Как найти радиус описанной вокруг правильного треугольника

Как найти радиус описанной вокруг правильного треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

okruzhnost-opisannaya-okolo-pravilnogo-treugolnikaНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

    [AK cap BF = O,]

    [AK cap CD = O.]

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

    [BO = frac{2}{3}BF,]

    [R = frac{2}{3} cdot frac{{asqrt 3 }}{2} = frac{{asqrt 3 }}{3}.]

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —

    [R = frac{{asqrt 3 }}{3}]

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —

    [a = frac{{3R}}{{sqrt 3 }} = Rsqrt 3 .]

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

    [S = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}.]

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

    [ S = frac{{a^2 sqrt 3 }}{4} = frac{{(Rsqrt 3 )^2 cdot sqrt 3 }}{4} = frac{{R^2 cdot 3sqrt 3 }}{4}. ]

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —

    [ S = frac{{3sqrt 3 cdot R^2 }}{4}. ]

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

    [left. begin{array}{l} BO = R,OF = r\ BO = frac{2}{3}BF,OF = frac{1}{3}BF end{array} right} Rightarrow R = 2r.]

Источник

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

радиус описанной окружности равностороннего треугольника

сторона – сторона треугольника

высота – высота

радиус – радиус описанной окружности

Формула радиуса  описанной  окружности  равностороннего  треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через сторону

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне

Формула радиуса  описанной  окружности  равностороннего  треугольника через высоту:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 09 сентября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

– сторона треугольника

– высота

– радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Окружность, описанная около правильного треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

[spoiler title=”источники:”]

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

Окружность, описанная около правильного треугольника

[/spoiler]

Источник

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Правильный сферический треугольник
  • 3 Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его
  • 4 См. также
  • 5 Примечания

Свойства[править | править код]

Правильный тетраэдр состоит из четырёх правильных треугольников.

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

  • Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
r = frac{sqrt 3}{6} a
  • Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
R = frac{sqrt 3}{3} a
  • Периметр правильного треугольника:
P = 3a = 3 sqrt 3 R = 6 sqrt 3 r
  • Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
h = m = l = frac{sqrt 3}{2} a
  • Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
S={frac {{sqrt 3}}{4}}a^{2}={frac {3{sqrt 3}}{4}}R^{2}=3{sqrt 3}r^{2}={frac {{sqrt 3}}{36}}P^{2}
  • Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
R = 2r
  • Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
  • В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.

Правильный сферический треугольник[править | править код]

Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.

Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его[править | править код]

  • Задача Наполеона
  • Прямая Симсона одно из свойств
  • Теорема Вивиани
  • Теорема Морли
  • Теорема Наполеона
  • Теорема Помпею
  • Теоремы Тебо 2 и 3
  • Точки Аполлония
  • Точки Торричелли

См. также[править | править код]

  • Замечательные прямые треугольника
  • Замечательные точки треугольника
  • Равнобедренный треугольник
  • Теорема Чевы
  • Треугольник
  • Треугольник Рёло

Примечания[править | править код]

Перейти к шаблону «Символ Шлефли» 

Символ Шлефли
Многоугольники
  • {1}
  • {2}
  • {3}
  • {4}
  • {5}
  • {6}
  • {7}
  • {8}
  • {9}
  • {10}
  • {11}
  • {12}
  • {14}
  • {15}
  • {17}
  • {18}
  • {20}
  • {30}
  • {51}[de]
  • {257}
  • {65537}
  • {4294967295}
  • {∞}
Звёздчатые многоугольники
  • {5/2}
  • {6/2}
  • {7/2}
  • {7/3}
  • {8/2}
  • {8/3}
  • {9/2}
  • {9/3}
  • {9/4}
Паркеты на плоскости
  • {3,6}
  • {4,4}
  • {6,3}
Правильные многогранники
и сферические паркеты
  • {2,n}
  • {3,3}
  • {4,3}
  • {3,4}
  • {5,3}
  • {3,5}
  • {n,2}
Многогранники Кеплера — Пуансо
  • {5/2,5}
  • {5,5/2}
  • {5/2,3}
  • {3,5/2}
Соты

{4,3,4}
Четырёхмерные многогранники
  • {3,3,3}
  • {4,3,3}
  • {3,3,4}
  • {3,4,3}
  • {5,3,3}
  • {3,3,5}
Источник

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен 60 градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Правильный треугольник

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна a.

Высота правильного треугольника: h=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2} a.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a.
Радиус описанной окружности в два раза больше: R=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 3} a.
Площадь правильного треугольника: S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 4} a^2.

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части C — докажите их самостоятельно.

1. Сторона правильного треугольника равна sqrt{3}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a=0,5.

2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Рисунок к задаче 2

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3} высоты.

Ответ: 2.

3. Сторона правильного треугольника равна sqrt{3}. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Рисунок к задаче 3

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6}a.

Ответ: 1.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Добавить комментарий