Построение развертки конуса
Развертка поверхности конуса – это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.
Варианты построения развертки:
- Прямой круговой конус
- Наклонный конус
- Усеченный конус
Развертка прямого кругового конуса
Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.
В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.
Алгоритм построения
- Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
- Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников. Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.
Пример
На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.
Рассмотрим треугольник S0A0B0. Длины его сторон S0A0 и S0B0 равны образующей l конической поверхности. Величина A0B0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S0A0B0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S0A0=l, после чего из точек S0 и A0 проводим окружности радиусом S0B0=l и A0B0= A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B0 с точками A0 и S0.
Грани S0B0C0, S0C0D0, S0D0E0, S0E0F0, S0F0A0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S0A0B0.
Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.
Развертка наклонного конуса
Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).
Алгоритм
- Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
- Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π2. Соответственно, S’’5’’1 – натуральная величина S5. - Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S01060, S06050, S05040, S04030, S03020, S02010. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S01060 длина S010=S’’1’’0, S060=S’’6’’1, 1060=1’6’.
Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.
Перенос линии с поверхности конуса на развертку
Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.
Алгоритм
- Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
- Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
- Находим положение точек A0, B0, C0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S0A0=S’’A’’, S0B0=S’’B’’1, S0C0=S’’C’’1.
- Соединяем точки A0, B0, C0 плавной линией.
Развертка усеченного конуса
Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.
Алгоритм
- Строим вспомогательный конус ε, подобный конусу ω, как это показано на рисунке выше. Для удобства построения величину диаметра d выбираем таким образом, чтобы соотношение t=D/d выражалось целым числом. В рассматриваемом примере t=2.
- Строим развертку боковой поверхности конуса ε – S0A01020304050A0 и на биссектрисе угла A0S0A0 отмечаем точку O0, выбрав ее расположение произвольно.
- Проводим прямые O0A0, O010, O020, O030, O040, O050, O0A0 и на них откладываем отрезки [O0A10]=t×|O0A0|, [O0110]= t×|O010|, [O0210]=t×|O020|, [O0310]=t×|O030|, [O0410]=t×|O040|, [O0510]=t×|O050|, [O0A10]=t×|O0A0| соответственно, где t=D/d. Соединяем точки A10, 110, 210, 310, 410, 510, A10 плавной линией.
- Из точек A10, 110, 210, 310, 410, 510, A10 проводим лучи, которые параллельны соответственно прямым A0S0, 10S0, 20S0, 30S0, 40S0, 50S0, A0S0, и на них откладываем отрезки A10B10, 110120, 210220, 310320, 410420, 510520, A10B10, равные l – образующей усеченного конуса. Проводим линию B10120220320420520B10.
§ 18. Конус
18.1.Определение конуса и его элементов
Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет, называется прямым круговым конусом (рис. 165, 166).
Отрезок оси вращения, заключённый внутри конуса, называется осью конуса.
Круг, образованный при вращении второго катета, называется основанием конуса. Длина этого катета называется радиусом основания конуса или, короче, радиусом конуса. Вершина острого угла вращающегося треугольника, лежащая на оси вращения, называется вершиной конуса. На рисунках 165, б и 166 вершиной конуса является точка Р.
Высотой конуса называется отрезок, проведённый из вершины конуса перпендикулярно его основанию. Длину этого перпендикуляра также называют высотой конуса. Высота конуса имеет своим основанием центр круга — основания конуса — и совпадает с осью конуса.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности его основания, называются образующими конуса. Все образующие конуса равны между собой (почему?).
Как и в случае с цилиндром, можно рассматривать конус в более широком, чем у нас, понимании, когда в основании конуса может быть, например, эллипс (эллиптический конус), парабола (параболический конус). Мы будем изучать только определённый выше прямой круговой конус (конус вращения), поэтому слова «прямой круговой» мы будем опускать.
Рис. 165
Рис. 166
Рис. 167
Поверхность, полученная при вращении гипотенузы, называется боковой поверхностью конуса, а её площадь — площадью боковой поверхности конуса и обозначается Sбок. Боковая поверхность конуса является объединением всех его образующих.
Объединение боковой поверхности конуса и его основания называется полной поверхностью конуса, а её площадь называется площадью полной поверхности конуса или, короче, площадью поверхности конуса и обозначается Sкон. Из этого определения следует, что
Sкон = Sбок + Sосн.
Если вокруг данной прямой — оси — вращать пересекающую её прямую, то при этом вращении образуется поверхность, которую называют круговой конической поверхностью или конической поверхностью вращения. Уравнение + – = 0 задаёт коническую поверхность вращения с осью вращения Oz (рис. 167). Из этого уравнения следует, что коническая поверхность является поверхностью второго порядка. (Подробнее о поверхностях второго порядка можно прочитать в «Дополнениях» — в конце этой книги.)
18.2. Сечения конуса
Определение. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением конуса.
Рис. 168
Рис. 169
Рис. 170
Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники. На рисунке 168 осевым сечением конуса является треугольник ABP (АР = ВР). Угол АPВ называют углом при вершине осевого сечения конуса.
Конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.
Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (см. рис. 168: △ DCP).
Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности конуса такой плоскостью — окружность этого круга; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 169).
Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 170). Поэтому эллипс называют коническим сечением.
Рис. 171
Если сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через её вершину, рис. 171, a), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все её образующие, рис. 171, б), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 171, в), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 171, г), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, рис. 171, д). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко — кониками.
О конических сечениях можно прочитать в очерках «Элементарная геометрия», «Проективная геометрия» в конце этой книги.
ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60°; б) в 90°. Найти площадь сечения.
Решение. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость α пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 172); △ АВР — искомое сечение. Найдём площадь этого сечения.
Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60°, значит, △ AOB — правильный и АВ = R.
Рис. 172
Если точка С — середина стороны АB, то отрезок PC — высота треугольника АВР. Поэтому S△ ABP = АВ•РC. Имеем: ОР = R (по условию); в △ AOB: ОС = ; в △ ОСР: CP = = .
Тогда S△ ABP = АВ•РС = .
Ответ: а) .
18.3. Касательная плоскость к конусу
Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведённому через эту образующую.
Рис. 173
Говорят, что плоскость α касается конуса по образующей РА (рис. 173): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости α и данного конуса.
Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.
18.4. Изображение конуса
Рис. 174
Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 174); 2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и PB из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).
Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.
Необходимо заметить, что отрезок АВ, соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, △ АBP — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является △ ACP, где отрезок AC проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.
18.5. Развёртка и площадь поверхности конуса
Пусть l — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р.
Рис. 175
Рис. 176
Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной из образующих, например по образующей PA (рис. 175), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 176, a), то получим развёртку поверхности конуса (рис. 176, б), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей l конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развёртки боковой поверхности конуса называют углом развёртки конуса; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развёртки):
α = .
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину l его образующей и радиус R основания.
Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса длины l — вычисляется по формуле
Sбок = α•l2,(1)
где α — величина угла (в радианах) сектора — развёртки. Учитывая, что α = , получаем:
Sбок = πRl.(2)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. ▼
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.
Sкон = πRl + πR2.(3)
Следствие. Пусть конус образован вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АС (рис. 177). Тогда Sбок = π•BC•АВ. Если D — середина отрезка АВ, то AB = 2AD, поэтому
Sбок = 2 π ВС•AD.(4)
Рис. 177
Проведём DE ⟂ АB (E ∈ l = AС). Из подобия прямоугольных треугольников ADE и ACB (у них общий угол А) имеем
= ⇒ BC•AD = DE•АС.(5)
Тогда соотношение (4) принимает вид
Sбок = (2π•DE)•AC,(6)
т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей.
Это следствие будет использовано в п. 19.7.
18.6. Свойства параллельных сечений конуса
Теоремa 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то: 1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается круг; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
Рис. 178
Доказательство. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием F пересечён плоскостью α, параллельной плоскости β основания конуса и расположенной между Р и β (рис. 178).
Проведём высоту РО конуса, где точка О — центр круга F. Так как РО ⟂ β, α || β, то α ⟂ РО. Значит, в сечении конуса плоскостью α получается круг с центром в точке O1 = α ∩ РО. Обозначим этот круг F1.
Рассмотрим гомотетию с центром P, при которой плоскость β основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).
Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг F1, при этом центр О основания отображается на центр О1 круга F1 (почему?). Кроме того, если РХ — произвольная образующая конуса, где Х — точка окружности основания, то при гомотетии точка X отображается на точку X1 = РX ∩ α. Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:
= = k,(*)
где k — коэффициент гомотетии , т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части.
А поскольку гомотетия является подобием, то круг F1, являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.
Вследствие того что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и k = PO1 : РО, где РO1 и PO — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то
Sсечен : Sоснов = k2 = : PO2.
Теорема доказана. ▼
18.7.Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды
Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.
Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:
—строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;
—соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;
—выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.
На рисунках 179—182 изображена вписанная в конус пирамида, в основаниях которой лежит:
—прямоугольный треугольник (см. рис. 179);
—правильный треугольник (см. рис. 180);
—квадрат (см. рис. 181);
—правильный шестиугольник (см. рис. 182).
Рис. 179
Рис. 180
Рис. 181
Рис. 182
Определение. Пирамида называется описанной около конуса, если у них вершина общая, а основание пирамиды описано около основания конуса. В этом случае конус называют вписанным в пирамиду (рис. 183).
Рис. 183
Рис. 184
ЗАДАЧА (3.080). В равносторонний конус вписана правильная пирамида. Найти отношение площадей боковых поверхностей пирамиды и конуса, если пирамида: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.
Решение. Рассмотрим случай а). Пусть R — радиус основания равностороннего конуса, РАВС — правильная пирамида, вписанная в этот конус (рис. 184); △ DPE — осевое сечение конуса, CF — медиана △ АBС. Тогда в △ АВС (правильный): АВ = R, OF = R; в △ DPE (правильный): ОР = = R; в △ ОРF (∠ FOP = 90°):
PF = = .
Так как CF — медиана △ АВС, то PF — высота равнобедренного треугольника АВР. Поэтому
S△ ABP = AB•PF = R• = .
Обозначим: S1 — площадь боковой поверхности пирамиды, S2 — площадь боковой поверхности конуса. Тогда
S1 = 3S△ ABP = ,
S
2 = πR•PA = πR•2R = 2πR2.
Следовательно,
S1 : S2 = : 2πR2 = .
Ответ: а) .
Во многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности конуса принимают предел последовательности боковых поверхностей правильных вписанных в конус (или описанных около конуса) п-угольных пирамид при n → +∞. Действительно, Sбок. пов. пирам = •a•Poсн. пирам, где Рoсн. пирам — периметр основания пирамиды, а — апофема боковой грани. Для правильных описанных около конуса пирамид апофема a — постоянная величина, равная образующей l конуса, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, описанных около окружности радиуса R основания конуса, равен 2πR — длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: Sбок = πRl.
18.8. Усечённый конус
Рис. 185
Пусть дан конус с вершиной Р. Проведём плоскость α, параллельную плоскости основания конуса и пересекающую этот конус (рис. 185). Эта плоскость пересекает данный конус по кругу и разбивает его на два тела: одно из них является конусом, а другое (расположенное между плоскостью основания данного конуса и секущей плоскостью) называют усечённым конусом. Таким образом, усечённый конус представляет собой часть полного конуса, заключённую между его основанием и параллельной ему плоскостью. Основание данного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью α, называются соответственно нижним и верхним основаниями усечённого конуса. Высотой усечённого конуса называется перпендикуляр, проведённый из какой-либо точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усечённого конуса. (Часто за высоту усечённого конуса принимают отрезок, соединяющий центры его оснований.)
Рис. 186
Рис. 187
Часть боковой поверхности данного конуса, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса, а отрезки образующих конуса, заключённые между основаниями усечённого конуса, называются образующими усечённого конуса. Так как все образующие данного конуса равны и равны все образующие отсечённого конуса, то равны все образующие усечённого конуса.
Построение изображения усечённого конуса следует начинать с изображения того конуса, из которого получился усечённый конус (рис. 186).
На рисунке 187 показана развёртка усечённого конуса.
Из теоремы 28 следует, что основания усечённого конуса — подобные круги.
Определения усечённой пирамиды, вписанной в усечённый конус и описанной около него, аналогичны определениям пирамиды, вписанной в конус и описанной около него.
Заметим, что построение изображений усечённой пирамиды, вписанной в усечённый конус и описанной около него, следует начинать с изображений того конуса или той пирамиды, из которых получены соответственно усечённые конус и пирамида.
Полной поверхностью усечённого конуса называется объединение боковой поверхности этого конуса и двух его оснований. Иногда полную поверхность усечённого конуса называют его поверхностью, а её площадь — площадью поверхности усечённого конуса. Эта площадь равна сумме площадей боковой поверхности и оснований усечённого конуса.
Усечённый конус может быть образован также вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны трапеции, перпендикулярной её основанию.
Рис. 188
На рисунке 188 изображён усечённый конус, образованный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD. При этом боковая поверхность усечённого конуса образована вращением боковой стороны АВ, а основания его — вращением оснований AD и ВС трапеции.
18.9. Поверхность усечённого конуса
Выразим площадь Sбок боковой поверхности усечённого конуса через длину l его образующей и радиусы R и r оснований (R > r).
Рис. 189
Пусть точка Р — вершина конуса, из которого получен усечённый конус; точки О, O1 — центры оснований усечённого конуса; AA1 = l — одна из образующих усечённого конуса (рис. 189).
Используя формулу (2) п. 18.5, получаем
Sбок = πR•PA – πr•РA1 =
= πR(РA1 + А1A) – πr•PA1 =
= πR•A1A + π(R – r)•PA1.
Учитывая, что A1A = l, имеем
Sбок = πRl + π(R – r)PA1.(7)
Выразим PA1 через l, R и r. Так как O1A1 || OA и OO1 — высота усечённого конуса, то прямоугольные треугольники POA и PO1A1 подобны. Поэтому АО : А1O1 = PA : PA1 или
R : r = (PA1 + A1A) : PA1, откуда
R•PA1 = r(PA1 + l) ⇒ (R – r)PA1 = rl ⇒ PA1 = .
Подставив это значение РА1 в (7), получаем
Sбок = π(R + r)l.(8)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 29. Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую. ▼
Площадь полной поверхности усечённого конуса находится по формуле:
Sполн = π•(R + r)•l + π•R2 + π•r2.
Следствие. Пусть усечённый конус образован вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг её высоты AD (рис. 190). Тогда Sбок = π (АВ + DC)•ВС. Если KЕ — средняя линия трапеции, то АВ + DC = 2KE, поэтому
Sбок = 2π•KE•BC.(9)
Рис. 190
Проведём EF ⟂ ВС. Из подобия прямоугольных треугольников ВСН и EFK имеем
BC : EF = BH : KE ⇒ ⇒ KE•BC = EF•BH.(10)
Тогда равенство (9) принимает вид
Sбок = (2π•EF)•ВH,(11)
т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению его высоты на длину окружности, радиус которой равен серединному перпендикуляру, проведённому из точки оси конуса к его образующей.
18.10. Объёмы конуса и усечённого конуса
Найдём объём конуса, высота которого равна h и радиус основания — R. Для этого расположим этот конус и правильную четырёхугольную пирамиду, высота которой равна h и сторона основания — R, так, чтобы их основания находились на одной и той же плоскости α, а вершины — также в одной и той же плоскости β, параллельной плоскости α и удалённой от неё на расстояние h (рис. 191).
Рис. 191
Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая конус, пересекает также пирамиду; причём площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся к площадям оснований этих тел, как квадраты их расстояний от вершин. А так как секущие плоскости для пирамиды и для конуса равноудалены от их вершин, то = . Тогда = = = π, значит, для объёмов этих тел выполняется:
Vкон : Vпир = π : 1 или Vкон : R2•h = π : 1, откуда
Vкон = πR2 •h.
Рис. 192
Самостоятельно рассмотрите усечённые конус и пирамиду, расположенные в соответствии с условиями принципа Кавальери. Тогда вы получите формулу вычисления объёма усечённого конуса:
Vус. кон = π•h•(R2 + r•R + r2).
Эту же формулу вы можете вывести, если используете идею подобия так же, как это сделано в случае с выводом формулы площади боковой поверхности усечённого конуса.
Используя принцип Кавальери, докажите, что объём каждого из тел, на которые конус разбивается его сечением плоскостью, проходящей через вершину (рис. 192), может быть вычислен по формуле V = •h•Scегм, где h — длина высоты конуса, а Sceгм — площадь соответствующего сегмента основания конуса.
Каждый школьник слышал о круглом конусе и представляет, как выглядит эта объемная фигура. В данной статье дается определение развертки конуса, приводятся формулы, описывающие ее характеристики, а также описывается способ ее построения с помощью циркуля, транспортира и линейки.
Круглый конус в геометрии
Приведем геометрическое определение этой фигуры. Круглым конусом называется поверхность, которая образована прямыми отрезками, соединяющими все точки некоторой окружности с одной-единственной точкой пространства. Эта единственная точка не должна принадлежать плоскости, в которой лежит окружность. Если вместо окружности взять круг, то указанный способ также приводит к получению конуса.
Вам будет интересно:Юридический колледж в Иваново: специальности, приемная комиссия, отзывы
Круг называется основанием фигуры, его окружность – это директриса. Отрезки, соединяющие точку с директрисой, называются генератрисами или образующими, а точка, где они пересекаются – это вершина конуса.
Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.
Вам будет интересно:Термофильные бактерии: польза и вред для человека
Разница между ними заключается в следующем: если перпендикуляр из вершины конуса падает точно в центр окружности, то конус будет прямым. Для него перпендикуляр, который называется высотой фигуры, является частью его оси. В случае конуса наклонного высота и ось образуют некоторый острый угол.
Ввиду простоты и симметричности фигуры далее будем рассматривать свойства только прямого конуса с круглым основанием.
Получение фигуры с помощью вращения
Перед тем как перейти к рассмотрению развертки поверхности конуса, полезно узнать, как с помощью вращения можно получить эту пространственную фигуру.
Предположим, что у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Первые две из них являются катетами, c – это гипотенуза. Поставим треугольник на катет a и начнем его вращать вокруг катета b. Гипотенуза c при этом опишет коническую поверхность. Эта простая методика получения конуса изображена ниже на схеме.
Очевидно, что катет a будет радиусом основания фигуры, катет b – его высотой, а гипотенуза c соответствует образующей круглого прямого конуса.
Вид развертки конуса
Как можно догадаться, конус образован двумя типами поверхностей. Одна из них – это плоский круг основания. Предположим, что он имеет радиус r. Вторая поверхность является боковой и называется конической. Пусть ее образующая будет равна g.
Если у нас имеется бумажный конус, то можно взять ножницы и отрезать от него основание. Затем, коническую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости. Таким способом мы получили развертку боковой поверхности конуса. Две поверхности вместе с исходным конусом показаны на схеме ниже.
Внизу справа изображен круг основания. По центру показана развернутая коническая поверхность. Оказывается, что она соответствует некоторому круговому сектору круга, радиус которого равен длине образующей g.
Угол и площадь развертки
Теперь получим формулы, которые по известным параметрам g и r позволяют рассчитать площадь и угол развертки конуса.
Очевидно, что дуга кругового сектора, показанного выше на рисунке, имеет длину, равную длине окружности основания, то есть:
l = 2*pi*r.
Если бы весь круг радиусом g был построен, то его бы длина составила:
L = 2*pi*g.
Поскольку длина L соответствует 2*pi радианам, тогда угол, на который опирается дуга l, можно определить из соответствующей пропорции:
L ==> 2*pi;
l ==> φ.
Тогда неизвестный угол φ будет равен:
φ = 2*pi*l/L.
Подставляя выражения для длин l и L, приходим к формуле для угла развертки боковой поверхности конуса:
φ = 2*pi*r/g.
Угол φ здесь выражен в радианах.
Для определения площади Sb кругового сектора воспользуемся найденным значением φ. Составляем еще одну пропорцию, только уже для площадей. Имеем:
2*pi ==> pi*g2;
φ ==> Sb.
Откуда следует выразить Sb, а затем, подставить значение угла φ. Получаем:
Sb = φ*g2*pi/(2*pi) = 2*pi*r/g*g2/2 = pi*r*g.
Для площади конической поверхности мы получили достаточно компактную формулу. Величина Sb равна произведению трех множителей: числа пи, радиуса фигуры и ее образующей.
Тогда площадь всей поверхности фигуры будет равна сумме Sb и So (площадь круглого основания). Получаем формулу:
S = Sb + So = pi*r*(g + r).
Построение развертки конуса на бумаге
Для выполнения этой задачи понадобится лист бумаги, карандаш, транспортир, линейка и циркуль.
В первую очередь начертим прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Его вращение вокруг катета в 3 см даст искомый конус. У фигуры r = 3 см, h = 4 см, g = 5 см.
Построение развертки начнем с рисования циркулем окружности радиусом r. Ее длина будет равна 6*pi см. Теперь рядом с ней нарисуем еще одну окружность, но уже радиусом g. Ее длина будет соответствовать 10*pi см. Теперь нам нужно от большой окружности отрезать круговой сектор. Его угол φ равен:
φ = 2*pi*r/g = 2*pi*3/5 = 216o.
Теперь откладываем транспортиром этот угол на окружности с радиусом g и проводим два радиуса, которые будут ограничивать круговой сектор.
Таким образом, мы построили развертку конуса с указанными параметрами радиуса, высоты и образующей.
Пример решения геометрической задачи
Дан круглый прямой конус. Известно, что угол его боковой развертки равен 120o. Необходимо найти радиус и образующую этой фигуры, если известно, что высота h конуса равна 10 см.
Задача не является сложной, если вспомнить, что круглый конус – это фигура вращения прямоугольного треугольника. Из этого треугольника следует однозначная связь между высотой, радиусом и образующей. Запишем соответствующую формулу:
g2 = h2 + r2.
Вторым выражением, которое следует использовать при решении, является формула для угла φ:
φ = 2*pi*r/g.
Таким образом, мы имеем два уравнения, связывающих две неизвестные величины (r и g).
Выражаем из второй формулы g и подставляем результат в первую, получаем:
g = 2*pi*r/φ;
h2 + r2 = 4*pi2*r2/φ2 =>
r = h /√(4*pi2/φ2 – 1).
Угол φ = 120o в радианах равен 2*pi/3. Подставляем это значение, получаем конечные формулы для r и g:
r = h /√8;
g =3*h /√8.
Остается подставить значение высоты и получить ответ на вопрос задачи: r ≈ 3,54 см, g ≈ 10,61 см.
Содержание:
Развертки поверхностей:
Развертыванием поверхности называется такое преобразование, в результате которого поверхность всеми точками совмещается с плоскостью. Полученная при этом плоская фигура называется разверткой.
Поверхности делятся на развертываемые и неразвертываемые.
Разветываемые поверхности совмещаются с плоскостью без разрывов и складок. Признаком развертываемости является пересечение соседних образующих или их параллельность. К развертываемым поверхностям относятся многогранные, цилиндрические, конические, торсовые. Развертки многогранников строятся точно, учитываются лишь погрешности инструмента и графических построений. Развертки цилиндрических, конических и торсовых поверхностей получаются приближенно, так как эти поверхности заменяются вписанными в них или описанными около них многогранными поверхностями, которые и развертываются.
Неразвертываемые поверхности с плоскостью не совмещаются, т.е. теоретически они разверток не имеют, так как образующие их скрещиваются. К неразвертываемым относятся поверхности с плоскостью параллелизма (цилиндроид, коноид, косая плоскость), криволинейные (сфера, тор и т.п.) и графические.
В инженерной практике строятся условные развертки неразверты-ваемых поверхностей. Для этого неразвертываемая поверхность делится на части (доли), которые заменяются развертываемыми поверхностями.
Если рассматривать поверхность и ее развертку как множество точек, то между этими множествами устанавливается взаимооднозначное соответствие, т.е. каждой точке на поверхности соответствует единственная точка на развертке и наоборот.
Свойства развертки
1. Прямая на поверхности переходит в прямую на развертке.
2. Параллельные прямые на поверхности будут параллельными прямыми на развертке.
3. На развертке сохраняются:
- – длина линии, лежащей на поверхности;
- – величина угла между линиями поверхности;
- – величина площади фигуры на поверхности.
Развертки прямых круговых цилиндра и конуса
Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а длина – длине окружности основания
Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса (рис. 241) представляет собой круговой сектор. Длина дуги
откуда
Отложив центральный угол и проведя дугу из центра радиусом строят точную развертку прямого кругового конуса, не считая графических погрешностей.
Развертки линейчатых поверхностей
Способ триангуляции
Способ триангуляции (треугольников) универсален, его можно применять для построения разверток любых поверхностей, в том числе и криволинейных (например, подвесные сферические своды). Однако способ триангуляции не всегда является рациональным. Для каждой группы поверхностей рекомендуется соответствующий графический способ построения разверток. Все линейчатые поверхности, включая и неразвертываемые (цилиндроид, коноид, косая плоскость), можно развернуть способом триангуляции.
Сущность способа заключается в следующем:
1. Криволинейная поверхность заменяется вписанной в нее многогранной поверхностью. Так, на рис. 242 в наклонный эллиптический конус (нормальное сечение – эллипс) с круговым основанием вписана двенадцатигранная пирамида. Для этого основание конуса разбивается па 12 равных частей.
Исследование точности построения разверток показало, что оптимально деление окружности на 12 частей. При делении на 8 и менее частей длина кривой на развертке получается значительно короче длины окружности основания. При делении более чем на 12 частей, увеличивается величина графических неточностей. Полученные после деления окружности дуги заменяются стягивающими хордами. Затем проводятся образующие которые являются ребрами вписанной пирамиды.
2. Определяются натуральные величины сторон каждого треугольника У данной поверхности образующие являются фронталями, их фронтальные проекции равны натуральной величине и Все остальные образующие – прямые общего положения. Их натуральные величины удобно определять вращением вокруг оси проходящей через вершину конуса перпендикулярно горизонтальной плоскости проекции. Натуральные величины образующих равны соответственно отрезкам и т.д.
Третьей стороной у каждого треугольника являются хорды, которые на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения. Натуральные величины хорд
3. Развертка выполняется последовательным построением всех треугольников. Каждый треугольник строят по трем сторонам, натуральные величины которых известны. Если отсек поверхности симметричен, то развертку следует выполнять также симметричной и построение начинать с оси симметрии. Допускается строить половину развертки, которая с одной стороны должна быть ограничена осевой линией. Рекомендуется поверхность разрезать по самой короткой образующей, чтобы длина соединительных “швов” была наименьшей.
Осевая линия располагается на чертеже вертикально или горизонтально. На ней откладывается отрезок Из точки 1 проводится дуга радиусом а из точки – вторая дуга радиусом до пересечения с первой в точке 2: соединив тонкими линиями точки 1 и 2, и 2, получаем Аналогично пристраивается и т.д. Точки 1, 2, 3 соединяются плавной кривой. Контур развертки обводится основной линией до оси симметрии (см. рис. 242).
На развертках часто приходится строить линии, расположенные на поверхностях. К ним относятся линии пересечения двух поверхностей и сечения поверхности плоскостью.
Для построения на развертке точки выполняют следующее:
- через данную точку проводят линию, лежащую на поверхности и удобную для построения (чаще всего это прямая или окружность). На рис. 242 точка принадлежит образующей
- определяют натуральную величину этой линии и на нее переносят рассматриваемую точку. На рис. 242 – натуральная величина образующей и точка
- на развертке строят соответствующую линию. Образующая располагается между образующими и Отрезок равен хорде, а расстояние берется равным натуральной величине –
Способ нормального сечения
Способ применяется для построения разверток призматических и цилиндрических поверхностей.
При построении развертки призматической поверхности необходимо все ее грани последовательно совместить с плоскостью. В общем случае (наклонная призма с непараллельными основаниями) боковые грани призмы – трапеции. Чтобы построить натуральные величины этих граней, необходимо определить натуральные величины ребер призмы, которые являются основаниями трапеций – отрезки и (рис. 243). Кроме того, нужно знать или расстояние между ребрами – высоты трапеций, или натуральные величины сторон основания призмы и – боковые стороны трапеций.
В зависимости от того, высота или боковые стороны применяются при построении разверток, различают два способа: нормального сечения и раскатки. В первом способе расстояние между образующими определяется при помощи нормального сечения. В способе раскатки используются натуральные величины сторон основания призмы.
Развертка призматической поверхности строится точно, не считая графических погрешностей. При построении развертки цилиндрической поверхности необходимо сначала вписать в нее призматическую поверхность, которую затем развернуть. Следовательно, развертка цилиндрической поверхности является приближенной.
На рис. 244 показано построение развертки наклонной призмы способом нормального сечения. При помощи нормального сечения, перпендикулярного к образующим, определяют расстояния между ними. Способ целесообразно применять в тех случаях, когда основания призмы или цилиндра заданы в общем положении.
Последовательность построений:
1) определяются натуральные величины образующих, если они заданы в общем положении (см. рис. 244). Натуральные величины ребер определяются проецированием на дополнительную плоскость проекций параллельную ребрам: Тогда -натуральные величины ребер;
2) строится нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы. Так как ребра параллельны плоскости то сечение вырождается в прямую линию – прямая) и является проецирующим относительно Относительно плоскостей и это сечение занимает общее положение;
3) определяется натуральная величина нормального сечения любым способом. В данном примере она определена проецированием на плоскость Проекция – натуральная величина;
4) строится развертка следующим образом:
а) периметр нормального сечения “развертывается” в прямую линию, на которой то есть эти отрезки равны расстояниям между образующими (ребрами):
б) через точки 1, 2, 3 проводятся образующие, перпендикулярные развертке нормального сечения;
в) на этих линиях откладываются натуральные величины образующих: и т.д.;
г) полученные точки соединяются ломаной линией.
На рис. 244 показано построение на развертке точки принадлежащей поверхности призмы. Точка принадлежит образующей, параллельной ребрам.
Развертки криволинейных поверхностей вращения
Криволинейные поверхности вращения (сфера, тор и др.) относятся к неразвертываемым, их нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок, поэтому при выполнении их из листового материала строятся условные развертки.
Последовательность построений:
- поверхность разрезается по меридианам или параллелям на ряд частей;
- каждая такая часть заменяется вписанной или описанной развертываемой поверхностью (цилиндрической или конической);
- строятся развертки отдельных частей, из которых затем собирается заданная поверхность.
При разрезании по меридианам каждая доля заменяется описанной цилиндрической поверхностью. Такой прием называется способом вспомогательных цилиндров.
При разрезании по параллелям поверхность разбивается на ряд поясов, которые заменяются вписанными коническими поверхностями. Этот прием называется способом вспомогательных конусов.
Способ вспомогательных цилиндров
Построение развертки сферы способом вспомогательных цилиндров показано на рис. 245:
- поверхность сферы меридиональными плоскостями и разрезают на равные части (доли). Рекомендуется разбивать ее не менее чем на 12 частей. В примере принято 6 долей для того, чтобы отрезки были крупнее и чертеж более четким;
- каждую такую долю заменяют описанной цилиндрической поверхностью, касающейся ее по линии симметрии доли.
Цилиндрическая поверхность касается доли I по главному меридиану. Разделив его на 6 равных частей, через точки 2, 3, 4, 5, 6 проводят параллели – окружности. Затем строят образующие цилиндра, касающиеся параллелей в точках 2, 3, 6. Образующие являются фронтально-проецирующими. Таким образом, цилиндрическая поверхность, касательная к доле I, является фронтально-проецирующей и фронтальная проекция ее совпадает с главным меридианом
3) строят развертку каждого описанного цилиндра способом нормального сечения:
а) нормальным сечением доли 1 является главный меридиан, который развертывается в отрезок вертикальной прямой. На ней откладывают отрезки, равные фронтальным проекциям хорд: и т.д.;
б) через полученные точки 2, 3, 4, 5, 6 проводят образующие цилиндра перпендикулярно ”развертке” нормального сечения. Размеры образующих берут с горизонтальной проекции Через полученные точки и проводят плавную кривую. Развертка каждой доли имеет вертикальную и горизонтальную оси симметрии, поэтому, построив 1/4 часть развертки, аналогично строят остальные 3/4. Полная развертка сферы будет состоять из шести (двенадцати) таких долей. На практике подобные развертки удобно делать по шаблону. На рис. 245 такой шаблон заштрихован.
Местоположение точки на развертке, как и любой точки на плоскости, определяется двумя координатами – вертикальной и горизонтальной. Вертикальная координата – расстояние от точки соседней параллели, горизонтальная – от оси симметрии. Вертикальная координата берется с фронтальной проекции, горизонтальная – c горизонтальной плоскости проекций.
Способ вспомогательных конусов
Построение развертки сферы этим способом показано на рис. 246:
1) поверхность сферы разрезается по параллелям горизонтальными плоскостями на ряд поясов и два сегмента;
2) в полученные шаровые пояса и сегменты вписываются поверхности вращения, оси которых совпадают с осью сферы, а основания – с соответствующими параллелями.
В шаровой сегмент IV вписывается полный конус вращения, вершина которого совпадает с точкой пересечения оси вращения с главным меридианом сферы.
В шаровые пояса III и II вписываются усеченные конусы вращения. Образующие конусов совпадают с хордами и Вершины конусов и получаются на пересечении этих образующих с осью вращения.
В экваториальный пояс I вписывается цилиндр вращения;
3) строятся развертки вписанных поверхностей.
Разверткой конуса является сектор, радиус которого равен образующей конуса. Для пояса II – образующая для III – для IV – Центры секторов рекомендуется размещать на одной линии, принимаемой за ось симметрии разверток. Длины дуг секторов равны длинам параллелей окружностей соответствующих поясов. Их размеры берутся с горизонтальной плоскости проекций, для этого окружности делятся на 12 частей. Так, длина дуги на развертке равна длине горизонтальной проекции параллели
Построенные части I и II соединяются между собой по линиям II и III – по линиям III и IV – по линиям
Примеры построения разверток некоторых поверхностей
Задача 1 (рис. 247). Дано: поверхность цилиндроида, плоскостью параллелизма которой является плоскость проекций
Требуется: построить развертку способом триангуляции.
Решение:
1. В заданную поверхность вписывается многогранная поверхность. Окружность нижнего основания разбивается на 12 равных частей. Окружность верхнего основания лежит в профильной плоскости уровня, поэтому дополнительно строится полуокружность, соответствующая его профильной проекции. Полуокружность разбивается на 6 равных частей. Полученные дуги заменяются стягивающими хордами, точки деления переносят на фронтальную и горизонтальную проекции верхнего основания. Затем проводятся образующие и диагонали
В результате получается многогранная поверхность, ограниченная треугольниками
2. Определяются натуральные величины диагоналей (способом плоскопараллельного перемещения). У образующих натуральными величинами являются их фронтальные проекции, т.к. все они параллельны – плоскости параллелизма данного цилиндроида.
3. Строится развертка. Заданная поверхность имеет плоскость симметрии, поэтому развертка будет симметричной и достаточно построить ее половину.
Поверхность разрезается по наименьшей образующей тогда образующая совпадает с осью симметрии развертки, которая на чертеже занимает вертикальное положение. К ней пристраивается треугольник со сторонами: – фронтальная проекция образующей, – натуральная величина диагонали, — профильная проекция хорды, стягивающей 1/12 часть окружности верхнего основания.
На стороне строится второй треугольник у которого – натуральная величина образующей, – горизонтальная проекция хорды, стягивающей 1/12 часть нижнего основания.
Аналогично продолжается построение следующих треугольников. Полученные точки нижнего основания (1, 2, 3,…, 7) и верхнего основания соединяются по лекалу плавной линией.
Задача 2 (рис. 248). Дано: отвод под углом 90° (1/4 часть тора).
Требуется: построить развертку поверхности тора способом описанных цилиндров.
Решение:
1. Поверхность тора проецирующими меридиональными плоскостями делится на четыре части. Деление надо произвести так, чтобы у крайних звеньев с торца получались окружности, к которым присоединяются трубопроводы круглого сечения. С этой целью торцевые звенья делаются равными половине средних. Торцевые звенья равняются 1/6 части отвода и их центральный угол равен 15°, а средние равны 2/6 частям каждый, центральный угол которых 30°.
2. Все звенья кругового кольца заменяются описанными цилиндрами. Нормальным сечением этих цилиндров является окружность /, образующая тор. Эта окружность делится на 8 (или 12) частей. Через точки деления 2, 3…8 проводятся параллели (на фронтальной проекции это четверти окружностей радиусами Затем строятся образующие цилиндров, касательные к параллелям. У крайних звеньев точки касания расположены на торцевых окружностях, а у средних – на линии симметрии.
3. Строятся развертки описанных цилиндров способом нормального сечения. Нормальное сечение каждой части (сечение, перпендикулярное образующим цилиндров) есть окружность заданного диаметра которая разворачивается в прямую линию. На рис. 248 ”развертка” нормального сечения изображается отрезком 1, 2, 3, 8, 1 горизонтальной прямой. Перпендикулярно к этой линии через точки 1, 2, 3 и т.д. проводятся образующие цилиндров, размеры которых берут с фронтальной проекции. Для торцевых звеньев образующие Полученные точки и соединяют плавной кривой линией. Развертка звена симметрична относительно образующей На практике обычно строится шаблон половины развертки торцевого звена (на рис. 248 заштрихованная часть). Повернув его вокруг образующей очерчивается вторая половина развертки. На развертке среднего звена укладываются 4 таких шаблона.
Весь тор можно раскроить из единого листа без обрезков. Для этого развертки звеньев надо разместить на листе так, как показано на рис. 248. Из чертежа видно, что звенья разрезаются попеременно, то по образующей то по образующей Таким образом, при сборке тора швы на звеньях получаются прерывистыми.
В практике при раскрое даются припуски на швы в соответствии с типом соединения.
Развертка поверхностей
Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная путем совмещения элементов поверхности с плоскостью.
Если для поверхности можно построить её развертку точно без складок и разрывов, то поверхность называется развертываемой, в противном случае – неразвертываемой.
К развертываемым поверхностям относятся все гранные, а из линейчатых только -цилиндрические, конические и поверхности е ребром возврата.
Построение разверток развертываемых поверхностей
Существуют следующие способы построения разверток развертываемых поверхностей:
- Способ триангуляции (треугольников);
- Способ раскатки;
- Способ нормального сечения.
Способ триангуляции (треугольников) применяется для построения разверток пирамидальных и конических поверхностей. Они выполняются по одному принципу. Каждая грань пирамиды представляет треугольник и для построения развертки необходимо определить натуральные величины всех сторон треугольника. По найденным натуральным величинам сторон вычерчиваются последовательно треугольные грани. Коническая поверхность, заменяется вписанной в нее, пирамидальной и решение задачи ведется аналогично пирамиде.
Рассмотрим пример, построения развертки, конической поверхности (рисунок 10.1)
Для построения развертки в конус вписываем двенадцатигранную пирамиду. Т.к. по условию конус расположен симметрично относительно оси, построим половину развертки.
Образующие конуса имеют разную длину, поэтому натуральную величину определяем вращением до положения параллельного фронтальной плоскости проекций. Только образующие проецируются в натуральную величину. По полученным натуральным величинам образующих и размерам хорд окружности основания, между образующими, строим половину развертки, состоящую из шести треугольников вписанной в конус пирамиды. Точки основания соединяем плавной кривой линией.
Способ раскатки применяется для построения разверток призматической и цилиндрической поверхности. И если поверхность цилиндрическая, то в нее вписывается призматическая поверхность. Поэтому принцип построения этих разверток одинаков.
Рассмотрим пример построения развертки наклонной треугольной призмы
Развертку можно выполнять только в том случае, если боковые ребра призмы параллельны плоскости проекций, как на рисунке 10.2. В противном случае, сначала выполняется преобразование (методом замены строится новая проекция на плоскость параллельную ребрам). При выполнении развертки методом раскатки точки перемещаются по перпендикулярам к боковым ребрам призмы. А натуральные величины отрезков берутся из горизонтальной проекции, т.к. основание призмы параллельно плоскости Боковые ребра остаются на развертке параллельными, т.к. каждая грань призмы является параллелограммом.
Способ нормального сечения используется также для построения разверток призматической и цилиндрической поверхностей.
Рассмотрим построение развертки призмы изображенной на рисунке 10.3а. Для этого построим нормальное сечение – сечение перпендикулярное боковым ребрам призмы Определим натуральную величину этого сечения, расположив его параллельно плоскости проекций Для построения развертки боковой поверхности призмы, строим периметр треугольника нормального сечения (рисунок 10.36). Через точки сечения 1,2,3,1 проводим боковые ребра перпендикулярно сечению и откладываем на них натуральную величину, которая берется из фронтальной проекции рисунка 10.3а.
Соединив построенные точки, получим развертку боковой поверхности данной призмы (рисунок 10.36).
Построение приближенной развертки неразвёртываемых поверхностей
Когда надо развернуть неразвертывающуюся поверхность ее заменяют развертывающейся (цилиндрической, конической, одной или несколькими), имеющей общие линии е данной.
Такая замена называется аппроксимацией, а полученная развертка – условной или приближенной.
Рассмотрим построение такой развертки на примере полусферы (рисунок 10.4).
Полусферическую поверхность разделим меридиональными плоскостями на дольки (на 12 частей). По высоте сферу делим на несколько частей параллелями. Возьмем одну дольку, ось которой параллельна фронтальной проекции и развернем ее в плоскую фигуру, ось которой будет равна длины окружности (рисунок 10.5).
Через точки 1,2,3,4 проводим перпендикуляры к оси дольки и на них откладываем от оси в обе стороны половину ширины каждой дольки измеренную на горизонтальной проекции. Полная развертка составит двенадцать таких долек.
Если развертывающаяся долька начинается с экватора, то на развертке линия экватора изобразится прямой (рисунок 10.5). Если же долька начинается какой-то параллелью, то на развертке эта параллель изобразится окружностью. Например, параллель, проходящая через точку 3. Для нахождения радиуса этой окружности на фронтальной проекции необходимо провести касательную прямую в точке 5, к окружности до пересечения с осью сферы . И при построении дольки через точку 3 проводим дугу радиуса (рисунок 10.6).
Решение задач
Задача 1. Построить развертку усеченного прямого кругового цилиндра (рисунок
Развертка боковой поверхности цилиндра строится фактически методом нормального сечения, т.к. основание цилиндра перпендикулярно оси. Окружность основания развертывается в прямую линию равную длине окружности Можно ее построить, отложив размер хорд, соединяющих точки основания. Конечно, длина будет тем точнее, чем на большее число частей разбита окружность. Кривая сечения на развертке изобразится синусоидой (рисунок 10.7,б) Для построения полной развертки необходимо к развертке боковой поверхности добавить основание и натуральную величину сечения.
Задача 2. Построить развертку усеченного прямого кругового конуса (рисунок
10.8а).
Так как в прямом круговом конусе все образующие одинаковой длины, развертка представляет собой сектор окружности с радиусом равным длине образующей конуса а длина дуги равная длине окружности основания конуса (рисунок 10.86). Поэтому, разделив окружность основания на 12 частей и затем, отложив на дуге сектора таких же 12 частей, получим развертку.
Угол а также можно определить по формуле:
где d – диаметр основания.
Что такое развертка поверхности
Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью.
Если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.
Свойства развёртки
Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой;
Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке;
Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке;
Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке;
Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической.
Способы построения развёртки
Существует три способа построения развертки многогранных поверхностей:
- Способ треугольника
- Способ нормального сечения
- Способ раскатки
К развертывающим поверхностям относятся все поверхности гранные, то есть поверхности, состоящие из отсеков плоскостей. Из кривых поверхностей к ним относятся только те линейчатые поверхности. У которых касательная плоскость касается поверхности о всех точках ее прямолинейной образующей. Этому условию удовлетворяют три типа линейчатых поверхностей: цилиндрическая, коническая, торсовая [1].
Все остальные поверхности относятся к неразвёртывающимся или косым.
Развертки могут быть точными. Это развертки прямого кругового цилиндра и конуса. Если пренебречь графическими ошибками, то к точным развёрткам можно отнести развертки многогранников.
Развертки всех других поверхностей как развертывающихся, так и неразвёртывающихся, которые, как правило, строятся графически, являются приближенными.
Любая конструкция рассматривается как комбинация простейших геометрических поверхностей.
Рассмотрим наиболее простую гранную поверхность.
Развертки гранных поверхностей
Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью.
Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины истинных размеров и формы отдельных граней поверхности – плоских многоугольников и вычерчиванию их в том порядке, в каком они следуют друг за другом на самой поверхности.
Рассмотрим на примере решение задачи
Развертка поверхности прямой призмы
Представим, что поверхности призмы разрезана по ребру АА1.
Развернем ее боковую поверхность и совместим се грани с плоскостью чертежа (рис.10.1) [1].
Так как призма прямая, то ее основание развернется в прямую линию. Поэтому на свободном поле чертежа проведем прямую линию, на которой произвольно выберем точку А. От этой точки развернем основание призмы. Поскольку основание данной призмы проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину, на прямой от точки А последовательно отложим отрезки, равные соответствующим сторонам основания.
Рисунок 10.1- Развертка поверхности прямой призмы
Учитывая, что призма прямая и ее ребра проецируются на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину, к прямой – развёртке основания в точках – проведем перпендикуляры, на которых отложим величину ребра. Соединив точки , получим развертку боковой поверхности призмы.
Полная развертка призмы состоит из развертки ее боковой поверхности и двух оснований – верхнего и нижнего.
Так как призма прямая, и ее основание проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину, к боковой развертке в любом месте пристраиваем два четырехугольника , перенося их адекватно с горизонтальной проекции призмы.
Развертка поверхности наклонной призмы
Построение развёртки может быть выполнено способом нормального (перпендикулярного) сечения. Способом раскатки и способом треугольников (триангуляция). Рассмотрим каждый способ в раздельности [1].
Построение развертки способом нормального сечения (рис.10.2).
Рисунок 10.2 – Построение развертки призмы способом нормального сечения
Если разрезать боковую поверхность наклонной призмы по любому ребру и совместить с плоскостью чертежа, то очевидно, что основание такой призмы развернется не в прямую, а в ломаную линию.
Если же призму пересечь плоскостью, перпендикулярной рёбрам, то полученное при этом сечение при развертывании даст прямую линию. Поэтому для решения задачи необходимо:
- Пересечь призму плоскостью, перпендикулярной ее ребрам;
- Найти проекции сечения вспомогательной плоскости с призмой;
- Определить истинную величину нормального сечения;
- Развернуть полученный четырехугольник сечения прямую линию;
- Отложить вверх и вниз от этой линии истинные величины отрезков ребер относительно сечения призмы.
Проведем плоскость Р, перпендикулярную ребрам призмы (рис.10.2 а).
Эта плоскость Р – фронтально проецирующая и следы ее будут перпенди-кулярны соответствующим проекциям ребер.
Найдем проекции сечения призмы плоскостью Р. Фронтальные проекции точек пересечения ребер с плоскостью лежат на ее фронтальном следе , горизонтальные проекции определяются по линиям связи. Соединив проекции точек прямыми, получим проекции сечения.
Истинную величину фигуры (четырёхугольника) сечения определяем любым способом, например. Способом замены плоскостей проекций.
На свободном поле чертежа (рис.10.2 б) проведём горизонтальную прямую, на которой последовательно отложим от точки истинные величины сторон четырехугольного сечения. Через точки проведем перпендикуляры к прямой, на которых откладываем истинные величины отрезков боковых ребер вверх и вниз от прямой , перенося соответствующие отрезки с фронтальной проекции призмы (так как ребра призмы параллельны плоскости проекций V). Соединив концы сложенных отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы.
Развертка призмы способом раскатки
Так как основание призмы на горизонтальной плоскости проекций изображается в натуральную величину, ее развертку можно построить более удобным способом, чем способ нормального сечения.
Построения развертки призмы способом раскатки показано на рис 10.3.
Поскольку ребра призмы параллельны фронтальной плоскости проек-ций, то каждую грань можно повернуть вокруг бокового ребра (как вокруг фронтали) до положения, при котором грань будет параллельна плоскости V и спроецируется на эту плоскость без искажения. Разворачивая таким образом одну грань за другой по порядку, получим развертку боковой поверхности.
Практически такое построение выполняется следующим образом [1] .
Так как при повороте грани вокруг ребра точка В будет перемещаться по окружности, фронтальная проекция которой изображается прямой, перпендикулярной , через точку проведем прямую, перпен-дикулярную Радиусом равным истинной величине стороны основания призмы из точки делаем засечку на перпендикуляре.
Таким образом, находим точку развертки. Через точку проведем прямую, параллельную на которой откладываем истинную величину ребра призмы, т.е. величину его фронтальной проекции, получим точку
Рисунок 10.3 – Построение развертки призмы способом раскатки
Из точки проведем перпендикуляр к Сделав в нем засечку радиусом из точки найдем точку развертки. Через проведем прямую, параллельную и отложим на ней величину ребра призмы. Получим точку Аналогичным способом определяются точки Соединив их прямыми, соответствующими сторонам оснований, получим развертку боковой поверхности призмы.
Следует отметить, что если ребра призмы не параллельны плоскости проекций, а развертку необходимо выполнить раскаткой, то предварительно меняют плоскости проекций новой системой, в которой ребра окажутся параллельными одной из плоскостей проекций.
Построение развертки пирамиды (способ треугольника)
Так как боковые грани наклонной призмы являются парраллелограммами, для построение их истиной величины недостаточно иметь только истинные значения ребер и сторон основания призмы. Для этого необходима еще одна величина – диагонали, что и положено в основу построения развертки боковой поверхности призмы способом треугольника [1].
При построении развертки следует:
- Разбить каждую из граней призмы диагоналями на треугольники;
- Определить длину неизвестных сторон треугольника (например, методом плоскопараллельного перемещения);
- Построить треугольники в плоскости чертежа в той последователь-ности, в которой они расположены в многограннике.
Задача. Построить развертку поверхности пирамиды SABC (рис.10.4).
Развернутая поверхность пирамиды состоит из треугольника – ее боковых граней, расположенных в определенной последовательности, и основания.
Для построения боковых граней – треугольника развертки, необходимо определить истинные длины боковых ребер с учетом того, что основание пирамиды на горизонтальной проекции изображается в натуральную величину. Используем наиболее простой способ – способ вращения. Выберем ось вращения I, перпендикулярную плоскости H и проходящую через вершину пирамиды S. Поворачивая вокруг оси горизонтальные проекции ребер до положения, параллельного оси X, получим на фронтальной проекции отрезки представляющие собой истинные длины ребер пирамиды.
Каждая боковая грань строится как треугольник по трем известным сторонам, и развертка получается в виде примыкающих друг к другу в соответствующем порядке треугольников с общей вершиной S.
Рисунок 10.4 – Построение развертки пирамиды
Развертывание поверхностей вращения
Как было упомянуто ранее, развертки кривых поверхностей, как правило, строятся приближенные. Даже для таких развертывающихся поверхностей как цилиндрическая и коническая, которые имеют теоретические точные развертки, на практике строят их приближенными, заменяя (аппроксимируя) эти поверхности гранными, вписывая или описывая их вокруг заданной поверхности.
Надо иметь в виду, что если развертываемый элемент имеет плоскость симметрии, то линию разреза поверхности лучше выбирать так, чтобы развертка получалась в виде симметричной фигуры. При этом предпочтительнее выбирать наиболее короткую линию разреза.
Развёртка цилиндрической поверхности
Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму. Чем больше углов в призме, тем точнее развертка ( при n → ∞ призма преобразуется в цилиндр).
На рис. 10.6. приведено построение полной развёртки усечённого цилиндра (см. условия задания рис. 8.2) стр. 61.
Для построения развертки боковой поверхности на горизонтальной прямой откладывают длину окружности основания πd и делят ее на 12 равных частей (с определенной степенью точности вместо 1/12 длины окружности можно откладывать длину соответствующей хорды) [5]. Из точек деления проводят перпендикуляры к отрезку πd и на них откладывают длины образующих от основания до секущих плоскостей α , β, χ. Для построения точек А, В, С, D на развертке использовано расположение этих точек на горизонтальной проекции цилиндра (от точек деления откладывают длины дуг 2А и 12В) Точки 1, А, С и 1, В, D соединены прямыми линиями.
Точки С, 3…11, D соединяют плавной линией.
Рисунок 10.6 – Полная развёртка поверхности усечённого цилиндра.
К прямой линии πd (развертка нижнего основания цилиндра) присоединяют окружность основания, а к верхней части боковой развертки натуральные фигуры сечения плоскостями (часть эллипса, прямоугольник, сегмент окружности).
Развертка поверхности конуса
Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса с радиусом снованием r представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конуса L, а центральный угол φ=Пr/L.
Чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины дуги сектора или угла, вначале в основанием конуса вписывают правильный 12-угольник. Затем на свободном поле чертежа из точки S проводят дугу радиусом l. От произвольно выбранной начальной точки по дуге последо-вательно засекают 12 дуг, хорды которых равны стороне 12-угольника.
Таким образом, построение развертки боковой поверхности конуса заменяют построением развертки, вписанной в него правильной 12-гранной пирамиды [1] (рис. 10.7).
Рисунок 10.7 – Построение развертки боковой поверхности конуса
На рисунке 10.7 построена развертка боковой поверхности конуса и нанесена ней линия сечения плоскостью P.
В конус впишем правильную 12-гранную пирамиду. Для этого основание конуса разбиваем на 12 равных частей (рис. 7 а). На фронтальной плоскости проекций получим фронтальные проекции (на оси X) точек деления 1″, 2″ ,3″ и т.д. и соединим их с точкой S′ (1″s″, 2″s″, 3″s″, 4″s″ и т.д. – фронтальные проекции образующих конуса, т.е. ребер вписанной пирамиды).
На свободном поле чертежа из произвольно выбранной точки S, проведем угу радиусом L и отложим на ней 12 дуг, хорды которых равны сторонам основания пирамиды (рис. 10.7). Полученные точки соединим с вершиной S, в результате чего образуется развертка боковой поверхности конуса.
Затем на ней строим линию сечения. Для этого найдем истинные величины отрезков образующих, или ребер пирамиды, от вершины до плоскости сечения. Истинные величины можно найти любым способом. Найденные отрезки отложим на соответствующих образующих на развертке. Полученные точки соединим плавной кривой. Последняя и будет линией сечения.
Развертка наклонных тел вращения
Развертки наклонных тел вращения строятся аналогично предыдущим задачам, т.е. поверхность вращения аппроксимируется гранной ( пирамидой или призмой) соответственно с максимально возможным числом граней, а затем используются все те же методы решения, что и при развертке гранных поверхностей.
На рис.10.8 приведено построение полной равертки наклонного конуса [1].
Рисунок 10.8 – Построение полной развертки наклонного конуса
Построение условной развертки сферы
На рисунке 10.9 показано построение условной развертки сферы [5].
Так как сферическая поверхность принадлежит к числу не развертывающихся, то возможна лишь ее приближенная (условная) развертка. Способ построения состоит в том, что сферу разбивают с помощью меридианов на узкие равные между собой доли (клинья). Каждую такую долю заменяют описанной цилиндрической поверхностью, которая касается сферы по среднему меридиану доли. Этот средний меридиан будет нормальным сечением цилиндрической поверхности. Границами цилиндрической поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рассматриваемую долю.
Рисунок 10.9 – Построение условной развертки сферы.
Горизонтальную проекцию n’ экватора n разбиваем на 12 равных частей и через полученные точки проводим горизонтальные проекции меридианов ( рис. 10.9 а).
Рассмотрим построение приближенной развертки 1/12 части (доли) сферы, средним меридианом которой является меридиан
Заменим часть сферы цилиндрической поверхностью. Описанной около нее. Образующие этой поверхности будут фронтально-проецирующими прямыми. Для построения развертки элемента цилиндрической поверхности половину фронтального меридиана разбиваем на 6 равных частей (отмечены точками 1, 2, 3, 4 только половина симметричной части). На горизонтальной прямой (рис. 8.14,б) откладываем отрезок равный 1/12 окружности диаметра D. Через середину проводим перпендикуляр и откладываем на нем отрезки равные длине дуг меридиана m. Через полученные точки проводим горизонтальные прямые, на которых откладываем отрезки соответственно равные длине образующим цилиндрической поверхности C-D, E-F. Отрезки A-B, C-D, E-F представляют собой спрямленные дуги соответствующих параллелей сферической доли. Соединив найденные точки лекальной кривой. Получим плоскую фигуру, являющейся приближенной разверткой 1/12 части сферы.
Для придания каждой доли развертки сферической поверхности кроме изгибания проводят растяжение и сжатие материала.
Положение произвольной точки К принадлежащей поверхности сферы, может быть определено на развертке с помощью двух «координат» – длин дуг Дуга определяет смещение точки Л от одной из параллелей по меридиану, а дуга – смещение ее от одного из меридианов по параллели сферы.
Построение развёрток поверхностей
Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга.)
Развертка усеченной призмы
Развертку боковой поверхности с основанием и фигурой сечения призмы строят следующим образом. Проводят прямую, на которой откладывают пять отрезков, равных длинам сторон пятиугольника, лежащего в основании призмы. Из полученных точек проводят перпендикуляры, на которых откладывают действительные длины ребер усеченной призмы, беря их с фронтальной или профильной проекции, получают развертку боковой поверхности призмы.
К развертке боковой поверхности пристраивают фигуру нижнего основания — пятиугольник и фигуру сечения. При этом используют метод триангуляции (метод засечек). На рисунке показано построение вершины 5 методом триангуляции. Линии сгиба по ГОСТ 2.303—68 показывают на развертке штрих-пунктирной линией с двумя точками.
- Заказать чертежи
Развертка усеченного цилиндра
Для построения развертки на горизонтальной прямой откладывают длину окружности основания, равную и делят ее на 12 равных частей. Из точек деления восставляют перпендикуляры к отрезку , на них откладывают действительные длины образующих цилиндра от основания до секущей плоскости Р, которые взяты с фронтальной или профильной проекции цилиндра. Полученные точки соединяют по лекалу плавной кривой. Затем фигуру сечения соединяют с частью верхнего основания цилиндра, ограниченного хордой (сегмент), а фигуру нижнего основания цилиндра (окружность) соединяют с нижней частью развертки.
Развертка усеченной пирамиды
Сначала строят развертку неусеченной пирамиды, все грани которой, имеющие форму треугольника, одинаковы. На плоскости намечают точку (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки s”e” или s”b’, так как эти ребра параллельны плоскости W и изображаются на ней действительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, например откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника — основания пирамиды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок ab). Точки соединяют прямыми с вершиной ..Затем от вершины на этих прямых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.
На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух отрезков — Действительные длины остальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершину Например, повернув отрезок s”6″ около оси до положения, параллельного плоскости W, получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку 6” провести горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребра SE (или SB). Отрезок представляет собой действительную длину отрезка S6 .
Полученные точки и т. д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрихпунктирной линией с двумя точками.
Развертка усеченного конуса
Построение развертки поверхности конуса начинают с проведения дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса из точки л». Длина дуги определяется углом а:
где d — диаметр окружности основания конуса в мм;
l — длина образующей конуса в мм.
Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной л>. От вершины откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскости Р.
Действительные длины этих отрезков находят, как и в примере с пирамидой, способом вращения около вертикальной оси, проходящей через вершину конуса. Так, например, чтобы получить действительную длину отрезка S2, надо из 2′ провести горизонтальную прямую до пересечения в точке с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.
К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.
Развертки поверхностей
Фигура, получающаяся при совмещении всех точек поверхности с плоскостью (без складок и разрывов), получила название развертки. Поверхности же, допускающие такую операцию, называют развертывающимися.
Построение разверток является важной практической задачей, что связано с изготовлением множества изделий из листового материала (резервуары и трубы, изделия швейной и кожевенной промышленности и т.п.).
Из физической модели процесса развертывания поверхности на плоскость следует, что площадь отсека поверхности должна быть равна площади отсека плоскости на развертке.
Свойство сохранения площади влечет за собой справедливость следующих двух утверждений: длины соответственных линий поверхности и ее развертки равны, углы, образованные линиями поверхности, равны углам, составленным их образами на развертке. Углом между двумя линиями поверхности в их точке пересечения называют угол, составленный касательными, проведенными к кривым в точке.
Это в свою очередь приводит к следующему: прямая поверхности отображается на прямую развертки; параллельные прямые поверхности, отображаются на параллельные прямые развертки.
На этих свойствах и базируются графические и машинные алгоритмы построения разверток.
Из дифференциальной геометрии известно, что к развертывающимся поверхностям относятся только поверхности нулевой кривизны (состоящие только из параболических точек). У этих (линейчатых) поверхностей касательные плоскости, проведенные во всех точках одной образующей, совпадают.
Изо всего множества линейчатых поверхностей развернуты на плоскость могут быть только цилиндрические, конические и торсовые. Развертки для них строятся приближенно. В процессе построения развертки эти поверхности аппроксимируются (заменяются) многогранными поверхностями. Последнее вызвано тем, что спрямление кривых линий базируется на замене их ломаными. Точные развертки аппроксимирующих многогранных поверхностей принимают за приближенные развертки развертываемых поверхностей.
Развертки гранных поверхностен
Процесс получения развертки гранной поверхности сводится к совмещению с плоскостью ее граней. Для гранной поверхности всегда можно построить развертку.
К наиболее распространенным многогранным поверхностям следует отнести призмы и пирамиды.
Развертка поверхности призмы строится в основном двумя способами, с помощью треугольников (триангуляции) и нормальных сечений.
первом способе каждая грань призмы разбивается на два треугольника, для которых определяются натуральные длины сторон. Затем на плоскости последовательно строят треугольники в натуральную величину. Способ основан на свойстве «жесткости» треугольника — три отрезка определяют единственный треугольник.
По способу нормальных сечений призма пересекается плоскостью перпендикулярной ее боковым ребрам. Затем определяются длины сторон ломаной линии (сечения), и она (ломаная) развертывается в отрезок прямой.
Через точки, соответствующие положению вершин, проводятся прямые, перпендикулярные к развертке ломаной. На построенных перпендикулярах откладываются натуральные длины соответствующих отрезков ребер. Концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых.
При необходимости к построенной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются натуральные фигуры оснований призмы.
Способ нормальных сечений эффективен, если ребра призмы являются линиями уровня. Если же при этом основания призмы расположены в плоскостях уровня, то реализуется частный случай этого способа — способ раскатки (рисунок 10.4).
Построение развертки поверхности пирамиды сводится к отысканию истинных величин граней этой пирамиды и последующему совмещению их с плоскостью. Для нахождения истинных величин граней необходимо (каким-либо способом) найти натуральные длины всех ребер пирамиды (рисунок 11.33).
Приближенное построение разверток
Выше было отмечено, что для всех поверхностей строятся приближенные развертки. Однако для таких поверхностей, как цилиндрическая и коническая поверхности вращения, могут быть вычислены все параметры необходимые для точной развертки.
Отсек цилиндра вращения радиуса R и высоты h развертывается в прямоугольник Развертка усеченного цилиндра представлена на рисунке 11.31.
Отсек конуса вращения с высотой h и радиусом основания R развертывается в круговой сектор, радиус которого равен длине образующей отсека конической поверхности ,а его центральный угол a—
Построение разверток поверхностей начинается с аппроксимации их многогранными поверхностями, базирующейся на линейной аппроксимации направляющих. Как правило, кривая заменяется вписанной ломаной. Проиллюстрируем все выше сказанное примерами.
Развертка боковой поверхности усеченного конуса вращения представлена на рисунке 10.3.
Развертывание боковой поверхности усеченного конуса, в общем случае, производится по схеме развертывания поверхности пирамиды.
Коническая поверхность заменяется вписанной в нее поверхностью пирамиды. Построение развертки будет тем точнее, чем больше граней имеет пирамида, заменяющая коническую поверхность.
Истинные величины отрезков образующих определятся на очерковой образующей конуса.
Развертка боковой поверхности наклонного кругового цилиндра показана на рисунке 10.4.
На первом этапе в цилиндрическую поверхность вписывается призма, основанием которой служит многоугольник с n сторонами. Достаточная точность аппроксимации может быть получена при длине стороны равной четверти радиуса окружности. В силу того, что рассматриваемая поверхность симметрична относительно фронтальной плоскости уровня, достаточно построить развертку лишь одной ее половинки.
Развертка вписанной призмы выполняется по способу раскатки. Некоторая фронтальная плоскость совмещается с ребром Затем с ней совмещаются боковые грани призмы последовательным вращением их вокруг соответствующих ребер.
Вращением вокруг ребра грань совмещается с плоскостью. Построение совмещенного положения ребра ВВ’ базируется на том, что точки В и В’ вращаются в плоскостях перпендикулярных ребру и равно отстоят от точек Для построения точек В и В ‘ на развертке через их фронтальные проекции проводятся следы фронтально-проецирующих плоскостей и на которых фиксируется положение точек В. Далее, аналогичным образом строится грань и т. д.
Условные развертки поверхностей
Для неразвертывающихся поверхностей строят условные развертки. Для этого, исходя из требуемой точности развертки, исходную поверхность разрезают на несколько равных частей. Затем полученные отсеки аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей, для которых (по рассмотренной выше методике) и выполняют развертки. Последние и принимают за условную развертку исходной поверхности.
Рассмотрим построение разверток поверхностей вращения по описанной выше методике на примерах, приведенных на рисунках 10.5 и 10.6.
Условные развертки поверхностей вращения выполняют в основном двумя способами: способом цилиндров и способом конусов.
При построении условной развертки способом цилиндров исходная поверхность разрезается плоскостями, проходящими через ее ось вращения (рисунок 10.5).
Каждый выделенный отсек заменяется отсеком цилиндрической поверхности, которая касается исходной поверхности по ее среднему меридиану. Образующие отсека цилиндра ограничены плоскостями меридианов, ограничивающих отсек исходной поверхности.
При этом дуги параллелей исходной поверхности аппроксимируются отрезками образующих соответствующих цилиндров.
Для построения развертки поверхности вращения способом конусов исходная поверхность разрезается плоскостями перпендикулярными ее оси вращения, на несколько частей — «поясов». Каждый из поясов аппроксимируется отсеком конуса вращения.
Таким образом, задача сводится к построению разверток отсеков аппроксимирующих конусов.
Выбор способа построения условной развертки поверхности вращения, в реальном проектировании, во многом зависит от конкретных размеров поверхности и технологии изготовления изделия.
Развертки поверхностей
Разверткой называется плоская фигура, в которую преобразуется поверхность предмета при ее совмещении с плоскостью. При этом подразумевается, что поверхность – это гибкая, но нерастяжимая и несжимаемая пленка и при ее развертке не происходит разрывов и образования складок.
Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися.
К развертывающимся поверхностям относятся многогранники и некоторые линейчатые поверхности – цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата (торсы – развертка торсов не рассматривается).
Развертки можно построить точные и приближенные.
Точные развертки можно строить для гранных поверхностей призмы и пирамиды (не считая графических погрешностей построения), для круговых цилиндров (развертка – прямоугольник с размерами (π·d)×H) и круговых конусов (круговой сектор с углом φ = R·360o/L, где R – радиус основания конуса; L – длина его образующей).
Развертки, которые можно построить графически, заменяя (аппроксимируя) заданные поверхности участками развертывающихся призматических, пирамидальных или цилиндрических поверхностей, называются приближенными. К поверхностям, развертку которых можно построить приближенно, относятся круговые наклонные конуса, эллиптические цилиндры с круговыми сечениями, сферические, торовые, а также комбинированные поверхности, участки которых состоят из развертывающихся поверхностей.
Каждой точке на поверхности соответствует единственная точка на развертке, т. е. между поверхностью и ее разверткой существует взаимно однозначное соответствие, которое обладает следующими основными свойствами:
- а) длины соответствующих линий на поверхности и на развертке равны;
- б) линии, параллельные на поверхности, сохраняют параллельность на развертке;
- в) углы между соответствующими пересекающимися линиями на поверхности и на развертке равны;
- г) площади соответствующих фигур на поверхности и на развертке, ограниченные замкнутыми линиями, равны.
Развертки многогранников
Построение развертки многогранников сводится к определению натуральных величин боковых граней или ребер этих поверхностей. Натуральные величины граней (плоскостей) или ребер (прямых) могут быть определены любым из рассмотренных выше способов преобразования чертежа (см. тему «Преобразование чертежа»).
Развертка поверхности призмы
Построение развертки поверхности призмы можно выполнить несколькими способами:
- Способ нормального сечения.
- Способ раскатки.
- Способ треугольников (триангуляции) – здесь не рассматривается.
Рассмотрим на примерах построение развертки поверхности призмы первыми двумя способами.
1-й способ. Способ нормального сечения (нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы).
Этот способ развертки боковой поверхности призмы можно применить, если на чертеже:
- – ребра призмы являются прямыми уровня, то есть имеют на одной из заданных проекций натуральную величину,
- – на проекциях нет натуральных величин оснований призмы.
!!! Если на чертеже ребра призмы являются прямыми общего положения, то следует изменить положение призмы относительно плоскостей проекций, преобразовав ребра в прямые уровня, например, способом замены плоскостей проекций.
Построение развертки боковой поверхности призмы способом нормального сечения выполняется по следующему графическому алгоритму:
1-е действие. Провести на проекции призмы, на которую ребра призмы проецируются в натуральную величину, плоскость нормального сечения, перпендикулярную ее ребрам (в произвольном месте по длине ребер).
2-е действие. Построить натуральную величину многоугольника нормального сечения (например, способом замены плоскостей проекций).
3-е действие. Развернуть на свободном поле чертежа натуральный многоугольник сечения в прямую и через точки его вершин провести перпендикулярные прямые
- – направления ребер.
4-е действие. Отложить на направлениях ребер в обе стороны от линии нормального сечения натуральные отрезки соответствующих ребер.
5-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки боковой поверхности призмы.
6-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя линии сгиба в местах расположения ребер тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.
На рис. 9.1 показан пример построения развертки поверхности треугольной призмы способом нормального сечения, так как на чертеже призмы ее ребра являются горизонтальными прямыми уровня, а основания являются плоскостями общего положения, т. е. не имеют натуральной величины.
Поверхность призмы «разрезана» по ребру А и развернута по часовой стрелке.
Для построения развертки выполнены графические действия предложенного алгоритма.
1-е действие. Провести горизонтально-проецирующую плоскость нормального сечения α(αh) перпендикулярно горизонтальным проекциям ребер призмы (произвольно по длине ребер).
2-е действие. Способом замены плоскостей проекций построить натуральную величину нормального сечения
- – треугольник 11“-21“-31“, стороны которого определяют ширину каждой грани призмы.
3-е действие. На свободном поле чертежа треугольник 11“-21“-31” нормального сечения развернуть в горизонтальную линию и отметить натуральные величины его сторон; из отмеченных на линии сечения точек 1, 2, 3 и 1 провести перпендикулярные прямые – направления ребер.
4-е действие. Отложить на проведенных направлениях ребер вверх и вниз отрезки натуральных величин ребер (см. ребро B’-B’1), взятых с заданной горизонтальной проекции призмы, где ребра имеют натуральную величину.
5-е действие. Соединить отрезками прямых построенные конечные точки ребер и достроить плоскую фигуру развертки.
6-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам призмы тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими штрихами.
На этом же рис. 9.1 показано также построение на развертке точки Е(Е”,Е’), лежащей на грани АВ призмы.
2-й способ. Способ раскатки
Этот способ развертки применяется, если на чертеже:
- – ребра призмы являются прямыми уровня;
- – основания призмы (или одно из оснований) лежат в плоскости уровня, т. е. имеют на чертеже натуральную величину.
Суть способа в том, что, «разрезав» поверхность призмы по одному из ее ребер, вращением призмы (раскаткой) вокруг этого ребра ближайшая грань призмы совмещается с плоскостью развертки (за плоскость развертки принимается плоскость проекций, которой параллельны ребра призмы). Затем последовательным вращением призмы вокруг следующих ребер с плоскостью развертки совмещаются все прочие грани призмы, т. е. выполняется полная раскатка ее боковой поверхности.
На рис. 9.2 показан пример построения развертки способом раскатки, так как на чертеже ребра призмы являются фронтальными прямыми, а оба основания лежат в горизонтальных плоскостях уровня и на горизонтальной проекции призмы имеют натуральную величину. За плоскость развертки принята фронтальная плоскость проекций, так как ребра призмы фронтальные прямые.
Построение развертки способом раскатки выполняется по следующему графическому алгоритму:
1-е действие. «Разрезать» поверхность призмы по очерковому ребру A-A1(A”-A1“) и повернуть вокруг этого ребра грань АВ призмы до совмещения с плоскостью развертки, построив ребро В-B1; чтобы построить на развертке это ребро, нужно провести из вершин оснований В(B”) и B1(B1“) перпендикуляры к ребру A-A1(A”-A1“) и на пересечении этих перпендикуляров с дугой-засечкой, равной стороне основания AВ(A’B’), построить точки B и B1, определяющие положение ребра В-B1 на развертке (ребро В-B1 параллельно ребру А-A1).
2-е действие. Повторить последовательное вращение каждой грани вокруг следующего ребра и совместить каждую грань с плоскостью развертки, построив конечные точки каждого ребра с помощью дуг-засечек, равных следующим сторонам основания BC(B’C’) и CА(C’А’).
3-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки (достроено также одно основание призмы).
4-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.
На этом же рисунке показано построение на развертке точки E, лежащей на грани BC призмы.
Развертка поверхности пирамиды
Построение развертки боковой поверхности пирамиды по натуральным величинам ее ребер выполняется по следующему графическому алгоритму.
1-е действие. Построить на заданных проекциях пирамиды натуральные величины всех ее боковых ребер (например, способом вращения вокруг проецирующей прямой) и натуральные величины сторон многоугольника основания пирамиды (если основание лежит в плоскости уровня, то натуральные величины даны на одной из проекций).
2-е действие. Построить на свободном поле чертежа последовательно грани пирамиды по натуральным величинам ребер и натуральным величинам сторон основания (с помощью дуг-засечек) так, чтобы они имели общую вершину S и примыкали друг к другу.
3-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам пирамиды тонкими штрихпунктирными линиями.
На рис. 9.3 показан пример построения развертки поверхности правильной треугольной пирамиды, основание которой треугольник АВС на горизонтальной проекции имеет натуральные величины сторон, так как лежит в горизонтальной плоскости уровня.
Для построения развертки выполнены графические действия предложенного алгоритма.
1-е действие. Построить на заданной фронтальной проекции натуральные величины ребер пирамиды способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси i(i’), проходящей через вершину пирамиды точку S (S’) и совпадающую с ее высотой. Напоминаем графические действия этого способа преобразования:
1.1. Повернуть горизонтальные проекции ребер S’А’, S’В’ и S’С’ вокруг оси i(i’) так, чтобы они расположились параллельно фронтальной плоскости проекций V (все ребра правильной пирамиды равны по длине), и получить совмещенные проекции точек Ao‘≡Bo‘≡Co‘.
1.2. На фронтальной проекции пирамиды конечные точки А”, В” и С” ребер перемещаются по горизонтальной линии, перпендикулярной оси i(i”), и на пересечении с линией связи от точек Ao‘(Bo‘≡Co‘) построить точки Ao“(Bo“≡Co“).
1.3. Соединить вершину пирамиды S(S”) с совпадающими точками Ao“(Bo≡Co“)
– полученный отрезок S”A”(S”B”≡S”C”) и есть натуральная величина всех ребер пирамиды.
2-е действие. На свободном поле чертежа построить последовательно (например, против часовой стрелки) от ребра SA, по которому «разрезается» поверхность, треугольники граней пирамиды с общей вершиной S следующим образом:
2.1. Провести дугу радиусом R равным натуральной величине ребер S”Ao” пирамиды из произвольной точки S плоскости чертежа.
2.2. На дуге отметить (произвольно) вершину основания точку A, то есть построить ребро SA пирамиды.
2.3. На проведенной дуге засечками, равными длине сторон основания пирамиды A’В’=В’C’=C’A’ отметить следующие точки вершин основания
– B, C и точку A.
2.4. Построить треугольники граней пирамиды, соединив вершину S с вершинами основания и достроить основание пирамиды к стороне, например, ВС грани SBC.
3-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам пирамиды тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.
Геодезическая линия
Геодезическая линия – это линия кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности. На развертке этой линии соответствует прямая. Геодезическая линия строится на развертке по двум ее конечным точкам, заданным на проекциях предмета, а затем достраивается на заданных проекциях по дополнительным промежуточным точкам, взятым на построенной развертке.
На рис. 9.3 показано построение проекций геодезической линии на поверхности пирамиды по двум заданным на проекциях конечным точкам D(D”,D’-?) и E(E’,E”-?). Порядок графических действий для построения геодезической линии:
1-е действие. Построить полную развертку поверхности (в данном примере развертка пирамиды уже построена).
2-е действие. Построить на развертке геодезическую линию.
2.1. Построить на развертке заданные точки D(D”,D’) и E(E’,E”):
– точка D определяется на развертке на пересечении вспомогательной линии m, проведенной параллельно стороне АВ основания на расстоянии А-2o, равным отрезку Ao“-2o“, взятому на построенной натуральной величине ребер и отложенному по ребру SA развертки, и линии, проведенной через точку S и точку 1, построенную на стороне АВ развертки по отрезку A’-1′, взятому на горизонтальной проекции А’В’ стороны основания;
- – точка E определяется на пересечении аналогично построенных линий 4o-Е и S-3;
2.2. Соединить построенные на развертке точки геодезической линией D-E, которая пересекает ребро SB в точке F.
3-е действие. Достроить фронтальную и горизонтальную проекции геодезической линии D-F-E на проекциях пирамиды по промежуточной точке F с учетом видимости линии на поверхности (на проекциях пирамиды проекции геодезической линии – ломаные линии):
3.1. Отрезок B-F, взятый на развертке (отмечен скобкой), отложить на натуральной величине ребер, построенных на фронтальной проекции, и определить положение точки Fо“.
3.2. Провести через точку Fо” линию, параллельную основанию пирамиды, и на пересечении с проекцией ребра SB(S”B”) построить фронтальную проекцию точки F(F”) геодезической линии.
3.3. Достроить горизонтальную проекцию точки F(F’) по вспомогательной точке 5(5′), лежащей на ребре SC.
3.4. Соединить на проекциях пирамиды заданные проекции точек D и E с построенной точкой F, определив видимость участков ломаной геодезической линии.
На рис. 9.4 показан пример построения развертки неправильной треугольной пирамиды SABC и геодезической линии D-E-F на развертке и на проекциях пирамиды по заданным конечным точкам D и E. Основание пирамиды лежит в горизонтальной плоскости и на горизонтальной проекции пирамиды стороны основания имеют натуральную величину.
Построение развертки поверхности пирамиды выполнено по приведенному выше алгоритму с дополнительными графическими действиями по построению геодезической линии:
1-е действие. Построить на фронтальной проекции пирамиды способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси i(i’), проходящей через вершину пирамиды S(S’), натуральные величины всех ребер пира-миды и вспомогательной линий S-1, проведенной на грани пирамиды SAC через заданную точку D, и определить проекцию Dо” точки D на натуральной величине S”-1o” вспомогательной линии S-1: вспомогательная линия S-2, проведенная через точку E(E’,E”), является фронтальной (//V), и проекция S”-2″ есть ее натуральная величина, которую можно использовать для построения точки E на развертке.
2-е действие. Построить на свободном поле чертежа последовательно от ребра SA по часовой стрелке треугольники граней пирамиды с общей вершиной S по натуральным величинам ее ребер и сторон основания дугами-засечками соответствующей величины и достроить основание пирамиды к стороне АВ.
3-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя линии сгиба.
4-е действие. Построить геодезическую линию на развертке и заданных проекциях пирамиды.
4.1. Построить на развертке конечные точки D и E на вспомогательных линиях S-1 и S-2 по натуральным величинам отрезков 1-D(1o“-Dо“) и 2-E(2″-E”) и соединить эти точки прямой геодезической линией D-E, которая пересекает ребро SC в точке F.
4.2. Достроить фронтальную и горизонтальную проекции ломаной геодезической линии D-F-E на проекциях пирамиды с учетом ее видимости, определив проекции точки F(F’,F”) на ребре SC(S’C’,S”C”) по ее положению на развертке (по отрезку C-F).
Приближенные развертки цилиндрических и конических поверхностей
Развертки цилиндрических и конических поверхностей выполняются аналогично разверткам призматических и пирамидальных поверхностей. При этом цилиндрическая поверхность заменяется (аппроксимируется) вписанной многоугольной призматической поверхностью (обычно 12-угольной), а коническая поверхность заменяется вписанной многоугольной пирамидальной поверхностью, т. е. строятся приближенные развертки.
Развертка кругового цилиндра
Развертку поверхности прямого кругового цилиндра можно выполнять следующими способами:
- – способом нормального сечения на свободном поле чертежа, если образующие являются прямыми уровня, а основания не перпендикулярны образующим;
- – способом раскатки при тех же условиях (развертка является при этом продолжением проекции).
Развертка эллиптического цилиндра (нормальное сечение – эллипс) выполняется способом раскатки, если образующие являются прямыми уровня, и на проекциях есть круговое основание (не рассматривается).
Графические алгоритмы для построения разверток поверхности цилиндра этими способами аналогичны вышеприведенным графическим алгоритмам для построения разверток призмы такими же способами.
На рис. 9.5 показан пример построения развертки боковой поверхности прямого кругового цилиндра, наклоненного относительно горизонтальной плоскости проекций H и срезанного по одному торцу профильной плоскостью.
Поскольку по условию задачи образующие являются фронтальными прямыми уровня, а нормальным сечением кругового цилиндра является окружность, то здесь для построения развертки можно объединить и способы построения, и графические действия алгоритмов.
Развертка выполняется по предлагаемому графическому алгоритму.
1-е действие. Провести на фронтальной проекции цилиндра фронтально-проецирующую плоскость нормального сечения α(αV) перпендикулярно фронтальным проекциям образующих (в произвольном месте по длине образующих) и построить окружность нормального сечения, повернув плоскость этой окружности вокруг линии сечения.
1.1. Окружность нормального сечения разделить на двенадцать частей и точки деления пронумеровать от точки O на очерковой образующей А”-A1“, то есть цилиндр заменить (аппроксимировать) двенадцатиугольной вписанной призмой; из точек деления окружности сечения провести на фронтальной проекции образующие до их пересечения с проекциями оснований.
2-е действие. На продолжении линии нормального сечения отметить двенадцать отрезков – сторон двенадцатиугольника (хорды окружности), которым заменяется окружность сечения, и провести направления ребер (образующих), перпендикулярно линии сечения (линии пронумеровать), то есть выполнить от ребра А”-A1” последовательную раскатку граней призмы, заменившей цилиндр.
3-е действие. Построить конечные точки каждой образующей (ребра) на пересечении образующих с линиями, проведенными перпендикулярно образующим из одноименных точек нижнего основания.
4-е действие. Оформить чертеж развертки боковой поверхности цилиндра, соединив построенные конечные точки образующих плавными кривыми линиями (в примере развертка оборвана из-за недостатка места). Для построения более точной развертки следует по формуле (1) (рис. 9.5, где L – диаметр цилиндра) вычислить длину развертки и разделив эту длину на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3 и 4 действия алгоритма.
Развертка кругового конуса
На рис. 9.6 показан пример построения развертки боковой поверхности прямого кругового конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью α(αV), которая пересекает его поверхность по эллипсу.
Построение развертки боковой поверхности конуса выполняется по алгоритму, приведенному выше для построения развертки пирамиды, с некоторыми дополнениями.
Развертка выполняется по предлагаемому алгоритму.
1-е действие. Заменить прямой круговой конус вписанной правильной 12-угольной пирамидой с ребрами-образующими.
2-е действие. Построить развертку боковой поверхности пирамиды по натуральным величинам ребер (образующих) и сторон основания, выполнив следующие графические действия:
2.1. Отметить на свободном поле чертежа точку S и провести дугу радиусом L, равным натуральной величине всех образующих конуса (ребер пирамиды).
2.2. Отметить на дуге точку O на вертикальной линии симметрии развертки и построить вправо и влево на дуге засечками, равными сторонам-хордам 12-угольника, точки, соответствующие вершинам этого многоугольника; пронумеровать эти точки и соединить их с вершиной развертки, построив таким образом вспомогательные ребра-образующие (грани пирамиды).
3-е действие. Достроить на развертке линию среза конуса фронтально-проецирующей плоскостью α(αV), выполнив следующие графические действия:
3.1. На фронтальной проекции конуса перенести горизонтально на натуральную величину образующей S”-6″ точки сечения, отмеченные на вспомогательных образующих, то есть вращением вокруг оси i(i”,i’) построить натуральные величины отрезков образующих-ребер сечения.
3.2. Отложить на соответствующих образующих развертки натуральные величины отрезков образующих-ребер до точек сечения (отмечены на фронтальной проекции и на развертке фигурными скобками отрезки O”-Oo” образующей для точки Oo и 2″-2o” образующей для точки 2o) и соединить построенные точки сечения на развертке плавной кривой линией.
4-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя сплошными толстыми линиями контур построенной развертки.
Для построения более точной развертки следует вычислить по формуле (2) (рис. 9.6, где R – радиус основания конуса; L – длина образующей конуса) угол развертки и разделить дугу развертки на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3 и 4 действия алгоритма.
На рис. 9.7, а дан чертеж поверхностей кругового цилиндра и кругового конуса, описанных вокруг сферы, и построена линия пересечения этих поверхностей по теореме Г. Монжа.
На рис. 9.7, б построена развертка конической части этой конструкции по следующему графическому алгоритму:
1-е действие. Провести произвольное сечение, перпендикулярное оси конуса, и повернуть половину окружности сечения в очерковую плоскость конуса.
2-е действие. Разделить окружность сечения на 6 частей и перенести точки 1-6 параллельно оси конуса на линию сечения (проекцию окружности), то есть построить точки 1o-6o.
3-е действие. Через вершину конуса S(S”) и точки 1o-6o провести образующие конуса до пересечения с проекцией линии пересечения с проекцией линии пересечения цилиндра и конуса О1“-6”.
4-е действие. Вращением построенных образующих вокруг оси конуса перенести точки 1o“-5o” на очерковую образующую S”-6″, имеющую на чертеже натуральную величину.
5-е действие. На свободном поле чертежа провести радиусом R=S”Oo дугу и отложить на этой дуге шесть отрезков-хорд, на которые было поделено сечение конуса.
6-е действие. Через точку S на развертке и построенные точки Oo-6 провести семейство образующих.
7-е действие. Отложить от точек Oo-6 на каждой образующей развертки соответствующие натуральные величины образующих, взятые с чертежа, то есть отрезки 6o-1o, 6o-2o и т. д.
8-е действие. Построенные на концах семейства образующих точки соединить плавной кривой и оформить чертеж развертки (построена половина развертки).
На рис. 9.8 показано построение развертки боковой поверхности боковой поверхности усеченного конуса (если вершину конуса на чертеже достроить нельзя) с основаниями, равными d и D.
Предварительно на чертеже усеченного конуса строится вспомогательный неусеченный конус подобный заданному так, чтобы отношение диаметра D исходного конуса к диаметру вспомогательного конуса d, было целым число, то есть K = D/d1 – целое число, где K – коэффициент кратности оснований конусов.
Примем K = 3 и впишем в заданный конус вспомогательный конус с вершиной S”.
Достроим горизонтальную проекцию вспомогательного конуса и разделим половину окружности основания d1 на 6 частей (1-6).
Далее приступаем к построению развертки половины усеченного конуса по следующему графическому алгоритму:
1-е действие. На свободном поле чертежа построить развертку вспомогательного конуса с вершиной S (см. рис. 9.8), то есть построить точки 0-2-4-6 на дуге развертки.
2-е действие. На оси симметрии развертки (биссектриса полной развертки) выбрать произвольную точку К и провести семейство лучей, соединяющих соответственно произвольную точку К с точками 0-2-4-6 развертки вспомогательного конуса.
3-е действие. Отложить на проведенных лучах отрезки, величины которых определяются произведениями:
- KOo = K×KO;
- K2o = K×K2;
- K4o = K×K4;
- K6o = K×K6,
где К – принятый коэффициент пропорциональности, а величины KO, K2, K4 и K6 следует измерить на строящейся развертке. На концах лучей определяются точки Oo, 2o, 4o и 6o.
4-е действие. Через построенные точки на концах лучей провести прямые n0-n6, каждая из которых должна быть соответственно параллельна образующим вспомогательного конуса на его развертке.
5-е действие. На проведенных прямых n0-n6 отложить натуральную величину длин образующих заданного усеченного конуса L.
6-е действие. Оформить чертеж развертки, соединив построенные точки развертки лекальными прямыми.
Условные развертки поверхностей
Условные развертки можно выполнить для некоторых неразвертывающихся поверхностей.
Рассмотрим построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей сферы и открытого тора (кругового кольца).
Развертка сферической поверхности
На рис. 9.9 показано построение условной развертки сферической поверхности.
Поверхность сферы условно разрезают на какое-то количество частей (6, 12 и более) и каждую часть заменяют (аппроксимируют) цилиндрической описанной поверхностью, фронтальная проекция которой совпадает с фронтальным очерком сферы – окружностью.
Далее выполнятся развертка одной доли поверхности сферы как сектора цилиндрической поверхности по следующему графическому алгоритму:
1-е действие. На горизонтальной проекции разрезать поверхность сферы на 6 частей и рассмотреть эту 1/6 часть (сектор) как фронтально-проецирующий цилиндр, описанный вокруг сферы.
2-е действие. Разделить дугу очерковой окружности A0B0 сферы, которая совпадает с окружностью описанного цилиндра, на 12 частей (поскольку есть симметрия, рассматриваем дугу A0С0) и заменить участки хордами (то есть вписать 12-угольную призму) – A0“-1″, 1″-2” и т. д.
3-е действие. Спроецировать точки 1″-6″ на стороны взятого сектора его горизонтальной проекции.
4-е действие. Свободном поле чертежа провести вертикальную линию и отложить от точки C0 вверх и вниз по 6 отрезков, равных величине хорд (точки пронумеровать).
5-е действие. Через каждую построенную точку А-6 провести горизонтальные линии и на каждой отложить величину соответствующей образующей: 10-10, 20-20 и т. д.
6-е действие. Конечные точки соединить лекальной кривой.
Таким образом построена 1/6 доля условной поверхности сферы, а 6 таких долей составят развертку всей поверхности.
С увеличением количества долей (1/12, 1/24 и т. д.) точность развертки увеличивается.
Развертка поверхности открытого тора
На рис. 9.10 показана условная развертка поверхности открытого тора.
Поверхность кольца разрезают на какое-то количество долей (6, 12 и более) плоскостями, проходящими через его ось i”, и заменяют каждую долю (сектор) поверхности описанной цилиндрической поверхностью.
Далее выполняют развертку одной доли поверхности по графическому алгоритму, приведенному для построения развертки одной доли поверхности сферы.
На рис. 9.11 приведен чертеж построения части (правой) развертки комбинированной геометрической поверхности, состоящей из трех полых цилиндров, сообщенных двумя коническими рукавами, в котором подытоживается изученный материал данной темы. Показано, что развертка каждой части комбинированной поверхности строится отдельно.
Структуризация материала девятой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 9.12 (лист 1). На последующих листах 2–5 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления изученного материала при повторении (рис. 9.13–9.16).
Развертки поверхностей:
Развертка – плоская фигура, в которую преобразовывается поверхность при ее совмещении с плоскостью без разрывов и складок.
Геодезическая линия – кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. На развертке этой линии соответствует прямая.
Развертка гранных поверхностей
Развертка призмы.
а. Способ нормального сечения (применяется, если на чертеже ребра призмы являются прямыми уровня)
Графический алгоритм:
1. Построить натуральную величину нормального сечения, перпендикулярного к ребрам призмы.
2. Развернуть стороны сечения в линию и из вершин, провести направления ребер перпендикулярно к линии развертки.
3. Отложить вверх и вниз от точек вершин натуральные отрезки ребер и соединить построенные вершины; провести линии сгиба на месте ребер тонкими штрихпунктирными линиями с двумя штрихами.
б. Способ раскатки (применяется, если на чертеже ребра являются прямыми уровня и есть натуральная величина основания) Графический алгоритм построения на чертеже геодезической линии:
1. Построить развертку поверхности призмы.
2. Построить на развертке заданные на поверхности точки (M и N) и соединить прямой геодезической линией, которая пересекает ребро A в т.K.
3. Вернуть построенную т.K на проекции призмы и соединить с заданными точками M и N ломаной линией с учетом ее видимости на поверхности.
Развертка поверхности пирамиды.
Графический алгоритм построения развертки поверхности пирамиды:
1. Построить натуральные величины всех ребер пирамиды (способом вращения вокруг проецирующей оси).
2. Выполнить развертку поверхности, построив по натуральным величинам ребер треугольники граней и основание.
3. Соединить отрезками построенные на развертке вершины и оформить линии сгиба.
Развертка цилиндрических поверхностей
1. Способ нормального сечения
2. Способ раскатки
- Способы преобразования проекций
- Взаимное положение прямой и плоскости
- Решение метрических задач
- Тени в ортогональных проекциях
- Преобразование чертежа
- Кривые линии
- Образование и задание поверхности на чертеже
- Пересечение поверхности плоскостью и прямой
Развертка конуса.
Если задана поверхность прямого конуса,
то развертка его боковой поверхности
представляет круговой сектор, радиус
которого равен длине образующей
конической поверхности l, а
центральный угол φ=360о
r / l, где r –
радиус окружности основания конуса.
Для простоты построения используется
аппроксимация длинны окружности
основания конуса, для чего конус
вписывается в 12-угольную пирамиду
(рис.6).
Рисунок 5. Построение развертки конуса.
Построение развертки конуса начинаем
с деления основания на 12 частей радиусом.
Точки деления обозначаем римскими
цифрами. Радиусом, равном очерковой
образующей, строим сектор круга. Длина
дуги определяется, последовательно
откладывая на ней полученные при делении
отрезки. Для построение точки С,
принадлежащей поверхности конуса,
строим на развертке образующую, на
которой располагается точка. Чтобы
определить натуральную величину
расстояния от точки С до вершины конуса,
переносим ее на очерковую образующую
(метод вращения разбирали при построении
развертки пирамиды).
Построение
линии взаимного пересечения
кривых
поверхностей
Линией взаимного пересечения кривых
поверхностей является множество точек,
общих для данных поверхностей. Из этого
множества выделяют характерные (опорные,
или главные) точки, с которых следует
начинать построение этой линии. К таким
точкам относятся:
экстремальные
точки – верхняя и нижняя точки
линии пересечения относительно той или
иной плоскости проекций;
точки, расположенные на очерковых
образующих поверхностей, которые
определяют границы видимости, точки
пересечения оснований, и т.д.
Для уточнения формы линии пересечения
используются вспомогательные точки.
Для определения точек часто пользуются
вспомогательными секущими поверхностями.
Поверхности-посредники пересекают
данные поверхности по линиям, которые,
в свою очередь, пересекаются в точках
линии пересечения данных поверхностей.
Секущие поверхности-посредники выбираются
так, чтобы они, пересекаясь с данными
поверхностями, давали простые для
построения линии, например прямые и
окружности.
Из общей схемы построения линии
пересечения поверхностей выделяют два
основных метода – метод секущих
плоскостей и метод секущих
сфер.
Следует имеет в виду, что линия пересечения двух поверхностей в проекциях всегда располагается в зоне общей для этих пересекающихся поверхностей
Характер линии пересечения кривых
поверхностей зависит от формы поверхностей
и от из взаимного положения. Линия
пересечения имеет форму замкнутой или
незамкнутой кривой, за исключением
случаев, когда пересекаются два цилиндра,
оси вращения которых параллельны, когда
пересекаются два конуса вершины которых
совпадают. В этих случаях линия пересечения
прямая.
Задача на построение линии пересечения
значительно упрощается, если одна
поверхность занимает проецирующее
положение. Для этого целесообразно
воспользоваться преобразованием
чертежа, чтобы представить пересекающиеся
поверхности в частном положении или
воспользоваться третьей проекцией.
Например (рис.1), на П3 цилиндр
занимает проецирующее положение.
Рисунок 1. Построение линии пересечения
цилиндра и конуса с
использованием третьей проекции.
Рассмотрим некоторые случаи взаимного
расположения поверхностей, которые
определяют характер линии пересечения.
1. Поверхности могут полностью
или не полностью пересекаться (рис.
2). В случае неполного проникновения
(рис.2. а.) линия пересечения – замкнутая
или незамкнутая пространственная кривая
линия, симметричная очерковой образующей.
В случае полного проникновения (рис.2
б.) линия пересечения состоит из двух
симметричных частей. На рисунке 2. в) две
симметричные части кривой соединяются
в точке касания. Проникновение с точкой
касания.
а) б)
в)
Рисунок 2. Пересечение конуса и цилиндра
а) Неполное проникновение; б) Полное
проникновение; в) Проникновение
с точкой касания.
2. Оси поверхностей вращения
параллельны:
– находятся в одной меридиональной
плоскости (рис.3 а.). Линия пересечения
симметрична относительно главного
меридиана и совпадает.
– находятся в разных плоскостях (рис.3
б.). Линия пересечения симметрична
относительно линии, соединяющей центры
поверхностей.
а.)
б.)
Рисунок 3. а) Ось конуса и цилиндра
находятся в одной меридиональной
плоскости, б) Ось конуса и цилиндра
находятся в разных плоскостях.
3. Оси поверхностей вращения
совпадают. Такие поверхности
называются соосными. Линия пересечения
таких поверхностей окружность (рис. 4).
Рисунок 4. Пересечение соосных поверхностей
цилиндра, конуса и сферы.
4. Особый случай пересечения
поверхностей. Теорема Монжа. Если
две поверхности второго порядка описаны
около третьей или вписаны в нее, то линия
их пересечения распадается на две
плоские кривые второго порядка. Плоскости
этих кривых проходят через прямую,
соединяющую точки линий касания.
Рисунок 5.
а)
б)
Рисунок 5. Особый случай пересечения
поверхностей.
а) Наглядное изображение. б) Эпюр.
Рассмотрим случай пересечения поверхностей
вращения, ни одна из которых не является
проецирующей. В этом случае линия
пересечения строиться на обеих плоскостях
проекций (рис. 6).
Построение линии пересечения выполняется
в следующем порядке:
-
Анализируем взаимное положение и форму
поверхностей. -
Определяем положение основных и
вспомогательных точек методом секущих
плоскостей. -
Соединяем полученные точки.
Разберем подробно второй пункт. Точки
верха (1) и точка низа кривой (4) располагаются
на пересечении главных меридианов
(очерковых образующих) сферы и конуса,
так как их оси вращения лежат в одной
плоскости, параллельной П2. и через
них можно провести вспомогательную
секущую плоскость.
Между точками 1 и 4 будут располагаться
основные и вспомогательные точки.
Проведем вспомогательную секущую
плоскость перпендикулярно оси вращения
конуса на уровне экватора сферы, для
того чтобы определить положение основных
точек (3), которые на горизонтальной
проекции определят границу видимости,
а на фронтальной плоскости проекций
они будут совпадать ввиду симметрии
линии пересечения.
Данная вспомогательная секущая плоскость
II пересекает конус
по окружности соответствующего радиуса,
сферу также по окружности. Построим эти
окружности на горизонтальной плоскости
проекций. На пересечении этих окружностей
(сечений) получаются горизонтальные
проекции искомых точек 3. Теперь необходимо
построить их фронтальные проекции,
спроецировав на секущую плоскость.
Для уточнения формы кривой воспользуемся
вспомогательными точками (2). Для этого
проведем вспомогательную секущую I
плоскость между точкой 1 и экватором
сферы.
Проведение секущей плоскости III
ниже точки 4 не имеет смысла, так
как в этой плоскости сфера и конус не
будут иметь общих точек.
Теперь можно соединить полученные точки
с учетом видимости на горизонтальной
проекции.
Рисунок 6. Построение линии пересечения
конуса и сферы.