Как найти радиус планеты через массу

Вот такая задача. Есть планета, для простоты — сферическая, не вращающаяся, по составу однородная. Масса планеты [math]M[/math] известна ([math]M=frac{ 4 }{ 3 } cdot pi R^{3} cdot rho_ {R}[/math], где [math]R[/math] – радиус планеты, [math]rho _{R}[/math] – средняя плотность планеты). Коэффициент сжимаемости [math]beta[/math] материала, из которого сделана планета, известен ([math]beta = frac{ 1 }{ rho } cdot frac{ d rho }{ dP }[/math], где [math]rho[/math] – плотность, [math]P[/math] – давление). Плотность наружного слоя [math]rho _{0}[/math] – плотность при нулевом давлении – известна (ее, наверное, удобно за единицу принять). Очевидно, что этих данных достаточно, чтобы найти радиус планеты [math]R[/math]. Но вот как его найти — ума не приложу.
Понятно, что на расстоянии [math]r[/math] от центра планеты ([math]r<R[/math]) давление от вышележащих слоев [math]P_{r} = frac{ g_{r}left( M – M_{r} right) }{ 4 pi r^{2} }[/math], где [math]g_{r}[/math] – ускорение свободного падения на глубине [math]R-r[/math], [math]M_{r}[/math] – масса сферы с радиусом [math]r[/math]. [math]M_{r}=frac{ 4 }{ 3 } cdot pi r^{3} cdot rho _{r}[/math], [math]g_{r}=frac{ G cdot M_{r} }{ r^{2} }= frac{ 4 }{ 3 } cdot G pi r cdot rho _{r}[/math], где [math]rho _{r}[/math] – средняя плотность сферы с радиусом [math]r[/math], [math]G[/math] – гравитационная постоянная. Отсюда [math]P_{r}=frac{ 4G pi rho _{r}(R^{3} rho _{R}-r^{3} rho _{r}) }{ 9r }[/math]. А как же [math]P_{r}[/math], [math]rho _{R}[/math] и [math]rho _{r}[/math] выразить через [math]beta[/math]? Никто не подскажет?