Как найти радиус окружности вписанной около трапеции

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

после небольших преобразований получим

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Трапеция вписана в окружность

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

Из треугольника ABC

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

Радиус описанной окружности трапеции

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

и приравнять правые части

Решив это уравнения относительно x, можно найти R.

IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.

точка O — середина AD

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.

Во II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.

Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.

[spoiler title=”источники:”]

[/spoiler]

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

[r=frac{h}{2}]

Радиус вписанной окружности в трапецию

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

[ AB+DC = AD+BC]

или

[ 2a = b+c]

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

[ BC = a = sqrt{h^2 + Big(frac{c-b}{2}Big)^2} ]

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

[b+c = 2 sqrt{h^2 + Big(frac{c-b}{2}Big)^2}]

после небольших преобразований получим

[h = sqrt{ Big(frac{c+b}{2}Big)^2 – Big(frac{c-b}{2}Big)^2}]

[h = frac{1}{2} sqrt{ (c+b)^2 – (c-b)^2}]

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

[h=sqrt{bc}]

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

[r=frac{h}{2}=frac{sqrt{bc}}{2}]

Вычислить, найти радиус вписанной окружности в трапецию по формуле (1,2,3,4,5)

Радиус вписанной окружности в трапецию	стр. 259

Трапеция является несколько нестандартной фигурой среди четырехугольников. Она не является правильным многоугольником, однако обладает рядом отличительных свойств, среди которых – возможность вписать в равнобокую трапецию окружность. Это обусловлено тем, что для четырехугольников действует правило, согласно которому в него можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Не каждая трапеция соблюдает это правило, но если в нее все-таки вписана окружность, значит, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Поскольку радиусы окружности, опущенные на основания трапеции, находятся по отношению к ним под прямым углом, следовательно, они совпадают с высотой трапеции, из чего можно вывести формулу радиуса окружности вписанной в трапецию через высоту:

Так как окружность можно вписать только в трапецию, у которой суммы противоположных сторон равны, то путем нехитрых преобразований через формулы квадрата разности и квадрата суммы можно получить, что высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований a и b.

Следовательно, не зная высоты, можно вычислить радиус окружности, вписанной в трапецию, через основания:

---

Существует и другой способ найти радиус вписанной в трапецию окружности. Для этого необходимо провести биссектрисы двух углов у боковой стороны. Точка их пересечения должна совпасть с центром вписанной окружности, а также образовать прямой угол. Соответственно, радиус в таком треугольнике станет высотой, которая, исходя из его свойств, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.

Радиус вписанной окружности в трапецию