Как найти радиус сферы через образующую конуса

В данной публикации мы рассмотрим, как найти радиус описанной около конуса сферы, а также площадь ее поверхности и объем шара, ограниченного этой сферой.

Нахождение радиуса сферы/шара

Около любого конуса можно описать сферу (шар). Другими словами, в любую сферу можно вписать конус.

Чтобы найти радиус сферы (шара), описанной около конуса, чертим осевое сечение конуса. В итоге у нас получится равнобедренный треугольник (в нашем случае – ABC), вокруг которого описана окружность с радиусом r.

Радиус основания конуса (R) равен половине основания треугольника (AC), а образующие (l) – его боковые стороны (AB и BC).

Радиус окружности (r), описанной вокруг треугольника ABC, в том числе, является радиусом шара, описанного около конуса. Он находится по следующим формулам:

1. Через образующую и радиус основания конуса:

2. Через высоту и радиус основания конуса

Высота (h) конуса – это отрезок BE на рисунках выше.

Формулы площади и объема сферы/шара

Зная радиус (r) можно найти площадь поверхности (S) сферы и объем (V) шара, ограниченного этой сферой:

Примечание: π округленно равняется 3,14.

Задание 8. Математика ЕГЭ. Около конуса описана сфера. Найти радиус сферы

Задание. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 7√2. Найдите радиус сферы.

Решение:

Высота конуса равна радиусу сфере: h = R, L — образующая конуса.

По теореме Пифагора имеем:

h^2 + R^2 = L^2.

R^2 + R^2 = L^2

2·R^2 = L^2

2·R^2 = (7√2)^2

2·R^2 = 49·2

R^2 = 49

R = 7

Ответ: 7.

Сайты, меню, вход, новости