Как найти радиус сферы если известен диаметр

Did this article help you?

Как найти радиус, если известен только диаметр

Если вы работаете с окружностью, вы часто пользуетесь терминами радиус и диаметр. Существует ряд простых формул, позволяющих найти радиус, зная длину окружности, площадь окружности и объем сферы. Есть ли формула, позволяющая узнать радиус, зная значение диаметра?

Инструкция

Диаметр (от древнегреческого διάμετρος «диаметр, поперечник») – это отрезок, который соединяет две точки на окружности или сфере, проходящий через центр этой окружности или сферы. Диаметром также называется длина этого отрезка. Радиус (от латинского radius «луч, спица колеса») – это отрезок, который соединяет центр окружности или сферы с любой точкой, находящейся на этой окружности или сфере, радиусом называется также длина этого отрезка.

Радиус принято обозначать буквой r, диаметр – буквой d. По определению радиус равен половине диаметра, а диаметр равен по величине двум радиусам. Соответственно d=2r, r=d/2. Значит, для того, чтобы узнать величину радиуса, зная диаметр, надо разделить диаметр на два.

Пример. Диаметр окружности d равен 8. Чему равен радиус r? Решение: r=d/2, значит, чтобы найти радиус, надо значение диаметра 8 разделить на два. 8/2=4. Ответ: r=4, радиус равен четырем.

Если вы ищите длину радиуса или диаметра, помните, что длина не может быть отрицательным числом. Поэтому если в ходе решения вы пришли к формуле d=2r= √x (квадратный корень из x), а x равен, к примеру 16, то диаметр d=±4,и радиус r=±2. Так как длина не может быть отрицательным числом, получаете ответ: диаметр равен четырем, радиус равен двум.

Интересен факт того, что в анатомии также встречается слово «радиус», оно обозначает одну из костей предплечья, лучевую кость (находится кнаружи и слегка кпереди от локтевой кости). А еще у слова радиус есть значение, уходящее истоками в древний Рим – это название короткого римского меча, который использовали легионеры для обороны. Легионер говорил: «Здесь я и Рим!» – чертил на земле этим мечом полосу и защищался до последнего.

Видео по теме

Источники:

• радиус на сайте формула.ру

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

#1

Очень часто людям требуется узнать точный размер какого-то объекта. На производстве, строительстве, моделировании и многом-многом другом точность является одним из главных правил. В природе очень распространены идеальные фигуры. Одним из таких тел является сфера. В стереометрии понятию «шар» даётся следующее определение: сфера – геометрическое место точек, равноудалённых от одной единственной – центра сферы. Расстояние, на котором находятся все эти точки, является постоянным и называется радиусом. Радиус является основным параметром и очень важно уметь вычислять его значение. Для проведения этой операции существует множество способов, как практических, так и теоретических. В большинстве из них фигурирует понятие числа «Пи», в котором обязательно нужно разобраться. Число «Пи» является постоянным иррациональным трансцендентным числом. Это значит, что его десятичная запись является бесконечной. Сама константа определяется отношением длины окружности к её радиусу. С древности учёные вычисляли значение этого числа, на данный момент известно уже более миллиарда знаков после запятой. На практике и, в частности, в данной статье понадобится не слишком точное значение данной константы. И хоть первые десять знаков выглядят как 3.3, чтобы найти радиус сферы будет использоваться округлённое значение 3,4.

#2

Первый способ годится, если имеется реальное сферическое тело, например, мяч для игры в настольный теннис. Как вычислить его радиус? Для этого достаточно использовать штангенциркуль, а именно поместить в раствор циркуля шарик, таким образом будет получено значение его диаметра. Оно равно сорока миллиметрам, если берётся стандартная модель. Теперь остаётся лишь поделить диаметр пополам и получится точное значение радиуса, а именно 20 мм. Для подобных случаев формула будет иметь вид R = D/2, (где R – радиус, а D – диаметр сферы) . Однако, часто приходится работать с абстрактными телами и вычислить их диаметр на практике невозможно. В таком случае, для нахождения радиуса необходимо знать значение какой-либо другой величины, например объёма или площади поверхности. Важно рассмотреть каждый из таких примеров отдельно, так как решение будет отличаться существенно. Будет предоставлен лёгкий способ найти радиус сферы, формула прилагается сама собой.

#3

Пусть дана сфера, площадь поверхности (S) которой равна 10 сантиметров квадратных. Найти её радиус. Для начала следует вспомнить общую формулу для вычисления площади поверхности шара, а именно: S = 4*Pi*(R^2) . Теперь нужно пошагово избавить значение Rот посторонних множителей и степени: R^2 = S / (4*Pi) , отсюда Rбудет равно корню квадратному из S / 4*Pi. Теперь имеется всё необходимое для решения исходной задачи, следует подставить известную Sв формулу: R = 10 / (4*Pi) . Далее потребуется помощь калькулятора: Pi*4 = 4 * 3,4 = 2,6. Далее выполняется операция деления: 10 / 2,6 = 0,3. Корень квадратной из данной величины равен 0.2, округлив данное значение до десятых, получится 0,9. Также не стоит забывать и о соблюдениях размерности, площадь была дана в сантиметрах квадратных, значит ответ будет в обычных сантиметрах. Ответ: сфера имеет радиус 0,9 см. Для всех подобных задач общая формула будет выглядеть так: R = √(S/(4*Pi) ) , где R – радиус, а S – площадь поверхности.

#4

Следующий пример. Дан шар объёмом 48 литров. Вычислить его радиус. Для решения данной задачи следует прибегнуть к формуле объёма шара. V = 4/3 * Pi * R^3. Как и в прошлом примере, следует выразить радиус в чистом виде: R^3 = (V * 3/4) / Pi. После извлечения корня кубического получится R = sqrt[3]((V * 3/4) / Pi) . Обозначение “sqrt[3]” означает кубический корень. Теперь стоит подставить объём в формулу и произвести вычисления: R = sqrt[3]((48 * 3/4) / Pi) = sqrt[3](36 / Pi) = sqrt[3](1,8) = 2,4. Важное внимание следует уделить размерности в этом случае, ведь объём дан в литрах, а ответ требуется дать в величинах, измеряющих длину.

#5

Стоит отметить, что 1 литр равен одному дециметру кубическому, следовательно ответ получен в дециметрах. Ответ: 2,5 дециметров или 2,5 сантиметра. Для всех подобных задач радиус можно вычислить с помощью формулы R = sqrt[3]((V * 3/4) / Pi) , где R – радиус, sqrt[3] – корень кубический, а V – объём шара. На практике, не имея возможность вычислить диаметр, но имея возможность найти объём шара, радиус сферы можно рассчитать с помощью воды и мензурки. Для этого нужно налить 100 мл воды в мензурку, полностью опустить в неё шар, зафиксировать новое значение. Из него вычесть 100 мл – это и будет объём шара. Далее производить действия по аналогии с последней задачей.

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы

Формула. Объём шара:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
3	6

S = 4 π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

( x – x ₀) 2 + ( y – y ₀) 2 + ( z – z ₀) 2 = R 2

Основные свойства сферы и шара

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m r такого круга можно найти по формуле:

где R – радиус сферы (шара), m – расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = π R(2 h + √ 2 h R – h 2 )

Формула. Объём сектора V с высотой O₁H (h) через радиус шара OH (R):

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение радиуса шара: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус шара и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формулы вычисления радиуса шара

1. Через объем

Радиус шара вычисляется по формуле:

V – объем шара; равен трем четвертым произведения его радиуса в кубе и числа π .

π – число, приближенное значение которого равняется 3,14.

2. Через площадь поверхности

Радиус шара рассчитывается таким образом:

S – площадь поверхности шара; равна четырем его радиусам в квадрате, умноженным на число π .

S = 4 π R 2

Примеры задач

Задание 1
Объем шара составляет 904,32 см 3 . Найдите его радиус.

Решение:
Воспользовавшись первой формулой получаем:

Задание 2
Вычислите радиус шара, если площадь его поверхности равна 314 см 2 .

Решение:
В данном случае рассчитать радиус шара можно, применив 2-ю формулу (через площадь поверхности):

Площадь поверхности шара формула и калькулятор онлайн

Что такое шар?

В стереометрии есть большой раздел, который называется фигуры вращения. Об этом редко говорят в школе, но плоские фигуры можно вращать вокруг какой-либо оси или точки. Так получаются объемные фигуры.

Стереометрия это наука о фигурах в пространстве. Простейшими единицами стереометрии является точка, прямая и плоскость.

Например, цилиндр образован вращением прямоугольника или квадрата. Поэтому, если рассечь цилиндр плоскостью, то сечение примет форму того самого квадрата или прямоугольника, который вращали, чтобы получить фигуру.

Так же и шар образован вращением. Как не трудно догадаться, основной для шара послужил круг. Причем сразу стоит сказать, что именно круг, а не окружность.

Следует понимать, что круг и окружность разные фигуры. Так окружность представляет собой набор точек равноудаленных от центра. Переводя на более простой язык окружность – это сама линия и центр окружности. А круг включает в себя и все внутреннее пространство. У окружности не может быть площади.

То есть, шар имеет какое-то внутренне заполненное пространство. Интересно, что сфера так же имеет пространство внутри, только условно полое.

Формулы для вычисления радиуса

• Например, дан шар с диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см. Если диаметр равен 42 см, то радиус равен 21 см (42/2=21).

• Например, дан шар с длиной окружности 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см.
• Такая же формула используется при вычислении радиуса и длины окружности круга.

• Например, дан шар с объемом 100 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
  • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
  • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
  • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
  • (23,87) 1/3 = r
  • 2,88 см = r

• Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
  • √(A/(4π)) = r
  • √(1200/(4π)) = r
  • √(300/(π)) = r
  • √(95,49) = r
  • 9,77 см = r

V = 4/3 πr3,

где V — объем, r — радиус шара.
Отсюда, радиус шара равен корню кубическому из объема шара деленного на три четвертых Пи:

Определение радиуса сферы при помощи площади ее поверхности

Допустим, нам дана сфера вместе с площадью её поверхности. В таком случае мы будем использовать формулу площади её поверхности для того, чтобы вычислить радиус.

где S – это площадь поверхности сферы, число Пи = 3,14.

Важные измерения

Радиус (обозначается r) — единственное необходимое измерение. Это расстояние от любой точки на поверхности сферы до её центра. Самый длинный отрезок, равный двум r, называется диаметром (d). Земля называется сфероидом, потому что она очень близка к шару, но не идеально круглая. Она немного вытянута на северном и южном полюсах.

Впервые вычислить площадь (S) поверхности шара удалось Архимеду. Именно он установил, что для того, чтобы найти S любого трёхмерного объекта, необходимо измерить его радиус. Для сферы получилась следующая формула: S = 4 * π * r ². Для того чтобы понять, как это работает, следует рассмотреть пример. Известно, что радиус детского мяча 10 см. Остаётся ещё одна неизвестная — число π. Это математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру и равна примерно 3,14. Далее, следует подставить цифры в уравнение:

1. S = 4 * 3,14 * 10²;
2. S мяча равна ≈ 1256 см².

Таким образом, можно найти площадь сферы через её радиус по формуле, полученной ещё в античности. Ещё одна важная характеристика — это объём (V) фигуры. Он вычисляется следующим образом: V = (4/3) * π * r³. Если придерживаться условий задачи, то V мяча = (4/3) * 3,14 * 10³ равен ≈ 4187 см ³. Сейчас можно избежать длительных расчётов, если нужно узнать площадь сферы, онлайн-калькуляторы — сервисы, которые очень в этом помогают.

Сектор сферы — это слой между двумя правильными круговыми конусами, имеющими общую вершину в центре шара и общую ось.

Надо сказать, что внутренний конус может иметь основание с нулевым радиусом. Формула, по которой определяют площадь сектора, следующая: S = 2 * π * r * h, где h — высота. К слову, эта же формула применима, если необходимо найти S части шара, отрезанной плоскостью, то есть полусферы. Такая же формула применяется при нахождении S сегмента (часть между двумя параллельными плоскостями) и зоны сферы (изогнутая поверхность сферического сегмента).

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс , у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс , у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента .

Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы .

Объем шара через длину окружности

Формула для нахождения объема шара через длину окружности: <6pi^3>> , где L — длина окружности шара.

Эта формула легко выводится формулы объема шара через его радиус и формулы для нахождения длины окружности

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

( x – x ₀) 2 + ( y – y ₀) 2 + ( z – z ₀) 2 = R 2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x ₀, y ₀, z ₀):
x = x ₀ + R · sin θ · cos φ y = y ₀ + R · sin θ · sin φ z = z ₀ + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].

Определение радиуса сферы при помощи объема шара

Если нам дан объём шара, ограниченного сферой, то радиус находится так:

где V – это объём шара, число Пи = 3,14.

Определение основных величин

• Диаметр (D) – это отрезок, который соединяет две точки на поверхности шара и проходит через его центр (то есть это наибольшее расстояние между противоположными точками, лежащими на поверхности шара). Диаметр равен удвоенному радиусу.
• Длина окружности (С) представляет собой длину окружности большого круга, то есть круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.
• Объем (V) – это значение трехмерного пространства, занимаемого шаром. [6]
• Площадь поверхности (А) – это значение двумерного (плоского) пространства, ограниченного поверхностью шара.
• Пи (π) – это постоянная, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру. Первыми десятью цифрами этой постоянной являются 3,141592653, но зачастую число Пи округляется до 3,14.

• D = 2г. Как и в случае круга , диаметр шара в два раза больше его радиуса.
• C = πD = 2πr. Как и в случае круга , длина окружности шара равна произведению π на диаметр шара. Так как диаметр вдвое больше радиуса, то длина окружности шара равна удвоенному произведению π на радиус шара.
• V = (4/3)πr 3 . Объем шара равен произведению 4/3 на π и на радиус в кубе. [7]
• А = 4πr 2 . Площадь поверхности шара равна учетверенному произведению π на радиус в квадрате. Так как площадь круга равна πr 2 , то площадь поверхности шара в четыре раза больше площади круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.

r = С / 2π

π — величина постоянная, равна отношению длины окружности к диаметру. Число Пи, равное 3,141592653… обычно округляется до 3,14.

— по площади шара.
Площадь шара равна произведению четырех пи на квадрат радиуса:

Нахождение радиуса по расстоянию между двумя точками

• Рассмотрим пример. Дан шар с центром с координатами (4,-1,12). Воспользуйтесь этими координатами, чтобы найти радиус шара.

• В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0). Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.

• В рассматриваемом примере вместо (x₁,y₁,z₁) подставьте (4,-1,12), а вместо (x₂,y₂,z₂) подставьте (3,3,0):
  • d = √((x₂ – x₁) 2 + (y₂ – y₁) 2 + (z₂ – z₁) 2 )
  • d = √((3 – 4) 2 + (3 – -1) 2 + (0 – 12) 2 )
  • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2 )
  • d = √(1 + 16 + 144)
  • d = √(161)
  • d = 12,69. Это искомый радиус шара.

• Возведите обе стороны этого уравнения в квадрат, и получите r 2 = (x₂ – x₁) 2 + (y₂ – y₁) 2 + (z₂ – z₁) 2 . Отметьте, что это уравнение соответствует уравнению сферы r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с центром с координатами (0,0,0).

C = πD = 2πr

Отсюда, радиус равен частному от деления длины окружности © на 2 пи:

Через площадь поверхности

Радиус шара рассчитывается таким образом:

S – площадь поверхности шара; равна четырем его радиусам в квадрате, умноженным на число π .

S = 4 π R 2

Одиннадцать свойств

В своей книге «Геометрия и воображение» Дэвид Гилберт и Стефан Кон-Фоссен описывают свойства сферы и обсуждают, однозначны ли такие характеристики. Несколько пунктов справедливы и для плоскости, которую можно представить как шар с бесконечным радиусом:

1. Точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной, называемой центром. Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
2. Контуры и плоские участки сферы являются кругами. Это однозначное свойство, которое определяет шар.
3. Сфера имеет постоянную ширину и обхват. Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Множество других замкнутых выпуклых поверхностей имеют постоянную ширину, например, тело Мейснера. Обхват поверхности — это окружность границы её ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
4. Все точки сферы омбилические. В любой точке поверхности вектор нормали расположен под прямым углом к ней, поскольку шар — это линии, выходящие из его центра. Пересечение плоскости, которая содержит нормаль с поверхностью, сформирует кривую — нормальное сечение. Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемых омбилическими. Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
5. У шара нет центра поверхности. Например, два центра, соответствующие минимальной и максимальной секционной кривизне, называются фокальными точками, а совокупность всех таких точек образует одноимённую поверхность. И только у шара она преобразуется в единую точку.
6. Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми. Для этой фигуры они большие круги. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
7. Имеет наименьшую площадь при наибольшем объёме. Это определяет шар однозначно. Например, мыльный пузырь: его окружает фиксированный объём, поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для такого объёма. Конечно, пузырь не будет идеальным шаром, поскольку внешние силы, такие как гравитация, будут искажать его форму.
8. Сфера — единственная вложенная поверхность, у которой нет границы или сингулярностей с постоянной положительной средней кривизной.
9. Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.
10. Шар имеет постоянную гауссову кривизну. Это внутреннее свойство, которое определяется путём измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство.

Сфера превращается в себя трёхпараметрическим семейством жёстких движений. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражено как комбинация вращений вокруг трёхкоординатной оси.

[spoiler title=”источники:”]

http://exceltut.ru/ploshhad-poverhnosti-shara-formula-i-kalkulyator-onlajn/

[/spoiler]