Как найти радиус описанной окружности в многоугольнике

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

a – сторона многоугольника

N – количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, ( R ):

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности правильного многоугольника

Нахождение радиуса описанной вокруг правильного многоугольника окружности

В публикации представлена формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, а также приведен пример решения задачи для лучшего понимания представленного материала.

Формула расчета радиуса окружности

На рисунке изображен правильный шестиугольник с описанной вокруг него окружностью, но формула ниже подходит для любого правильного n-угольника.

где a – длина стороны.

Примечание: зная радиус описанного круга можно найти сторону равностороннего n-угольника (формула выводится из представленной выше):

Пример задачи

Дан правильный пятиугольник с длиной стороны 8 см. Вычислите радиус описанной около данной фигуры окружности.

Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известное нам значение.

Радиус описанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

Окружность, описанная около многоугольника

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

Если без иррациональности в знаменателе —

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Радиус описанной окружности квадрата

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

Если без иррациональности в знаменателе —

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

[spoiler title=”источники:”]

[/spoiler]

Радиус описанной окружности правильного многоугольника, формула

Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами. Угол между двумя соседними вершинами правильного n-угольника равен: [AOB = α = frac{360°}{n}]

Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и бедра этого треугольника это радиусы описанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника.

Также известен угол между радиусами R — по формуле (1).
Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник.
При помощи тригонометрических функций острого угла получим:

[sinBig(frac{360°}{2n}Big) = frac{a}{2R}]

отсюда получим формулу радиуса описанной окружности правильного многоугольника:

[R = frac{a}{2 sin(frac{360°}{2n})}]

(a – сторонa правильного многоугольника; n – число сторон правильного многоугольника; R – радиус описанной окружности правильного многоугольника)

Вычислить, найти радиус описанной окружности правильного многоугольника по формуле (3)

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центр такой окружности будет находиться на пересечении медиатрис, проведенных перпендикулярно через середины сторон многоугольника. Радиусы окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, делят фигуру на n одинаковых равнобедренных треугольников, где n – количество сторон многоугольника, а центральный угол между одинаковыми сторонами треугольников . Проведя высоту в таком треугольнике, получим прямоугольный треугольник, где радиус описанной окружности будет гипотенузой, а высота и половина стороны – катетами. Зная сторону, можем через синус центрального угла узнать радиус описанной вокруг многоугольника окружности: