Радиус описанной окружности прямоугольника
Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали
a , b – стороны прямоугольника
d – диагональ
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольника через стороны
Прямоугольник. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).
Можно дать и другое определение прямоугольника.
Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника
Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
- 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
- 2. Все углы прямоугольника прямые.
- 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
- 4. Диагонали прямоугольника равны.
- 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.
Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.
Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.
Диагональ прямоугольника
Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
 . |
(1) |
Из равенства (1) найдем d:
 . |
(2) |
Пример 1. Стороны прямоугольника равны 
. Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:
Ответ: 
Окружность, описанная около прямоугольника
Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):
Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.
Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть
| ( small R=frac<large d> <large 2>) | (3) |
Подставляя (3) в (2), получим:
| ( small R=frac<large sqrt> <large 2>) | (4) |
Пример 2. Стороны прямоугольника равны 
. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:
Ответ: 
Периметр прямоугольника
Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Периметр прямоугольника вычисляется формулой:
 |
(5) |
где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.
Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.
Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:
Ответ: 
Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).
Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:
 |
(6) |
 |
(7) |
Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):
 |
(8) |
 |
(9) |
Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):
 |
(10) |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):
Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:
 |
(12) |
После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).
Примечание. Легко можно доказать, что
( frac< P><2>>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).
Пример 4. Диагональ прямоугольника равна 
, а периметр равен 
. Найти стороны прямоугольника.
Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):
Подставляя значения и 
в первую формулу (12), получим:
Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения и 
в формулу, получим:
Ответ: 
, 
Признаки прямоугольника
Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Радиус описанной окружности прямоугольника
Как известно, прямоугольником является четырехугольник с прямыми углами. Противоположные углы прямоугольника в сумме составляют 180°, соответственно, вокруг него можно описать одну окружность, при этом, вершины прямоугольника должны быть расположены на этой окружности. Центр прямоугольника и описанной вокруг него окружности размещен в месте пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника равны. Если известны стороны прямоугольника, можно рассчитать величину диагоналей по теореме Пифагора. Диагональ прямоугольника является в то же время и диаметром описанной окружности. R описанной окружности представляет половину диагонали прямоугольника и рассчитывается путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов его сторон деленный на 2 или как половина его диагонали:
d — диагональ;
a, b — величины сторон прямоугольника.
Если известны стороны прямоугольника или диагонали, можно быстро найти R описанной окружности с помощью калькулятора.
[spoiler title=”источники:”]
http://matworld.ru/geometry/pryamougolnik.php
[/spoiler]
Радиус описанной окружности прямоугольника
Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали
a, b – стороны прямоугольника
d – диагональ
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольника через стороны
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 09 сентября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Радиус описанной окружности прямоугольника, формула
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника выходит из теоремы Пифагора поскольку диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
[R=frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}]
(a,b – стороны прямоугольника; R – радиус описанной окружности прямоугольника)
Вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольника по формуле (1)
| a (сторона прямоугольника) |
| b (сторона прямоугольника) |
Вычислить
нажмите кнопку для расчета
Радиус описанной окружности прямоугольника |
стр. 249 |
|---|
Как найти радиус окружности
Лайфхакер собрал девять способов, которые помогут справиться с геометрическими задачами.
Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
Через площадь круга
- Разделите площадь круга на число пи.
- Найдите корень из результата.
- R — искомый радиус окружности.
- S — площадь круга. Напомним, кругом называют плоскость внутри окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
Через длину окружности
- Умножьте число пи на два.
- Разделите длину окружности на результат.
- R — искомый радиус окружности.
- P — длина окружности (периметр круга).
- π (пи) — константа, равная 3,14.
Через диаметр окружности
Если вы вдруг забыли, радиус равняется половине диаметра. Поэтому, если диаметр известен, просто разделите его на два.
- R — искомый радиус окружности.
- D — диаметр.
Через диагональ вписанного прямоугольника
Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.
- R — искомый радиус окружности.
- d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
- a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Через сторону описанного квадрата
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.
- r — искомый радиус окружности.
- a — сторона описанного квадрата.
Через стороны и площадь вписанного треугольника
- Перемножьте три стороны треугольника.
- Разделите результат на четыре площади треугольника.
- R — искомый радиус окружности.
- a, b, с — стороны вписанного треугольника.
- S — площадь треугольника.
Через площадь и полупериметр описанного треугольника
Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.
- r — искомый радиус окружности.
- S — площадь треугольника.
- p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
Через площадь сектора и его центральный угол
- Умножьте площадь сектора на 360 градусов.
- Разделите результат на произведение пи и центрального угла.
- Найдите корень из полученного числа.
- R — искомый радиус окружности.
- S — площадь сектора круга.
- α — центральный угол.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
Через сторону вписанного правильного многоугольника
- Разделите 180 градусов на количество сторон многоугольника.
- Найдите синус полученного числа.
- Умножьте результат на два.
- Разделите сторону многоугольника на результат всех предыдущих действий.
- R — искомый радиус окружности.
- a — сторона правильного многоугольника. Напомним, в правильном многоугольнике все стороны равны.
- N — количество сторон многоугольника. К примеру, если в задаче фигурирует пятиугольник, как на изображении выше, N будет равняться 5.
Читайте также 📐✂️📌
- Как найти периметр прямоугольника
- Как научить ребёнка считать играючи
- Как перевести обычную дробь в десятичную
- 6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
- 9 логических задач, которые по зубам только настоящим интеллектуалам
Вокруг прямоугольника становится возможным описать окружность, так как сумма противоположных углов в нем равна 180°, а это обязательно условие для окружностей, описанных вокруг многоугольников. Такая окружность касается всех вершин прямоугольника, а ее центр находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника. Если провести радиусы к вершинам прямоугольника, то станет очевидным, что они представляют собой половины диагоналей, а диагонали прямоугольника можно найти из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, стороны которого – это стороны прямоугольника.
