить работая с размерами отрезков, треугольниками, углами… Но на практике, на чертежах, хватает и графического решения. Груст­ный Родже­р [396K] 2 года назад  (Продолжение банкета…) Ответ msb натолкнул на забавную мысль: если нужно решить задачу графически, чисто циркулем и линейкой, то хорды b, c вообще на фиг не нужны, потому что есть окружность (это, заметьте, по условию задачки!) и есть хорда в ней. Всё, sapienti sat. На окружности строится ещё одна хорда, лежащая точно напротив хорды а, это делается циркулем и линейкой (проводятся два перпендикуляра к концам отрезка, фигня вопрос…), это нам даёт прямоугольник, вписанный в окружность. Собсно, всё, радиус отсюда определяется на раз. Но и это ещё не конец! Можно не строить этот прямоугольник. Можно построить два перпендикуляра – один к середине хорды a, второй – к середине отрезка, образованного лежащими на окружности концами хорд b, c. Точка их пересечения даст центр окружности. Никол­ьский [12.7K] 2 года назад  Фигура АВСD – описанная равнобедренная трапеция (см. рисунок), где а – верхнее основание трапеции, f – нижнее основание трапеции, k – боковая сторона трапеции, m – диагональ трапеции. k и m вычисляются из прямоугольных треугольников, f=2с + а Р – полупериметр треугольника АСD. Р = (m + k + f)/2 Есть формула, по которой вычисляется радиус окружности описанной равнобедренной трапеции: R = (kmf)/(4(sqrt(P(P-k)(P-m)(P-f))) Выражая k, m, f через а, в, с, получим (даже не буду пытаться) конечную формулу. Если знать конкретные числовые значения а, в, с, то найти R можно с помощью калькулятора. Геометрические задачи решаются графически. Здесь много лишних данных. Достаточно продлить отрезок b до пересечения с окружностью и соединить линией эту точку пересечения с точкой пересечения отрезка a c окружностью. Это будет диаметр окружности, который только остается разделить пополам с помощью циркуля и линейки и измерить. Знаете ответ?