, 
, 
– стороны треугольника
– полупериметр
2.png)
– центр окружности
Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :
– сторона треугольника
– высота
– радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
a, b – стороны треугольника
Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
a, b – катеты прямоугольного треугольника
c – гипотенуза
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
a – боковые стороны трапеции
c – нижнее основание
b – верхнее основание
d – диагональ
p – полупериметр треугольника DBC
p = (a+d+c)/2
Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)
Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали
a – сторона квадрата
d – диагональ
Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):
Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали
a, b – стороны прямоугольника
d – диагональ
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
a – сторона многоугольника
N – количество сторон многоугольника
Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):
a – сторона шестиугольника
d – диагональ шестиугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):
Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.
Радиус описанной окружности для произвольного треугольника
Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):
![[R = frac{{abc}}{{4S}}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-158e64eba5db2f64bcca7f90280e8287_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }} = frac{c}{{2sin gamma }},]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-711de89ca611e798d615e10b82dad265_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.
Центр описанной окружности лежит:
у остроугольного треугольника — внутри треугольника;
у прямоугольного — на середине гипотенузы;
у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.
Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:
![[R = frac{c}{2}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7de2ad3265159c38ce9027688dfdce0a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Окружность, описанная около многоугольника
Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.
Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.
Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника
![[R = frac{a}{{2sin frac{{{{180}^o}}}{n}}}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fa2698b183aad92ea430b53116cb749_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.
Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.
Радиус описанной окружности правильного треугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника
![[R = frac{a}{{sqrt 3 }}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-941c1d80d3bb076886619b1a571da48d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Если без иррациональности в знаменателе —
![[R = frac{{asqrt 3 }}{3}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41401fd57725fa701d8fb5c077a0af9f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
![[R = 2r]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d349951b596fefea0b7af550cf1e74c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Радиус описанной окружности квадрата
Формула радиуса описанной окружности для квадрата
![[R = frac{a}{{sqrt 2 }}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c66f0b388e039abb76b10c6f7465eae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Если без иррациональности в знаменателе —
![[R = frac{{asqrt 2 }}{2}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b4e0aa6075e1e85799a3cb6cf802b3eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника
![[R = a]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07e9241de37a035b8dd628250dbf4603_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Как найти радиус окружности
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.
Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.
Возможно тебе интересно узнать – как найти длину окружности?
Формула радиуса окружности
Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.
Если известна площадь круга
R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Если известна длина
R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Если известен диаметр окружности
R = D : 2, где D — диаметр.
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.
Если известна диагональ вписанного прямоугольника
R = d : 2, где d — диагональ.
Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:
d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Если известна сторона описанного квадрата
R = a : 2, где a — сторона.
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.
Если известны стороны и площадь вписанного треугольника
R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.
Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника
R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.
Если известна площадь сектора и его центральный угол
R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.
Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.
Если известна сторона вписанного правильного многоугольника
R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.
В правильном многоугольнике все стороны равны.
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
Радиус описанной окружности
Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.
Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):
где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.
у остроугольного треугольника — внутри треугольника;
у прямоугольного — на середине гипотенузы;
у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.
Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:
Окружность, описанная около многоугольника
Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.
Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.
Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника
где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.
Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.
Радиус описанной окружности правильного треугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника
Если без иррациональности в знаменателе —
У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
Радиус описанной окружности квадрата
Формула радиуса описанной окружности для квадрата
Если без иррациональности в знаменателе —
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника
Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
[spoiler title=”источники:”]
[/spoiler]
Как найти радиус окружности
Лайфхакер собрал девять способов, которые помогут справиться с геометрическими задачами.
Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
Через площадь круга
- Разделите площадь круга на число пи.
- Найдите корень из результата.
- R — искомый радиус окружности.
- S — площадь круга. Напомним, кругом называют плоскость внутри окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
Через длину окружности
- Умножьте число пи на два.
- Разделите длину окружности на результат.
- R — искомый радиус окружности.
- P — длина окружности (периметр круга).
- π (пи) — константа, равная 3,14.
Через диаметр окружности
Если вы вдруг забыли, радиус равняется половине диаметра. Поэтому, если диаметр известен, просто разделите его на два.
- R — искомый радиус окружности.
- D — диаметр.
Через диагональ вписанного прямоугольника
Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.
- R — искомый радиус окружности.
- d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
- a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Через сторону описанного квадрата
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.
- r — искомый радиус окружности.
- a — сторона описанного квадрата.
Через стороны и площадь вписанного треугольника
- Перемножьте три стороны треугольника.
- Разделите результат на четыре площади треугольника.
- R — искомый радиус окружности.
- a, b, с — стороны вписанного треугольника.
- S — площадь треугольника.
Через площадь и полупериметр описанного треугольника
Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.
- r — искомый радиус окружности.
- S — площадь треугольника.
- p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
Через площадь сектора и его центральный угол
- Умножьте площадь сектора на 360 градусов.
- Разделите результат на произведение пи и центрального угла.
- Найдите корень из полученного числа.
- R — искомый радиус окружности.
- S — площадь сектора круга.
- α — центральный угол.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
Через сторону вписанного правильного многоугольника
- Разделите 180 градусов на количество сторон многоугольника.
- Найдите синус полученного числа.
- Умножьте результат на два.
- Разделите сторону многоугольника на результат всех предыдущих действий.
- R — искомый радиус окружности.
- a — сторона правильного многоугольника. Напомним, в правильном многоугольнике все стороны равны.
- N — количество сторон многоугольника. К примеру, если в задаче фигурирует пятиугольник, как на изображении выше, N будет равняться 5.
Читайте также 📐✂️📌
- Как найти периметр прямоугольника
- Как научить ребёнка считать играючи
- Как перевести обычную дробь в десятичную
- 6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
- 9 логических задач, которые по зубам только настоящим интеллектуалам
Теорема описанной окружности — как построить, свойства
Содержание:
-
Описанная окружность — что из себя представляет
- Вокруг чего можно описать
- Теорема, основные свойства, признаки
-
Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула
- Треугольник
- Трапеция
- Правильный многоугольник
- Правильного шестиугольник
- Прямоугольник
- Квадрат
Описанная окружность — что из себя представляет
Решение задач по геометрии может быть проще, если при нахождении неизвестных пользоваться дополнительными сведениями и приемами. Одним из таких будет описание окружности вокруг фигуры.
Описанная окружность — окружность, которая описана вокруг многоугольника. Главным свойством описанной окружности будет тот факт, что она должна содержать все вершины многоугольника.
Точки окружности равноудалены от ее центра, а значит, также равноудалены будут и вершины многоугольника, вокруг которого описана окружность.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Вокруг чего можно описать
Окружность можно описать вокруг (или около):
- треугольника;
- трапеции;
- правильного многоугольника;
- правильного шестиугольника;
- прямоугольника;
- квадрата;
- многоугольника, чьи серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Теорема, основные свойства, признаки
Правило об описанной окружности
Около любой из вышеперечисленных фигур можно описать окружность, причем только одну.
Доказательством теоремы будет тот факт, что точка пересечения серединных перпендикуляров через медианы у любой фигуры будет только одна. Это точка будет является центром окружности, а значит, никакая другая окружность, которая при этом также захватывает все вершины фигуры, не может быть описана вокруг нее.
Теорема синусов
Теорема синусов позволяет найти двойной радиус или диаметр окружности по расчету формулы:
(2R=d=frac a{sinleft(angle Aright)}=frac b{sinleft(angle Bright)}=frac c{sinleft(angle Cright)},)
где R — радиус,
d — диаметр,
a, b, c — стороны треугольника,
A, B, C — углы треугольника.
Соответственно, для того, чтобы найти радиус описанной окружности, необходимо знать величины любой стороны и противоположного ей угла.
Свойства описанной окружности:
- центр окружности лежит на пересечении всех серединных перпендикуляров фигуры;
- вершины фигуры, которая описана окружностью, будут равноудалены от центра и будут лежать на кривой окружности;
- в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов будет равна 180 градусам;
- вокруг любого треугольника можно описать окружность.
Главным признаком описанной окружности будет ее расположение вокруг фигуры, причем ни одна из ее вершин не должна выходить за пределы кривой окружности.
Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула
Треугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника:
(R=frac{atimes btimes c}{4sqrt{ptimesleft(p-aright)timesleft(p-bright)timesleft(p-cright)}},)
где R — радиус ,
a, b и c — стороны треугольника,
p — половина периметра, (p=frac{left(a+b+cright)}2.)
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по стороне:
(R=frac a{sqrt3},)
где R — радиус,
а — сторона треугольника.
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по высоте:
(R=frac{2h}3,)
где R — радиус,
h — высота.
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника по сторонам:
(R=frac{a^2}{sqrt{4a^2-b^2}},)
где R — радиус,
a и b — стороны.
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника по катетам и гипотенузе:
(R=frac12sqrt{a^2+b^2}=frac c2,)
где R — радиус,
a и b — катеты,
с — гипотенуза.
Трапеция
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг трапеции по сторонам и диагонали:
(R=frac{atimes dtimes c}{4sqrt{ptimesleft(p-aright)timesleft(p-dright)timesleft(p-cright)}},)
где R — радиус,
a — боковые стороны трапеции,
b — верхнее основание,
с — нижнее основание,
d — диагональ,
р — полупериметр прямоугольного треугольника: (p=frac{left(a+b+cright)}2.)
Правильный многоугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного многоугольника:
(R=frac a{2timessinleft({displaystylefrac{180^circ}N}right)},)
где R — радиус,
а — сторона многоугольника,
N — количество сторон многоугольника.
Правильного шестиугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного шестиугольника:
(R=a=frac d2,)
где R — радиус,
а — сторона шестиугольника,
d — диагональ шестиугольника.
Прямоугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольника по стороне:
(R=frac{sqrt{a^2+b^2}}2=frac d2,)
где R — радиус,
a и b — стороны прямоугольника,
d — диагональ.
Квадрат
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата:
(R=frac a{sqrt2}=frac d2,)
где R — радиус,
d — диагональ.
Так как диаметр является суммой двух радиусов, при помощи вышеперечисленных формул можно найти диаметр просто умножив полученный результат на 2.
