Как найти радиус основания конуса зная образующую

1) Если вам известны объем V и высота конуса H, выразите его радиус основания R из формулы V=1/3∙πR²H. Получите: R²=3V/πH, откуда R=√ (3V/πH)

. 2) Если вам известны площадь боковой поверхности конуса S и длина его образующей L, выразите радиус R из формулы: S=πRL. Вы получите R=S/πL.

3) Следующие способы нахождения радиуса основания конуса базируются на утверждении, что конус образован при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов к оси. Так, если вам известны высота конуса H и длина его образующей L, то для нахождения радиуса R вы можете воспользоваться теоремой Пифагора: L²=R²+H². Выразите из данной формулы R, получите: R²=L²-H² и R=√ (L²-H²).

4) Используйте правила соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Если известны образующая конуса L и угол α между высотой конуса и его образующей, найдите радиус основания R, равный одному из катетов прямоугольного треугольника, по формуле: R=L∙sinα.

5) Если известны образующая конуса L и угол β между радиусом основания конуса и его образующей, найдите радиус основания R по формуле: R=L∙cosβ. Если известны высота конуса H и угол α между его образующей и радиусом основания, найдите радиус основания R по формуле: R=H∙tgα.

6) Пример: образующая конуса L равна 20 см и угол α между образующей и высотой конуса равен 15º. Найдите радиус основания конуса. Решение: В прямоугольном треугольнике с гипотенузой L и острым углом α противолежащий этому углу катет R вычисляется по формуле R=L∙sinα. Подставьте соответствующие значения, получите: R=L∙sinα=20∙sin15º. Sin15º находится из формул тригонометрических функций половинного аргумента и равен 0,5√ (2-√3). Отсюда катет R=20∙0,5√ (2-√3) = 10√ (2-√3) см. Соответственно, радиус основания конуса R равен 10√ (2-√3) см.

7) Частный случай: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30º, равен половине гипотенузы. Таким образом, если известны длина образующей конуса и угол между его образующей и высотой равен 30º, то найдите радиус по формуле: R=1/2L.

1)Если вам известны объем V и высота конуса H, выразите его радиус основания R из формулы V=1/3∙πR²H. Получите: R²=3V/πH, откуда R=√(3V/πH)
.2)Если вам известны площадь боковой поверхности конуса S и длина его образующей L, выразите радиус R из формулы: S=πRL. Вы получите R=S/πL.
3)Следующие способы нахождения радиуса основания конуса базируются на утверждении, что конус образован при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов к оси. Так, если вам известны высота конуса H и длина его образующей L, то для нахождения радиуса R вы можете воспользоваться теоремой Пифагора: L²=R²+H². Выразите из данной формулы R, получите: R²=L²–H² и R=√(L²–H²).
4)Используйте правила соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Если известны образующая конуса L и угол α между высотой конуса и его образующей, найдите радиус основания R, равный одному из катетов прямоугольного треугольника, по формуле: R=L∙sinα.
5)Если известны образующая конуса L и угол β между радиусом основания конуса и его образующей, найдите радиус основания R по формуле: R=L∙cosβ. Если известны высота конуса H и угол α между его образующей и радиусом основания, найдите радиус основания R по формуле: R=H∙tgα.
6)Пример: образующая конуса L равна 20 см и угол α между образующей и высотой конуса равен 15º. Найдите радиус основания конуса. Решение: В прямоугольном треугольнике с гипотенузой L и острым углом α противолежащий этому углу катет R вычисляется по формуле R=L∙sinα. Подставьте соответствующие значения, получите: R=L∙sinα=20∙sin15º. Sin15º находится из формул тригонометрических функций половинного аргумента и равен 0,5√(2–√3). Отсюда катет R=20∙0,5√(2–√3)=10√(2–√3)см. Соответственно, радиус основания конуса R равен 10√(2–√3)см.
7)Частный случай: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30º, равен половине гипотенузы. Таким образом, если известны длина образующей конуса и угол между его образующей и высотой равен 30º, то найдите радиус по формуле: R=1/2L.

Поскольку радиус конуса характеризует размер его основания, то зная его, можно найти диаметр, длину окружности и площадь круга, лежащего в основании. Диаметр представляет собой удвоенный радиус, длина окружности – удвоенный радиус, умноженный на число π, а площадь круга – квадрат радиуса, умноженный на число π.
d=2r
P=2πr
S_(осн.)=πr^2

Зная радиус и образующую конуса, можно уже найти его высоту, угол между образующей и основанием, угол раствора конуса. Высота конуса через радиус и образующую ищется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, оттуда же можно вычислить и угол β через тригонометрические отношения сторон. Угол α можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя образующими и диаметром, отняв из 180 градусов два угла β. (рис.40.1, 40.2)
h=√(l^2-r^2 )
cos⁡β=r/l
α=180°-2β

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую или произведению числа π на радиус и образующую. Чтобы найти площадь полной поверхности, зная радиус и образующую конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности произведение числа π на квадрат радиуса, что является площадью основания конуса.
S_(б.п.)=πrl
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)

Объем конуса, также как и объем пирамиды рассчитывается как одна треть основания, умноженная на высоту.
V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3

Радиус сферы, вписанной в конус, вычисляется как произведение высоты на радиус конуса, деленное на сумму радиуса и образующей. Радиус сферы, описанной вокруг конуса, представляет собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4)
r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2 ))/(l+r)
R=l^2/2h