Как найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Как найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

    [R = frac{{abc}}{{4S}}]

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле 

    [S = frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} ,]

соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:

    [R = frac{{a{b^2}}}{{4 cdot frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} }},]

отсюда

    [R = frac{{{b^2}}}{{2sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} }}]

    [R = frac{{{b^2}}}{{sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}.]

II. Формула — следствие из теоремы синусов

    [R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }} = frac{c}{{2sin gamma }}]

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

    [R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }},]

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.

Radius opisannoy okruzhnosti ravnobedrennogo treugolnika

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

    [cos angle FAO = frac{{AF}}{{AO}},]

    [ Rightarrow R = frac{b}{{2cos frac{alpha }{2}}}.]

radius opisannoy okruzhnosti ravnobedrennyiy treugolnik

IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).

Radius opisannoy okruzhnosti v ravnobedrennom treugolnike

    [R = frac{{BC}}{2}]

Если AB=a,

    [R = frac{a}{2}.]

Источник

радиус описанной окружности треугольника

a , b , c blue    –  стороны треугольника

s12 black  – полупериметр

s (abc)2

O black  – центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R  ) :

Формула радиуса описанной окружности треугольника

радиус описанной окружности равностороннего треугольника

сторона – сторона треугольника

высота – высота

радиус – радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через сторону

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

a, b – стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

a, b – катеты прямоугольного треугольника

c – гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности трапеции

a – боковые стороны трапеции

c – нижнее основание

b – верхнее основание

d – диагональ

p – полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

радиус описанной окружности около квадрата

a – сторона квадрата

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Формула радиуса описанной окружности квадрата

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

Радиус описанной окружности прямоугольника

a, b – стороны прямоугольника

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

a – сторона многоугольника

N – количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника

a – сторона шестиугольника

d – диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Источник

Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание

  1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c
  2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A
  3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A
  4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C

1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c

Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и боковая сторона b=c. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника. На странице Радиус окружности описанной около треугольника онлайн была выведена формула вычисления радиуса R описанной около любого треугольника окружности:

где p вычисляется из формулы:

Учитывая, что у нас треугольник равнобедренный, т.е. b=c, имеем:

Подставляя (3)−(5) в (1) и учитывая, что b=c, получим:

то есть

Пример 1. Известны основание ( small a=7 ) и боковая сторона ( small b=frac{9}{2} ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (6).

Подставим значения ( small a=7 ) и ( small b=frac{9}{2} ) в (6):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A

Пусть известны сторона a и противолежащий угол A. Формула для нахождения радиуса окружности описанной около равнобедренного треугольника по основанию и противолежащему углу аналогична формуле для нахождения радиуса окружности описанной около произвольного треугольника:

Пример 2. Сторона основание равнобедренного треугольника равна:( small a=21 ) а противолежащий угол ( small angle A=60°.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (7). Подставим значения ( small a=21 ) и ( small angle A=60° ) в (7):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A

Пусть известны боковая сторона b=c равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами A. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника.

На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известных сторонах и углу между ними:

Подставляя в (8) c=b, получим:

то есть

Пример 3. Известны основание ( small a=21 ) равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами: ( small angle A=70°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (9). Подставим значения ( small a=21; ) и ( small angle A=70° ) в (9):

Ответ:

4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C

Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и прилежащие к ней угол B=C. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известной стороне и прилежащим двум углам:

Подставляя ( small C=B ) в (10), получим требуемую формулу:

Пример 4. Известны основание равнобедренного треугольника ( small a=14 ) и прилежащий к ней угол: ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=14 ) и ( small angle B=25° ) в (11):

Ответ:

Смотрите также:

  • Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
  • Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
  • Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

Источник

Радиус описанной около треугольника окружности

Автор статьи

Анна Кирпиченкова

Эксперт по предмету «Калькуляторы»

Задать вопрос автору статьи

В этой статье приведены формулы для расчёта радиуса описанной около треугольника окружности для различных случаев, а именно: для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.

Также приведена формула для описанной около треугольника окружности в общей форме и добавлены онлайн-калькуляторы для быстрого расчёта.

Определение 1

Описанной около треугольника окружностью называется окружность, внутри которой расположен треугольник, причём все три вершины этого треугольника лежат на окружности.

Ниже приведён онлайн-калькулятор для расчёта радиуса описанной окружности для любого треугольника. Для того чтобы воспользоваться им — введите имеющиеся данные в поля для ввода онлайн-калькулятора.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Радиус описанной около треугольника окружности через стороны

Радиус описанной около треугольника окружности через стороны

Чтобы определить радиус описанной вокруг треугольника окружности, нужно воспользоваться формулой:

$R = frac{acdot b cdot c}{4 cdot sqrt{P cdot(P – a)cdot(P – c) cdot(P – b)}}$  (1), причём

$P$ — это полупериметр треугольника.

Он определяется по формуле:

$P = frac12 cdot (a + b + c)$, где

$a, b, c$ — стороны треугольника.

Рассмотрим пример на поиск радиуса описанной около треугольника окружности.

Пример 1

Задача

Дан треугольник со сторонами $3, 4, 5$ см. Найдите, чему равен радиус описанной вокруг него окружности.

Решение:

Сосчитаем полупериметр:

$P = frac12 cdot (3 + 4 + 5) = 6$ см.

Теперь воспользуемся формулой (1):

$R = frac{3 cdot 4 cdot 5} {4 cdot sqrt{6 cdot (6 – 3) cdot (6 – 4) cdot (6 — 5)}} = 2,5$ см.

Результат совпадает с ответом онлайн-калькулятора, следовательно, задача решена правильно.

Также существуют формулы для расчёта радиуса описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольников окружностей.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности через стороны

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности через стороны

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$R = frac12 cdot sqrt{d^2 + b^2}$, здесь

$d, b$ — катеты прямоугольного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности через стороны

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности через стороны

В этом случае радиус окружности определяется по формуле:

$R = frac{d^2}{sqrt{4d^2 — b^2}}$, здесь

$d$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника;

$b$ — длина основания.

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности через сторону

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности через сторону

В этом случае радиус определяется через формулу:

$R = frac{a}{sqrt3}$, здесь

$a$ — сторона равностороннего треугольника.

Рассмотрим в качестве второго примера поиск радиуса описанной окружности через сторону равностороннего треугольника.

Пример 2

Задача

В равностороннем треугольнике сторона $a$ равна $3$ см. Чему равен радиус описанной вокруг него окружности?

Решение:

$R = frac{a}{sqrt3} = 1, 73$ см.

Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение найдено верно.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата написания статьи: 18.06.2019

Источник

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности

Как известно, треугольник с одинаковыми боковыми сторонами называется равнобедренным треугольником. Вокруг равнобедренного треугольника возможно описать окружность, но только одну. Окружность будет описанной, если вершины треугольника размещены на этой окружности.
Если известны стороны равнобедренного треугольника (боковая сторона и основание), то R описанной окружности находим по формуле:

radius-opisannoy-okruzhnosti-ravnobedrennogo-treugolnika1 radius-opisannoy-okruzhnosti-ravnobedrennogo-treugolnika2

a — боковая сторона;
b — основание треугольника.

Радиус R равен квадрату боковой стороны треугольника деленному на корень квадратный из 4 умноженного на квадрат боковой стороны (a) минус квадрат его основания (b).

С помощью онлайн калькулятора вы можете легко определить R описанной окружности, подставив в формулу исходные данные.

Источник

Добавить комментарий