Как найти радиус площадь ромба - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

{S = a^2 cdot sin (alpha)}

На этой странице мы предлагаем вам 7 формул площади ромба. Для каждой формулы можно воспользоваться онлайн калькулятором и мгновенно получить результат, не прибегая к помощи обычного калькулятора

Содержание:

калькулятор площади ромба
формула площади ромба через сторону и угол
формула площади ромба через сторону и высоту
формула площади ромба через диагонали
формула площади ромба через угол и диагональ из угла
формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
формула площади ромба ромба через радиус вписанной окружности и угол
формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
примеры задач

Формула площади ромба через сторону и угол

S = a^2 cdot sin (alpha)

a – сторона ромба

α – угол между сторонами ромба

Формула площади ромба через сторону и высоту

S = a cdot h

a – сторона ромба

h – высота ромба

Формула площади ромба через диагонали

S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}

d₁ и d₂ – диагонали ромба

Формула площади ромба через угол и диагональ из угла

S = dfrac{d^2}{2} cdot \tg(dfrac{alpha}{2})

d – диагональ ромба

α – угол между сторонами ромба, из которого выходит диагональ

Формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ

S = dfrac{d^2}{2} cdot ctg(dfrac{alpha}{2})

d – диагональ ромба, противоположная углу α

α – угол между сторонами ромба

Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и угол

S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}

r – радиус окружности

α – угол между сторонами ромба

Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону

S = 2ar

r – радиус окружности

a – сторона ромба

Примеры задач на нахождение площади ромба

Задача 1

Найдите площадь ромба если его диагонали равны 34 и 4.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой площади ромба через диагонали.

S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{34 cdot 4}{2} = 68 : см^2

Ответ: 68 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 2

Найдите площадь ромба если его диагонали равны 4 и 6.

Решение

Задача аналогична предыдущей.

S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{4 cdot 6}{2} = 12 : см^2

Ответ: 12 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь ромба стороны которого равны 5, а высота равна 4.

Решение

Воспользуемся формулой площади ромба через высоту и сторону.

S = a cdot h = 5 cdot 4 = 20 : см^2

Ответ: 20 см²

Проверим полученный ответ на калькуляторе .

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Ромб (значения).

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны^[1] (см. другие варианты определения).

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства[править | править код]

Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
Высоты в ромбе равны между собой.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Диагонали ромба являются осями его симметрии.
В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Признаки[править | править код]

Самое общее определение: ромб — это выпуклый четырёхугольник^[2], все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является параллелограммом^[3]^[1].

Параллелограмм ABCD является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий^[4]:

Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
Его диагонали пересекаются под прямым углом.
Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
Диагонали параллелограмма являются осями симметрии^[5].

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай дельтоида, у которого любые две смежные стороны равны между собой.

Квадрат как частный случай ромба[править | править код]

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов^[6]^[7].

Уравнение ромба[править | править код]

К уравнению ромба (центр в начале координат)

Уравнение ромба с центром в точке ${displaystyle {x_{0},y_{0}}}$ и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде^[8]:

${displaystyle {frac {|x-x_{0}|}{a}}+{frac {|y-y_{0}|}{b}}=1,}$

где a,b — половины длин диагоналей ромба по осям X,Y соответственно.

Длина стороны ромба равна ${displaystyle {sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$ Площадь ромба равна Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

${displaystyle 2operatorname {arctg} {frac {b}{a}}}$

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

${displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,}$

где сторона квадрата равна а его диагональ равна Соответственно площадь квадрата равна ${displaystyle 2a^{2}.}$

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать^[8] как суперэллипс степени 1.

Площадь ромба[править | править код]

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

${displaystyle S={dfrac {ACcdot BD}{2}}}$

Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

${displaystyle S=a^{2}cdot sin alpha }$

где alpha — угол между двумя смежными сторонами ромба.

Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол :

${displaystyle S={dfrac {4r^{2}}{sin alpha }};}$

Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности[править | править код]

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде^[9]:

${displaystyle r={frac {pcdot q}{2{sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}$

В геральдике[править | править код]

Ромб является простой геральдической фигурой.

Червлёный ромб в серебряном поле
В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия[править | править код]

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

Ромбический орнамент
Ромбические звёзды
Более сложный орнамент

См. другие примеры на Викискладе.

См. также[править | править код]

Дельтоид
Звезда (геометрия)
Ромбододекаэдр
Ромбоид

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Элементарная математика, 1976, с. 435..
↑ Требование выпуклости нужно, чтобы исключить случаи вырожденного четырёхугольника, у которого часть вершин совпадают (например, фигура, имеющая вид буквы V и ромбом не являющаяся).
↑ Погорелоа А. В. Домашняя работа по геометрии за 8 класс. М.: Просвещение, 2001, С. 18.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 435—436..
↑ Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 26. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
↑ Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.
↑ Чудинов А. Н. Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. 1910.
↑ ¹ ² Weisstein, Eric W. Superellipse (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Здесь ромб назван diamond.
↑ Weisstein, Eric W. Rhombus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Источник

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Определение.

Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC² + BD² = 4AB²

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Определение.

Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.

Ромб имеет две диагонали – длинную d₁, и короткую – d₂

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d₁ = a√2 + 2 · cosα

d₁ = a√2 – 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d₂ = a√2 + 2 · cosβ

d₂ = a√2 – 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d₁ = 2a · cos(α/2)

d₁ = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d₂ = 2a · sin(α/2)

d₂ = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d₁ = √4a² – d₂²

d₂ = √4a² – d₁²

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d₁ = d₂ · tg(β/2)

d₂ = d₁ · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площадь ромба

Определение.

Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · h_a

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a² · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

Окружность вписанная в ромб

Определение.

Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Источник

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Через диагонали и сторону

Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.

d₁ и d₂ – диагонали ромба;
a – сторона ромба.

Через диагонали

Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:

Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):

Через сторону и угол

Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.

Через высоту

Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.

Примеры задач

Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.

Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.

Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2