Как найти радиус описаной окружности формула

радиус описанной окружности треугольника

a , b , c blue    –  стороны треугольника

s12 black  – полупериметр

s (abc)2

O black  – центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R  ) :

Формула радиуса описанной окружности треугольника

радиус описанной окружности равностороннего треугольника

сторона – сторона треугольника

высота – высота

радиус – радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через сторону

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

a, b – стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

a, b – катеты прямоугольного треугольника

c – гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности трапеции

a – боковые стороны трапеции

c – нижнее основание

b – верхнее основание

d – диагональ

p – полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

радиус описанной окружности около квадрата

a – сторона квадрата

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Формула радиуса описанной окружности квадрата

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

Радиус описанной окружности прямоугольника

a, b – стороны прямоугольника

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

a – сторона многоугольника

N – количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника

a – сторона шестиугольника

d – диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Радиус описанной окружности для произвольного треугольника

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

radius opisannoy okruzhnosti

    [R = frac{{abc}}{{4S}}]

    [R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }} = frac{c}{{2sin gamma }},]

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

Центр описанной окружности лежит:

radius opisannoy okruzhnosti tupougolnogo treugolnika

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

radius opisannoy okruzhnosti pryamougolnogo treugolnika

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

    [R = frac{c}{2}]

Окружность, описанная около многоугольника

radius opisannoy okruzhnosti mnogougolnika

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности  находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

    [R = frac{a}{{2sin frac{{{{180}^o}}}{n}}}]

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

radius opisannoy okruzhnosti ravnostoronnego treugolnikaФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

    [R = frac{a}{{sqrt 3 }}]

Если без иррациональности в знаменателе —

    [R = frac{{asqrt 3 }}{3}.]

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

    [R = 2r]

Радиус описанной окружности квадрата

radius opisannoy okruzhnosti kvadrata

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

    [R = frac{a}{{sqrt 2 }}]

Если без иррациональности в знаменателе —

    [R = frac{{asqrt 2 }}{2}.]

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

radius opisannoy okruzhnosti pravilnogo shestiugolnika

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

    [R = a]

Формулы для определения радиуса описанной окружности

Найти радиус описанной окружности если известны стороны треугольника

Найти радиус описанной окружности если известны стороны треугольника

a , b , c  – стороны треугольника

s – полупериметр

P = (a+b+c)/2

O – центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R  ) :

formula radius

радиус описанной окружности

Вычислить радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

a – сторона треугольника

h – высота

R – радиус описанной окружности

formula

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника если известна его высота:

R = 2h/3

Image

Circumscribed Polygon.svg

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства[править | править код]

  • Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если около n-угольника описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
  • Около любого правильного многоугольника (все углы и стороны равны) можно описать окружность, и притом только одну.
  • Вокруг каждого треугольника может быть описана единственная окружность.

Уравнения окружности[править | править код]

Уравнение описанной окружности можно выразить через декартовы координаты вершин вписанного в неё треугольника. Предположим, что

{displaystyle mathbf {A} =(A_{x},A_{y})}
{displaystyle mathbf {B} =(B_{x},B_{y})}
{displaystyle mathbf {C} =(C_{x},C_{y})}

являются координатами вершин A, B и C. Тогда окружность — геометрическое место точек v = (vx,vy), в декартовой плоскости удовлетворяющих уравнениям

{displaystyle |mathbf {v} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}
{displaystyle |mathbf {A} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}
{displaystyle |mathbf {B} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}
{displaystyle |mathbf {C} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}},

гарантирующих то, что вершины A, B, C, и v находятся на одном и том же расстоянии r от общего центра u окружности. Используя поляризационное тождество, эти уравнения можно свести к условию, что линейное отображение, задаваемое матрицей

{displaystyle {begin{bmatrix}|mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\|mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\|mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\|mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1end{bmatrix}}}

имеет ненулевое ядро. Таким образом, описанная окружность может быть описана как множество нулей определителя этой матрицы:

{displaystyle det {begin{bmatrix}|mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\|mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\|mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\|mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1end{bmatrix}}=0.}

Раскладывая этот определитель по первой строке и вводя обозначения

{displaystyle quad S_{x}={frac {1}{2}}det {begin{bmatrix}|mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\|mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\|mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1end{bmatrix}},quad S_{y}={frac {1}{2}}det {begin{bmatrix}A_{x}&|mathbf {A} |^{2}&1\B_{x}&|mathbf {B} |^{2}&1\C_{x}&|mathbf {C} |^{2}&1end{bmatrix}},}
{displaystyle a=det {begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\B_{x}&B_{y}&1\C_{x}&C_{y}&1end{bmatrix}},quad b=det {begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|mathbf {A} |^{2}\B_{x}&B_{y}&|mathbf {B} |^{2}\C_{x}&C_{y}&|mathbf {C} |^{2}end{bmatrix}}}

мы приводим уравнение окружности к виду a|v|2 − 2Svb = 0,
или, предполагая, что точки A, B, C не лежали на одной прямой (в противном случае окружность вырождается в прямую линию, которая также может рассматриваться как обобщённая окружность с центром S на бесконечности), |vS/a|2 = b/a + |S|2/a2,
выражая центр окружности как S / а и её радиус как √(b/a + |S|2/a2). Сходный подход позволяет вывести уравнение сферы, описанной вокруг тетраэдра.

Параметрическое уравнение[править | править код]

Единичный вектор перпендикулярный к плоскости, содержащую круг даётся в виде

{displaystyle {hat {n}}={frac {left(P_{2}-P_{1}right)times left(P_{3}-P_{1}right)}{left|left(P_{2}-P_{1}right)times left(P_{3}-P_{1}right)right|}}.}

Следовательно, с учётом радиуса r с центром Pc, точка на окружности P0 единичная нормаль к плоскости, содержащей окружность: {displaystyle scriptstyle {hat {n}}}, однопараметрическое уравнение окружности с началом в точке P0 и ориентированной в положительном направлении (то есть дающее векторы для правила правой руки) в этом смысле {displaystyle scriptstyle {hat {n}}} имеет вид:

{displaystyle mathrm {R} left(sright)=mathrm {P_{c}} +cos left({frac {mathrm {s} }{mathrm {r} }}right)left(P_{0}-P_{c}right)+sin left({frac {mathrm {s} }{mathrm {r} }}right)left[{hat {n}}times left(P_{0}-P_{c}right)right].}

Трилинейные и барицентрические координаты окружности[править | править код]

Уравнение окружности в трилинейных координатах x : y : z есть[1]:p. 199 a/x + b/y + c/z = 0. Уравнение окружности в барицентрических координатах есть x : y : z is a2/x + b2/y + c2/z = 0.
Изогональное сопряжение окружности есть бесконечно удалённая прямая, записываемая в трилинейных координатах в виде ax + by + cz = 0 и в барицентрических координатах в виде x + y + z = 0.

Координаты центра описанной окружности[править | править код]

Декартовы координаты центра[править | править код]

Декартовы координаты центра описанной окружности есть

{displaystyle U_{x}=left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})right]/D,}
{displaystyle U_{y}=left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})right]/D},

где

{displaystyle D=2left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})right].}

Без ограничения общности это можно выразить в упрощённом виде после перевода вершины A в начало координат декартовой системы координат, то есть, когда
A′ = AA = (Ax,Ay) = (0,0). В этом случае координаты вершин B′ = BA и C′ = CA представляют собой векторы из вершины A′ к этим вершинам.
Заметим, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников и координат центра описанной окружности треугольника ABC′ в следующем виде:

{displaystyle left[C'_{y}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})-B'_{y}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})right]/D',}
{displaystyle left[B'_{x}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})-C'_{x}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})right]/D'},

где

{displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).}

Трилинейные координаты центра[править | править код]

Центр описанной окружности имеет трилинейные координаты[1]:p.19

cos α : cos β : cos γ,

где α, β, γ внутренние углы треугольника.
В терминах сторон треугольника a, b, c трилинейные координаты центра описанной окружности имеют вид[2]

{displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}

Барицентрические координаты центра[править | править код]

Барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид

{displaystyle a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):;b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}):;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),}[3],

где a, b, c длины сторон (BC, CA, AB соответственно) треугольника.
В терминах углов треугольника {displaystyle alpha ,beta ,gamma ,} барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид[2]

{displaystyle sin 2alpha :sin 2beta :sin 2gamma .}

Вектор центра описанной окружности[править | править код]

Так как декартовы координаты любой точки являются средневзвешенным тех вершин, со своими весами, то барицентрические координаты точки нормируются в сумме единицей, тогда вектор центра описанной окружности, можно записать в виде

{displaystyle U={frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.}

Здесь U есть вектор центра описанной окружности, A, B, C являются векторами вершин. Делитель здесь равен 16S 2, где S — площадь треугольника.

Для треугольника[править | править код]

Окружность, описанная около треугольника

  • Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров или медиатрис.

Углы[править | править код]

Равные углы у вписанного треугольника

Равные углы у вписанного треугольника

На рисунке показаны равные углы у треугольника, вписанного в окружность.

Углы, образуемые описанной окружностью со сторонами треугольника, совпадают с углами, которые образуют стороны треугольника, соединяясь друг с другом в вершинах. Сторона, противоположная углу α, дважды касается окружности: один раз на каждом конце; в каждом случае под одинаковым углом α (см. рис.) (аналогично для двух других углов). Это связано с теоремой об отрезке круга, дополнительном данному (the alternate segment theorem,), в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен вписанному в окружность углу, опирающемуся на эту хорду.

Треугольные центры на окружности, описанной около треугольника ABC[править | править код]

В этом параграфе вершины углов обозначены, как A, B, C и все координаты являются трилинейными координатами.
Следующие точки на окружности, описанной около треугольника ABC:

  • Точка Штейнера = bc / (b2c2) : ca / (c2a2) : ab / (a2b2) = невершинная точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера. (Эллипс Штейнера с центром, расположенном в центроиде треугольника ABC представляет собой эллипс с наименьшей площадью из всех, что проходят через вершины A, B и C. Уравнение эллипса Штейнера имеет вид: 1/(ax) + 1/(by) + 1/(cz) = 0.)
  • Точка Тарри (Tarry point) = sec (A + ω) : sec (B + ω) : sec (C + ω) = диаметрально противоположная точке Штейнера
  • Фокус параболы Киперта (Kiepert parabola) = csc (BC) : csc (CA) : csc (AB). (см. рис.)

Свойства вписанной параболы

  • Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера[4]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр[5]. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.
  • Теорема Лестера[6]. В любом разностороннем треугольнике две точки Торричелли, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера).

Свойства центра описанной окружности треугольника[править | править код]

  • У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
  • Остроугольный

    Остроугольный

  • Тупоугольный

    Тупоугольный

  • Прямоугольный

    Прямоугольный

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС.
Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и,
значит, является описанной около треугольника ABC.

  • Центр описанной окружности изогонально сопряжен ортоцентру.
  • 3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
  • Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника (называемого дополнительным треугольником).
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
  • Математически последнее утверждение означает, что

расстояние от центра описанной окружности например до стороны a треугольника равно:

{displaystyle k_{a}=a/(2tgA);}

расстояние от ортоцентра например до вершины A треугольника равно:

{displaystyle d_{A}=a/(tgA).}
  • Из последних трёх утверждений следует то, что сумма расстояний от ортоцентра остроугольного треугольника до трёх его вершин в два раза больше, чем сумма расстояний от центра описанной окружности до трёх его сторон, и равна {displaystyle 2(R+r)}. В тупоугольном треугольнике надо брать знак «-» в случае, если перпендикуляр из центра описанной окружности на сторону целиком лежит вне треугольника или если отрезок, проведённый из ортоцентра к вершине, целиком лежит вне треугольника. Остальные члены берутся со знаком «+».
  • Математически последнее утверждение (Формула Карно) означает, что[7]:
{displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}

где {displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}} — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a,b,c треугольника;
{displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}} — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин A,B,C треугольника.

Радиус[править | править код]

Формулы радиуса описанной окружности

R={frac  {abc}{4S}}
{displaystyle R={sqrt {frac {S}{2cdot sin alpha sin beta sin gamma }}}.}
R={frac  {a}{2sin alpha }}={frac  {b}{2sin beta }}={frac  {c}{2sin gamma }}
R={frac  {abc}{{sqrt  {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}={frac  {abc}{4{sqrt  {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}},
где:

a,b,c — стороны треугольника,
alpha ,beta ,gamma  — углы, лежащие против сторон a,b,c соответственно,
S — площадь треугольника.
p — полупериметр треугольника, то есть {displaystyle p={frac {a+b+c}{2}}}.

Положение центра описанной окружности[править | править код]

Пусть {displaystyle {mathbf {r} }_{A},{mathbf {r} }_{B},{mathbf {r} }_{C}} радиус-векторы вершин треугольника,
{displaystyle mathbf {r} _{O}} — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

{displaystyle mathbf {r} _{O}=alpha _{A}mathbf {r} _{A}+alpha _{B}mathbf {r} _{B}+alpha _{C}mathbf {r} _{C}}

где

alpha _{A}={frac  {a^{2}}{8S^{2}}}({mathbf  {r}}_{A}-{mathbf  {r}}_{B},{mathbf  {r}}_{A}-{mathbf  {r}}_{C}),qquad alpha _{B}={frac  {b^{2}}{8S^{2}}}({mathbf  {r}}_{B}-{mathbf  {r}}_{A},{mathbf  {r}}_{B}-{mathbf  {r}}_{C}),qquad alpha _{C}={frac  {c^{2}}{8S^{2}}}({mathbf  {r}}_{C}-{mathbf  {r}}_{A},{mathbf  {r}}_{C}-{mathbf  {r}}_{B})

При этом a,b,c — длины сторон треугольника, противоположных вершинам A,B,C.

Уравнение описанной окружности[править | править код]

Пусть {displaystyle {mathbf {r} }_{A}=(x_{A},y_{A}),{mathbf {r} }_{B}=(x_{B},y_{B}),{mathbf {r} }_{C}=(x_{C},y_{C})}
координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,
{displaystyle mathbf {r} _{O}=(x_{O},y_{O})} — координаты центра описанной окружности.
Тогда уравнение описанной окружности

{begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}=0

Координаты центра описанной окружности могут быть вычислены

x_{O}={frac  {1}{D}}{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1end{vmatrix}},quad y_{O}=-{frac  {1}{D}}{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1end{vmatrix}},

где

D=2{begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}

В явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:

{displaystyle x_{O}=-{frac {1}{2}}{frac {y_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^{2}-y_{C}^{2})+y_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A}^{2})+y_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}}
{displaystyle y_{O}={frac {1}{2}}{frac {x_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^{2}-y_{C}^{2})+x_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A}^{2})+x_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}}

Теоремы, связанные с описанной окружностью[править | править код]

  • Теорема о трезубце, или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда {displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}.
  • Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
  • Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, центра I вписанной окружности и центра I_{2} вневписанной окружности. Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, и центров I_1 и I_3 вневписанных окружностей.
  • Окружностно-чевианным треугольником называют треугольник с вершинами во вторых точках пересечения трёх прямых, проведённых через вершины подерного треугольника и данную точку P, с описанной окружностью. Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130 Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine).
  • Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника ABC на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.
  • Согласно теореме Лестера центр девяти точек лежит на одной окружности (на окружности Лестера) вместе с тремя другими точками — двумя точками Торричелли и центром описанной окружности [6].
  • Прямая Эйлера проходит через: 1) Центроид треугольника, 2) Ортоцентр треугольника, 3) центр описанной окружности, 4) Центр окружности девяти точек и другие известные точки (см. Прямая Эйлера).
  • Радиус описанной окружности, проведенный из вершины треугольника в ее центр, всегда перпендикулярен одной из трех сторон ортотреугольника, которую он пересекает (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками[править | править код]

Или через стороны треугольника:

{displaystyle d=OI=R{sqrt {frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}},

где R — радиус описанной окружности (см. Окружность Фурмана).

{displaystyle d=OI={sqrt {{frac {a,b,c,}{a+b+c}}left[{frac {a,b,c,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}}}
  • Расстояние от центра O до ортоцентра H есть[9][10]:p. 449
{displaystyle OH={sqrt {R^{2}-8R^{2}cos Acos Bcos C}}={sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}
  • Для центроида G и центра девяти точек N имеем:
{displaystyle IG<IO,}
{displaystyle 2IN<IO,}
{displaystyle OI^{2}=2Rcdot IN.}
  • Произведение радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника связано со сторонами a, b и c в виде[11]: p. 189, #298(d):
rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.
  • Отношение радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника [12]:
{displaystyle {frac {r}{R}}={frac {4S^{2}}{pabc}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1}.
  • Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда[13] :p.122,#96
{displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}
  • Центр описанной окружности изогонально сопряжён с ортоцентром.
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
  • В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

  • Теорема Тебо 3 утверждает (см. рис.):

  • Формула Карно утверждает, что в треугольнике ABC сумма расстояний от центра D описанной окружности до сторон треугольника ABC, взятых со знаком «-», когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника (иначе со знаком «+»), будет равна {displaystyle R+r}, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей[13]:p.83.

Формула Карно: {displaystyle DG+DH-DF=R+r}

Например для рисунка формула Карно примет вид: {displaystyle DG+DH-DF=R+r}.

  • В другой формулировке формула Карно утверждает, что[7]:
{displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}

где {displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}} — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a,b,c треугольника,
{displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}} — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин A,B,C треугольника.

  • Расстояние от центра описанной окружности например до стороны a треугольника равно:
{displaystyle k_{a}=a/(2tgA);}

расстояние от ортоцентра например до вершины A треугольника равно:

{displaystyle d_{A}=2k_{a}=a/(tgA).}

Определения к последней теореме[править | править код]

  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
  • Окружностно-чевианный треугольник — треугольник с тремя вершинами во вторых точках пересечения с описанной окружностью трёх прямых, проведённых через вершины и данную точку.

Вариации по теме[править | править код]

Японская теорема (Japanese theorem)

  • Теорема[15]. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.).

Для четырёхугольника[править | править код]

Cyclic quadrilateral.svg

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° (pi радиан).
Можно описать окружность около:

  • любого антипараллелограмма
  • любого прямоугольника (частный случай квадрат)
  • любой равнобедренной трапеции
  • любого четырёхугольника, у которого два противоположных угла прямые
  • любого четырёхугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов
  • любого четырёхугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины)
  • Первая теорема Птолемея. У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:[16]:
{displaystyle |AC|cdot |BD|=|AB|cdot |CD|+|BC|cdot |AD|.}.
  • Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство.[17] :

frac{|AC|}{|BD|} = frac{|AB|cdot |AD|+|BC|cdot |CD|}{|AB|cdot |BC|+|CD|cdot|AD| }.

  • Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}

  • Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:
S={sqrt  {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}
  • Та же Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель[18]:

S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}

  • Подробнее о четырёхугольниках, вписанных в окружность, можно прочитать в статье «Вписанный четырёхугольник».

Для вписано-описанного четырехугольника[править | править код]

Аналог теоремы Эйлера для вписано-описанного четырёхугольника[править | править код]

  • Для радиусов R и r соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписано-описанного четырёхугольника и расстояния d между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
{frac {1}{(R+d)^{2}}}+{frac {1}{(R-d)^{2}}}={frac {1}{r^{2}}}.

или

{displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}.

Для многоугольника[править | править код]

  • Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.
  • Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она совпадает с центром окружности, описанной около этого многоугольника.

В сферическом треугольнике[править | править код]

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

  • Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса[19] описанной окружности будет равен[20]:78,83
{displaystyle operatorname {tg} R={sqrt {frac {-cos P}{cos(P-A)cos(P-B)cos(P-C)}}}}
  • Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведённый из центра сферы через центр описанной окружности пересечёт сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника[20]:21-22.

См. также[править | править код]

  • Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
  • Вписанная окружность
  • Вневписанная окружность
  • Окружность
  • Ортоцентр
  • Серединный перпендикуляр
  • Четырехугольник
  • Четырехугольники, вписанные в окружность
  • Центр описанной окружности

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books Архивная копия от 24 марта 2016 на Wayback Machine
  2. 1 2 Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangles http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Архивная копия от 19 апреля 2012 на Wayback Machine
  3. Wolfram page on barycentric coordinates. Дата обращения: 29 апреля 2016. Архивировано 20 июля 2017 года.
  4. , . Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
  5. , . Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
  6. 1 2 Yiu, 2010, с. 175–209.
  7. 1 2 Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
  8. The Orthopole (21 января 2017). Дата обращения: 22 июня 2020. Архивировано 22 июня 2020 года. (англ.)
  9. Marie-Nicole Gras, «Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers»,
    Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Архивная копия от 28 апреля 2021 на Wayback Machine
  10. Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, «Euler and triangle geometry», Mathematical Gazette 91, November 2007, 436—452.
  11. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
  12. Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
  13. 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  14. Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
  15. Вокруг задачи Архимеда. Упр. 8, рис. 13, c. 6 Архивная копия от 29 апреля 2016 на Wayback Machine // geometry.ru
  16. Теорема Птолемея. Дата обращения: 15 марта 2009. Архивировано 10 мая 2009 года.
  17. Четырёхугольники Архивная копия от 16 сентября 2015 на Wayback Machine. Вписанные четырёхугольники .
  18. Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И. В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
  19. Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведённого из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
  20. 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править код]

  • Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
  • Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

Ссылки[править | править код]

  • Логотип Викисклада На Викискладе есть медиафайлы по теме Описанная окружность

Теорема описанной окружности — как построить, свойства

Содержание:

  • Описанная окружность — что из себя представляет

    • Вокруг чего можно описать
  • Теорема, основные свойства, признаки
  • Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула

    • Треугольник
    • Трапеция
    • Правильный многоугольник
    • Правильного шестиугольник
    • Прямоугольник
    • Квадрат

Описанная окружность — что из себя представляет

Решение задач по геометрии может быть проще, если при нахождении неизвестных пользоваться дополнительными сведениями и приемами. Одним из таких будет описание окружности вокруг фигуры.

Описанная окружность — окружность, которая описана вокруг многоугольника. Главным свойством описанной окружности будет тот факт, что она должна содержать все вершины многоугольника.

Точки окружности равноудалены от ее центра, а значит, также равноудалены будут и вершины многоугольника, вокруг которого описана окружность.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Вокруг чего можно описать

Окружность можно описать вокруг (или около):

  • треугольника;
  • трапеции;
  • правильного многоугольника;
  • правильного шестиугольника;
  • прямоугольника;
  • квадрата;
  • многоугольника, чьи серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Теорема, основные свойства, признаки

Правило об описанной окружности

Около любой из вышеперечисленных фигур можно описать окружность, причем только одну.

Доказательством теоремы будет тот факт, что точка пересечения серединных перпендикуляров через медианы у любой фигуры будет только одна. Это точка будет является центром окружности, а значит, никакая другая окружность, которая при этом также захватывает все вершины фигуры, не может быть описана вокруг нее.

Теорема синусов

Теорема синусов позволяет найти двойной радиус или диаметр окружности по расчету формулы:

(2R=d=frac a{sinleft(angle Aright)}=frac b{sinleft(angle Bright)}=frac c{sinleft(angle Cright)},)

где R — радиус,

d — диаметр,

a, b, c — стороны треугольника,

A, B, C — углы треугольника.

Соответственно, для того, чтобы найти радиус описанной окружности, необходимо знать величины любой стороны и противоположного ей угла.

Свойства описанной окружности:

  • центр окружности лежит на пересечении всех серединных перпендикуляров фигуры;
  • вершины фигуры, которая описана окружностью, будут равноудалены от центра и будут лежать на кривой окружности;
  • в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов будет равна 180 градусам;
  • вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Главным признаком описанной окружности будет ее расположение вокруг фигуры, причем ни одна из ее вершин не должна выходить за пределы кривой окружности.

Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула

Треугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника:

(R=frac{atimes btimes c}{4sqrt{ptimesleft(p-aright)timesleft(p-bright)timesleft(p-cright)}},)

где R — радиус ,

a, b и c — стороны треугольника,

p — половина периметра, (p=frac{left(a+b+cright)}2.)

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по стороне:

(R=frac a{sqrt3},)

где R — радиус,

а — сторона треугольника.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по высоте:

(R=frac{2h}3,)

где R — радиус,

h — высота.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника по сторонам:

(R=frac{a^2}{sqrt{4a^2-b^2}},)

где R — радиус,

a и b — стороны.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника по катетам и гипотенузе:

(R=frac12sqrt{a^2+b^2}=frac c2,)

где R — радиус,

a и b — катеты,

с — гипотенуза.

Трапеция

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг трапеции по сторонам и диагонали:

(R=frac{atimes dtimes c}{4sqrt{ptimesleft(p-aright)timesleft(p-dright)timesleft(p-cright)}},)

где R — радиус,

a — боковые стороны трапеции,

b — верхнее основание,

с — нижнее основание,

d — диагональ,

р — полупериметр прямоугольного треугольника: (p=frac{left(a+b+cright)}2.)

Правильный многоугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного многоугольника:

(R=frac a{2timessinleft({displaystylefrac{180^circ}N}right)},)

где R — радиус,

а — сторона многоугольника,

N — количество сторон многоугольника.

Правильного шестиугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного шестиугольника:

(R=a=frac d2,)

где R — радиус,

а — сторона шестиугольника,

d — диагональ шестиугольника.

Прямоугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольника по стороне:

(R=frac{sqrt{a^2+b^2}}2=frac d2,)

где R — радиус,

a и b — стороны прямоугольника,

d — диагональ.

Квадрат

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата:

(R=frac a{sqrt2}=frac d2,)

где R — радиус,

d — диагональ.

Так как диаметр является суммой двух радиусов, при помощи вышеперечисленных формул можно найти диаметр просто умножив полученный результат на 2.

Добавить комментарий