Download Article
Download Article
The radius of a sphere (abbreviated as the variable r or R) is the distance from the exact center of the sphere to a point on the outside edge of that sphere. As with circles, the radius of a sphere is often an essential piece of starting information for calculating the shape’s diameter, circumference, surface area, and/or volume. However, you can also work backward from the diameter, circumference, etc. to find the sphere’s radius. Use the formula that works with the information you have.
-
1
Find the radius if you know the diameter. The radius is half the diameter, so use the formula r = D/2. This is identical to the method used for calculating the radius of a circle from its diameter.[1]
- If you have a sphere with a diameter of 16 cm, find the radius by dividing 16/2 to get 8 cm. If the diameter is 42, then the radius is 21.
-
2
Find the radius if you know the circumference. Use the formula C/2π. Since the circumference is equal to πD, which is equal to 2πr, dividing the circumference by 2π will give the radius.[2]
- If you have a sphere with a circumference of 20 m, find the radius by dividing 20/2π = 3.183 m.
- Use the same formula to convert between the radius and circumference of a circle.
Advertisement
-
3
Calculate the radius if you know the volume of a sphere. Use the formula ((V/π)(3/4))1/3.[3]
The volume of a sphere is derived from the equation V = (4/3)πr3. Solving for the r variable in this equation gets ((V/π)(3/4))1/3 = r, meaning that the radius of a sphere is equal to the volume divided by π, times 3/4, all taken to the 1/3 power (or the cube root.)[4]
- If you have a sphere with a volume of 100 inches3, solve for the radius as follows:
- ((V/π)(3/4))1/3 = r
- ((100/π)(3/4))1/3 = r
- ((31.83)(3/4))1/3 = r
- (23.87)1/3 = r
- 2.88 in = r
- If you have a sphere with a volume of 100 inches3, solve for the radius as follows:
-
4
Find the radius from the surface area. Use the formula r = √(A/(4π)). The surface area of a sphere is derived from the equation A = 4πr2. Solving for the r variable yields √(A/(4π)) = r, meaning that the radius of a sphere is equal to the square root of the surface area divided by 4π. You can also take (A/(4π)) to the 1/2 power for the same result.[5]
- If you have a sphere with a surface area of 1,200 cm2, solve for the radius as follows:
- √(A/(4π)) = r
- √(1200/(4π)) = r
- √(300/(π)) = r
- √(95.49) = r
- 9.77 cm = r
- If you have a sphere with a surface area of 1,200 cm2, solve for the radius as follows:
Advertisement
-
1
Identify the basic measurements of a sphere. The radius (r) is the distance from the exact center of the sphere to any point on the surface of the sphere. Generally speaking, you can find the radius of a sphere if you know the diameter, the circumference, the volume, or the surface area.
- Diameter (D): the distance across the sphere – double the radius. Diameter is the length of a line through the center of the sphere: from one point on the outside of the sphere to a corresponding point directly across from it. In other words, the greatest possible distance between two points on the sphere.
- Circumference (C): the one-dimensional distance around the sphere at its widest point. In other words, the perimeter of a spherical cross-section whose plane passes through the center of the sphere.
-
Volume (V): the three-dimensional space contained inside the sphere. It is the “space that the sphere takes up.”[6]
- Surface Area (A): the two-dimensional area on the outside surface of the sphere. The amount of flat space that covers the outside of the sphere.
- Pi (π): a constant that expresses the ratio of the circle’s circumference to the circle’s diameter. The first ten digits of Pi are always 3.141592653, although it is usually rounded to 3.14.
-
2
Use various measurements to find the radius. You can use the diameter, circumference, volume, and surface area to calculate the radius of a sphere. You can also calculate each of these numbers if you know the length of the radius itself. Thus, to find the radius, try reversing the formulas for these components’ calculations. Learn the formulas that use the radius to find diameter, circumference, volume, and surface area.[7]
- D = 2r. As with circles, the diameter of a sphere is twice the radius.
- C = πD or 2πr. As with circles, the circumference of a sphere is equal to π times the diameter. Since the diameter is twice the radius, we can also say that the circumference is twice the radius times π.
- V = (4/3)πr3. The volume of a sphere is the radius cubed (times itself twice), times π, times 4/3.
- A = 4πr2. The surface area of a sphere is the radius squared (times itself), times π, times 4. Since the area of a circle is πr2, it can also be said that the surface area of a sphere is four times the area of the circle formed by its circumference.
Advertisement
-
1
Find the (x,y,z) coordinates of the central point of the sphere. One way to think of the radius of a sphere is as the distance between the point at the center of the sphere and any point on the surface of the sphere. Because this is true, if you know the coordinates of the point at the center of the sphere and of any point on the surface, you can find the radius of the sphere simply by calculating the distance between the two points with a variant of the basic distance formula. To begin, find the coordinates of the sphere’s center point. Note that because spheres are three-dimensional, this will be an (x,y,z) point rather than an (x,y) point.
- This process is easier to understand by following along with an example. For our purposes, let’s say that we have a sphere centered around the (x,y,z) point (4, -1, 12). In the next few steps, we’ll use this point to help find the radius.
-
2
Find the coordinates of a point on the surface of the sphere. Next, you’ll need to find the (x,y,z) coordinates of a point on the surface of the sphere. This can be any point on the surface of the sphere. Because the points on the surface of a sphere are equidistant from the center point by definition, any point will work for determining the radius.
- For our example problem, let’s say that we know that the point (3, 3, 0) lies on the surface of the sphere. By calculating the distance between this point and the center point, we can find the radius.
-
3
Find the radius with the formula d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2).[8]
Now that you know the center of the sphere and a point on the surface, calculating the distance between the two will find the radius. Use the three-dimensional distance formula d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2), where d equals distance, (x1,y1,z1) equals the coordinates of the center point, and (x2,y2,z2) equals the coordinates of the point on the surface to find the distance between the two points.- In our example, we would plug in (4, -1, 12) for (x1,y1,z1) and (3, 3, 0) for (x2,y2,z2), solving as follows:
- d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2)
- d = √((3 – 4)2 + (3 – -1)2 + (0 – 12)2)
- d = √((-1)2 + (4)2 + (-12)2)
- d = √(1 + 16 + 144)
- d = √(161)
- d = 12.69. This is the radius of our sphere.
- In our example, we would plug in (4, -1, 12) for (x1,y1,z1) and (3, 3, 0) for (x2,y2,z2), solving as follows:
-
4
Know that, in general cases, r = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2).[9]
In a sphere, every point on the surface of the sphere is the same distance from the center point. If we take the three-dimensional distance formula above and replace the “d” variable with the “r” variable for radius, we get a form of the equation that can can find the radius given any center point (x1,y1,z1) and any corresponding surface point (x2,y2,z2).- By squaring both sides of this equation, we get r2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2. Note that this is essentially equal to the basic sphere equation r2 = x2 + y2 + z2 which assumes a center point of (0,0,0).
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I find the radius of a sphere if I know its volume is three times its surface area?
Write an equation whereby the volume [(4πr³) / 3] is set equal to three times the surface area (4πr²). Thus, [(4πr³) / 3] = 12πr². Divide both sides by 4π, so that r³/3 = r². Multiply by 3: r³ = 3r². Divide by r²: r = 3. In other words, a sphere’s volume can be three times its surface area only if its radius is 3 units.
-
Question
How do I calculate the radius of a sphere in my hand by using a ruler?
You can get a very close approximation by carefully measuring the circumference and dividing by twice-pi (6.28).
-
Question
Two solid spheres A & B are made of the same material. The radius of B is 3 times the radius of A, and the surface area of A is 20 cubic cm. How do I calculate the surface area of B?
The surface area (S) of a sphere equals 4πr², where r is the radius. Using that equation to solve for r: r = √(S / 4π). Now substitute 20 for S, and solve for the radius of sphere A: r = √(20 / 4π) = √(20 / 12.56) = √ 1.59 = 1.26 cm. That’s the radius of sphere A. The radius of sphere B is three times the radius of sphere A: (3)(1.26) = 3.79 cm. So for sphere B, the surface area is 4πr² = (4)(3.14)(3.79)² = 180.4 square centimeters. (That answer makes sense, because when you multiply the radius of a sphere by 3, you multiply its surface area by 3² or 9.) (We didn’t exactly triple the original surface area, because we rounded off some numbers along the way.)
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
This article was published on demand. However, if you are trying to get to grips with solid geometry for the first time, it’s arguably better to start the other end: calculating the properties of the sphere from the radius.
-
The order in which the operations are performed matters. If you are uncertain how priorities work, and your calculating device supports parentheses, then make sure to use them.
-
π or pi is a Greek letter that represents the ratio of the diameter of a circle to its circumference. It’s an irrational number and cannot be written as a ratio of 2 integers. Many approximations exist, 333/106 gives pi to four decimal places. Today most people memorize the approximation 3.14 which is usually sufficiently accurate for everyday purposes.
Show More Tips
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
About This Article
Article SummaryX
If you know the diameter, you can find the radius of a sphere by dividing the diameter in half. If you know the circumference, you can find the radius by dividing the circumference by 2 times pi. To learn how to calculate the radius of a sphere using two points on the sphere, keep reading!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 522,230 times.
Did this article help you?
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Радиус шара (обозначается как r или R) – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Как и в случае круга, радиус шара является важной величиной, которая необходима для нахождения диаметра шара, длины окружности, площади поверхности и/или объема. Но радиус шара можно найти и по данному значению диаметра, длины окружности и другой величины. Используйте формулу, в которую можно подставить данные значения.
-
1
Вычислите радиус по диаметру. Радиус равен половине диаметра, поэтому используйте формулу г = D/2. Эта такая же формула, которая используется при вычислении радиуса и диаметра круга.[1]
- Например, дан шар с диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см. Если диаметр равен 42 см, то радиус равен 21 см (42/2=21).
-
2
Вычислите радиус по длине окружности. Используйте формулу: r = C/2π. Так как длина окружности C = πD = 2πr, то разделите формулу для вычисления длины окружности на 2π и получите формулу для нахождения радиуса.[2]
- Например, дан шар с длиной окружности 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см.
- Такая же формула используется при вычислении радиуса и длины окружности круга.
-
3
Вычислите радиус по объему шара. Используйте формулу: r = ((V/π)(3/4))1/3.[3]
Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πr3. Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу ((V/π)(3/4))3 = г, то есть для вычисления радиуса объем шара делим на π, результат умножаем на 3/4, а полученный результат возводим в степень 1/3 (или извлекаем кубический корень).[4]
- Например, дан шар с объемом 100 см3. Радиус этого шара вычисляется так:
- ((V/π)(3/4))1/3 = r
- ((100/π)(3/4))1/3 = r
- ((31,83)(3/4))1/3 = r
- (23,87)1/3 = r
- 2,88 см = r
- Например, дан шар с объемом 100 см3. Радиус этого шара вычисляется так:
-
4
Вычислите радиус по площади поверхности. Используйте формулу: г = √(A/(4 π)). Площадь поверхности шара вычисляется по формуле А = 4πr2. Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу √(A/(4π)) = r, то есть, чтобы вычислить радиус, нужно извлечь квадратный корень из площади поверхности, деленной на 4π. Вместо того чтобы извлекать корень, выражение (A/(4π)) можно возвести в степень 1/2.[5]
- Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см3. Радиус этого шара вычисляется так:
- √(A/(4π)) = r
- √(1200/(4π)) = r
- √(300/(π)) = r
- √(95,49) = r
- 9,77 см = r
Реклама
- Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см3. Радиус этого шара вычисляется так:
-
1
Запомните основные величины, которые имеют отношение к вычислению радиуса шара. Радиус шара – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Радиус шара можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема или площади поверхности.
- Диаметр (D) – это отрезок, который соединяет две точки на поверхности шара и проходит через его центр (то есть это наибольшее расстояние между противоположными точками, лежащими на поверхности шара). Диаметр равен удвоенному радиусу.
- Длина окружности (С) представляет собой длину окружности большого круга, то есть круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.
-
Объем (V) – это значение трехмерного пространства, занимаемого шаром.[6]
- Площадь поверхности (А) – это значение двумерного (плоского) пространства, ограниченного поверхностью шара.
- Пи (π) – это постоянная, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру. Первыми десятью цифрами этой постоянной являются 3,141592653, но зачастую число Пи округляется до 3,14.
-
2
Воспользуйтесь значениями данных величин, чтобы найти радиус. Радиус можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. Более того, указанные величины можно найти по данному значению радиуса. Чтобы вычислить радиус, просто преобразуйте формулы для нахождения указанных величин. Ниже приведены формулы (в которых присутствует радиус) для вычисления диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности.
- D = 2г. Как и в случае круга, диаметр шара в два раза больше его радиуса.
- C = πD = 2πr. Как и в случае круга, длина окружности шара равна произведению π на диаметр шара. Так как диаметр вдвое больше радиуса, то длина окружности шара равна удвоенному произведению π на радиус шара.
-
V = (4/3)πr3. Объем шара равен произведению 4/3 на π и на радиус в кубе.[7]
- А = 4πr2. Площадь поверхности шара равна учетверенному произведению π на радиус в квадрате. Так как площадь круга равна πr2, то площадь поверхности шара в четыре раза больше площади круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.
Реклама
-
1
Найдите координаты (х,у,z) центра шара. Радиус шара равен расстоянию между его центром и любой точкой, лежащей на поверхности шара. Если известны координаты центра шара и любой точки, лежащей на его поверхности, можно найти радиус шара по специальной формуле, вычислив расстояние между двумя точками. Сначала найдите координаты центра шара. Имейте в виду, что так как шар является трехмерной фигурой, то точка будет иметь три координаты (х,у,z), а не две (х,у).
- Рассмотрим пример. Дан шар с центром с координатами (4,-1,12). Воспользуйтесь этими координатами, чтобы найти радиус шара.
-
2
Найдите координаты точки, лежащей на поверхности шара. Теперь нужно найти координаты (х,у,z) любой точки, лежащей на поверхности шара. Так как все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара, для вычисления радиуса шара можно выбрать любую точку.
- В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0). Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.
-
3
Вычислите радиус по формуле d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2). Узнав координаты центра шара и точки, лежащей на его поверхности, вы можете найти расстояние между ними, которое равно радиусу шара. Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2), где d – расстояние между точками, (x1,y1,z1) – координаты центра шара, (x2,y2,z2) – координаты точки, лежащей на поверхности шара.
- В рассматриваемом примере вместо (x1,y1,z1) подставьте (4,-1,12), а вместо (x2,y2,z2) подставьте (3,3,0):
- d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2)
- d = √((3 – 4)2 + (3 – -1)2 + (0 – 12)2)
- d = √((-1)2 + (4)2 + (-12)2)
- d = √(1 + 16 + 144)
- d = √(161)
- d = 12,69. Это искомый радиус шара.
- В рассматриваемом примере вместо (x1,y1,z1) подставьте (4,-1,12), а вместо (x2,y2,z2) подставьте (3,3,0):
-
4
Имейте в виду, что в общих случаях r = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2). Все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара. Если в формуле для нахождения расстояния между двумя точками “d” заменить на “r”, получится формула для вычисления радиуса шара по известным координатам (x1,y1,z1) центра шара и координатам (x2,y2,z2) любой точки, лежащей на поверхности шара.
- Возведите обе стороны этого уравнения в квадрат, и получите r2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2. Отметьте, что это уравнение соответствует уравнению сферы r2 = x2 + y2 + z2 с центром с координатами (0,0,0).
Реклама
Советы
- Не забывайте про порядок выполнения математических операций. Если вы не помните этот порядок, а ваш калькулятор умеет работать с круглыми скобками, пользуйтесь ими.
- В этой статье рассказывается о вычислении радиуса шара. Но если вы испытываете затруднения с изучением геометрии, лучше начать с вычисления величин, связанных с шаром, через известное значение радиуса.
- π (Пи) – это буква греческого алфавита, которая обозначает постоянную, равную отношению диаметра круга к длине его окружности. Число Пи является иррациональным числом, которое не записывается как отношение действительных чисел. Существует множество приближений, например, отношение 333/106 позволит найти число Пи с точностью до четырех цифр после десятичной запятой. Как правило, пользуются приблизительным значением числа Пи, которое равно 3,14.
Реклама
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 114 800 раз.
Была ли эта статья полезной?
Как найти радиус, если известен только диаметр
Если вы работаете с окружностью, вы часто пользуетесь терминами радиус и диаметр. Существует ряд простых формул, позволяющих найти радиус, зная длину окружности, площадь окружности и объем сферы. Есть ли формула, позволяющая узнать радиус, зная значение диаметра?
Инструкция
Диаметр (от древнегреческого διάμετρος «диаметр, поперечник») – это отрезок, который соединяет две точки на окружности или сфере, проходящий через центр этой окружности или сферы. Диаметром также называется длина этого отрезка. Радиус (от латинского radius «луч, спица колеса») – это отрезок, который соединяет центр окружности или сферы с любой точкой, находящейся на этой окружности или сфере, радиусом называется также длина этого отрезка.
Радиус принято обозначать буквой r, диаметр – буквой d. По определению радиус равен половине диаметра, а диаметр равен по величине двум радиусам. Соответственно d=2r, r=d/2. Значит, для того, чтобы узнать величину радиуса, зная диаметр, надо разделить диаметр на два.
Пример. Диаметр окружности d равен 8. Чему равен радиус r? Решение: r=d/2, значит, чтобы найти радиус, надо значение диаметра 8 разделить на два. 8/2=4. Ответ: r=4, радиус равен четырем.
Если вы ищите длину радиуса или диаметра, помните, что длина не может быть отрицательным числом. Поэтому если в ходе решения вы пришли к формуле d=2r= √x (квадратный корень из x), а x равен, к примеру 16, то диаметр d=±4,и радиус r=±2. Так как длина не может быть отрицательным числом, получаете ответ: диаметр равен четырем, радиус равен двум.
Интересен факт того, что в анатомии также встречается слово «радиус», оно обозначает одну из костей предплечья, лучевую кость (находится кнаружи и слегка кпереди от локтевой кости). А еще у слова радиус есть значение, уходящее истоками в древний Рим – это название короткого римского меча, который использовали легионеры для обороны. Легионер говорил: «Здесь я и Рим!» – чертил на земле этим мечом полосу и защищался до последнего.
Видео по теме
Источники:
- радиус на сайте формула.ру
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
#1
Очень часто людям требуется узнать точный размер какого-то объекта. На производстве, строительстве, моделировании и многом-многом другом точность является одним из главных правил. В природе очень распространены идеальные фигуры. Одним из таких тел является сфера. В стереометрии понятию «шар» даётся следующее определение: сфера – геометрическое место точек, равноудалённых от одной единственной – центра сферы. Расстояние, на котором находятся все эти точки, является постоянным и называется радиусом. Радиус является основным параметром и очень важно уметь вычислять его значение. Для проведения этой операции существует множество способов, как практических, так и теоретических. В большинстве из них фигурирует понятие числа «Пи», в котором обязательно нужно разобраться. Число «Пи» является постоянным иррациональным трансцендентным числом. Это значит, что его десятичная запись является бесконечной. Сама константа определяется отношением длины окружности к её радиусу. С древности учёные вычисляли значение этого числа, на данный момент известно уже более миллиарда знаков после запятой. На практике и, в частности, в данной статье понадобится не слишком точное значение данной константы. И хоть первые десять знаков выглядят как 3.3, чтобы найти радиус сферы будет использоваться округлённое значение 3,4.
#2
Первый способ годится, если имеется реальное сферическое тело, например, мяч для игры в настольный теннис. Как вычислить его радиус? Для этого достаточно использовать штангенциркуль, а именно поместить в раствор циркуля шарик, таким образом будет получено значение его диаметра. Оно равно сорока миллиметрам, если берётся стандартная модель. Теперь остаётся лишь поделить диаметр пополам и получится точное значение радиуса, а именно 20 мм. Для подобных случаев формула будет иметь вид R = D/2, (где R – радиус, а D – диаметр сферы) . Однако, часто приходится работать с абстрактными телами и вычислить их диаметр на практике невозможно. В таком случае, для нахождения радиуса необходимо знать значение какой-либо другой величины, например объёма или площади поверхности. Важно рассмотреть каждый из таких примеров отдельно, так как решение будет отличаться существенно. Будет предоставлен лёгкий способ найти радиус сферы, формула прилагается сама собой.
#3
Пусть дана сфера, площадь поверхности (S) которой равна 10 сантиметров квадратных. Найти её радиус. Для начала следует вспомнить общую формулу для вычисления площади поверхности шара, а именно: S = 4*Pi*(R^2) . Теперь нужно пошагово избавить значение Rот посторонних множителей и степени: R^2 = S / (4*Pi) , отсюда Rбудет равно корню квадратному из S / 4*Pi. Теперь имеется всё необходимое для решения исходной задачи, следует подставить известную Sв формулу: R = 10 / (4*Pi) . Далее потребуется помощь калькулятора: Pi*4 = 4 * 3,4 = 2,6. Далее выполняется операция деления: 10 / 2,6 = 0,3. Корень квадратной из данной величины равен 0.2, округлив данное значение до десятых, получится 0,9. Также не стоит забывать и о соблюдениях размерности, площадь была дана в сантиметрах квадратных, значит ответ будет в обычных сантиметрах. Ответ: сфера имеет радиус 0,9 см. Для всех подобных задач общая формула будет выглядеть так: R = √(S/(4*Pi) ) , где R – радиус, а S – площадь поверхности.
#4
Следующий пример. Дан шар объёмом 48 литров. Вычислить его радиус. Для решения данной задачи следует прибегнуть к формуле объёма шара. V = 4/3 * Pi * R^3. Как и в прошлом примере, следует выразить радиус в чистом виде: R^3 = (V * 3/4) / Pi. После извлечения корня кубического получится R = sqrt[3]((V * 3/4) / Pi) . Обозначение “sqrt[3]” означает кубический корень. Теперь стоит подставить объём в формулу и произвести вычисления: R = sqrt[3]((48 * 3/4) / Pi) = sqrt[3](36 / Pi) = sqrt[3](1,8) = 2,4. Важное внимание следует уделить размерности в этом случае, ведь объём дан в литрах, а ответ требуется дать в величинах, измеряющих длину.
#5
Стоит отметить, что 1 литр равен одному дециметру кубическому, следовательно ответ получен в дециметрах. Ответ: 2,5 дециметров или 2,5 сантиметра. Для всех подобных задач радиус можно вычислить с помощью формулы R = sqrt[3]((V * 3/4) / Pi) , где R – радиус, sqrt[3] – корень кубический, а V – объём шара. На практике, не имея возможность вычислить диаметр, но имея возможность найти объём шара, радиус сферы можно рассчитать с помощью воды и мензурки. Для этого нужно налить 100 мл воды в мензурку, полностью опустить в неё шар, зафиксировать новое значение. Из него вычесть 100 мл – это и будет объём шара. Далее производить действия по аналогии с последней задачей.
Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы
Формула. Объём шара:
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
S = 4 π R 2 = π D 2
Уравнение сферы
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
( x – x 0) 2 + ( y – y 0) 2 + ( z – z 0) 2 = R 2
Основные свойства сферы и шара
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m r такого круга можно найти по формуле:
где R – радиус сферы (шара), m – расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
S = π R(2 h + √ 2 h R – h 2 )
Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Геометрия. 11 класс
Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №8. Сфера и шар
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
- что такое шар и его элементы;
- уравнение сферы;
- формула для нахождения площади поверхности сферы;
- взаимное расположение сферы и плоскости;
- теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.
Глоссарий по теме:
Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
– уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Сегмент шара – это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.
Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Основные теоретические факты
По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.
Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R
Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
Сферу можно получить ещё одним способом – вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.
2. Уравнение сферы
Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.
Пусть сфера имеет центром точку С (x0; y0; z0) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:
МС=
Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:
.
Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
3. Взаимное расположение сферы и плоскости
Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.
1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.
2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.
3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Рассмотрим случай касания более подробно.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной плоскости).
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема (признак касательной плоскости):
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
4. Основные формулы
Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:
Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:
S=4πR 2 – площадь сферы.
S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.
– площадь поверхности сектора с высотой h.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.
Площадь круга вычисляется по формуле: Sкр=πR 2 .
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: Sсф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.
2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.
Площадь сферы равна Sсф=4πR 2 . То есть Sсф=100π.
По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.
3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15
Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.
Найдем ее радиус.
Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:
С другой стороны, S=p·r.
Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.
4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.
Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.
Как найти радиус окружности
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.
Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.
Возможно тебе интересно узнать – как найти длину окружности?
Формула радиуса окружности
Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.
Если известна площадь круга
R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Если известна длина
R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Если известен диаметр окружности
R = D : 2, где D — диаметр.
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.
Если известна диагональ вписанного прямоугольника
R = d : 2, где d — диагональ.
Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:
d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Если известна сторона описанного квадрата
R = a : 2, где a — сторона.
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.
Если известны стороны и площадь вписанного треугольника
R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.
Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника
R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.
Если известна площадь сектора и его центральный угол
R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.
Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.
Если известна сторона вписанного правильного многоугольника
R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.
В правильном многоугольнике все стороны равны.
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
[spoiler title=”источники:”]
http://resh.edu.ru/subject/lesson/4034/conspect/
http://skysmart.ru/articles/mathematic/radius-okruzhnosti
[/spoiler]
